高中物理竞赛模拟试题4及解析

高中物理竞赛模拟试题4及解析

物理竞赛复赛模拟卷 1. μ子的电量 q=-e(e=1.6×10-19C)，静止质量 m0=100MeV/c 2，静 止时的寿命 τ 0=10-6s。设在地球赤道上空离地面高度为 h=104m 处有 一μ子以接近于真空中光速的速度垂直向下运动。 1）、试问此 μ子至少应有多大总能量才能到 达地面？ 2）、若把赤道上空 104m 高度范围内的地 球磁场看作匀强磁场， 磁感应强度 B=10-4T，磁场 方向与地面平行。试求具有第 1 问所得能量的 μ 子在到达地面时的偏离方向和总的偏转角。 2. 热中子能有效地使铀 235 裂变，但裂变时放出的中子能量代 谢较高，因此在核反应堆中石墨作减速剂。 若裂变放出的中子动能为 2.2MeV，欲使该中子慢化为热中子（动能约为 0.025eV），问需经过 多少次对撞？ O y x z B 南 北 西 3. 半径为 R、质量为 M1 的均匀圆球与一质量为 M 2 的重物分别用细绳， AD 和 ACE 悬挂于同一点 A， 并处于平衡， 如图 11-205所示， 已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求 悬挂圆球的绳 AD 与竖直方向 AB 的夹角 θ。 4. 火车以速度 v1 向前行驶。司机忽然发现，在前方同一轨道上 距车为 s 处有另一辆火车， 它沿相同的方向以较小的速度 v2 作匀速运 动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为 a，要使两车不致 相撞，则 a 应满足的关系式为 _____________________。 A D B C E O T N gM 2 gM 1 5．如图所示，有一个一端开口、一端封闭的长圆柱形 导热容器，将其开口向上竖直放置。在气温为 27℃、气压 为 760mmHg、相对湿度为 75%时，用一质量可不计的光滑 薄活塞将开口端封闭。已知水蒸气的饱合蒸气压为 26.7mmHg，在 0℃时为 4.5mmHg。（1）若保持温度不变， 想通过在活塞上方注入水银加压强的方法使管内开始有水珠出现， 那 么容器至少为多长？（ 2）若在水蒸气刚开始凝结时固定活塞，降低 容器温度，当温度降至 0℃时，容器内气体压强为多大？ 6．一个静止的竖直放置的玻璃管，长为 H=23cm，粗细均匀， 开口向下， 其内有一段长为 h=10cm 的水银柱， 把长为 L0=10cm 的空 气柱封闭在管的上端。设外界大气压强 p0=1.0×105Pa，求当管以 20m/s2 的加速度上升时，管中封闭的气柱长为多少厘米？（取 g=10m/s2，水银密度 ρ=1.4×104kg/m3） 水银 活塞 7．如图所示，用导热材料制成的两端开口的 U 型管 ABCD ，其 中 AB 高 h=24cm，CD 高 L 2=20cm，截面积分别为 SAB =1cm2，SCD=2cm2， 开始时两管均有高 h=16cm 的水银柱， 现用两个橡皮帽将两个管口封 闭，打开下方的阀门 K，用注射器从底部缓慢抽出水银， 当其中的一个管内的水银被抽干时立即关闭阀门 K。（已 知大气压强为 p0=75cmHg） （1）请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银？ （2）另一只管中剩余的水银柱高度为多少？ 8．如图（ a）所示，水平固定的圆筒由足够长 粗筒和细筒相接而成， 筒中有直径不同的两个活塞 A、B 用一根细绳相连，活塞 B 通过水平细绳、定 A B C D K h A B L L （a） 滑轮与一个质量为 m=2.0kg 的重物 C 连接， A、B 两活塞的横截面积 分别为 S1=20cm2，S2=10cm2。当两活塞封闭的空气柱温度为 t=327℃ 时， 两活塞保持静止， 此时两活塞分别与大小圆筒的相接面的距离均 为 L，已知大气压强 p0=1.0×105Pa，活塞与筒壁、 滑轮与轮轴间的摩 擦均可忽略不计，取 g=10m/s2，求： （1）此时筒内两活塞间气柱的压强为多大？ （2）当筒内气柱的温度缓慢降到 C27 时， 活塞 A 能否向右移动 距离 L，试说明理由。 （3）当气柱温度降到 C27 时，筒内气柱的压强为多大？（在整 个变化过程中， A、B 绳子始终有作用力） 。 9. 众所周知，在沙漠中能观察到蜃楼现象，假设在 近大地的空气层中，光速按 c(z)=c0(1-az)规律变化，式中 c0 为光沿地面的速度， z 为离地高度。试问：观察者观察 到蜃楼现象时，估计真实景物离他多远？设观察者身高为 h。 1i 2i 3i 1n 2n 3n 4n 10. 如图所示，在内半径为 r、外半径为 R，折射率为 n1 的玻璃管中充满了折射率为 n2 的发光液体，试问，从远 处看，当管的厚度消失时， r 和 R 应满足什么条件？ 11. 空气中放一个半径为 R、折射 率为 n 的玻璃球， 两支相距 d<2R 的平行 细光束相对球心对称地射到球上，两支 R1n 2n r α α2 d 2 d R 2 光束与球心共面，如图所示。 （1）为使两支光束在球内有实交点， d 与 n 之间必须满足什么 样的关系？ （2）为使两支光束对任何 d<2R 均在球外有实交点， n 可取哪些 值？ 12．如图所示，半径为 R 的绝缘圆环 由直径 AB 分成的两半部分各均匀带有正、 负电荷。正负电荷的电量都是 Q。 (1)试证明过直径 AB 的直线是一条电 势为零的等势线。 (2)求带正电的半圆环所激发的电场在环心 O 点的电势。 A B CD O a b 1. μ子的电量 q=-e(e=1.6×10-19C)，静止质量 m0=100MeV/c 2，静 止时的寿命 τ 0=10-6s。设在地球赤道上空离地面高度为 h=104m 处有 一μ子以接近于真空中光速的速度垂直向下运动。 1）、试问此 μ子至少应有多大总能量才能到 达地面？ 2）、若把赤道上空 104m 高度范围内的地 球磁场看作匀强磁场， 磁感应强度 B=10-4T，磁场 方向与地面平行。试求具有第 1 问所得能量的 μ 子在到达地面时的偏离方向和总的偏转角。 分析： 利用时间膨胀公式可将地球上观测到的 子的寿命 与静 止系中的寿命 0 建立联系。对地球上的观察者而言， 子为能达到地 面，所具速度必须保证它在 时间内走完全程。 利用质能公式可得 子 的相应能量。由于 子的动能比重力势能大得多，重力影响可忽略。 又因地磁场引起的偏转较小， 计算第 1 问时可不考虑洛伦兹力， 因此， 可把 子近似看成作匀速直线运动。 求解第 2 问时，必须考虑由地磁场引起的洛伦兹力，此力使 子 产生偏转。因洛伦兹力对 子不做功，故其能量保持常值。根据动力 学方程和质能公式可写出 子坐标所遵从的微分方程， 解此微分方程 即可求得偏转量。 子除受洛伦兹力外，还受地球自转引起的科星奥 利力的作用，它对 子偏转的影响应作一估算。 解：（1）近似地把 子看成是作匀速直线运动，速度为 ，到达 地面所需地球时间为 c hht O y x z B 南 北 西 为能到达地面，需满足 t 式中 为地球观察者测得的 子寿命，它与 0 的关系为 2 2 0 1 c 由质能公式， 子的能量为 2 2 2 0 1 c cmE 给合以上诸式，有 0 0 0 2 0 0 2 0 chm t tcmcmE 代人数据， 子至少应有能量 MeVMeVchmE 3 68 4 0 0 103.3 10103 10100 （2）、如图所示，取直角坐标系 Oxyz，原点 O 在地面， x 轴指 向西， y 轴垂直于地面向上指向北。 子的初始位置和初速度为 00x 00x hy 0 0y 00z 00z 磁场 B 与 z 轴方向一致， 子所受洛伦兹力为 BeF 子的动力学方程为 BeF dt dp 其中 2c Emp E=常量 0 22 x i E ecB E ec dt dr 0 y j B z k 成分量形式为 x E eBcyy E eBcx 22 , （1）（2） （1）式对 t 求导后再将（ 2）式代入，得 02 xx 式中 E eBc 2 上述方程的解为 tx cos xtx sin 因此，有 t E eBcty E eBcx sinsin 22 故得 ty sin yty cos 初条件为 0cos0x 0sin0 xx sin0y hy cos0 得 , 2 hyx , 最后得 子的坐标为 ttx cos1 2 sin thhty sin 2 cos 到达地面时， y=0，即有 E eBhcht 2 sin 因 c ，有 8 4 4 9 3 10 10 10sin 0.091 3.3 10 ceBht E 22 1 2 2 111cos1 hht 子到达地面时的 x坐标为 2 2 1 hx地 朝 x方向（向西）的偏转角为 radradh h x 046.0091.0 2 1 2 地 落地点向西偏离的距离为 mmhax 460046.0104 地 子落地过程需时 s c t 5 2 2 0 103.3 1 此阶段地球表面一点转过的距离为 mmtRs 015.0103.3 360024 2104.6 56 地 可见， s? 地x ，即由地球自转引起的偏离可以忽略。 2. 热中子能有效地使铀 235 裂变，但裂变时放出的中子能量代 谢较高，因此在核反应堆中石墨作减速剂。 若裂变放出的中子动能为 2.2MeV，欲使该中子慢化为热中子（动能约为 0.025eV），问需经过 多少次对撞？ 解：运动的中子与石墨中静止的碳原子碰撞可作为弹性碰撞处 理。设第 k 次碰拼音字母前中子速度大小为 1k ，碰后速度 大小为 k ， 由动量守恒和能量守恒可得 1k nC nC k mm mm 式中 nC mm . 分别为碳原子、 中子的质量， 近似有 nmmc 12 。于是 k 可表述为 00 13 11 VV mm mmV KK nc nc K 初始的中子 对应动能 MeVE 2.2 ，碰撞 k 次后的动能取 为 eVEk 025.0 ，则有 kk nC nC kk mm mm E E 22 2 2 ) 11 13()( 两边取对数解得 8.54k 取整数后为 )(55 次k 3. 半径为 R、质量为 M1 的均匀圆球与一质量为 M2 的重物分别 用细绳， AD 和 ACE 悬挂于同一点 A，并处于平衡，如图 11-205 所 示，已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L，不考虑绳的质量和绳与球的 摩擦，试求悬挂圆球的绳 AD 与竖直方向 AB 的夹角 θ。 分析： 在平衡条件下，一个物体受到三个共点力作用时，这三个 力的作用线必相交于一点。 这是平衡问题的一个基本结论， 本题就是 一例。 解：作用在球上的力有重力 ADgM ,1 绳的拉力 T 和 ACE 绳的压力 N。由于不考虑绳与球的摩擦，所以 N 的方向沿半径指向球心，重力 也是通过球心的。由于球平衡，所以绳 AD 的拉力也必过球心，因此 可判断绳一定沿 OA 方向（如图 11-206）。 对球和重物组成的系统， 根据平衡条件， gM 1 和 gM 2 对 A 点 的力矩大小相等，即 BCgMOBgM 21 （1） 由图可知 s i n,s i n LRBCLOB 代入（ 1）式，可解得 )( sin 21 2 MML gM )( arcsin 21 2 MML RM 4. 火车以速度 v1 向前行驶。司机忽然发现，在前方同一轨道上 距车为 s 处有另一辆火车， 它沿相同的方向以较小的速度 v2 作匀速运 动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为 a，要使两车不致 相撞，则 a 应满足的关系式为 _____________________。 A D B C E O T N gM 2 gM 1 图 11-206 分析： 司机使火车作匀减速运动，当后面的火车与前方火车时 的速度相等时， 两车再也不能接近了， 也就是后面的火车与前面火车 的速度相等时，后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于 s 时， 两车才不致相撞，本题解法中有四种。 解法一： 当两车速度相等时， 两车没有相撞， 以后再也不会相撞， 前车减速的时间为 t，则 a vvt )( 21 2 )( 21 1 tvvs tvs 22 s a vvtvvss 2 )( 2 )( 2 2121 21 s vva 2 )( 2 21 解法二： 以前车为参照系，后车的速度为 )( 21 vvv ，当后车的 速度减为零时，其位移小于 s，两车不会相撞，即 s vvas a vv 2 )(, 2 )( 2 21 2 21 。 解法三： 作出两车运动的速度—时是图像如图 12-34 所示， 由图像可知： 在两图像相交前与时间轴所围面积之差 （即图中 阴影部分）小于 s 时，两车不会相撞。 即 s vvas a vv 2 )(, 2 )( 2 21 2 21 解法四： 后车的位移为 2 2 11 attvs ，前车的位移为 tvs 22 ，要使 两车不相撞，即 t tO 1 2 图 12-34 sattvvss 2 )( 2 2121 ， 0)( 2 21 2 stvvat 说明此二次函数无解，即 02)( 2 21 asvv ， s vva 2 )( 2 21 。 以上四种解法中，以第二种解法最简捷。 5．如图 24-28 所示，有一个一端开口、一端封闭的长 圆柱形导热容器， 将其开口向上竖直放置。 在气温为 27℃、 气压为 760mmHg、相对湿度为 75%时，用一质量可不计的 光滑薄活塞将开口端封闭。已知水蒸气的饱合蒸气压为 26.7mmHg，在 0℃时为 4.5mmHg。（1）若保持温度不变， 想通过在活塞上方注入水银加压强的方法使管内开始有水珠出现， 那 么容器至少为多长？（ 2）若在水蒸气刚开始凝结时固定活塞，降低 容器温度，当温度降至 0℃时，容器内气体压强为多大？ 分析： 当活塞上加入水银时， 密闭管内的空气和水蒸气的压强均 增大，当水蒸气的压强达到饱和气压后，管内开始有水珠出现。 解：（1）灌水银前空气柱中水蒸气的压强为 饱汽 pp 4 3 设容器长为 0l ，空气柱长度减小到 l 时，水蒸气达饱和状态，根 水银 活塞 图 24-28 据玻意耳定律有 lplp 饱汽 0 ， 即 04 3 ll ， 此时活塞上下方压强分别为 , 4 1760 0 mmHglp上 . 3 4 0pp下 因 下上 pp 有 ,760 3 4 4 1760 0l 即 .10130 mml （2）水珠体积可以忽略，开始时，容器内干燥空气压强应为 .3.9867.26760 3 4 1 mmHgmmHgp 因活塞固定，气体降温过程等容，故有 .5.897 27273 273 11 mmHgpp 容器内气体总压强为 58.45.89721 ppp mmHg1.902 6．如图 24-31 所示，一个静止的竖直放置的玻璃管，长为 H=23cm，粗细均匀，开口向下，其内有一段长为 h=10cm 的水银柱， 把长为 L 0=10cm 的空气柱封闭在管的上端。设外界大气压强 p0=1.0 ×105Pa，求当管以 20m/s2 的加速度上升时，管中封闭的气柱长为多 少厘米？（取 g=10m/s2，水银密度 ρ=1.4×104kg/m3） 解：管加速上升时，水银柱所受合力向上，管内气体对水银柱的 压强应减小，管内气体体积应增大，由于管长度一定，有可能使管内 水银溢出的情况。设当管加速上升时，封闭气柱压强为 P，长为 L， 水银柱质量为 m，对于气柱，根据玻意耳定律得 pLSSLghP 00 )( （1） 对水银柱根据牛顿定律有 mamgPSSp0 （2） 又 ghm （3） 得 )(0 aghPP （4） 由（ 1）、（4）式得 cmm aghP LghPL 15)(15.0 )( )( 0 00 因为 cmHcmhL 2325 所以加速上升时，水银将溢出管外。这时设余下水银柱长为 h ， 其质量为 m ，封闭气柱压强为 P ，长为 L 。对水银柱，根据牛顿第 二定律有 amgmSPSp0 （5） 又有 Shm （6） 所以 )(0 aghPP （7） 对封闭气柱，根据玻意耳定律有 SLPSLghP 00 )( （8） 此时 hHL （9） 把（ 7）式、（9）式代入（ 8）式并化简得 0)(])([)( 0000 2 LghPHPhHagPhag 代入数值，并化简有 0144.097.18 2 hh 解得 mhcmmh 38.0,0.909.0 21 （大于 H 舍去） 所以正在以 2/20 sma 加速度上升的玻璃管，其上端封闭的气柱 长为 )(140.923 cmhHL 7．如图 24-55 所示， 用导热材料制成的两端开口的 U 型管 ABCD ， 其中 AB 高 h=24cm，CD 高 L 2=20cm，截面积分别为 SAB =1cm2， SCD =2cm2，开始时两管均有高 h=16cm 的水银柱，现用两个橡皮帽将 两个管口封闭， 打开下方的阀门 K，用注射器从底部缓慢 抽出水银，当其中的一个管内的水银被抽干时立即关闭阀 门 K。（已知大气压强为 p0=75cmHg） （1）请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银？ （2）另一只管中剩余的水银柱高度为多少？ 解：求解这一类题时， 应根据可解的情况先做出必要 的假设，然后按着所做出的假设进行推理，在推理过程中，对所做假 A B C D K h 图 24-55 设做出否定或认同即可求解。 假设左管内水银先被抽干， 并设这时右管内剩余水银柱的高度为 ，对左管内封闭气体用玻意耳定律有 1111 VpVp 可得 cmHg S Sp V Vp 2575 24 1624 1 1 1 1 所以右管内气体压强为 cmHgp 252 再对右管内被封气体，根据玻意耳定律得： CDCD SS 2025162075 整理得： 0200452 解得： 不合题意舍去或 cmcm 405 在根据以上假设列的方程中， 有满足题设的实数解， 故所做假设 成立，即左管内水银先抽干，且此时右管内剩余水银柱 高度为 5cm。 8．如图 24-57（a）所示，水平固定的圆筒由足够长 粗筒和细筒相接而成， 筒中有直径不同的两个活塞 A、B 用一根细绳相连，活塞 B 通过水平细绳、定滑轮与一个 A B L L 图 24-57（a） 质量为 m=2.0kg 的重物 C 连接， A、B 两活塞的横截面积分别为 S1=20cm2，S2=10cm2。当两活塞封闭的空气柱温度为 t=327℃时，两 活塞保持静止，此时两活塞分别与大小圆筒的相接面的距离均为 L， 已知大气压强 p0=1.0×105Pa，活塞与筒壁、滑轮与轮轴间的摩擦均 可忽略不计，取 g=10m/s2，求： （1）此时筒内两活塞间气柱的压强为多大？ （2）当筒内气柱的温度缓慢降到 C27 时， 活塞 A 能否向右移动 距离 L，试说明理由。 （3）当气柱温度降到 C27 时，筒内气柱的压强为多大？（在整 个变化过程中， A、B 绳子始终有作用力） 。 解：（1）将活塞 A、B（包括连接两活塞的细绳）作为整体，其 受力如图答 24-57（b）所示，根据物体的平衡条件得 mgSpSpSpSp 10212011 （1） pap SS mgp 5 0 21 1 102.1 （2）当气体的温度缓慢降低时， 气体的压强 P 在减小， 由（ 1）式可知当式中的 1p （气体的压强）在减小时，由于 21 SS ，故方程左边比右边小，平衡被破坏，这就意味着向右的作用 10 Sp 11Sp 20 Sp 21Sp mgF 图 24-57（b） 力大于向左的作用力，故活塞右移，使气体的体积减小，压强增大， 可以认为是一个等压过程（直到活塞与细筒侧壁相接触时为止） ，活 塞不能无限制地向右移动，当活塞 A 移到与粗、细圆筒的交接处时， 不再移动。设活塞刚好移到两筒交接处时气体的温度为 T，此时活塞 对细筒侧壁无相互作用力，在等压过程中，有 T V T V 1 1 其中 2211 3LSLSLSV ， 22LSV ， KT 6001 ， KTK V VTT 300400 2 1 1 故当筒内气体的温度缓慢降至 C27 ，活塞 A 能向右移动距离 L。 （3）当筒内气体的温度缓慢降至 C27 ，其末态有： K T LSV 3002 2 2 2 由理想气体状态方程 2 22 1 11 T VP T VP ， PaPP TV TVP 51 1 12 21 2 109.0 4 3 9. 众所周知，在沙漠中能观察到蜃楼现象，假设在近大地的空 气层中， 光速按 c(z)=c0(1-az)规律变化， 式中 c0 为光沿地面 的速度， z 为离地高度。试问：观察者观察到蜃楼现象时， 估计真实景物离他多远？设观察者身高为 h。 解：光在沙漠上空气中的传播速度随离地面高度的增 加而减少， 这意味着贴近地面的空气的折射角比上层空气要小， 致使 远处来的光线在射向地面时，不断被折射，入射角逐渐增大。当光线 射到贴近地面大气层的入射角大于临界角时，就发生全反射现象。 如图 33-41 所示， 将近大地的空气层划分为多个间距很小的层面， 每个层面都与大地平行， 这样可认为光速在某一层面的不同高度处相 同（即可视为折射率相同） 。设各层介质的折射率分别为 n1、n2、n3⋯ 光速与分界面法线的夹角分别为 i 1、i 2、i3⋯由折射定律 可得 常数332211 sinsinsin ininin 。 即 常数in sin 。而 azzc cn 1 10 ， 且在地面附近处 90,0 icc ， 故 azi 1sin 由图 33-42 可见，上式是一个圆方程，这说明光线在不均匀空气 中是沿圆弧传播的。设圆半径为 R，则 1i 2i 3i 1n 2n 3n 4n 图 33-41 Li i 图 33-42 z RR zRi 11sin 故 aR 1 另由几何关系得 222 RzRL 并将 z=h 代入上式可得 22 h a hL 点评： 将折射率连续变化的介质分成许多个折射率不相同的层面 （层面中折射率相同）是处理本题的关键。 10. 如图 33-102 所示，在内半径为 r、外半径为 R，折射 率为 n1 的玻璃管中充满了折射率为 n2 的发光液体，试问，从 远处看，当管的厚度消失时， r 和 R 应满足什么条件？ 分析： 在物理学中存在大量的临界问题，以原理、定理 或定律为依据，直接从临界状态和相应的临界量入手，求出 所研究问题的特殊规律和特殊解；然后，以此对一般情况进行分析、 讨论和推理，即采用从特殊到一般的推理方法称为临界法。 本题中，液体发出的光线经玻璃两次折射后射出。从远处看，只 能接受平行光线。 管的厚度消失， 即经管边缘射向远方的光线与该处 的管直径 2R 垂直。即光线从玻璃折向空气时，入射角为全反射临界 R1n 图 33-102 2n r 角。 解： 如图 33-103 所示，厚度消失时，切向光线 MN 与半径垂直，管内存在 PM 光线， PM 入射角 C 为全反射 临界角，有 1 1sin nC PM 光线是从液体 P点发出，从液体射向玻璃时折射角为 。如 图 33-103 所示，由正弦定理有 sinsin Rr C 所以有 rn R r R C 1 sinsin 管壁中是否存在 PM 光线呢？从 P点由液体射向玻璃的入射光线 的入射角最大为 90 ，相应折射角为 max 。若 12 nn 则 max12 sin90sin nn 即 1 2 maxsin n n 若 12 nn 则 1sin max 。 存在 PM 光线的条件是 maxsinsin ，即要求 12 nn 时， 1 2 1 n n rn R ，即 2n r R 。 图 33-103 R 1n 2n r P M N C 12 nn 时， 1 1rn R ，即 1n r R 。 点评： 本题是以临界状态和相应的临界角为前提，作为分析、讨 论的出发点， 由于题目未说明 n1 和 n2 的大小，应分别就 21 nn 和 21 nn 两种情况进行讨论，从而确定 r 和 R 应满足的条件。 11. 空气中放一个半径为 R、折射率为 n 的玻璃球，两支相距 d<2R 的平行细光束相对球心对称地射到球上， 两支光束与球心共面， 如图 33-124 所示。 （1）为使两支光束在球内有实交点， d 与 n 之间必须满足什么 样的关系？ （2）为使两支光束对任何 d<2R 均在球外有实交点， n 可取哪些值？ 分析： 由下面图 33-125 可看到，当折射角 2 时两支 光束在球面上相交，这是两支光束是在球内，还是在球外有 实交点的分界点，因此要分别讨论当 2 与 2 时的情况。 解： 如图 33-125 所示，有 sin1sin n Rd 2/sin 2 d 2 d 图 33 （1）球内相交要求 2 ，即 2 sinsin 与前两式联立，并利用 2 cos 2 sin2sin 可得 n 2 c o s2 2 2 42 2 1 2 c o s1 2 c o s R d 即得所求条件为 2 2 42 R dn （2）球外相交，要求 2 ，即可得 2 2 42 R dn 因此 Rd 20 ，故 2422 2 2 R d 为保证前一不等式对任何 d 均成立，便要求 2n 。 这便是 n 的取值范围。 12．如图 41-84 所示，半径为 R 的绝缘圆环由直径 AB 分成的两 半部分各均匀带有正、负电荷。正负电荷的电量都是 Q。 图 33-125 α α2 d 2 d R 2 (1)试证明过直径 AB 的直线是一条电势为零的等势线。 (2)求带正电的半圆环所激发的电场在环心 O 点的电势。 解：只要证明过 AB 的直线上各点场强方向与 AB 垂直， 则此直线就是等势线。 如进一步证明到直径上某一点的电势为零， 则 此直线上各处电势均为零。 证法 1：（1）在直径 AB 上任取一点 C，在环上任取关于 AB 对 称的两点 a 和 b，设 a、b 为中点的微段圆弧所带电量为 q 。由于 C 点到这两微段的距离相等，故两段在 C 点产生的场强的大小相等， 方向如图（它们与 AB 直线的夹角相等） 。所以，这两微段在 C 点产 生的合场强必定与 AB 垂直。同理，环上其它关于 AB 对称的任意两 段在 C 点产生的合场强也与 AB 垂直，故过 AB 直线上各点的场强处 处与 AB 垂直。 利用这个方法， 也可证明在 AB 连线延长线上任一点 C 的合场强 也与 AB 连线的延长线垂直，故过直径 AB 的直线是一条等势线。 设将一点电荷从无穷远处沿 AB 所在直线移到 A 点。 电荷的移动 方向与电荷受的电场力垂直，故电场力对电荷不做功，则有： 0)( AUUqW电 因为 0U q≠0 A B CD O a b 图 41-84 所以 0UU A 故此直线上各处电势均为零。 （2）以 a 点为中心的微段在圆心 O 处产生的电势为 R qkU i i 半圆环上其它各微段在 O 点产生的电势都为该值。因电势是标 量，故可直接累加，得圆心 O 处的电势为 R KQq R kUU ii0 证法 2：（1）在环上任取的关于 AB 对称的两点 a 和 b 为中点的 微段圆弧所带电量分别为 iq 和 iq ，a、b 到 C 点的距离为 r、a、b 对 C 点的电势分别为 r qkU i c r qkU i c 由电势叠加原理， C 点的电势。 0ccci UUU 同理可得在环上任意关于 AB 对称的两点对 C 点的电势均为零，可 得整个圆环对 C 点电势为 O。 利用上述方法可得在 AB 连线上任意一点电势为零。故可得 AB 是一条电势为零的等势线。 （2）同证法 1。