匀变速直线运动的速度与时间的关系

匀变速直线运动的速度与时间的关系

第2节 匀变速直线运动的速度与时间的关系 理解领悟 本节课从上节探究小车运动速度随时间变化得到的速度图象入手，分析图象是直线的意义表明加速度不变，由此定义了匀变速直线运动，进而导出了匀变速直线运动的速度公式。要会应用速度公式分析和计算，探究用数学手段描述物理问题的方法，体验数学在研究物理问题中的重要性。‎ 基础级 ‎1. 小球速度图象的进一步探究 在上节课“探究小车速度随时间变化的规律”这一实验中，我们画出了小车运动的速度图象，该图象是一条倾斜的直线。请继续思考下列问题：‎ 速度图象中的一点表示什么含义？‎ 小车的速度图象是一条倾斜的直线，表明小车的速度随时间是怎样变化的？‎ 小车做的是什么性质的运动？‎ 不难看出，速度图象中的一点表示某一时刻的速度；小车的速度图象是一条倾斜的直线，表明小车的速度不断增大，而且速度变化是均匀的；小车做的是加速度不变的直线运动。‎ ‎2. 对匀变速直线运动的理解 我们把沿着一条直线，且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动。对此，要注意以下几点：‎ ‎  （1）加速度是矢量，既有大小又有方向。加速度不变，指的是加速度的大小和方向都不变。若物体虽然沿直线运动，且加速度的大小不变，但加速度的方向发生了变化，从总体上讲，物体做的并不是匀变速直线运动。‎ ‎ （2）沿一条直线运动这一条件不可少，因为物体尽管加速度不变，但还可能沿曲线运动。例如我们在模块“物理2”中将要讨论的平抛运动，就是一种匀变速曲线运动。‎ ‎  （3）加速度不变，即速度是均匀变化的，运动物体在任意相等的时间内速度的变化都相等。因此，匀变速直线运动的定义还可以表述为：物体在一条直线上运动，如果在任意相等的时间内速度的变化都相等，这种运动就叫做匀变速直线运动。‎ ‎ （4）匀变速直线运动可分为匀加速直线运动和匀减速直线运动两类：速度随着时间均匀增加的直线运动，叫做匀加速直线运动；速度随着时间均匀减小的直线运动，叫做匀减速直线运动。‎ ‎3. 用公式表达匀变速直线运动速度与时间的关系 物理量之间的函数关系可以用图象表示，也可以用公式表示。用公式表示物理量之间的函数关系，往往显得更加简洁和精确。那么，小车的速度图象——这条倾斜直线所表示的速度随时间变化的关系，怎样用公式来描述呢？‎ 由教材图2.2-2可以看出，对于匀变速直线运动来说，由于其速度图象是一条倾斜的直线，无论△t大些还是小些，对应的速度变化量△v与时间变化量△t之比都是一样的。设初始时刻（t=0）的速度为v0，t 时刻的速度为v，不妨取△t=t－0, 则对应的△v=v－v0。从而，由 ，‎ 可得 。‎ ‎ 这就是匀变速直线运动的速度公式。‎ ‎4. 对匀变速直线运动速度公式的理解 我们可以这样来理解匀变速直线运动速度公式的物理意义：a等于单位时间内速度的变化量，at是0~t时间内的速度变化量，加上初速度v0，就是t时刻的速度v。公式说明，t时刻的速度v与初速度v0、加速度a和时间t有关。‎ 匀变速直线运动速度公式表明，物体运动的速度是时间的一次函数，所以速度图象是一条倾斜的直线。‎ 匀变速直线运动速度公式描述了物体运动的速度与时间的关系。教材得出这一公式的逻辑推理过程，强化了从实验得出规律的一般性过程，让我们体验了科学推理的方法，练习了用图象分析问题的一般方法。‎ v0‎ v=?‎ a 图2－13‎ t 5. 教材中两道例题的分析 v=0‎ v0=?‎ a t 图2－14‎ 教材中的例题1，研究的是汽车的加速过程，已知汽车的初速度v0、加速度a和加速的时间t，需求末速度v，如图2－13所示。此题只需直接应用匀变速直线运动的速度公式即可求解。‎ 教材中的例题2，研究的是汽车的紧急刹车过程，已知汽车的加速度a的大小和刹车减速的时间t，并有隐含条件末速度v=0，需求初速度v0，如图2－14所示。此题在应用匀变速直线运动的速度公式求解时，若以汽车运动的方向为正方向，则加速度须以负值代入公式。‎ 求解这两道例题之后，可以总结一下，解答此类问题的一般步骤是：认真审题，弄清题意；分析已知量和待求量，画示意图；用速度公式建立方程解题；代入数据，计算出结果。‎ 6. 匀变速直线运动速度公式中的符号法则 ‎ 匀变速直线运动速度公式v=v0+a t尽管是在物体做加速运动的情况下得出的，而对减速的情况同样适用。由于速度与加速度都是矢量，就需要用正负号来表示它们的方向。通常，我们以初速度的方向为正方向，与正方向一致的量取正号，相反的取负号。具体说来，当物体做匀加速直线运动时，加速度为正值；当物体做匀减速直线运动时，加速度为负值。在应用速度公式时，对匀减速直线运动又有两种处理方法：一种是将a直接用负值代入，速度公式v=v0+a t形式不变（教材例题2的求解就采用了这种处理方法）；另一种是将a用其绝对值代入（即a仅表示加速度的大小），速度公式须变形为v=v0－a t（在以后与牛顿第二定律综合应用时，采用这种处理方法较为方便）。‎ O v v0‎ v t t A B C D α 图2－15‎ 发展级 ‎7. 用图象法推导匀变速直线运动速度公式 画出匀变速直线运动的速度图象如图2－15所示。由图中的几何关系可得 BD=AO+BC=AO+AC·tan α，‎ 而  BD=v, AO=v0, AC=t, tan α=a，‎ 故有 v=v0+a t。 ‎ 7. 对关系式的再认识 ‎ 在第一节探究小车速度随时间变化规律的实验中，我们已经用到了“匀变速直线运动某段时间内的平均速度，就等于这段时间中间时刻的瞬时速度”这一规律。你想过没有，为什么有这种等量关系呢？让我们来证明一下。‎ 设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，经时间t后末速度为v，并以 表示这段时间中间时刻的瞬时速度。由 ‎，，‎ 可得 。‎ 因为匀变速直线运动的速度随时间是均匀变化的，所以它在时间t内的平均速度，就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即 ‎。‎ 从而，可得 。‎ 9. 关于初速度为0的匀加速直线运动 因v0=0，由公式可得 ，‎ 这就是初速度为0的匀加速直线运动的速度公式。‎ 因加速度a为定值，由可得。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，物体在时刻t、2t、3t、…… n t的速度之比 v1︰v2︰v3︰……︰vn=1︰2︰3︰……︰n。‎ 10. ‎ 对“说一说”问题的讨论 ‎ 本节教材在“说一说”栏目中给出了一个物体运动的速度图象，图象是一条斜向上延伸的曲线。从图象可以看出，物体的速度在不断增大。在相等的时间间隔△t内，速度的变化量△v并不相等，而是随着时间的推移在不断增大。所以，物体的加速度在不断增大，物体做的并不是匀加速运动，而是加速度逐渐增大的变加速运动。‎ ‎ 请进一步思考：匀变速直线运动速度图象直线的斜率表示加速度，那么从变加速直线运动的速度图象，又如何求出某段时间内的平均加速度和某一时刻的瞬时加速度呢？由教材图2.2-5不难看出，变加速直线运动速度图象曲线的割线的斜率，表示相应时间段内的平均加速度；曲线的切线的斜率，表示相应时刻的瞬时加速度。‎ 应用链接 ‎ 本节课的应用主要是匀变速直线运动速度公式、某段时间内中间时刻的速度公式和有关比例关系的分析与计算。‎ 基础级 例1 电车原来的速度是18m/s，在一段下坡路上以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，求加速行驶了20s时的速度。‎ 提示 已知初速度、加速度和时间，求末速度，可直接应用匀变速直线运动速度公式求解。‎ 解析 电车的初速度v0=18m/s，加速度a=0.5m/s2，时间t=20s，由匀变速直线运动速度公式，可得电车加速行驶了20s时的速度 v=18m/s+0.5×20m/s=28m/s。‎ 点悟 应用物理公式求解物理量时，分清已知量和未知量是求解的关键。‎ 例2 物体做匀加速直线运动，到达A点时的速度为5m/s，经3s到达B点时的速度为14m/s，再经过4s到达C点，则它到达C点时的速度为多大？‎ 点悟 应用匀变速直线运动速度公式求解。‎ 解析 在物体由A点到B点的运动阶段，应用匀变速直线运动速度公式，有vB=vA+a t1，解得物体运动的加速度 m/s2=3m/s2。‎ 在物体由B点到C点的运动阶段，再应用匀变速直线运动速度公式，可得物体到达C点时的速度   vC =vB+a t2=14m/s+3×4m/s=26m/s。‎ 点悟 本题求解时将物体的运动分成了由A点到B点和由B点到C两个阶段，分别应用匀变速直线运动速度公式，先由第一阶段求加速度a，再由第二阶段求到达C点的速度 vC 。本题也可不求出a的具体数值，而由两个阶段的速度公式消去a，求得 vC ；或者在求得a后，在物体由A点到C点运动的整个阶段，再应用匀变速直线运动速度公式，由 vC =vA+a (t1+ t2) 求得 vC 。‎ 例3 甲、乙两物体分别做匀加速和匀减速直线运动，已知乙的初速度是甲的初速度的2.5倍，且甲的加速度大小是乙的加速度大小的2倍，经过4s，两者的速度均达到8m/s，则两者的初速度分别为多大？两者的加速度分别为多大？‎ 提示 注意加速度的正负号及两者之间的联系。‎ 解析 对甲、乙两物体分别应用匀变速直线运动速度公式，有 ‎   ，‎ 又 ，，‎ 由以上四式可得甲、乙两物体的初速度分别为 m/s=4m/s，m/s=10m/s；‎ 甲、乙两物体的加速度大小分别为 m/s2=1m/s2， m/s2= 0.5m/s2‎ ‎ 点悟 当问题涉及多个物体的运动时，除了对每一个物体进行运动状态的分析，列出相应的运动学方程外，还需找出它们之间的联系，列出必要的辅助方程，组成方程组求解。‎ 例4 一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50m的电线杆共用5s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15m/s，则经过第一根电线杆时的速度为（ ）‎ A. 2m/s B. 10m/s C. 2.5m/s D. 5m/s 提示 用平均速度进行分析。‎ 解析 已知s=50m, t=5s, v2=15m/s, 以v1表示汽车经过第一根电线杆时的速度，由平均速度的定义式和匀变速直线运动平均速度的计算式，可得 ‎ ，‎ 解得汽车经过第一根电线杆时的速度 m/s－15m/s=5m/s。‎ 可见，正确选项为D。‎ 点悟 公式是平均速度的定义式，适用于任何运动；而公式是匀变速直线运动平均速度的计算式，仅适用于匀变速直线运动。公式表明，做匀变速直线运动的物体在某段时间内的平均速度，等于这段时间的初速度与末速度的代数平均值。例如，物体做匀变速直线运动，初速度v1=2m/s，末速度v2=－2m/s，则平均速度 ‎ m/s=0。‎ 发展级 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7‎ t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7‎ 图2－16‎ 例5 两木块自左向右运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图2－16所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，由图可知（ ）‎ A. 在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同 B. 在时刻t1两木块速度相同 C. 在时刻t3和时刻t4之间某瞬间两木块速度相同 D. 在时刻t4和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同 提示 先考察两木块的运动性质，再由关系式进行分析判断。‎ 解析 首先由题图可以看出：上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量，可以判定其做匀变速直线运动；下边那个物体明显地是做匀速运动.由于t2及t5时刻两物体位置相同，说明这段时间内它们的位移相等，故它们的平均速度相等，由可知其中间时刻的即时速度相等，这个中间时刻显然在t3、t4之间，因此本题正确选项为C。‎ 点悟 本题涉及两种基本运动——匀速直线运动和匀变速直线运动，根据题图判断两木块的运动性质，这是解答本题的关键。要注意培养看图识图、分析推理以及运用物理知识解决实际问题的能力。‎ 例6 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，5s末的速度为1m/s，则10s末的速度为多大？‎ 提示 先求加速度，或由速度比例关系求解，也可用速度图象分析。‎ 解析 解法一：公式法 由匀变速直线运动速度公式,，有v1=at1，故物体运动的加速度为 ‎ m/s2=0.2m/s2。‎ 从而，物体在10s末的速度为 ‎   v2=a t2=0.2×10m/s=2m/s。‎ 解法二：比例法 对于初速度为0的匀加速直线运动，有，故 v/(m·s-1)‎ t/s O ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎10‎ 图2－17‎ ‎，‎ 从而，物体在10s末的速度为 m/s=2m/s。‎ 解法三：图象法 画出物体运动的速度图象如图2－17所示。由图象可知，物体在10s末的速度为2m/s。‎ 点悟 一个问题从不同的角度去分析，往往可有不同的解法。上述解法一先求加速度，属于常规解法，略繁一些；解法二用比例关系列式，比较简单；解法三运用图象进行分析，简洁明了。‎ 课本习题解读 ‎[p.39问题与练习]‎ ‎1. 机车的初速度v0=36km/h=10m/s，加速度a=0.2m/s2，末速度v=54km/h=15m/s，根据得机车通过下坡路所用的时间为 s=25s。‎ ‎ 本题与下题均应注意物理量单位的换算。‎ ‎2. 火车的初速度v0=72km/h=20m/s，加速度a=－0.1m/s2，减速行驶的时间t=2min=120s，根据得火车减速后的速度 v=20m/s－0.1×120m/s=8m/s。‎ ‎ 注意加速度a为负值。‎ ‎3. 由题给图象可知：‎ ‎（1）4s末速度为2m/s，最大；7s末速度为1m/s，最小。‎ ‎（2）这三个时刻的速度均为正值，速度方向相同。‎ ‎（3）4s末加速度为0，最小；7s末加速度大小为1m/s2，最大。‎ ‎（4）1s末加速度为正值，7s末加速度为负值，加速度方向相反。‎ 速度、加速度都是矢量，比较矢量的大小应按矢量的绝对值评定。‎ ‎4. 物体的初速度v0=0，加速度a1=1m/s2，a2=0.5 m/s2，时间t1=4s, t2=8s, 根据，可得物体在4s末、8s末的速度分别为  v1=a1t1=1×4m/s=4m/s, ‎ t/s v/(m·s-1)‎ O ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ 图2－18‎ v2= v1+a2(t2－t1)=4m/s+0.5×(8－4) m/s =6m/s。‎ ‎ 由此可画出物体在8s内的速度图象如图2－18所示。‎ 练习巩固（2—2） ‎ 基础级 O v t ‎(a)‎ O v t ‎(b)‎ O v t ‎(c)‎ O v t ‎(d)‎ 图2－19‎ ‎1. 从地面上竖直向上抛出一个物体，物体匀减速上升到最高点后，再以与上升阶段一样的加速度匀加速落回地面。图2－19中可大致表示这一运动过程的速度图象是（ ）‎ A.（a）图 B.（b）图 C.（c）图 D. (d) 图 ‎2. 火车在通过桥梁的时候要提前减速。一列原以72km/h的速度匀速行驶的火车在驶近一座铁桥前，匀减速行驶了2min，加速度的大小为0.1m/s2，火车减速后的速度为多大？‎ ‎3. 机车原来的速度为36km/h，在一段下坡路上加速度为0.2m/s2。机车行驶到下坡末端，速度增加到54km/h。求机车通过这段下坡路所用的时间。‎ ‎4. 一物体由静止开始做匀加速直线运动，它在第5s内的平均速度为18m/s，则物体运动的加速度多大？10s末的速度多大？‎ ‎5. 做匀加速直线运动的物体从A经B运动到C所用的总时间为t。已知物体在AB段的平均速度为v，在BC段的平均速度为3v，则物体的加速度为多大？‎ ‎6. 升降机从静止开始以2m/s2的加速度做直线运动，3s后改做匀速运动，7s后改做匀减速运动，再经2s停止。试问：升降机匀速运动时的速度多大？减速运动时的加速度多大？加速运动和减速运动时的平均速度各多大？‎ ‎ 7. 物体以8m/s的初速度冲上一足够长的斜坡，当它再次返回坡底时速度大小为6m/s，则上行和下滑阶段，物体运动的时间之比多大？加速度之比多大？‎ 发展级 ‎8. 物体在水平面上滑行，由于摩擦阻力的作用而做匀减速运动，加速度大小为3m/s2。在停止前的1s内，物体的平均速度多大？‎ ‎9. 一物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a，当速度为v时将加速度反向，大小恒定。为使该物体在相同的时间内回到原出发点，则反向后的加速度应为多大？回到原出发点时的速度多大?‎ ‎10. 平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200m处以5m/s的速度做同方向的匀速运动。在甲追赶乙的过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多大？‎