【物理】2018届一轮复习人教版平抛运动学案
第2讲 平抛运动
考点一 平抛运动的基本规律
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。
(2)性质：加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)研究方法：运动的合成与分解。
可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
(4)运动规律：
①速度关系：
②位移关系：
(5)两个重要推论
①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如上图中A点和B点所示。
②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
2．斜抛运动
(1)定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)研究方法：用运动的合成与分解方法研究斜抛运动。
①水平方向：匀速直线运动。
②竖直方向：匀变速直线运动。
[思维诊断]
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( )
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。( )
(3)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。( )
(4)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。( )
(5)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长。( )
(6)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
[题组训练]
1．[平抛运动的理解](多选)关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是匀变速曲线运动
B．做平抛运动的物体在任何相等的时间内，速度的变化量都相等
C．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动
D．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关
解析： 平抛运动只受重力作用，加速度为g，是个定值，所以平抛运动是匀变速曲线运动，Δv＝g·Δt，而vt＝＝，与水平初速度v0及抛出点高度都有关。正确选项为A、B、C。
答案： ABC
2．[平抛规律的应用]从正在高空水平匀速飞行的飞机上每隔1 s释放1个小球，先后共释放5个，不计空气阻力，则( )
A．这5个小球在空中处在同一条竖直线上
B．这5个小球在空中处在同一条抛物线上
C．在空中，第1、2两球间的距离保持不变
D．相邻两球的落地间距相等
解析： 释放的每个小球都做平抛运动。水平速度与飞机的飞行速度相等，每个小球落地前都位于飞机的正下方，即处在同一条竖直线上，如图所示。
第1、2球在空中的间距为
Δh＝g(t＋1)2－gt2＝g(2t＋1)
可见，Δh随时间的增加而增大，
相邻两球落地时的间距为
Δx＝v0(t＋1)－v0t＝v0
可见，Δx与下落时间无关。
综上所述，正确选项为A、D。
答案： AD
3．[平抛规律推论的应用]
(2017·宁波模拟)如图所示，在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O以不同的初速度将小球水平抛出，其中OA沿水平方向，则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线( )
A．交于OA上的同一点
B．交于OA上的不同点，初速度越大，交点越靠近O点
C．交于OA上的不同点，初速度越小，交点越靠近O点
D．因为小球的初速度和OA距离未知，所以无法确定
解析： 小球虽然以不同的初速度抛出，但小球碰到墙壁时在水平方向的位移均相等，为O、A两点间的距离，由平抛运动的推论易知，所有小球在碰到墙壁前瞬间其速度的反向延长线必交于水平位移OA的中点，选项A正确。
答案： A
方法技巧 “化曲为直”思想在平抛运动中的应用
(1)根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动；
①水平方向的匀速直线运动；
②竖直方向的自由落体运动。
(2)运用运动合成的方法求出平抛运动的速度、位移等。
考点二 多体平抛运动问题
1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
[两个小球从不同高度抛出，落到同一高度上]如图所示，A、B两个小球从同一竖直线上的不同位置水平抛出，结果它们同时落在地面上的同一点C，已知A离地面的高度是B离地面高度的2倍，则A、B两个球的初速度之比为vA∶vB为( )
A．1∶2 B．2∶1
C.∶1 D．∶2
解析： 由于A、B两球离地面的高度之比为2∶1，由t＝ 可知，它们落地所用的时间之比为∶1，由于它们的水平位移x相同，由v＝可知，初速度之比为1∶＝∶2，D项正确。
答案： D
[考法拓展1] [小球从同一高度下落到不同高度]
(2017·内蒙古呼伦贝尔模拟)如图所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体，分别落到a、b、c三点，则三个物体运动的初速度va、vb、vc的关系和三个物体运动的时间ta、tb、tc的关系是( )
A．va＞vb＞vc，ta＞tb＞tc
B．va＜vb＜vc，ta＝tb＝tc
C．va＜vb＜vc，ta＞tb＞tc
D．va＞vb＞vc，ta＜tb＜tc
解析： 三个平抛运动竖直方向都为自由落体运动，由h＝gt2可知，a的运动时间最长，c的运动时间最短；由水平方向为匀速直线运动可知c的初速度最大，a的初速度最小，C正确。
答案： C
[考法拓展2] [平抛中的相遇]
(2017·江西省重点中学协作体联考)如图所示，将a、b两小球以大小为20 m/s的初速度分别从A、B两点相差1 s先后水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10 m/s2，则抛出点A、B间的水平距离是( )
A．80m B．100 m
C．200 m D．180 m
解析：
a、b两球在空中相遇时，a球运动t秒，b球运动了(t－1)秒，此时两球速度相互垂直，如图所示，由图可得：
tan α＝＝
解得：t＝5 s(另一个解舍去)，故抛出点A、B间的水平距离是v0t＋v0(t－1)＝180 m，D正确。
答案： D
[变式训练]
(多选)如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
解析： 三个小球a、b和c水平抛出以后都做平抛运动，根据平抛运动规律可得：x＝v0t，y＝gt2，所以t＝ ，由yb＝yc＞ya，得tb＝tc＞ta，选项A错，B对；又根据v0＝x ，因为yb＞ya，xb＜xa，yb＝yc，xb＞xc，故va＞vb，vb＞vc，选项C错，D对。
答案： BD
考点三 平抛运动中的临界问题
处理平抛运动中的临界问题要抓住两点
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)要用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动的临界问题。
[乒乓球运动中的临界问题](2015·课标全国Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A. ＜v＜L1
B. ＜v＜
C. ＜v＜
D. ＜v＜
解析： 当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小。由平抛运动规律，＝v1t,2h＝gt2，联立解得：v1＝ 。当发射机正对右侧台面的某个角发射，乒乓球恰好到达角上时，发射速度最大。由平抛运动规律， ＝v2t′，3h＝gt′2，联立解得：v2＝ 。即速度v的最大取值范围为 ＜v＜ ，选项D正确，选项A、B、C错误。
答案： D
[考法拓展] 在[典例2]中如果将发射机发球的方向改为沿水平向右的方向，则v的最大取值范围是多少？
解析： 若乒乓球恰好过网，根据3h－h＝gt，得t1＝ ，水平位移的最小值xmin＝，则最小速度v1＝＝ 。若球与球台边缘恰好相碰，根据3h＝gt，得t2＝ ，水平位移的最大值为x
max＝L1，则最大速度v2＝＝L1，则
> B．<<
C.＝＝ D．条件不足，无法比较
解析： 设小球落到斜面时速度方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝＝＝＝＝2tan θ，所以＝＝，故选项C正确。
答案： C
1．(2016·海南单科·1)在地面上方某一点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( )
A．速度和加速度的方向都在不断变化
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
解析： 由于物体做平抛运动，故物体只受重力作用，加速度不变，速度的大小和方向时刻在变化，故选项A错误；设某时刻速度与竖直方向夹角为θ，则tan θ＝＝，故随着时间t的变大，tan θ变小，θ变小，选项B正确；根据加速度定义式a＝＝g，得Δv＝gΔt，即在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，故选项C错误；根据动能定理，在相等的时间间隔内，动能的改变量等于重力的功，即WG＝mgh，而平抛运动在相等时间内竖直方向上的位移不相等，故选项D错误。
答案： B
2．(2017·河南洛阳统考)如图所示，离地面高h处有甲、乙两个小球，甲以初速度v0水平射出，同时乙以大小相同的初速度v0沿倾角为45°的光滑斜面滑下，若甲、乙同时到达地面，则v0的大小是( )
A. B．
C. D．2
解析： 甲球做平抛运动，由h＝gt2，解得飞行时间t1＝。乙球下滑加速度a＝gsin 45°＝g。由匀变速直线运动规律，h＝v0t2＋at，根据题述，甲、乙同时到达地面，t1＝t2，联立解得v0＝，选项A正确。
答案： A
3．(多选)(2017·温州中学期末)如图所示，水平地面的上空有一架飞机在进行投弹训练，飞机沿水平方向做匀加速直线运动。当飞机飞经观察点B点正上方A点时投掷一颗炸弹，经时间T炸弹落在观察点B正前方L1处的C点，与此同时飞机投掷第二颗炸弹，最终落在距观察点B正前方L2处的D点，且L2＝3L1，空气阻力不计。以下说法正确的有( )
A．飞机第1次投弹时的速度为
B．飞机第2次投弹时的速度为
C．飞机水平飞行的加速度为
D．两次投弹时间间隔T内飞机飞行距离为
解析： 由运动学规律可知第1次投弹时的速度v1＝，故A正确。设飞机加速度为a，第2次投弹时的速度为v2，由匀变速直线运动规律可知v1T＋aT2＝L2－(v1＋aT)T，而L2＝3L1得a＝，v2＝v1＋aT＝，故B、C错误。两次投弹间隔T内飞机飞行距离x＝v1T＋aT2＝，故D正确。
答案： AD
4．(2017·广西南宁市模拟)如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，O为圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R。两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度v1和v2水平抛出，初速度为v1的小球落到a点所用时间为t1，初速度为v2的小球落到b
点所用时间为t2，a点与C点间的竖直高度大于b点与C点间的竖直高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是( )
A．两小球的速度一定有v1t2
C．不论v1和v2满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上
D．从A点抛出的小球动能的变化量大于从B点抛出的小球动能的变化量
解析： 两个小球均做平抛运动，由题图可知小球落在a点时的水平位移大于落在b点时的水平位移，落在a点时的竖直位移小于落在b点时的竖直位移，由平抛运动规律x＝vt和t＝可知，t1v2，故选项A、B错误；不论v1和v2满足什么关系，根据平抛运动规律的推论“从抛出点 ，任意时刻速度的反向延长线必过水平位移的中点”可知，速度的反向延长线不会过圆心，所以两小球也都不会垂直打在圆环上，故选项C正确；由题图可知小球落在b点时重力做的功大于落在a点时重力做的功，根据动能定理，从A点抛出的小球动能的变化量小于从B点抛出的小球动能的变化量，故选项D错误。
答案： C
5．(2016·浙江理综·23)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系。
解析： (1)打在中点的微粒 h＝gt2①
t＝ ②
(2)打在B点的微粒 v1＝，2h＝gt③
v1＝L ④
同理，打在A点的微粒初速度 v2＝L ⑤
微粒初速度范围 L ≤v≤L ⑥
(3)由能量关系 mv＋mgh＝mv＋2mgh⑦
代入④、⑤式 L＝2h⑧
答案： (1) (2)L ≤v≤L (3)L＝2h
课时作业
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(1～4题为单项选择题，5～7题为多项选择题)
1.
如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方的P点将一小球以水平速度v0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是( )
A. B．
C. D．
解析： 小球做平抛运动，tan θ＝＝，则时间t＝，选项A、B错误；在水平方向上有Rsin θ＝v0t，则t＝，选项C正确，D错误。
答案： C
2.
(2017·北京东城区模拟)如图所示，在一次空地联合军事演习中，离地面H高处的飞机以水平对地速度v1发射一颗炸弹轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度v2竖直向上发射一颗炮弹拦截(炮弹运动过程视为竖直上抛)，设此时拦截系统与飞机的水平距离为x，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2
C．v1＝v2 D．v1＝v2
解析： 炮弹拦截成功，即炮弹与炸弹同时运动到同一位置。设此位置距地面的高度为h，则x＝v1t，h＝v2t－gt2，H－h＝gt2，由以上各式联立解得v1＝v2，故C正确。
答案： C
3．(2017·刑台质检)
如图所示，在斜面顶端的A点以速度v平抛一小球，经t1时间落到斜面上B点处，若在A点将此小球以速度0.5v水平抛出，经t2时间落到斜面上的C点处，以下判断正确的是( )
A．AB∶AC＝2∶1 B．AB∶AC＝4∶1
C．t1∶t2＝4∶1 D．t1∶t2＝∶1
答案： B
4．一带有乒乓球发射机的乒乓球台水平台面的长是宽的2倍，中间球网高h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，发射点的高度可调，发射机能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，不计空气阻力，当发射点距台面高度为3h且发射机正对右侧台面的外边角以速度v1发射时，乒乓球恰好击中边角，如图所示；当发射点距台面高度调为H且发射机正对右侧台面以速度v2发射时，乒乓球恰好能过球网且击中右侧台面边缘，则( )
A.＝，＝ B．＝，＝
C.＝，＝ D．＝，＝
解析： 设乒乓球台宽为L，乒乓球的运动是平抛运动，当以速度v1发射时，由平抛规律知3h＝gt， ＝v1t1，联立解得v1＝ ；同理，当以速度v2发射时，H＝
eq f(1,2)gt，2L＝v2t2，H－h＝gt，L＝v2t3，联立解得H＝h，v2＝L ，所以＝，＝，A正确。
答案： A
5.
刀削面是很多人喜欢的面食之一，因其风味独特而驰名中外。刀削面全凭刀削，因此得名。如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片，面片便飞向锅中，若面团到锅上沿水平面的竖直距离为0.8 m，到锅最近的水平距离为0.5 m，锅的半径为0.5 m。要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度可以是下列选项中的哪些(g取10 m/s2)( )
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
解析： 由h＝gt2知，面片在空中的运动时间t＝ ＝0.4 s，而水平位移x＝v0t，故面片的初速度v0＝，将x1＝0.5 m，x2＝1.5 m代入得面片的最小初速度v01＝＝1.25 m/s，最大初速度v02＝＝3.75 m/s，即1.25 m/s≤v0≤3.75 m/s，选项B、C正确。
答案： BC
6.
如图所示，同一竖直线上的A、B两点距地面的高度分别为hA＝1.65 m、hB＝1.2 m。将两个可看作质点的小球a、b分别从A、B两点以一定的初速度水平抛出，两小球在距地面高0.4 m的P点相遇，已知重力加速度g为10 m/s2，则( )
A．小球a、b有可能从A、B两点同时抛出
B．一定是小球a比小球b早0.1 s抛出
C．小球a、b抛出时的初速度大小之比为5∶4
D．小球a、b在P点的竖直分速度大小之比为5∶4
解析： 设小球a、b从抛出到运动到P点所用的时间分别为t1和t2，则由h＝gt2可得t
1＝0.5 s，t2＝0.4 s，因此，欲使两小球同时到达P点，小球a一定比小球b早抛出0.1 s，选项A错误，B正确；设小球a、b抛出时的水平初速度大小分别为vA和vB，两小球在水平方向上运动的距离均为x，则有vA＝，vB＝，故两小球抛出时的初速度大小之比为＝＝，选项C错误；由vy＝gt可得两小球在P点的竖直分速度大小之比为＝＝，选项D正确。
答案： BD
7.
如图所示，小球a从倾角为θ＝60°的固定粗糙斜面顶端以速度v1沿斜面恰好匀速下滑，同时将另一小球b在斜面底端正上方与a球等高处以速度v2水平抛出，两球恰在斜面中点P相遇，则下列说法正确的是( )
A．v1∶v2＝2∶1
B．v1∶v2＝1∶1
C．若小球b以2v2水平抛出，则两小球仍能相遇
D．若小球b以2v2水平抛出，则b球落在斜面上时，a球在b球的右下方
解析：
两球在P点相遇，知两球的水平位移相等，有v1tsin 30°＝v2t，解得v1∶v2＝2∶1，A对，B错；若小球b以2v2水平抛出，如图所示，若没有斜面，将落在B点与P点等高，可知将落在斜面上的A点，由于a、b两球在水平方向上做匀速直线运动，可知a球落在A点的时间小于b球落在A点的时间，所以b球落在斜面上时，a球在b球的右下方，C错，D对。
答案： AD
二、非选择题
8.
如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3 m/s的速度水平抛出，与此同时静止释放顶端的滑块，经过一段时间后小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块。(小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)抛出点O离斜面底端的高度；
(2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ。
解析： (1)设小球击中滑块时的竖直速度为vy，由几何关系得＝tan 37°
设小球下落的时间为t，竖直位移为y，水平位移为x，由运动学规律得
vy＝gt，y＝gt2，x＝v0t
设抛出点到斜面最低点的距离为h，由几何关系得
h＝y＋xtan 37°
由以上各式得h＝1.7 m。
(2)在时间t内，滑块的位移为x′，由几何关系得
x′＝l－，
设滑块的加速度为a，由运动学公式得x′＝at2，
对滑块由牛顿第二定律得
mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma，
由以上各式得μ＝0.125。
答案： (1)1.7 m (2)0.125
