2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题24函数与方程思想、数形结合思想教学案理（含解析）
函数与方程思想、数形结合思想
【2019年高考考纲解读】
数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.
【高考题型示例】
题型一、函数与方程思想在不等式中的应用
函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.
例1.若0
ln x2－ln x1
B.g(x2)，
∴，故选C.
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例2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)<0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式>1的解集为________.
答案 (－∞，0)
例3.已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，则x的取值范围是__________________.
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 ∵t∈[，8]，∴f(t)∈.
问题转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，
当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.
令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈.
问题转化为g(m)在上恒大于0，
则即
解得x>2或x<－1.
例4.若x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是______.
答案 [－6，－2]
解析 当－2≤x<0时，不等式转化为a≤.
令f(x)＝(－2≤x<0)，
则f′(x)＝＝，
故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，
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此时有a≤f(x)min＝f(－1)＝＝－2.
当x＝0时，不等式恒成立.
当00，
设Sn＝f(n)，则f(n)为二次函数，
又由f(7)＝f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n＝12对称，
故Sn取最小值时n的值为12.
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例8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S6＝3，则nSn的最小值为________.
答案 －9
题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.
例9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B
解析 不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，
又可设A(x0，2)，D，
点A(x0，2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①
点A(x0，2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②
点D在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋2＝r2，③
联立①②③，解得p＝4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.
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例10.如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°，且＝3，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，
所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，设|AQ|＝2R，
又＝3，则|OP|＝|PQ|＝R.
双曲线C的渐近线方程是y＝x，A(a，0)，
所以点A到直线y＝x的距离d＝＝，
所以2＝(2R)2－R2＝3R2，
即a2b2＝3R2(a2＋b2)，
在△OQA中，由余弦定理得，
|OA|2＝|OQ|2＋|QA|2－2|OQ||QA|cos 60°＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×＝7R2＝a2.
由得
所以双曲线C的离心率为e＝＝＝＝＝＝.
例11.设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若＝6，则k的值为________.
答案 或
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解析 依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1.
所以k的取值范围为.
例3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为________.
答案 －7
解析 因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.
又当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1＝f(x)与y2＝|cos πx|的图象如图所示.
由图象知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个.
不妨设x1时，只需求出当直线y＝ax和曲线y＝ln x相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a的取值范围是.
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题型五、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.
5.(2018·全国Ⅰ )设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是( )
A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)
C.(－1，0) D.(－∞，0)
答案 D
解析 方法一 ①当即x≤－1时，
f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1].
②当时，不等式组无解.
③当即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.
因此不等式的解集为(－1，0).
④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意.
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0).
故选D.
方法二 ∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示.
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.
此时x≤－1.
当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x).
此时－1＜x＜0.
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综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.
例6.设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________.
答案 [－1，＋∞)
解析 集合A是圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有＝1，又m>0，所以m＝－1，故m的取值范围是[－1，＋∞).
例7.若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案
解析 作出y1＝|x－2a|和y2＝x＋a－1的简图，如图所示.
依题意得故a≤.
例8.已知函数f(x)＝若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围为________.
答案 [0，＋∞)
解析 根据题意知f(x)是一个分段函数，当x≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x＝a；当x<1时，是一个一次函数.当a>1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a<0时，如图(3)所示，此时函数在R上单调递减，不满足题意.综上所述，可得a≥0.
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题型六、数形结合思想在解析几何中的应用
在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
例9.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 B
例10.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
答案 D
解析 如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，
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则OQ⊥PF2.
又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，
所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.
又|PF2|－|PF1|＝2a，
所以|PF2|＝4a.
在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝＝.
例11.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.
答案
解析 因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，
由抛物线的定义可知，△APF的周长为
|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝.
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
例12.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.
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答案 2
解析 连接PC，由题意知圆的圆心C(1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积S△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；
当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，从而|PA|＝＝2，所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.
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