高考物理考前回归教材之电磁学三

高考物理考前回归教材之电磁学三

高考物理考前回归教材之电磁学三 1．一辆电瓶车，质量为 500 kg,蓄电池向直流电动机提供 24 V 的恒定电压，当电瓶车在 水平地面上以 0. 8 m/s 的速度匀速行驶时，通过电动机的电流为 5 A，设车所受的阻力是车 重的 0.02 倍（g 取 10m/s 2 )，则此电动机的电阻为多少？ 解：由能的转化与守恒定律得 6.12 2    I kmgvIUrkmgvrIIU Ω。 2．如图所示，要使一质量为 m、电量为＋q 的小球能水平沿直线加 速，需要外加一匀强电场．已知平行金属板间距为 d，与水平面夹角为 ， 要使此小球从 A 板左端沿直线从静止沿水平方向被加速，恰从 B 板的右 端射出，求两金属板间所加电压 U 是多少？小球从 B 板右端射出时的速 度是多大？（重力加速度为 g） 解：对小球进行受力分析，由题意可知合力应水平向右，故竖直方 向上有 mgqE cos ，即 cosq mgE  ，又 cosq mgdEdU  ， 由动能定理得 2 2 1 mvqU  ，则 cos 2gdv  。 3．电子所带电荷量最早是由美国科学家密立根通过油滴实验测出的．油滴实验的原理如 图所示，两块水平放置的平行金属板与电源连接，上、下板分别带正、 负电荷．油滴从喷雾器喷出后，由于摩擦而带电，油滴进入上板中央小 孔后落到匀强电场中，通过显微镜可以观察到油滴的运动情况．两金属 板间的距离为 d，忽略空气对油滴的浮力和阻力． (1)调节两金属板间的电势差 U，当 u=U0时，使得某个质量为 ml的油滴恰好做匀速运动．该 油滴所带电荷量 q 为多少？ (2)若油滴进入电场时的速度可以忽略，当两金属板间的电势差 u=U 时，观察到某个质量 为 m2的油滴进入电场后做匀加速运动，经过时间 t 运动到下极板，求此油滴所带电荷量 Q. 解：(1)油滴匀速下落过程中受到的电场力和重力平衡，可见所带电荷为负电荷，即 gm d U q 1 0  ，得 0 1 U dgmq  (2)油滴加速下落，若油滴带负电，电荷量为 Q1，则油滴所受到的电场力方向向上，设此 时的加速度大小为 a1，由牛顿第二定律得 2 11212 2 1, tadam d UQgm  ，得 )2( 2 2 1 t dg U dmQ  ． 若油滴带正电，电荷量为 Q2，则油滴所受到的电场力方向向下，设此时的加速度大小为 a2， 由牛顿第二定律得 2 22222 2 1, tadam d UQgm  ，即 )2( 2 2 2 g t d U dmQ  。 4．如图所示，交流发电机电动势的有效值 E=20 V,内阻不计， 它通过一个 R=6Ω的指示灯连接变压器．变压器输出端并联 24 只彩 色小灯泡，每只灯泡都是“6 V 0. 25 W",灯泡都正常发光，导线电阻不计．求： (1)降压变压器初级、次级线圈匝数比， (2)发电机的输出功率． 解：彩色小灯额定电流 A U PI L 24 1  ,次级线圈总电流 I2 = 24 LI =1 A. 变压器输入功率等于 I1U1= I2U2=6 W, 变压器原线圈电路中，利用欧姆定律可得 1 1 11 66 I I RIUE  ， 代人 E 值解得 AI 3 1 1  ( AI 31  应舍去，据题意是降压变压器，应 I10,b>O)．若撤去磁场则小球落在 xz 平面上的 P(l，0，0)点．已知重力加速度大小为 g. (1)已知匀强磁场方向与某个坐标轴平行，请确定其可能的具体方 向； (2)求出电场强度的大小； (3)求出小球落至 N 点时的速率． 解：(1)－x 或－y 方向． (2) qH mglE  （提示：撤去磁场后，小球释放后沿直线 MP 方向运动，电场力和重力的合 力沿 MP 方向）． (3) H lHglv )(2 22   （提示：全过程只有电场力和重力做功，由动能定理可求末速率）． 12．如图所示，为某一装置的俯视图，PQ、MN 为竖直放置的很长 的平行金属薄板，两板间有匀强磁场，它的磁感应强度大小为 B，方 向竖直向下，金属棒 AB 搁置在两板上缘，并与两板垂直良好接触，现 有质量为 m、带电量大小为 q，其重力不计的粒子，以初速度 v0水平 射入两板间．问： (1)金属棒 AB 应朝什么方向、以多大的速度运动，可以使带电粒子做匀速运动？ (2)若金属棒运动突然停止，带电粒子在磁场中继续运动，从这刻开始位移第一次达到 mv0/(qB）时的时间间隔是多少？（磁场足够大） 解：(1)棒 AB 向左运动．以正电荷为例：受洛伦兹力方向，垂直指向板 MN，则电场方向垂 直指向板 PQ，据右手定则可知棒 AB 向左运动． l BlvEBqvEq  ,0 ，则 0vv  。 (2) R vmqvB 2  ，带电粒子运动半径 qB mv r 0 。当位移大小第一 次达到 qB mv0 时，如图所示带电粒子转过的圆心角为 600 ，其运动时间 6 Tt  ，则 r T mqvB 2 24  。 故带电粒子运动周期 qB mT 2  ，运动时间 qB mt 3   。 13．如图所示，在竖直平面内建立 xOy 直角坐标系，Oy 表示竖直向上的方向．已知该平面 内存在沿 x 轴负方向的区域足够大的匀强电场，现有一个带电 量为 2. 5×10 -4 C 的小球从坐标原点 O 沿 y 轴正方向以 0. 4 kg·m/s 的初动量竖直向上抛出，它到达的最高点位置为图中的 Q点，不计空气阻力，g取 10 m/s 2 . (1)指出小球带何种电荷； (2)求匀强电场的电场强度大小； (3)求小球从 O 点抛出到落回 z 轴的过程中电势能的改变量． 解：(1）小球带负电． (2）小球在 y 方向上做竖直上抛运动，在 x 方向做初速度为零的匀加速运动，最高点 Q 的 坐标为(1. 6，3.2)，则 kgmmvpsmgyv 05.0,,/82 0 2 0  又 CNEgty m qEtatx /101, 2 1, 22 1 32 2 2  。 (3）由 2 2 1 gty  可解得上升阶段时间为 st 8.0 ，所以全过程时间为 stt 6.12  。 x 方向发生的位移为 m m tqEtax 4.6 22 1 2 2    。 由于电场力做正功，所以电势能减少，设减少量为△E，代入数据得△E=qEx=1.6 J. 14．如图甲所示，A、B 两块金属板水平 放置，相距为 d=0. 6 cm，两板间加有一周 期性变化的电压，当 B 板接地（ 0B ） 时，A 板电势 A ，随时间变化的情况如图乙 所示．现有一带负电的微粒在 t=0 时刻从 B 板中央小孔射入电场，若该带电徽粒受到的电场 力为重力的两倍，且射入电场时初速度可忽略不计．求： (1)在 0～ 2 T 和 2 T ～T这两段时间内微粒的加速度大小和方向； (2))要使该微粒不与 A 板相碰，所加电压的周期最长为多少（g=10 m/s 2 ）． 解：(1)设电场力大小为 F，则 F= 2mg，对于 t=0 时刻 射入的微粒，在前半个周期内，有 g m mgmgamamgF    2, 11 ，方向向上． 后半个周期的加速度 a2满足 g m mgamamgF 33, 22  ，方向间下． (2)前半周期上升的高度 22 11 2 1) 2 ( 2 1 gTTah  ．前半周期微粒的末速度为 gT 2 1 ．后半 周期先向上做匀减速运动，设减速运动时间 t1，则 3gt1= gT 2 1 ， 61 Tt  ．此段时间内上升的 高度 24 ) 6 (3 2 1 2 1 2 22 122 gTTgtah  ， 则上升的总高度为 6248 222 21 gTgTgThh  。 后 半 周 期 的 32 1 TtT  时 间 内 ， 微 粒 向 下 加 速 运 动 ， 下 降 的 高 度 6 ) 3 (3 2 1 2 2 3 gTTgh  。 上述计算表明，微粒在一个周期内的总位移为零，只要在上升过程中不与 A 板相碰即可， 则 dhh  21 ，即 dgT  6 2 . 所加电压的周期最长为 s g dTm 21066  。 15．如图所示，由粗细均匀的电阻丝绕成的矩形导线框 abcd 固定于 水平面上，导线框边长 ab =L, bc =2L，整个线框处于竖直方向的匀强 磁场中，磁场的磁感应强度为 B，导线框上各段导线的电阻与其长度成 正比，已知该种电阻丝单位长度上的电阻为，的单位是Ω/m．今在 导线框上放置一个与 ab 边平行且与导线框接触良好的金属棒 MN,MN 的电阻为 r，其材料与导 线框的材料不同．金属棒 MN 在外力作用下沿 x 轴正方向做速度为 v 的匀速运动，在金属棒从 导线框最左端（该处 x=0)运动到导线框最右端的过程中： (1)请写出金属棒中的感应电流 I 随 x 变化的函数关系式； (2)试证明当金属棒运动到 bc 段中点时，MN 两点间电压最大，并请写出最大电压 Um的表 达式； (3)试求出在此过程中，金属棒提供的最大电功率 Pm； (4)试讨论在此过程中，导线框上消耗的电功率可能的变化情况． 解：(1) E= BLv, )25)(2(6 6 6 )25)(2( 2 xLxLLr vBL L xLxLr BLv rR EI         (2)M、N 两点间电压 R r ER rR EU     1 ，当外电路电阻最大时，U 有最大值 mU 。. 因为外电路电阻 L xLxLR 6 )25)(2(    ，当 xLxL 252  ，即 x=L 时，R 有最大值， 所以 x=L 时，即金属棒在 bc 中点时 M、N 两点间电压有最大值，即 Lr vBLU m   32 3 2   。 (3) rL E rL EPm 65 6 6 5 22      (4）外电路电阻  L LL LLR 6 5 5 5 min     ，  L LL LLR 2 3 33 33 max     。 当 r< minR ，即 r< L 6 5 时，导线框上消耗的电功率先变小，后变大；当 minR < r< maxR ， 即 L 6 5 maxR ， 即 r> L 2 3 时，导线框上消耗的电功率先变大，后变小． 16．在电场强度为 E的匀强电场中，有一条与电场线平行的几何线，如图中虚线所示，几 何线上有两个静止的小球 A 和 B（均可看做质点），两小球的质量均为 m，A球带电荷量＋Q,B 球不带电，开始时两球相距 L，在电场力的作用下，A 球开始沿直线运动，并与 B 球发生对碰 撞，碰撞中 A、B两球的总动能无损失，设在各次碰撞过程中，A、B 两球间无电量转移，且不 考虑重力及两球间的万有引力，问： (1)A 球经过多长时间与 B球发生第一次碰撞？ (2)第一次碰撞后，A、B 两球的速度各为多大？ (3)试问在以后 A、B 两球有再次不断地碰撞的时间吗？如果相等， 请计算该时间间隔 T，如果不相等，请说明理由． 解：(1)A 球在电场力的作用下做匀加速直线运动，则 . 2 1, 2atL m QE m Fa  解之得 .2 QE mLt  (2 )A 球与 B球碰撞，动量守恒，则  BAA mvmvmv 根据题意，总能量不损失，则 22 2 2 1  BAA mvmvmv 联立解得 m QELvvv ABA 2,0  (3)取 B 球为参考系，A、B碰撞后，A球以 Av 向左做匀减速直线运动，经时间 t 后，速度 减为零，同时与 B球相距 L，然后 A 球向右做匀加速直线运动，又经过时间 t 后，速度增为 Av ， 与 B 球发生第二次碰撞，同理可证，每次总能量无损失的碰撞均为互换速度，则以后第三、 四次碰撞情况可看成与第一、二次碰撞的情况重复，以此类推可知 A、B两球不断碰撞的时间 间隔相等，均为 T=2t=2 .2 QE mL 17．真空中有一半径为 r 的圆柱形匀强磁场区域，方向垂直纸面向里，Ox 为过边界上 O 点的切线，如图所示，从 O 点在纸面内向各个方向发射速率均为 v0的电子，设电子间相互作 用忽略，且电子在磁场中偏转半径也为 r，已知电子的电量为 e，质量为 m. (1)速度方向分别与 Ox 方向夹角成 60 0 和 90 0 的电子，在磁场中的运动时间分别为多少？ (2)所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？ (3)令在某一平面内有 M、N 两点，从 M 点向平面内各个方向发射速率均为 v0的电子，请设 计一种匀强磁场分布，其磁感应强度大小为 B，使得由 M点发出的电子都能够汇聚到 N 点． 解：(1）如图所示，入射时电子速度与 x 轴夹角为 ，无论入射的 速度方向与 x 轴的夹角为何值，入射点均为 O，射出点均为 A，磁场圆 心 O1和轨道圆心 O2一定组成边长为 r 的菱形．因 O1O⊥Ox , OO2垂直于 入射速度，故∠OO2 A= .即电子在磁场中所转过的角度一定等于入射时 电子速度与 Ox 轴的夹角． 当 = 60 0 时， v rTt 361   ；当 = 90 0 时， v rTt 242   。 (2）因∠OO2 A= ，故 O2A⊥Ox．而 O2A 与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一 定与 Ox 轴方向平行，即所有的电子射出圆形磁场时，速度方向均与 Ox 轴相同． (3)上述的粒子路径是可逆的，(2)中从圆形磁场射出的这些速 度相同的电子再进入一相同的匀强磁场后，一定会聚焦于同一点， 磁场的分布如图所示，对于从 M 点向 MN 连线上方运动的电子，两 磁场分别与 MN 相切，M、N为切点，且平行于两磁场边界圆心的连 线 O1O2．设 MN 间的距离为 l，所加的磁场的边界所对应圆的半径 为 r，故应有 2r≤l，即 eB mv2 ≤l，所以所加磁场磁感应强度应满 足 B≥ el mv2 . 同理，对于从 M 点向 MN 连线下方运动的电子，只要使半径相同的两圆形磁场与上方的两 圆形磁场位置 MN 对称且磁场方向与之相反即可． 说明：只要在矩形区域 M1N1N2 M2内除图中 4个半圆形磁场外无其他磁场（其中 M1, M2点也 无磁场），矩形 M1N1M2N2区域外的磁场均可向其余区域扩展． 18．如图所示，xOy 平面内的圆O与 y 轴相切于坐标原点 O．在该圆形区 域内，有与 y 轴平行的匀强电场和垂直于圆面的匀强磁场一个带电粒子（不 计重力）从原点 O 沿 x 轴进入场区，恰好做匀速直线运动，穿过场区的时间 为 To．若撤去磁场，只保留电场，其他条件不变，该带电粒子穿过场区的时 间为 To /2．若撤去电场，只保留磁场，其他条件不变．求：该带电粒子穿过 场区的时间． 解：设电场强度为 E，磁感应强度为 B;圆O的半径为 R;粒子的电量为 q，质量为 m，初速 度为 v0．同时存在电场和磁场时，带电粒子做匀速直线运动有 RvTqEqvB 2, 0  ， 只存在电场时，粒子做类平抛运动，有 200 ) 2 ( 2 1, 2 T m qEy T vx  ， 由以上式子和图可知 x=y=R,粒子从图中的 M点离开电场． 由以上式子得 2 0 8 T mRqvB  ，只存在磁场时，粒子做匀速圆周运动， 从 图 中 N 点 离 开 磁 场 ， P 为 轨 迹 圆 弧 的 圆 心 ． 设 半 径 为 r ， 则 R vmqvB 2  ， ,2tan, 2  r RRr  所以，粒子在磁场中运动的时间为 2arctan 2 2 0    T v rt  。 19．有界匀强磁场区域如图甲所示，质量为 m、电阻 为 R 的长方形矩形线圈 abcd 边长分别为 L 和 2L，线圈一 半在磁场内，一半在磁场外，磁感强度为 B0. t0 = 0 时刻 磁场开始均匀减小，线圈中产生感应电流，在磁场力作用 下运动，v—t 图象如图乙所示，图中斜向虚线为 O点速度 图线的切线，数据由图中给出，不考虚重力影响，求： (1)磁场磁感应强度的变化率； (2) t2时刻回路电功率． 解：(1)由 v—t 图可知，刚开始 t=0 时刻线圈加速度为 1 0 t v a  ，此时感应电动势 t BL t E       2 ，则 t B R L R EI    2 。 线圈此刻所受安培力为 F=BIL= , 3 0 ma t B R LB    得 3 10 0 LtB Rmv t B    。 (2)线圈在 t2时刻开始做匀速直线运动，有两种可能： ①线圈没有完全进入磁场，磁场就消失，所以没有感应电流，回路电功率 P=0. ②磁场没有消失，但线圈完全进入磁场，尽管有感应电流，但所受合力为零，同样做匀速 直线运动． 22 0 2 0 2 0 2 2 22 /)( LtB Rvm R t BL R EP     20．一电阻为 R 的金属圆环，放在匀 强磁场中，磁场与圆环所在平面垂直，如 图(a)所示，已知通过圆环的磁通量随时间 t 的变化关系如图(b）所示，图中的最大 磁通量 0 和变化周期 T 都是已知量，求： (1)在 t=0 到 t= T/4 的时间内，通过金属圆环横截面的电荷量 q (2)在 t=0 到 t=2T 的时间内，金属环所产生的电热 Q. 解：(1)由磁通量随时间变化的图线可知在 t=0 到 t=T/4 时间内，环中的感应电动势为 t E     1 ，在以上时段内，环中的电流为 R EI 1 1  ，则在这段时间内通过金属环某横截面的 电量 tIq 1 ，联立求解得 R q 0 。 (2）在 t=T/4 到 t=T/2 和在 t=3T/4 到 t=T 时间内，环中的感应电动势 E1=0；在 t=T/2 到 t=3T/4 时间内，环中的感应电动 T E 0 3 4  ，由欧姆定律可知在以上时段内，环中的电流为 TR I 0 3 4  。在 t=0 到 t=2T 时间内金属环所产生的电热为 )(2 3 2 33 2 1 RtIRtIQ  。 联立求解得 Q=16 RT 2 0 ． 21．如图所示，在直角坐系中的第Ⅰ象限中存在沿 y轴负方向的匀强电场，在第Ⅳ象限中 存在垂直纸面的匀强磁场，一质量为 m、带电量为 q 的粒子（不计重力）在 y 轴上的 A (0,3) 以平行 x 轴的初速度 v0=120 m/s 射入电场区，然后从电场区进 入磁场区，又从磁场区进入电场区，并通过 x 轴上 P 点（4. 5,0） 和 Q 点（8,0）各一次．已知该粒子的荷质比为 kgC m q /108 ， 求磁感应强度的大小与方向？ 解：(1)若先运动到 P 再运动到 Q．则 2 0 2 1, aty v Lt  ， ,/160 smatv y  则 v=200 m/s, tan = 3 4 ． 由几何关系得 m PQ r 16 35 sin 2 1   。 由 R vmqvB 2  得 TTB 66 1091.010 35 32   ,方向垂直纸面向里． (2)若先运动到 Q 再运动到 P，则 2 0 2 1, aty v Lt  ， ,/90 smatv y  tan = 4 3 ， mr 12 35  ． TTB 66 1051.010 35 18   ，垂直底面向外· 22．如图所示，在地面附近有一范围足够大的互相正交的匀强电 场和匀强磁场．匀强磁场的磁感应强度为 B，方向水平并垂直纸面向 外，一质量为 m、带电量为－q的带电微粒在此区域恰好做速度大小为 v的匀速圆周运动．（重力加速度为 g） (1)求此区域内电场强度的大小和方向； (2)若某时刻微粒运动到场中距地面高度为 H 的 P 点，速度与水平方向成 45 0 ，如图所示．则 该微粒至少须经多长时间运动到距地面最高点？最高点距地面多高？ (3)在(2)问中微粒运动 P 点时，突然撤去磁场，同时电场强度大小不变，方向变为水平向 右，则该微粒运动中距地面的最大高度是多少？ 解：(1)带电微粒在做匀速圆周运动，电场力与重力应平衡，有 mg=Eq，即 E= mg/q，方向 竖直向下． (2) 粒子做匀速圆周运动，轨道半径为 R，如图所示。 R vmqvB 2  ， 最高点与地面的距离为 )45cos1( 0 RHH m ， 解得 ) 2 21(  Bq mvHH m 。 该微粒运动周期为 T= Bq m2 , 运动至。最高点所用时间为 Bq mTt 4 3 8 3   . (3)设粒子上升高度为 h，由动能定理得 20 2 1045cot mvEqhmgh  ， 解得 g v Eqmg mvh 4)(2 22    。 微粒离地面最大高度为 H+ g v 4 2 。 23．如图甲所示，由均匀电阻丝做成的正方形线框 abcd 的电阻为 R,ab=bc=cd=da=l，现将 线框以与 ab 垂直的速度 v匀速穿过一宽度为 2l、磁感应强度为 B的匀强磁场区域，整个过程 中 ab、cd 两边始终保持与边界平行，令线框的 cd 边刚与磁场左边界重合时 t=0，电流沿 abcda 流动的方向为正． (1)求此过程中线框产生的焦耳热； (2)在图乙中画出线框中感应电流随时间变化的图象； (3)在图丙中画出线框中 a、b 两点间电势差 Uab随时间 t 变化的图象． 解：（1）ab 或 cd 切割磁感线所产生的感应电动势为 BlvE  ，对应的感应电流为 R Blv R EI  ,ab 或 cd 所受的安培 R vlBBIlF 22  ．外力所做的功为 W= R vlBFl 32 22  ， 由能的转化和守恒定律可知，线框匀速拉出过程中所产生的焦耳热应与外力所做的功相等， 即 Q=W= R vlB 32 2 。 (2) 今 R BlvI 0 ，画出的图象分为三段，如图所示： t=0～ 0, Ii v l  ； t= v l ～ 0,2 Ii v l  ； t= v l2 ～ 0,3 Ii v l  。 (3)今 U0 =Blv, 画出的图象分为三段，如图所示： t=0～ 4444 , 0UBlvER R Eu v l ab  ； t= v l ～ 0,2 UBlvu v l ab  ； t= v l2 ～ ,3 v l 4 3 4 3 4 3 4 3 0UBlvER R Euab  。 24．如图甲所示，水平放置的上、下两平行金属板，板长约为 0. 5 m，板间电压 u随时间 t呈正弦规律变化，函数图象如图乙所示．竖直虚线 MN 为两金属板右边缘的连线，MN 的右边 为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，现在带正电的粒子连续不断的以速度 v0=2×10 5 m/s 沿两板间的中线 OO  从 O 点平行金属板射入电场中．已知带电粒子的荷质比为 kgC m q /108 ,粒子的重力和粒子间的相互作用力均忽略不计． (1)设 t=0. 1 s 时刻射入电场的带电粒子恰能从平行金属板右边缘射出电场，进入磁场．求 该带电粒子射出电场时速度的大小？ (2)对于 t=0. 3 s 时刻射入电场的粒子，设其射入磁场的入射点和从磁场射出的出射点的 间距为 d，试用题中所给物理量的符号（v0 、m、q、B）表示 d. 解：(1)由于粒子速度很大，可以认为粒子在匀强电场 u 中做匀加速运动，由动能定理得 2 0 2 2 1 2 1 2 mvmv u q m  解得 smv /103 5 . (2）如图所示，设圆周运动的半径为 r,粒子在磁场中运动的速度为 v。由 r vmqvB 2  得 cos2, rd Bq mvr  ,v 的水平分量与 v0相等，则  dvv ,cos 0 Bq mv02 。 25．如图所示，在 xOy 平面内的第Ⅲ象限中有沿－y 方向的匀强电 场，场强大小为 E．在第 I 和第 II 象限有匀强磁场，方向垂直于坐标平 面向里．有一个质量为 m，电荷量为 e的电子，从 y轴的 P 点以初速度 v0垂直于电场方向进入电场（不计电子所受重力），经电场偏转后，沿 着与 x 轴负方向成 45 0 角进入磁场，并能返回到原出发点 P. (1)简要说明电子的运动情况，并画出电子运动轨迹的示意图； (2)求 P 点距坐标原点的距离； (3)电子从 P 点出发经多长时间再次返回 P 点？ 解：(1)轨迹如图中虚线所示．设 sOP  ，在电场中偏转 45 0 ， 说明在 M 点进入磁场时的速度是 02v ，由动能定理知电场力做功 2 02 1 mvEes  ，得 t v s 2 0 ，由 tvOM 0 ，可知 sOM 2 ．由对 称性，从 N 点射出磁场时速度与 x 轴也成 45 0 ，又恰好能回到 P 点，因此 sON  ．可知在磁 场中做圆周运动的半径 sR 25.1 ； (2) eE mv s 2 2 0 ； (3）在第Ⅲ象限的平抛运动时间为 eE mv v st 0 0 1 2  ，在第 IV 象限直线运动的时间为 eE mv v st 22 2 0 0 3  ， 在第 I、Ⅱ象限运动的时间是 eE mvsR v R t 4 23 2 2 3, 2 2 4 3 0 0 2     ，所以 eE mv t 8 9 0 2   因此 eE mv tttt 8 3 )34( 0 321  ． 26．如图所示，在方向竖直向上的磁感应强度为 B 的匀强磁场 中有两条光滑固定的平行金属导轨 MN、PQ，导轨足够长，间距为 L，其电阻不计，导轨平面与磁场垂直，ab、cd 为两根垂直于导轨 水平放置的金属棒，其接入回路中的电阻分别为 R，质量分别为 m， 与金属导轨平行的水平细线一端固定，另一端与cd棒的中点连接， 细线能承受的最大拉力为 T，一开始细线处于伸直状态，ab 棒在平行导轨的水平拉力 F 的作 用下以加速度 a 向右做匀加速直线运动，两根金属棒运动时始终与导轨接触良好且与导轨相 垂直． (1)求经多长时间细线被拉断？ (2)若在细线被拉断瞬间撤去拉力 F,求两根金属棒之间距离增量△x 的最大值是多少？ 解：(1)ab 棒以加速度 a 向右运动，当细线断时，ab 棒运动的速度为 v，产生的感应电动 势为 E= BLv, 回路中的感应电流为 I= E/2R, cd 棒受到的安培力为 FB=BIL, 经 t 时间细线被拉断，得 FB=T,v=at, 联立解得 t=2RT/(B 2 L 2 a). (2）细线断后，ab 棒做减速运动，cd 棒做加速运动，两棒之间的距离增大，当两棒达相 同速度 v而稳定运动时，两棒之间的距离增量△x 达到最大值，整个过程回路中磁通量的变化 量为  = BL△x， 由动量守恒定律得 mv=2m v , 回路中感应电动势的平均值为 t E     1 , 回路中电流的平均值 I= El /2R, 对于 cd 棒，由动量定理得 BIL t =m v , 联立解得 44 22 LR TmRx  . 27．如图所示，坐标系 xOy 在竖直平面内，空间有沿水平方向垂 直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B,在 x>0 的空间里有沿 x轴正方向的匀强电场，场强的大小为 E，一个带正电的小球经过图中 的 x 轴上的 A 点，沿着与水平方向成 = 300角的斜向下直线做匀速运 动，经过 y轴上的 B 点进人 x<0 的区域，要使小球进入 x<0 区域后能 在竖直面内做匀速圆周运动，需在 x<0 区域另加一匀强电场，若带电小球做圆周运动通过 x 轴上的 C 点，且 OCOA  ，设重力加速度为 g，求： (1)小球运动速率的大小； (2)在 x<0 的区域所加电场大小和方向； (3)小球从 B 点运动到 C 点所用时间及OA的长度． 解：(1）小球从 A 运动到 B 的过程中，小球受重力、电场力和洛伦兹力作用而处于平衡状 态，由题设条件知 Bqv qE 030sin ，所以小球的运动速率为 B Ev 2  。 (2)小球在 x<0 的区域做匀速圆周运动，则小球的重力与所受的电场力平衡，洛伦兹力提 供做圆周运动的向心力．则 Eqmg  ，又 tan 300= mg qE ． 所以 EE 3 ，方向竖直向上． (3）如图所示，连接 BC，过 B作 AB 的垂线交 x轴于O．因为 =300， 所以在△ABO中∠AOB=600 ,又 OCOA  ，故∠OCB= =30 0 ，所以∠ CBO=300 , BOCO  ，则O为小球做圆周运动的圆心． 设小球做圆周运动的半径为 R,周期为 T，则 BOCO  =R, 且 R vmqvB 2  , Bq m v RT Bq mvR  22,  ， 由于∠COB=1200，小球从点 B运动到点 C的时间为 Bq mTt 3 2 3 1 1   ， 又∠OBO=300 ，所以 22 1 RBOOO  , 所以 2 3 2 RRROC  ，即 . 2 3 2 3 Bq mvROA  又 g E q m 3  ，所以 2 2 1 32, 3 32 gB EOA gB Et   。 28．在某一真空空间内建立 xOy 坐标系，从原点 O 处向第 I 象限发射一荷质比 kgC m q /104 的带正电的粒子（重力不计）．速度大小 v0=10 3 m/s、方向与 x 轴正方向成 30 0 角． (1)若在坐标系 y 轴右侧加有匀强磁场区域，在第 I 象限，磁场方向垂直 xOy 平面向外； 在第Ⅳ象限，磁场方向垂直 xOy 平面向里；磁感应强度为 B=1 T，如图(a）所示，求粒子从 O 点射出后，第 2 次经过 x 轴时的坐标 x1. (2)若将上述磁场均改为如图(b）所示的匀强磁场，在 t=0 到 t= 410 3 2   s 时，磁场方向 垂直于 xOy 平面向外；在 t= 410 3 2   s 到 t= 410 3 4   s 时，磁场方向垂直于 xOy 平面向里， 此后该空间不存在磁场，在 t=0 时刻，粒子仍从 O点以与原来相同的速度 v0射入，求粒子从 O 点射出后第 2 次经过 x 轴时的坐标 x2. 解：(1)粒子在 x 轴上方和下方的磁场中做半径相同的匀速圆周运动，其运动轨迹如图 (a） 所示．设粒子的轨道半径 r，有 mr r vmqvB 1.0, 2  由几何关系知粒子第二次经过 x 轴的坐标 为 x1=2r=0. 2 m. (2)设粒子在磁场中做圆周运动的周期为 T.则 s Bq mT 41022   . 据题意，知粒子在 t=0 到 t s410 3 2   内和在 t s410 3 2   到 t s410 3 4   时间内 在磁场中转过的圆弧所对的圆心角均为 3 2 ，粒子的运动轨迹应如图 (b）所示。 由几何关系得 x2=6r=0.6 m。 29．平行轨道 PQ、MN 两端各接一个阻值 R1=R2 =8 Ω的电热丝，轨道间距 L=1 m,轨道很长， 本身电阻不计，轨道间磁场按如图所示的规律分布，其中每段垂直纸面向里和向外的磁场区 域宽度为 2 cm，磁感应强度的大小均为 B=1 T，每段无磁场的区域宽度为 1 cm，导体棒 ab 本 身电阻 r=1Ω，与轨道接触良好，现让 ab 以 v=10 m/s 的速度向右匀速运动．求： (1)当 ab 处在磁场区域时，ab 中的电流为多大？ab 两端的电压为多大？ab 所受磁场力为 多大？ (2)整个过程中，通过 ab 的电流是否是交变电流？若是，则其有效值为多大？并画出通过 ab 的电流随时间的变化图象． 解：(1)感应电动势 E=BLv=10 V, ab 中的电流 I= rR E 12 =2 A, ab 两端的电压为 U=IR12=8 V, ab 所受的安培力为 F=BIL=2 N，方向向左． (2）是交变电流，ab 中交流电的周期 T=2 v d1 + 2 v d2 =0. 006 s，由交流电有效值的定义， 可得 I 2 R(2 v d1 )= 有效I 2 RT，即 AI 3 62 有效 。 通过 ab 的电流随时间变化图象如图所示． 30．如图所示，在与水平面成 =300角的平面内放置两条平行、 光滑且足够长的金属轨道，其电阻可忽略不计．空间存在着匀强磁 场，磁感应强度 B=0. 20 T，方向垂直轨道平面向上．导体棒 ab、 cd 垂直于轨道放置，且与金属轨道接触良好构成闭合回路，每根导 体棒的质量 m=2. 0×10 -1 kg，回路中每根导体棒电阻 r= 5. 0×10 -2 Ω，金属轨道宽度 l=0. 50 m．现对导体棒 ab 施加平行于轨道向上的拉力，使之匀速向上运动．在导体棒 ab 匀速向上运 动的过程中，导体棒 cd 始终能静止在轨道上．g 取 10 m/s 2 ，求： (1)导体棒 cd 受到的安培力大小； (2)导体棒 ab 运动的速度大小； (3)拉力对导体棒 ab 做功的功率． 解：(1)导体棒 cd 静止时受力平衡，设所受安培力为 安F ，则 安F =mgsin =0. 10 N. (2）设导体棒 ab 的速度为 v时，产生的感应电动势为 E,通过导体棒 cd 的感应电流为 I， 则 ,, 2 , BIlF r EIBlvE  安 解得 22 2 lB rF v 安 =1.0 m/s (3)设对导体棒 ab 的拉力为 F，导体棒 ab 受力平衡，则 F= 安F =mgsin =0. 20 N,拉力的 功率 P=Fv=0.20 W. 31．如图所示，两条光滑的绝缘导轨，导轨的水平部分与圆弧部分平滑连接，两导轨间距 为 L，导轨的水平部分有 n 段相同的匀强磁场区域（图中的虚线范围），磁场方向竖直向上， 磁场的磁感应强度为 B,磁场的宽度为 s，相邻磁场区域的间距也为 s，、大于 L，磁场左、右 两边界均与导轨垂直．现有一质量为 m，电阻为 r，边长为 L的正方形金属框，由圆弧导轨上 某高度处静止释放，金属框滑上水平导轨，在水平导轨上滑行一段时间进人磁场区域，最终 线框恰好完全通过 n 段磁场区域．地球表面处的重力加速度为 g，感应电流的磁场可以忽略不 计，求： (1)刚开始下滑时，金属框重心离水平导轨所在平面的高度； (2)整个过程中金属框内产生的电热； (3)金属框完全进人第 k(kR)，电子经电场加速后射入圆筒，在圆筒壁上碰撞 n次后回到 出发点，求电子运动的周期（不计重力，设碰撞过程无动能损失）． 解： eU mLtmveUt mL eUL 2, 2 1,)( 2 1 1 22 1  ， .2, 2 )( 22 eB mT eU mRd m qU Rd v Rdt       电子在圆筒内经 n 次碰撞转过的角度为  )1(2)1(  nn 所以 eB mnTnTt    )1( 2 1 23     所以电子运动的周期为 ).4,3,2()1( 2 )(22222 321    n eB mn eU mRd eU mLtttT  T=2t,+2t2+ 37．喷墨打印机的原理示意图如图所示，其中墨盒可以发出墨汁液滴，此液滴经过带电室 时被带上负电，带电多少由计算机按字体笔画高低位置输入信号加以控制．带电后液滴以一 定的初速度进入偏转电场，带电液滴经过偏转电场发生偏转后打到纸上，显示出字体．计算 机无信号输入时，墨汁液滴不带电，径直通过偏转板最后注入回流槽流回墨盒． 设偏转极板长 L1=1.6 cm，两板间的距离 d=0.50 cm,两板间的电压 U=8.0×10 3 V，偏转极 板的右端距纸的距离 L2=3.2 cm．若一个墨汁液滴的质量 m=1.6×10 -10 kg,墨汁液滴以 v0=20 m/s 的初速度垂直电场方向进入偏转电场，此液滴打到纸上的点距原入射方向的距离为 2. 0 mm．不 计空气阻力和重力作用．求： (1)这个液滴通过带电室后所带的电量 q． (2)若要使纸上的字体放大可通过调节两极板间的电压或调节偏转极板的右端距纸的距离 L2来实现，现调节 L2使纸上的字体放大 10%，调节后偏转极板的右端距纸的距离 L2为多大？ 解：(1)液滴以速度 v0进入电场后，在 v0方向做匀速直线运动，在垂直于 v0方向做初速度 为零的匀加速直线运动，设其加速度为 a，在这个方向上的位移为 y1，在电场中的运动时间为 t1，有 0 1 1 2 11 , 2 1, v L taty dm Uq m Eq m Fa  ， 液滴射出电场瞬间的垂直于 v0方向速度为 v，则 v= at1, 液滴射出电场后的运动时间为 t2，有 0 2 2 v L t  液滴射出电场后在垂直于 v0方向的位移为 y2 =vt2 ， 液滴打到纸上的点距原入射方向的距离为 y，则 y=y1+y2 , 由以上各式可得 ) 2 1( 212 0 1 LL dmv UqLy  , 对上式整理并代入数据得 q=1. 3×10 -13 C（或 1.25×10 -13 C). (2）字体增大 10%即 y 增大 10%，由（1)结果知 y 与 ) 2 1( 21 LL  成正比，所以需要 ) 2 1( 21 LL  增大 10%．有  ) 2 1( 21 LL ) 2 1( 21 LL  ) 2 1( 21 LL  ×10%， 解得  2L =3.6 cm. 38．如图所示是示波器的示意图，竖直偏转电极的极板长 L1=4 cm，板间距离 d=1 cm，板 右端距离荧光屏为 L2=18 cm,（水平偏转电极上不加电压，没有画出）电子沿中心线进入竖直 偏转电场的速度是 v=1. 6×10 7 m/s，电子电量 e＝1. 6×10 -19 C，质量 m=0. 91×10 -30 kg。 (1)要使电子束不打在偏转电极上，加在竖直偏转电极上的最大偏转电压U不能超过多大？ (2)若在偏转电极上加 u=27.3sin 100 t ( V）的交变电压，在荧光屏的竖直坐标轴上能 观察到多长的线段？ 解：（1） v Lt dm Ueaatd 12 ,, 2 1 2  ， 由以上三式，解得 .912 1 22 V eL vmdU  (2)偏转电压的最大值 U1=27. 3 V，电子通过偏转极板 后，在垂直极板方向上的最大偏转距离 2112 1 )( 22 1 v L dm eUtay  ， 设打在荧光屏上时，亮点距O的距离为 y，则 2/ 2/ 1 12 L LL y y    ， 荧光屏上亮线的长度为 yl  2 ，代入数据，解得 l=3 cm.