【物理】2019届一轮复习人教版功 功率学案
机械能及其守恒定律
第22课时 功 功率
考点1 功的正负的判断与计算
1．做功的两个必要条件：力和物体在力的方向上发生的位移。
2．公式：W＝Flcosα。适用于恒力做功。其中l为物体对地的位移，α为F、l的夹角。
3．功的正负判断
(1)α<90°，W>0，表示力对物体做正功。
(2)α>90°，W<0，表示力对物体做负功，或说物体克服该力做功。
(3)α＝90°，W＝0，表示力对物体不做功。
特别提示：功是标量，比较做功多少看功的绝对值。
(4)曲线运动中做功正负的判断：依据合力F合与v的方向的夹角α来判断。0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
4．合力做功的计算方法
(1)各力都是恒力，可以先求F合，再用公式W＝F合lcosα
运算，或者用W总＝W1＋W2＋W3＋…来求总功。
(2)若有变力做功，则一般用W总＝W1＋W2＋W3＋…。
[例1] (2014·全国卷Ⅱ)一物体静止在粗糙水平地面上。现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v。若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v。对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( )
A．WF2＞4WF1，Wf2＞2Wf1
B．WF2＞4WF1，Wf2＝2Wf1
C．WF2＜4WF1，Wf2＝2Wf1
D．WF2＜4WF1，Wf2＜2Wf1
解析 因为两个过程经过同样的时间t，所以根据x＝t得，两过程的位移关系x1＝x2，再根据x＝at2，得两过程的加速度关系为a1＝。由于在相同的粗糙水平地面上运动，故两过程的摩擦力大小相等，即Ff1＝Ff2＝Ff，根据牛顿第二定律得，F1－Ff1＝ma1，F2－Ff2＝ma2，联立解得F1＝F2＋Ff，即F1>。根据功的计算公式W＝Fl，可知Wf1＝Wf2，WF1>WF2，C正确，A、B、D错误。
答案 C
判断力是否做功及做正、负功的方法
(1)看力F的方向与位移l的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向与速度v的方向间的夹角α——常用于曲线运动的情形。
(3)根据动能的变化：动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即W合＝ΔEk，当动能增加时合外力做正功；当动能减少时合外力做负功。
1．(人教版必修2 P59·T1改编)大小相等的力F按如图所示的四种方式作用在相同的物体上，使物体沿粗糙的水平面移动相同的距离，其中力F做功最多的是( )
答案 A
解析 将力沿水平方向分解，A图中，水平方向的力为F，其他图中水平方向的分力小于F，位移相等，所以A图中力F做功最多。
2．(粤教版必修2 P67·T5)用起重机将质量为m的物体匀速吊起一段距离，那么作用在物体上的各力做功情况应是下列说法中的哪一种？( )
A．重力做正功，拉力做负功，合力做功为零
B．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
C．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零
D．重力不做功，拉力做正功，合力做正功
答案 C
解析 物体匀速运动，拉力等于重力，合力为0，物体向
上移动一段距离，拉力做正功，重力做负功，合力做功为0，C正确。
3．(2018·湖北重点中学联考)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平方向作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图甲和图乙所示。设在第 1 s 内、第2 s内、第3 s内力F
对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系中正确的是( )
A．W1＝W2＝W3 B．W1
W2>W1，B正确。
考点2 求变力做功
所谓变力就是力变化，因为力是矢量，所以可以是力的大小变化，或力的方向变化，亦或力的大小和方向都变化，求解方法一般有以下五种。
1．用动能定理W＝ΔEk或功能关系求功
此种方法不仅适用于变力做功，也适用于恒力做功。
2．利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
3．根据W＝Pt计算一段时间内做的功
此公式适用于功率恒定的情况。此类情况常用于机车启动或运动过程。
4．利用Fx图象求变力做功
如图所示，在Fx图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，位于x轴上方的“面积”为正表示力F做正功，位于x轴下方的“面积”为负表示力F做负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
5．将变力的功变为恒力的功
(1)当力的大小不变时，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程的乘积，如滑动摩擦力及空气阻力做功要用力与路程的乘积来计算。
(2)当力的方向不变，大小随位移做线性变化时(如弹簧弹力)，可先求出力对位移的平均值＝，再由W＝lcosα计算。
[例2] (2015·海南高考)如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P
由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
解析 在Q点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN－mg＝m，FN＝2mg，联立解得v＝，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR，所以克服摩擦力做功mgR，C正确。
答案 C
求解变力做功的两种思路
(1)根据变力做功情况采用合适方法直接求功。
(2)根据能量变化和其他力做功情况来间接求变力做功，因为功是能转化的量度。
1．如图所示，某力F＝10 N作用于半径R＝1 m
的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为( )
A．0 J B．20π J C．10 J D．20 J
答案 B
解析 转盘转动过程中，力F的方向总是与该切线方向一致，即F与转盘转过的每个极小位移Δx1、Δx2、Δx3、…、Δxn都同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W＝F(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…＋Δxn)＝F·2πR＝10×2π J＝20π J，故B正确。
2．如图所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时F所做的总功为( )
A．0 B.Fmx0
C.Fmx0 D.x
答案 C
解析 在Fx图象中，图线与x轴所围“面积”
的代数和就表示力F在这段位移所做的功，面积S＝＝＝Fm·＝Fmx0，即W＝Fmx0，所以C正确。
考点3 功率的理解与计算
1．功率
(1)定义：功W与完成这些功所用时间t的比值叫做功率，功率的符号为P。
(2)公式：P＝。
2．功率的计算
(1)平均功率的计算方法：
①利用＝。(注：求的是时间t内的平均功率)
②利用＝F·cosα，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。
(2)瞬时功率的计算方法：
①利用公式P＝F·vcosα，其中v为瞬时速度，α为F与v的夹角。
②P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
③P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
[例3] 如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球。在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点。在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是( )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大
解析 解法一：数学解析法
因小球速率不变，所以小球以O点为圆心做匀速圆周运动，受力如图所示。设绳与竖直方向的夹角为θ，则在切线方向上应有：mgsinθ＝Fcosθ，拉力F的瞬时功率P＝Fvcosθ＝mgvsinθ。小球从A运动到B的过程中，拉力的瞬时功率随θ的增大而增大，A正确。
解法二：转化法
因小球的动能始终不变，故拉力F的瞬时功率就等于克服重力做功的瞬时功率，即P＝－PG＝－mgvcos(90°＋θ)＝mgvsinθ。小球从A运动到B的过程中，拉力的瞬时功率随θ的增大而增大，A正确。
答案 A
计算功率时注意事项
(1)要明确是一个力对物体做功的功率，还是合外力对物体做功的功率；是动力还是阻力，是恒力还是变力。不同情况应选择不同的公式。
(2)要明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，二者计算公式不同。
(3)求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率。
1．关于功率，以下说法中正确的是( )
A．据P＝可知，机器做功越多，其功率就越大
B．据P＝Fv可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C．据P＝可知，只要知道时间t内机器所做的功，就可以求得这段时间内任一时刻机器做功的功率
D．根据P＝Fv可知，发动机功率一定时，在一定阶段交通工具的牵引力与运动速度成反比
答案 D
解析 由P＝可知，功率P由W、t同时决定，做功越多，时间不知，所以功率不一定大，A错误；由P＝求出来的是平均功率，C错误；在P＝Fv中，当功率一定时，在一定阶段汽车的牵引力与速度成反比，D正确；还有一种情况，当牵引力一定时，速度增加，功率也增加，在这种情况下牵引力F与v不是反比关系，B错误。
2．从空中某点以速度v0水平抛出一个质量为m的石块，不计空气阻力，当其竖直分位移与水平分位移大小相等时，石块所受重力的瞬时功率为( )
A．mgv0 B．2mgv0 C.mgv0 D．0
答案 B
解析 根据竖直分位移与水平分位移大小相等，即v0t＝gt2可得t＝，则此时竖直方向的速度vy＝gt＝2v0，石块所受重力的瞬时功率P＝mgvy＝2mgv0，B正确。
3．(人教版必修2 P63·T2改编)一台抽水机每分钟能把300 kg的水抽到10 m高的水塔上，不计额外功的损失，这台抽水机的输出功率多大？(g＝10 m/s2)
答案 500 W
解析 把300 kg水抽到10 m高的水塔上所做的功为
W＝mgh＝300×10×10 J＝3×104 J
抽水机的输出功率为
P＝＝ W＝500 W。
考点4 机车启动问题
1．模型一：以恒定功率启动
(1)动态过程
(2)这一过程的Pt图象和vt图象如图所示：
2．模型二：以恒定加速度启动
(1)动态过程
(2)这一过程的Pt图象和vt图象如图所示：
3．机车启动问题常用方程
[例4] (2015·全国卷Ⅱ)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
解析 在vt图象中，图线的斜率代表汽车运动时的加速度，由牛顿第二定律可得：在0～t1时间内，－f＝ma，①当速度v不变
时，加速度a为零，在vt图象中为一条水平线；②当速度v变大时，加速度a变小，在vt图象中为一条斜率逐渐减小的曲线，B、D错误；同理，在t1～t2时间内，－f＝ma，图象变化情况与0～t1时间内情况相似，由于汽车在运动过程中速度不会发生突变，故C错误、A正确。
答案 A
(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不相同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律。
(2)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，因此P＝Ffvm时，即牵引力与阻力平衡时机车达到最大运行速度。
(3)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，因此匀变速直线运动的公式就不再适用，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。
(4)以恒定加速度启动时功率不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)。
在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F与对应速度v，并描绘出如图所示的F图象(图线ABC为汽车由静止到达到最大速度的全过程，AB、BO均为直线)。假设该汽车行驶中所受的阻力恒定，根据图线ABC：
(1)求该汽车的额定功率；
(2)该汽车由静止开始运动，经过35 s达到最大速度40 m/s，求其在BC段的位移。
答案 (1)8×104 W (2)75 m
解析 (1)由图线分析可知：图线AB表示牵引力F不变即F＝8000 N，阻力Ff不变，汽车由静止开始做匀加速直线运动；图线BC的斜率表示汽车的功率P不变，达到额定功率后，汽车所受牵引力逐渐减小，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度40 m/s，此后汽车做匀速直线运动。
由图可知：当最大速度vmax＝40 m/s时，
牵引力为Fmin＝2000 N
由平衡条件Ff＝Fmin可得Ff＝2000 N
由公式P＝Fminvmax得额定功率
P＝8×104 W。
(2)匀加速运动的末速度vB＝
代入数据解得vB＝10 m/s
汽车由A到B做匀加速运动的加速度为
a＝＝2 m/s2
设汽车由A到B所用时间为t1，由B到C所用时间为t2，位移为x，则
t1＝＝5 s，t2＝35 s－5 s＝30 s
B点之后，对汽车由动能定理可得
Pt2－Ffx＝mv－mv，代入数据可得x＝75 m。
1．(2017·江苏南通模拟)(多选)如图所示，有三个相同的小球A、B、C，其中小球A沿高为h、倾角为θ的光滑斜面以初速度v0从顶端滑到底端，小球B以同样大小的初速度从同等高度处竖直上抛，小球C在同等高度处以初速度v0水平抛出，则( )
A．小球A到达地面时的速度最大
B．从开始至落地，重力对它们做功相同
C．从开始运动至落地过程中，重力对它们做功的平均功率一定相同
D．三个小球到达地面时，小球B重力的瞬时功率最大
答案 BD
解析
三个小球在运动的过程中都是只有重力做功，机械能守恒，所以根据机械能守恒定律可知三个小球落地时动能相等，速度的大小相等，故A错误。重力做功只与初、末位置有关，三个小球的起点和终点的高度差一样，所以重力做的功相同，故B正确。由题可知，B与C在空中运动的时间显然不同，平均功率等于做功的大小与所用时间的比值，小球重力做的功相同，但是时间不同，所以重力做功的平均功率不同，故C错误。小球落地时的速度的大小相等而方向不同，由于A、C两球都有水平方向的分速度，而B球没有水平方向的分速度，所以B球竖直方向的速度最大，由瞬时功率的公式可以知道，B球的重力的瞬时功率最大，故D正确。
2.(2017·江苏扬州中学模拟)如图所示，光滑斜面放在水平面上，斜面上用固定的竖直挡板挡住一个光滑的重球。当整个装置沿水平面向左减速运动的过程中，关于重球所受各力做功情况的说法中错误的是( )
A．重力不做功
B．斜面对球的弹力一定做正功
C．挡板对球的弹力可能不做功
D．挡板对球的弹力一定做负功
答案 C
解析 对球进行受力分析，如图所示，球受到竖直向下的重力mg，垂直于斜面向上的弹力N2，挡板对它水平向右的弹力N1，而球的位移方向水平向左，重力方向与位移方向垂直，重力不做功，故A正确。由于整个装置向左减速运动，加速度水平向右，竖直方向受力平衡，则得N2≠0，且N2与位移的夹角为锐角，斜面对球的弹力一定做正功，故B正确。设加速度为a，斜面的倾角为α
，根据牛顿第二定律得，竖直方向：N2cosα－mg＝0，水平方向：N1－N2sinα＝ma，由上分析知N1≠0，因为挡板对球的弹力N1的方向与位移方向相反，所以N1一定做负功，故C错误、D正确。
3．(2017·河北衡水中学二调)(多选)竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度，下述分析正确的是( )
A．上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
B．上升过程中克服阻力做的功等于下降过程中克服阻力做的功
C．上升过程中合力做的功的绝对值大于下降过程中合力做的功的绝对值
D．上升过程中克服重力做功的最大瞬时功率大于下降过程中重力做功的最大瞬时功率
答案 CD
解析 上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功为mgh，A错误；在上升过程中的平均速度大于下降过程中的平均速度，而空气阻力的大小正比于球的速度，所以在上升过程中的平均阻力大于下降过程中的平均阻力，位移大小是相等的，所以上升过程中克服阻力做的功大于下降过程中克服阻力做的功，B错误；物体在上升的过程中，受到的阻力向下，在下降的过程中受到的阻力向上，所以在上升时球受到的合力大，上升过程中合力做的功的绝对值大于下降过程中合力做的功的绝对值，C正确；上升过程中克服重力做功的最大瞬时功率在初始位置，下降过程中重力做功的最大瞬时功率也在回到原位置处，由于有阻力做负功，所以落回原点的速度小于抛出时的速度，根据P＝mgv
可知，上升过程中克服重力做功的最大瞬时功率大于下降过程中重力做功的最大瞬时功率，D正确。
4．列车在空载情况下以恒定功率P经过一平直的路段，通过某点时速率为v，加速度大小为a1；当列车满载货物再次经过同一点时，功率和速率均与原来相同，但加速度大小变为a2。重力加速度大小为g。设阻力是列车重力的k倍，则列车满载与空载时的质量之比为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由P＝Fv、F－f＝ma及f＝kmg得m＝，由题干知空载与满载货物时通过同一点时功率和速率均相同，即P、v不变，所以＝，A正确。
5．(2018·黑龙江哈师大附中期末)测定运动员体能的一种装置如图所示，运动员质量为m1，绳拴在腰间沿水平方向跨过滑轮(不计滑轮质量及摩擦)，下悬一个质量为m2的重物，人用力蹬传送带而人的重心不动，使传送带以速率v匀速向右运动。下面是人对传送带做功的四种说法，其中正确的是( )
A．人对传送带不做功
B．人对传送带做负功
C．人对传送带做功的功率为m2gv
D．人对传送带做功的功率为(m1＋m2)gv
答案 C
解析 人对传送带的摩擦力方向向右，传送带在力的方向上有位移，所以人对传送带做功，摩擦力和位移的方向相同，故做正功，故A、B错误。人的重心不动，绳对人的拉力和传送带对人的摩擦力平衡，而拉力等于m2g，所以传送带对人的摩擦力等于m2g，由牛顿第三定律可得人对传送带的摩擦力也等于m2g，所以人对传送带做功的功率为m2gv，故C正确，D错误。
6．(2017·安徽安庆二中月考)(多选)一质量为m的木块静止在光滑的水平面上。从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，下列说法正确的是( )
A．木块在经历时间t1的过程中，水平恒力F做的功为
B．木块在经历时间t1的过程中，在t1时刻力F的瞬时功率为
C．木块在经历时间t1的过程中，在t1时刻力F的瞬时功率为
D．木块在经历时间t1的过程中，水平恒力F做功的平均功率为
答案 AC
解析 由牛顿第二定律可得a＝，t1时刻木块的速度为v＝at1＝t1，t1时间内木块通过的位移为x＝at＝，恒力F做的功为W＝Fx＝，A正确；所以t1时刻F的瞬时功率为P＝Fv＝F·t1＝，B错误，C正确；力F做功的平均功率为＝＝，D错误。
7．(2017·昆明七校调研)(多选)物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。通过力和速度传感器监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律分别如图甲、乙所示。取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．物体的质量m＝0.5 kg
B．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4
C．第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2 J
D．前2 s内推力F做功的平均功率＝3 W
答案 ABC
解析 由题图甲、乙可知，在1～2 s内推力F2＝3 N，物体做匀加速直线运动，其加速度a＝＝2 m/s2，由牛顿第二定律可得F2－μmg＝ma；在2～3 s，推力F3＝2 N，物体做匀速直线运动，由平衡条件可知μmg＝F3；联立解得m＝0.5 kg，μ＝0.4，A、B正确；由速度—时间图象与t轴所围的面积表示位移可得，第2 s内物体位移x＝1 m，克服摩擦力做的功Wf＝μmgx＝2 J，C正确；第1 s内物体没动，推力不做功，第2 s内，推力做功W＝F2x＝3 J，即前2 s内推力F做功为W′＝3 J，前2 s内推力F做功的平均功率＝＝ W＝1.5 W，D错误。
8．(2017·徐州模拟)一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数的关系图象如图所示。若已知汽车的质量，则根据图象所给的信息，不能求出的物理量是( )
A．汽车的功率
B．汽车行驶的最大速度
C．汽车所受到的阻力
D．汽车运动到最大速度所需的时间
答案 D
解析 由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，对应图线可知k＝＝40，已知汽车的质量m可求出汽车的功率P，由a＝0时，＝0.05可得：vm＝20 m/s，再由vm＝，可求出汽车受到的阻力Ff，但无法求出汽车运动到最大速度所需的时间。故选D。
9．(2017·广东广州二模)(多选)如图，倾角为30°的自动扶梯在工作电压为380 V的电动机带动下以0.4 m/s的恒定速率向斜上方运动，电动机的最大输出功率为4.9 kW，空载时电动机中的电流为5 A，若载人时扶梯的运动速率和空载时相同。设所载人的平均质量为60 kg，重力加速度g取10 m/s2。不计一切损耗，则扶梯匀速运行过程中( )
A．站在扶梯上的人不受摩擦力作用
B．扶梯可同时乘载的最多人数为25人
C．扶梯可同时乘载的最多人数为40人
D．无论空载、承载或满载，电动机的输出功率均为4.9 kW
答案 AB
解析 因扶梯斜向上匀速运行，故站在扶梯上的人竖直方向和水平方向均受力平衡，则水平方向不受摩擦力作用，A正确；维持扶梯运转的功率P0＝UI＝380 V×5 A＝1900 W＝1.9 kW，电动机的最大输出功率为P最大＝4.9 kW，可用于输送顾客的功率ΔP＝P最大－P0＝4.9 kW－1.9 kW＝3 kW，输送一个人的功率P＝Gvsin30°＝mgvsin30°＝60 kg×10 N/kg×0.4 m/s×sin30°＝120 W，同时乘载的最多人数n＝＝＝25(人)，B正确、C错误；空载时电动机的输出功率为1.9 kW，满载时电动机的输出功率为4.9 kW，D错误。
10．(2017·湖南师大附中二模)一摩托车在竖直的圆轨道内侧做匀速圆周运动，人和车的总质量为m，轨道半径为R，车经最高点时发动机功率为P0、车对轨道的压力为mg。设轨道对摩托车的阻力与车对轨道的压力成正比，则( )
A．车经最低点时对轨道的压力为mg
B．车运动过程中发动机的功率一直不变
C．车经最低点时发动机功率为3P0
D．车从最高点到最低点的过程中，人和车的重力做功的功率不变
答案 C
解析 在最高点，向心力大小为Fn＝N1＋mg＝2mg，摩托车做匀速圆周运动，向心力大小不变，则在最低点N2－mg＝Fn，得N2＝
3mg，根据牛顿第三定律得车经最低点时摩托车对轨道的压力为3mg，A错误；在最高点，发动机功率P0＝F1v＝μN1v＝μmgv，在最低点发动机功率为P＝F2v＝μN2v＝3μmgv，则有P＝3P0，B错误、C正确；摩托车做匀速圆周运动，速度大小不变，人和车的重力大小不变，车从最高点到最低点的过程中，重力方向和速度方向的夹角先变小再变大，重力功率先变大再变小，D错误。
11．(2017·全国卷Ⅱ)如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )
A．一直不做功 B．一直做正功
C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心
答案 A
解析 光滑大圆环对小环只有弹力作用。弹力方向沿大圆环的半径方向(下滑过程先背离圆心，后指向圆心)，与小环的速度方向始终垂直，不做功，A正确。
12．(2015·海南高考)假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( )
A．4倍 B．2倍 C.倍 D.倍
答案 D
解析 设f＝kv，当阻力等于牵引力时，速度最大；输出功率变化前，有P＝Fv＝fv＝kv2，变化后有2P＝F′v′＝kv′2，联立解得v′＝v，D正确。
13．(2016·天津高考)(多选)我国高铁技术处于世界领先水平。和谐号动车组是由动车和拖车编组而成的，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比。某列动车组由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组( )
A．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反
B．做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2
C．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比
D．与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1∶2
答案 BD
解析 启动时，动车组做加速运动，加速度方向向前，乘客受到竖直向下的重力和车厢对乘客的作用力，由牛顿第二定律可知，这两个力的合力方向向前，所以启动时乘客受到车厢作用力的方向一定倾斜向前，A错误；设每节车厢质量为m，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比，则有每节车厢所受阻力f＝kmg。设动车组匀加速直线运动的加速度为a，每节动车的牵引力为F，对8节车厢组成的动车组整体，由牛顿第二定律得，2F－8f＝8ma；设第5节车厢对第6节车厢的拉力为F5，把第6、7、8节车厢作为整体进行受力分析，由牛顿第二定律得，F5－3f＝3ma，解得F5＝；设第6节车厢对第7节车厢的拉力为F6，把第7、8节车厢作为整体进行受
力分析，由牛顿第二定律得，F6－2f＝2ma；解得F6＝；则F5∶F6＝∶＝3∶2，B正确；关闭发动机后，动车组在阻力作用下滑行，由匀变速直线运动规律，滑行距离x＝，与关闭发动机时速度的二次方成正比，C错误；设每节动车的额定功率为P，当有2节动车带6节拖车时，2P＝8f·v1m；当改为4节动车带4节拖车时，4P＝8f·v2m；联立解得v1m∶v2m＝1∶2，D正确。
14. (2017·福建厦门一中模拟)(多选)质量为m的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度—时间图象如图所示，其中OA为过原点的一条直线。从t1时刻起汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为Ff，则( )
A．0～t1时间内，汽车的牵引力等于m
B．汽车在t1～t2时间内的功率等于t2以后的功率
C．t1～t2时间内，汽车的功率等于v1
D．t1～t2时间内，汽车的平均速度等于
答案 BC
解析 0～t1时间内，汽车做匀加速直线运动，加速度a＝，根据牛顿第二定律得，F－Ff＝ma，解得牵引力F＝Ff＋m，A错误；从t
1时刻起汽车的功率保持不变，可知汽车在t1～t2时间内的功率等于t2以后的功率，B正确；汽车的额定功率P＝Fv1＝v1，C正确；t1～t2时间内，汽车做变加速直线运动，由速度时间图象分析可得，汽车的平均速度大于 ，D错误。
15. (2017·江西赣州统测)(多选)在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧连接的物块A和B，它们的质量分别为3m和2m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态。现用一沿斜面方向的恒力F拉物块A使之沿斜面向上运动，当B刚离开C时，A的速度为v，加速度方向沿斜面向上、大小为a，则( )
A．从静止到B刚离开C的过程中，A发生的位移为
B．从静止到B刚离开C的过程中，重力对A做的功为－
C．B刚离开C时，恒力对A做功的功率为(5mgsinθ＋2ma)v
D．当A的速度达到最大时，B的加速度大小为a
答案 AD
解析 开始A处于静止状态，弹簧处于压缩状态，根据平衡条件有3mgsinθ＝kx1，解得弹簧的压缩量x1＝，当B刚离开C时，B对挡板的弹力为零，有kx2＝2mgsinθ，解得弹簧的伸长量x2＝，可知从静止到B刚离开C的过程中，A发生的位移x＝x1＋x2＝，A正确；从静止到B刚离开C的过程中，重力对A做的功W
＝－3mgxsinθ＝－，B错误；当B刚离开C时，根据牛顿第二定律得F－3mgsinθ－kx2＝3ma，解得F＝5mgsinθ＋3ma，则恒力对A做功的功率P＝Fv＝(5mgsinθ＋3ma)v，C错误；当A的速度达到最大时，A受到的合外力为0，则对A有F－3mgsinθ－T′＝0，所以T′＝2mgsinθ＋3ma，弹簧对A的拉力和对B的拉力大小相等，即T′＝T″，B沿斜面方向受到的合力FB＝T″－2mgsinθ＝2ma′，解得a′＝a，D正确。
16．(2017·常州模拟)高速连续曝光照相机可在底片上重叠形成多个图象。现利用这架照相机对MD2000家用汽车的加速性能进行研究，如图为汽车做匀加速直线运动时三次曝光的照片，图中汽车的实际长度为4 m，照相机曝光的时间间隔为2.0 s。已知该汽车的质量为1000 kg，额定功率为90 kW，汽车运动过程中所受的阻力始终为1500 N。
(1)试利用图示，求该汽车的加速度；
(2)若汽车由静止开始以此加速度做匀加速直线运动，匀加速直线运动状态最多能保持多长时间；
(3)汽车所能达到的最大速度是多大；
(4)若该汽车从静止开始运动，牵引力不超过3000 N，求汽车运
动2400 m所用的最短时间(汽车已经达到最大速度)。
答案 (1)1.5 m/s2 (2)20 s (3)60 m/s (4)70 s
解析 (1)汽车的实际长度为4 m，在照片上占了8小格，所以每小格表示实际长度为 m＝0.5 m。
那么由题图可得汽车在第1个2.0 s时间内的位移x1＝18×0.5 m＝9 m，第2个2.0 s时间内的位移x2＝30×0.5 m＝15 m
汽车的加速度a＝＝1.5 m/s2。
(2)由F－Ff＝ma得，汽车牵引力
F＝Ff＋ma＝(1500＋1000×1.5) N＝3000 N
汽车做匀加速运动的末速度
v＝＝ m/s＝30 m/s
匀加速运动保持的时间
t1＝＝ s＝20 s。
(3)汽车所能达到的最大速度
vm＝＝ m/s＝60 m/s。
(4)牵引力不超过3000 N，由(2)知匀加速运动的时间t1＝20 s，运动的距离
x1′＝t1＝×20 m＝300 m
所以，后阶段以恒定功率运动的距离
x2′＝(2400－300) m＝2100 m
对后阶段以恒定功率运动，有：
P额t2－Ffx2′＝m(v－v2)
解得t2＝50 s
所以最短时间为
t总＝t1＋t2＝(20＋50) s＝70 s。
