2014北京海淀高考一模数学文

2014北京海淀高考一模数学文

海淀区高三年级第二学期期中练习 ‎ 数 学 （文科） 2014．4‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1． （ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎2． 已知集合（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3． 抛物线上到其焦点距离为5的点有（ ）．‎ A．0个 B．1个 C． 2个 D． 4个 ‎4． 平面向量满足，，且的夹角为，则=（ ）．‎ A．1 B． 3 C．5 D． 7‎ ‎5． 函数的部分图象可能是（ ）．‎ ‎ A B C D ‎ ‎6． 已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比为（ ）．‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎7． 已知和是指数函数，则“”是“”的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎8． 已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点．那么曲线关于曲线的关联点的个数为（ ）．‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．双曲线的离心率为2，则__________．‎ ‎10． 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______ ‎ 方案一： 方案二： 方案三：‎ ‎11． 在中，，，，则 ‎12． 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：‎ ‎①，；②；③．‎ 能较准确反映商场月销售额与月份x关系的函数模型为 _________（填写相应函数的序号），若所选函数满足，则=_____________．‎ ‎13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为 ‎__________．‎ ‎14． 设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为．‎ ‎（1）若与有且只有一个公共点，则＝ ；‎ ‎（2）记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是 ．‎ 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求在上的取值范围．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查．调查问卷共10道题，答题情况如下表：‎ 答对题目数 ‎8‎ ‎9‎ 女 ‎2‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 男 ‎3‎ ‎37‎ ‎16‎ ‎9‎ ‎ （Ⅰ）如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；‎ ‎ （Ⅱ）从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率．‎ ‎17． （本小题满分14分）‎ 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，于（不同于点），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥，如图2所示． ‎ ‎（Ⅰ）若M是FC的中点，求证：直线//平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：BD⊥；‎ ‎（Ⅲ）若平面平面，试判断直线与直线CD能否垂直？并说明理由． ‎ ‎18． （本小题满分13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：恒成立． ‎ ‎19． （本小题满分14分）‎ 已知是椭圆上两点，点的坐标为．‎ ‎（Ⅰ）当关于点对称时，求证：；‎ ‎（Ⅱ）当直线经过点 时，求证：不可能为等边三角形．‎ ‎20． （本小题满分13分）‎ 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：‎ ‎①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，‎ 则称与互为正交点列．‎ ‎（Ⅰ）试判断：与：是否互为正交点列，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求证：：不存在正交点列；‎ ‎（Ⅲ）是否存在无正交点列的有序整数点列？并证明你的结论．‎ ‎ ‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 ‎ 数 学 （文科） 2014．4‎ 阅卷须知：‎ ‎1．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．‎ ‎2．其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．‎ ‎1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7． C 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9． 1 10． 方案三 11． ， 12． ③， 13． 152‎ ‎14． ， ‎ ‎{说明：两空的第一空3分，第二空2分；14题的第二空若写成不扣分}‎ 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程．‎ ‎15．解：‎ ‎（Ⅰ） —————————————————1分 ‎ ———————————————2分 ‎ ——————————————————3分 ‎ ———————— ———4分 ‎（Ⅱ） —————————————————6分 ‎ —————————————————8分 因为 所以 —————————————————10分 所以 —————————————————12分 所以的取值范围是 —————————————————13分 ‎16．解：‎ ‎（Ⅰ）答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A ‎ —————————————————5分 ‎（Ⅱ）设答对题目数少于8道的司机为 A．B．C．D．E，其中A．B为女司机 ，选出两人包含 AB．AC．AD．AE．BC．BD．BE．CD．CE．DE共10种情况，至少有1名女驾驶员的事件为AB．AC．AD．AE．BC．BD．BE共7种．‎ 记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M，则 ‎ ——————————————————13分 ‎17．解：‎ ‎（Ⅰ）因为，分别为中点，所以// ——————————————2分 ‎ 又， ‎ 所以． ———————————————4分 ‎ ‎（Ⅱ）因为，且 所以 —————————————7分 又 所以 ————————————————9分 ‎（Ⅲ）直线与直线不能垂直 ———————10分 因为，，，‎ ‎，‎ 所以 ． ———————————————————12分 因为，所以，‎ 又因为，所以．‎ 假设，‎ 因为，，‎ 所以， ——————————————————————13分 所以，‎ 这与为锐角矛盾 ‎ 所以直线与直线不能垂直． ————————————————14分 ‎18．解：‎ ‎（Ⅰ）定义域为 ——————————————————1分 ‎ ——————————————————2分 令，得 ————————————————————3分 与的情况如下：‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ————————————————————————————————5分 所以的单调减区间为，单调增区间为—————————————6分 ‎ （Ⅱ）证明1：‎ 设， ———————————————7分 ‎ —————————————8分 与的情况如下：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ 所以，即 ‎ 在时恒成立， —————————10分 ‎ 所以，当时，， ‎ 所以，即，‎ 所以，当时，有． ————————13分 证明2：‎ 令 ————————————7分 ‎ ————————————8分 令，得 ———————— —9分 与的情况如下：‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ —————————————————————10分 的最小值为 ———————————11分 当时，，所以 故 ———————————————12分 即当时，． ————————————————13分 ‎19．解：（Ⅰ）证明：‎ 因为在椭圆上，‎ 所以 —————————————————1分 因为关于点对称，‎ 所以， ————————————————2分 将代入②得 ③，‎ 由①和③消解得， ———————————————————4分 所以 ． ——————————————————5分 ‎（Ⅱ）当直线不存在斜率时，，‎ 可得，不是等边三角形． ———————————6分 当直线存在斜率时，显然斜率不为0．‎ 设直线：，中点为，‎ 联立 消去得， ———————————7分 由，得到 ① —————————————————8分 又， ‎ 所以， ‎ 所以 ————————————————————10分 假设为等边三角形，则有，‎ 又因为，‎ 所以， 即， —————————————11分 化简 ，解得或 ——————————12分 这与①式矛盾，所以假设不成立．‎ 因此对于任意不能使得，故不能为等边三角形． —————————14分 ‎20．解：‎ ‎（Ⅰ）有序整点列与互为正交点列．‎ ‎——————————————1分 理由如下：‎ ‎ 由题设可知 ，，‎ ‎ 因为 ，‎ ‎ 所以 ．‎ ‎ 所以整点列与互为正交点列．‎ ‎ ————————————3分 ‎（Ⅱ）证明 ：由题意可得 ，‎ ‎ 设点列是点列的正交点列，‎ ‎ 则可设，‎ ‎ 因为相同，所以有 ‎ ‎ ‎ 因为，方程②不成立，‎ ‎ 所以有序整点列不存在正交点列．——————————8分 ‎（Ⅲ）存在无正交点列的整点列． ——————————————9分 当时，设其中是一对互质整数，‎ ‎ 若有序整点列 是点列的正交点列，‎ ‎ 则 ，由 ‎ ‎ 得 ‎ 取，‎ ‎ 由于是整点列，所以有． ‎ ‎ 等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，‎ ‎ 所以存在无正交点列的整点列． —————————————13分