2015高考数学一轮方法测评练必考解答题——模板成形练5

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2015高考数学一轮方法测评练必考解答题——模板成形练5

必考解答题——模板成形练(五)‎ 数 列 ‎(建议用时:60分钟)‎ ‎1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=1-an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记bn=logan,数列{bn}的前n项和为Tn,求证<2.‎ 解 (1)当n=1时,2S1=1-a1,‎2a1=1-a1,∴a1=;‎ 当n≥2时, 两式相减得2an=an-1-an(n≥2),‎ 即3an=an-1(n≥2),又an-1≠0,∴=(n≥2),‎ ‎∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列.‎ ‎∴an=·n-1=n.‎ ‎(2)由(1)知bn=logn=n,‎ ‎∴Tn=1+2+3+…+n=,‎ =++…+ ‎=2 ‎=2<2.‎ ‎2.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,且Sn=Sn-1+2n(n≥2,n∈N*).‎ ‎(1)求Sn;‎ ‎(2)是否存在等比数列{bn}满足b1=a1,b2=a3,b3=a9?若存在,求出数列{bn}的通项公式;若不存在,说明理由.‎ 解 (1)因为Sn=Sn-1+2n,‎ 所以有Sn-Sn-1=2n对n≥2,n∈N*成立,‎ 即an=2n对n≥2成立,又a1=2·1.‎ 所以an=2n对n∈N*成立.‎ 所以an+1-an=2对n∈N*成立,所以{an}是等差数列,‎ 所以有Sn=·n=n2+n,n∈N*.‎ ‎(2)存在.‎ 由(1),得an=2n,n∈N*成立,‎ 所以有a3=6,a9=18,又a1=2,‎ 所以由b1=a1,b2=a3,b3=a9,则==3.‎ 所以存在以b1=2为首项,公比为3的等比数列{bn},‎ 其通项公式为bn=2·3n-1.‎ ‎3.已知数列{an}是首项a1=1的等差数列,其前n项和为Sn,数列{bn}是首项b1=2的等比数列,且b2S2=16,b1b3=b4.‎ ‎(1)求an和bn;‎ ‎(2)令c1=1,c2k=a2k-1,c2k+1=a2k+kbk(k=1,2,3,…),求数列{cn}的前2n+1项和T2n+1.‎ 解 (1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,‎ 则an=1+(n-1)d,bn=2qn-1.‎ 由b1b3=b4,得q==b1=2,‎ 由b2S2=2q(2+d)=16,解得d=2.‎ ‎∴an=2n-1,bn=2n.‎ ‎(2)∵T2n+1=c1+a1+(a2+b1)+a3+(a4+2·b2)+…+a2n-1+(a2n+nbn)=1+S2n+(b1+2b2+…+nbn).‎ 令A=b1+2b2+…+nbn,‎ 则A=2+2·22+…+n·2n,‎ ‎∴‎2A=22+2·23+…+(n-1)2n+n·2n+1,‎ ‎∴-A=2+22+…+2n-n·2n+1,‎ ‎∴A=n·2n+1-2n+1+2.‎ 又S2n==4n2,‎ ‎∴T2n+1=1+4n2+n·2n+1-2n+1+2‎ ‎=3+4n2+(n-1)2n+1.‎ ‎4.已知数列{an}满足:an≠±1,a1=,3(1-a)=2(1-a),bn=1-a,cn=a-a(n∈N*).‎ ‎(1)证明数列{bn}是等比数列,并求数列{bn}、{cn}的通项公式.‎ ‎(2)是否存在数列{cn}的不同项ci,cj,ck(i<j<k)使之成为等差数列?若存在,请求出这样的不同项ci,cj,ck(i<j<k);若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)是否存在最小的自然数M,对一切n∈N*都有(n-2)cn<M恒成立?若存在,求出M的值,若不存在,说明理由.‎ ‎(1)证明 因为an≠±1,a1=,3(1-a)=2(1-a),bn=1-a,‎ 所以==(n∈N*),b1=1-a=,所以{bn}是以为首项,为公比的等比数列,所以bn=×n-1(n∈N*),所以a=1-bn=1-×n-1(n∈N*)‎ 所以cn=a-a=×n-1(n∈N*)‎ ‎(2)解 假设存在cj,cj,ck(i<j<k)满足题意,则有2cj=ci+ck代入得 ‎2××j-1=×i-1+×k-1化简得2j-i+1=3j-1+2k+j-i,‎ 即2j-i+1-2k+j-i=3j-1,左边为偶数,右边为奇数不可能相等.‎ 所以假设不成立,这样的三项不存在.‎ ‎(3)∵(n-2)cn-(n-1)cn+1=×n-1×,‎ ‎∴(1-2)c1<(2-2)c2<(3-2)c3<(4-2)c4,‎ ‎(4-2)c4=(5-2)c5,(5-2)c5>(6-2)c6>(7-2)c7>……‎ 即在数列{(n-2)cn}中,第4项和第5项是最大项,当n=4时(n-2)cn=2××3=,‎ 所以存在最小自然数M=1符合题意.‎
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