高考湖北卷文科数学试题及参考答案

高考湖北卷文科数学试题及参考答案

‎2006年高考湖北卷文科数学试题及参考答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、集合P＝｛x」x2－16<0｝,Q＝｛x」x＝2n，nZ｝,则PQ＝‎ A.｛-2,2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛2，0，2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝‎ ‎2、已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则 A. B. ‎4 C. D. 2‎ ‎3、已知＝，A∈（0，），则 A. B． C． D．‎ ‎4、在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a‎2a3a4a5a6a7a8a9‎ A. 81 B. 27 C. D. 243‎ ‎5、甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么 A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 ‎6、关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：‎ ‎①若且，则；‎ ‎②若且，则；‎ ‎③若且，则；‎ ‎④若且，则；‎ 其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③‎ ‎7、设f(x)＝，则的定义域为 A. B.(－4,－1)(1，4) C. (－2,－1)(1，2) D. (－4,－2)(2，4)‎ ‎8、在的展开式中，x的幂的指数是整数的有 A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项 ‎9、设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，若，则点P的轨迹方程是 A. B. ‎ ‎ ‎ C. D.‎ ‎10、关于x的方程，给出下列四个命题：‎ ‎①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；‎ ‎②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；‎ ‎③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；‎ ‎④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；‎ 其中假命题的个数是 A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ 答案 一、选择题：1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A 二、填空题：11. 12. 0.94 13. (0，) 14. 78 ‎ ‎15.（R3）`＝4R2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 注意事项：‎ 第Ⅱ卷用‎0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。‎ ‎11、在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，则sinB＝ .‎ ‎12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 。（精确到0．01）‎ ‎13、若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .‎ ‎14、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答)‎ ‎15、半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r ，‎ 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。‎ 对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子： 式可以用语言叙述为： 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16、（本小题满分12分）‎ 设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b).‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占 ‎42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定 ‎（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；‎ ‎（Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 如图，已知正三棱柱ABC-A1B‎1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝‎2C1N.‎ ‎（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间。‎ ‎20、（本小题13分）‎ 设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。‎ ‎21、（本小题满分13分）‎ 设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。‎ ‎（Ⅰ）、求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。‎ ‎_‎ ‎2‎ ‎_‎ ‎1‎ ‎_‎ ‎-‎ ‎1‎ ‎_‎ ‎-‎ ‎2‎ ‎_‎ ‎-‎ ‎3‎ ‎_‎ ‎-‎ ‎4‎ ‎_‎ ‎-‎ ‎2‎ ‎_‎ ‎2‎ ‎_‎ ‎4‎ ‎_‎ B ‎_‎ A ‎_‎ M ‎_‎ N ‎（此题不要求在答题卡上画图）‎ ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（文史类）参考答案 一、 选择题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10．A 二、 填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分25分。‎ ‎11． 12．0.94 13．（0，） 14．78 ‎ ‎15．．球的体积函数的导数等于球的表面积函数。‎ 三、 解答题 ‎16．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的基本知识，以及运用三角函数的图像和性质的能力。‎ 解：（Ⅰ）∵‎ ‎ ∴的最大值为，最小正周期是。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ 即成立的的取值集合是.‎ ‎17．本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。‎ 解：（Ⅰ）设登山组人数为，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有，解得b=50%,c=10%.‎ 故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、‎ ‎50％、10％。‎ ‎（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为（人）；抽取的中年人数为 ‎50％＝75（人）；抽取的老年人数为10％＝15（人）。‎ ‎18．本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，从而AMM, AMNM，所以MN为二面角，—AM—N的平面角。又M=,MN=,‎ ‎ ‎ 连N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为。‎ ‎（Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即为到平面AMN的距离。在中，H＝M。故点到平面AMN的距离为1。‎ 解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）,‎ C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，‎ ‎，,。‎ 因为 所以,同法可得。‎ 故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角 ‎∴﹤﹥＝‎ 故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为。‎ ‎（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得 ‎ 故可取 设与n的夹角为a，则。‎ 所以到平面AMN的距离为。‎ ‎19.本小题主要考查层数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。‎ 解：依题意有而 故 解得 从而 ‎。‎ 令，得或。‎ 由于在处取得极值，故，即。‎ （1） 若，即，则当时，；‎ 当时，；当时，；‎ 从而的单调增区间为；单调减区间为 （1） 若，即，同上可得，‎ 的单调增区间为；单调减区间为 ‎20.本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。‎ 解：（I）依题意得，即。‎ 当n≥2时，a;‎ 当n=1时，×-2×1-1-6×1-5‎ 所以。‎ ‎（II）由（I）得，‎ 故=。‎ 因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。‎ ‎21．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。‎ 解：（I）依题意得解得 从而b=,‎ 故椭圆方程为。‎ ‎（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0）。设。‎ 点在椭圆上，。‎ 又点异于顶点 曲三点共线可得.‎ 从面 ‎.‎ 将①式代入②式化简得 ‎>0,>0.于是为锐角,从而为钝角,故点在以为直径的圆内.‎ 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设P（4，）（0），M（，），N（，），则直线AP的方程为，直线BP的方程为。‎ 点M、N分别在直线AP、BP上，‎ ‎＝（＋2），＝（－2）.从而＝（＋2）（－2）.③‎ 联立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0.‎ ‎，－2是方程得两根，（－2）．，即＝. ④‎ 又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋. ⑤‎ 于是由③、④式代入⑤式化简可得 ‎．＝（－2）.‎ N点在椭圆上，且异于顶点A、B，<0.‎ 又，> 0, 从而．<0.‎ 故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内.‎ 解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（，），N（，），则－2<<2 , －2<<2.又MN的中点Q的坐标为（），‎ 化简得－＝（－2）（－2）＋. ⑥‎ 直线AP的方程为，直线BP的方程为.‎ 点P在准线x＝4上，‎ ‎，即. ⑦‎ 又M点在椭圆上，＋＝1，即 ⑧‎ 于是将⑦、⑧式化简可得－＝.‎ 从而B在以MN为直径的圆内.‎