高考数学江苏试题及解析

高考数学江苏试题及解析

‎2017年江苏 ‎1.(2017年江苏)已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}，若A∩B={1}，则实数a的值为 .‎ ‎1.1 【解析】由题意1∈B，显然a2+3≥3，所以a=1，此时a2+3=4，满足题意，故答案为1.‎ ‎2. (2017年江苏)已知复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，则的模是 .‎ ‎2. 【解析】|z|=|(1+i)(1+2i)|=|1+i||1+2i|=×=.故答案为．‎ ‎3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．‎ ‎【考点】分层抽样 ‎【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．‎ ‎4. (2017年江苏)右图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出y的值是 .‎ ‎4. -2 【解析】由题意得y=2+log2=-2.故答案为-2．‎ ‎5. (2017年江苏)若tan(α+)=则tan α= .‎ ‎5. 【解析】tan α= tan[(α-)+]===.故答案为.‎ ‎6. (2017年江苏)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是 .‎ ‎6. 【解析】设球半径为r，则==．故答案为．‎ ‎7. (2017年江苏)记函数f（x）=的定义域为D．在区间[-4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是 .‎ ‎7. 【解析】由6+x-x2≥0，即x2-x-6≤0，得-2≤x≤3，根据几何概型的概率计算公式得x∈D的概率是=.‎ ‎8. (2017年江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是 .‎ ‎8. 2 【解析】右准线方程为x==，渐近线方程为y=±x，设P（，），则Q（，-），F1（-，0），F2（，0），则S=2×=2.‎ ‎9.(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.‎ ‎[解析]　设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则解得 则a8＝a1q7＝×27＝32.‎ ‎[答案]　32‎ ‎10. (2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．‎ 解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.‎ 答案：30‎ ‎11. (2017年江苏)已知函数f(x)=x3-2x+ex-，其中e是自然对数的底数．若f(a-1)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是___________.‎ ‎11. [-1，] 【解析】因为f（-x）=-x3+2x+- ex=-f（x），所以函数f（x）是奇函数，因为f′（x）=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，又f（a-1）+ f(2a2)≤0，即f(2a2)≤f（1-a），所以2a2≤1-a，即2a2+a-1≤0，解得-1≤a≤，故实数a的取值范围为[-1，].‎ ‎12. (2017年江苏)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α=7，与的夹角为45°．若=m+n(m，n∈R)，则___________.‎ ‎12.3 【解析】由tan α=7可得sin α=，cos α=，根据向量的分解，‎ 易得即即即得m=，n=，‎ 所以m+n=3．‎ ‎13. (2017年江苏)在平面直角坐标系xOy中,A(－12,0),B(0,6),点P在圆O：x2＋y2＝50上,若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是_________.‎ ‎【答案】 [5,1] ‎ ‎【解析】设P(x,y,)由·≤20易得2x－y＋5≤0,由可得A：或B：由2x－y＋5≤0得P点在圆左边弧上,结合限制条件－5≤x≤5,可得点P横坐标的取值范围为 [5,1].‎ ‎14. (2017·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________．‎ 解析：由于f(x)∈[0,1)，因此只需考虑1≤x<10的情况，‎ 在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝，q，p∈N*，p≥2且p，q互质．‎ 若lg x∈Q，则由lg x∈(0,1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质，‎ 因此10＝，则10n＝m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x∉Q，‎ 故lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，‎ 只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点．‎ 画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，‎ 且x＝1处(lg x)′＝＝<1，则在x＝1附近仅有一个交点，因此方程f(x)－lg x＝0的解的个数为8.‎ 答案：8‎ ‎15.(2017年江苏)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎ （2）AD⊥AC.‎ ‎【分析】（1）先由平面几何知识证明EF∥AB,再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC⊥平面ABD,则BC⊥AD,再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.‎ ‎【证明】（1）在平面ABC内,∵AB⊥AD,EF⊥AD,∴EF∥AB.‎ 又∵EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴EF∥平面ABC.‎ ‎（2）∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD＝BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,‎ ‎∴BC⊥平面ABD.‎ ‎∵AD⊂平面ABD,∴BC⊥AD.‎ 又AB⊥AD,BC∩AB＝B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,‎ ‎∴AD⊥平面ABC.‎ 又∵AC⊂平面ABC,∴AD⊥AC.‎ ‎16. (2017年江苏)已知向量a＝(cos x,sin x),b＝(3,－),x∈[0,π].‎ ‎（1）若a∥b,求x的值；‎ ‎（2）记f(x)＝a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ ‎【解析】（1）∵a＝(cos x,sin x),b＝(3,－),a∥b,‎ ‎∴－cos x＝3sin x.‎ 若cos x＝0,则sin x＝0,与sin2x＋cos2x＝1矛盾,∴cos x≠0.‎ 于是tan x＝－.又x∈[0,π],∴x＝.‎ ‎（2）f(x)＝a·b＝(cos x,sin x)·(3,－)＝3cos x－sin x＝2cos.‎ ‎∵x∈[0,π],∴x＋∈,∴－1≤cos≤.‎ 当x＋＝,即x＝0时,f(x)取得最大值3；‎ 当x＋＝π,即x＝时,f(x)取得最小值－2.‎ ‎17. (2017年江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．‎ ‎17.解：（1）设椭圆的半焦距为c．‎ 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以=，=8，‎ 解得a=2，c=1，于是b==，因此椭圆E的标准方程是+=1．‎ ‎（2）由（1）知，F1（-1，0），F2（1，0）.‎ 设P（x0，y0），因为P为第一象限的点，故x0＞0，y0＞0.‎ 当x0=1时，l2与l1相交于F1，与题设不符.‎ 当x0≠1时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.‎ 因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为-，直线l2的斜率为-，‎ 从而直线l1的方程：y=-（x+1）， ①‎ 直线l2的方程：y=-（x-1）． ②‎ 由①②，解得x=-x0，y=，所以Q（-x0，）．‎ 因为点Q在椭圆上，由对称性，得=±y0，即x02-y02=1或x02+y02=1．‎ 又P在椭圆E上，故+=1．‎ 由解得x0=，y0=；无解．‎ 因此点P的坐标为（，）．‎ ‎18. (2017年江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14 cm和62 cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40 cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）‎ ‎（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；‎ ‎（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．‎ ‎18.解：（1）由正棱柱的定义，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC.‎ 记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.‎ 因为AC=10，AM=40，所以MC==30，从而sin∠MAC=，‎ 记AM与水面的交点为P1，过P1作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，‎ 则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1==16.‎ 答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.‎ ‎(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm)‎ ‎ ‎ ‎（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心．‎ 由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG．‎ 同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1．‎ 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处．‎ 过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK =OO1=32．‎ 因为EG = 14，E1G1= 62，‎ 所以KG1==24，从而GG1===40．‎ 设∠EGG1=α，∠ENG=β，则sin α=sin（+∠KGG1）=cos∠KGG1=.‎ 因为＜α＜π，所以cos α=-.‎ 在△ENG中，由正弦定理可得=，解得sin β=.‎ 因为0＜β＜，所以cos β=.‎ 于是sin∠NEG=sin（π-α-β）=sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β=×+（-）×=．‎ 记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，‎ 故P2Q2=12，从而EP2==20．‎ 答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm．‎ ‎(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm)‎ ‎19. (2017年江苏)对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an ‎}是“p（k）数列”．‎ ‎（1）证明：等差数列{an}是“p（3）数列”；‎ ‎（2）若数列{an}既是“p（2）数列”，又是“p（3）数列”，证明：{an}是等差数列．‎ ‎19.解：（1）因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an=a1+(n-1)d，‎ 从而，当n≥4时，an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d ‎=2a1+2(n-1)d=2an，k=1，2，3，‎ 所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，‎ 因此等差数列{an}是“p（3）数列”．‎ ‎（2）数列{an}既是“p（2）数列”，又是“p（3）数列”，因此，‎ 当n≥3时，an-2+an-1+an+1+an+2=4an，①‎ 当n≥4时，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an．②‎ 由①知，an-3+an-2=4an-(an+an+1)，③‎ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an)，④‎ 将③④代入②，得an-1+an+1=2an，其中n≥4，‎ 所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′．‎ 在①中，取n=4，则a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3- d′，‎ 在①中，取n=3，则a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=a3-2d′，‎ 所以数列{an}是等差数列．‎ ‎20. (2017年江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a＞0，b∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）‎ ‎（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）证明：b2＞3a；‎ ‎（3）若f(x)，f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于-，求a的取值范围．‎ ‎20.解：（1）由f(x)=x3+ax2+bx+1，得f′(x)=3x2+2ax+b=3(x+)2+b-．‎ 当x=-时，f′(x)有极小值b-．‎ 因为f′(x)的极值点是f(x)的零点．‎ 所以f(-)=-+-+1=0，又a＞0，故b=+．‎ 因为f(x)有极值，故f′(x)=0有实根，从而b-=(27-a3)≤0，即a≥3．‎ 当a=3时，f′(x)＞0（x≠-1），故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；‎ 当a＞3时，f′(x)=0有两个相异的实根x1=，x2=．‎ 列表如下：‎ x ‎（-∞，x1）‎ x1‎ ‎（x1，x2）‎ x2‎ ‎（x2，+∞）‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 故f(x)的极值点是x1，x2．从而a＞3．‎ 因此b=+，定义域为（3，+∞）．‎ ‎（2）由（1）知，=+.‎ 设g（t）=+，则g′（t）=-=.‎ 当t∈（，+∞）时，g′（t）＞0，从而g（t）在（，+∞）上单调递增.‎ 因为a＞3，所以a＞3，故g（a）＞g（3）=，即＞.‎ 因此b2＞3a.‎ ‎（3）由（1）知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1+x2=-a，x12+x22=．‎ 从而f(x1)+f(x2)=x13+ax12+bx1+1+x23+ax22+bx2+1‎ ‎=(3x12+2ax1+b)+(3x22+2ax2+b)+a(x12+ x22)+b(x1+x2)+2‎ ‎=-+2=0.‎ 记f(x)，f′(x)所有极值之和为h(a)，‎ 因为f′(x)的极值为b-=-a2+，所以h(a)=-a2+，a＞3．‎ 因为h′(a)=-a-＜0，于是h(a)在（3，+∞）上单调递减．‎ 因为h（6）=-，于是h（a）≥h（6），故a≤6．‎ 因此a的取值范围为（3，6]．‎ ‎21. (2017年江苏)‎ A．[选修4-1：几何证明选讲] ‎ 如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．‎ 求证：（1）∠PAC=∠CAB；‎ ‎ （2）AC2=AP·AB．‎ 解：（1）因为PC切半圆O于点C，所以∠PCA=∠CBA，‎ 因为AB为半圆O的直径，所以∠ACB=90°.‎ 因为AP⊥PC，所以∠APC=90°，所以∠APC=∠CBA.‎ ‎（2）由（1）知，△APC∽△ACB，故=，即AC2=AP·AB．‎ B．[选修4-2：矩阵与变换]‎ 已知矩阵A=[0 1 1 0]，B=[1 0 0 2].‎ ‎（1）求AB；‎ ‎（2）若曲线C1：+=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．‎ 解：（1）因为A=[0 1 1 0]，B=[1 0 0 2]，‎ 所以AB=[0 1 1 0] [1 0 0 2] = [0 1 2 0].‎ ‎（2）设Q（x0，y0）为曲线C1上的任意一点，‎ 它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x，y)，‎ 则[0 1 2 0] [x0 y0 ]= [x y]，即所以 因为点Q（x0，y0）在曲线C1上，所以+=1，‎ 从而+=1，即x2+y2=8．‎ 因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2+y2=8．‎ C．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎(2017年江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参考方程为 (t为参数),‎ 曲线C的参数方程为 (s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.‎ ‎【解析】直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.‎ 因为点P在曲线C上,设P(2s2,2s),‎ 所以点P到直线l的距离d＝＝.‎ 当s＝时,dmin＝.‎ 所以当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离的最小值为.‎ D．［选修4-5：不等式选讲］‎ 已知a,b,c,d为实数,且a2＋b2＝4,c2＋d2＝16.求证：ac＋bd≤8.‎ ‎【证明】由柯西不等式得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).‎ 因为a2＋b2＝4,c2＋d2＝16,‎ 所以(ac＋bd)2≤64,‎ 所以ac＋bd≤8.‎ ‎22. (2017年江苏)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．‎ ‎（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角B-A1D-A的正弦值．‎ ‎22.解：在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E．‎ 因为AA1平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD．‎ 如图，以{，， }为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz．‎ 因为AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．‎ 则A（0，0，0），B（，-1，0），D（0，2，0），E（，0，0），A1（0，0，），C1（，1，）.‎ ‎（1）=（，-1，-），=（，1，），‎ 则cos<，>===-.‎ 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．‎ ‎（2）平面A1DA的一个法向量为=（，0，0）.‎ 设m=（x，y，z）为平面BA1D的一个法向量，‎ 又=（，-1，-），=（-，3，0），则即 不妨取x=3，则y=，z=2，所以m=（3，，2）为平面BA1D的一个法向量，‎ 从而cos<，m>===，‎ 设二面角B-A1D-A的大小为θ，则|cos θ|=．‎ 因为θ∈[0，π]，所以sin θ= =．‎ ‎23. (2017年江苏)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ m+n ‎（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P；‎ ‎（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)＜．‎ ‎23.解：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P为：P==．‎ ‎（2）随机变量X的概率分布为 X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 随机变量X的期望为E(X)==.‎ 所以E(X)＜= ‎=(1+Cn-2 n-1+Cn-2 n+…+Cn-2 m+n-2)‎ ‎=(Cn-1 n-1+Cn-2 n-1+Cn-2 n+…+Cn-2 m+n-2)‎ ‎=(Cn-1 n+ Cn-2 n+…+Cn-2 m+n-2)‎ ‎=…=(Cn-1 m+n-2+Cn-2 m+n-2)‎ ‎==,‎ 即E(X)＜．‎