备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题42 点、线、面的位置关系

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题42 点、线、面的位置关系

专题42 点、线、面的位置关系 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 平面的基本性质、点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，关于平行关系、垂直关系的证明，多是解答题的一问．平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点，因此，要加强基本判定定理、性质定理的理解与记忆.本专题通过例题说明点、直线、平面之间的位置关系问题求解方法,为解答更为复杂的问题提供坚实基础.‎ ‎（一）直线与直线位置关系：‎ ‎1、线线平行的判定 ‎（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行 ‎（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行 ‎（3）面面平行性质：‎ ‎2、线线垂直的判定 ‎ ‎（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直 直线与平面位置关系：‎ ‎（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直 ‎（二）直线与平面的位置关系 ‎1、线面平行判定定理：‎ ‎（1）若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则 ‎（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行 ‎2、线面垂直的判定：‎ ‎（1）若直线与平面上的两条相交直线垂直，则 ‎（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直 ‎（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直 ‎（三）平面与平面的位置关系 ‎1、平面与平面平行的判定：‎ ‎（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行 ‎（2）平行于同一个平面的两个平面平行 ‎2、平面与平面垂直的判定 如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直 19‎ ‎（四）利用空间向量判断线面位置关系 ‎1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量 ‎ 平面：法向量 ‎2、向量关系与线面关系的转化：‎ 设直线对应的法向量为，平面对应的法向量为（其中在外）‎ ‎（1）∥∥‎ ‎（2）‎ ‎（3）∥‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎3、有关向量关系的结论 ‎（1）若，则 平行+平行→平行 ‎（2）若，则 平行+垂直→垂直 ‎（3）若，则的位置关系不定.‎ ‎4、如何用向量判断位置关系命题真假 ‎（1）条件中的线面关系翻译成向量关系 ‎（2）确定由条件能否得到结论 ‎（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假 ‎【经典例题】‎ 例1.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ ）‎ ‎ A． B．‎ 19‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 例2.【2019届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】设是两条不同的直线，时一个平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 ‎【答案】C ‎【解析】对于A，若还可以相交或异面，故A是错误的；‎ 对于B. 若，可以是平行的，故B是错误的；‎ 对于C. 若则，显然C是正确的；‎ 对于D. 若则，显然D是错误的.‎ 故选：C.‎ 例3.【2019届河北省邢台市高三上第二次月考】已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，若，直线平面，直线平面，则与 19‎ 可能平行、相交、异面，故不正确；对于B，若，直线平面，直线平面，则与可能平行也可能相交，故B不正确；对于C, 若, 与的位置不确定，故C不正确；对于D，若 ，直线平面，则直线平面，又因直线平面，则正确；故选D.‎ 例4.【2019届云南省昆明市5月检测】在正方体中，分别是的中点，则（ ）‎ A. B. C. 平面 D. 平面 ‎【答案】D 平行的一条直线，证其垂直于平面.故分别取的中点P、Q，连接PM、QN、PQ.可得四边形为平行四边形.进而可得.正方体中易得，由直线与平面垂直的判定定理可得平面.进而可得平面.‎ 详解：对于选项A，因为分别是的中点，所以点平面，点 平面，所以直线MN是平面的交线，‎ 又因为直线在平面内，故直线MN与直线不可能平行，故选项A错；‎ ‎ 对于选项B，正方体中易知 ，因为点是的中点，所以直线 与直线不垂直.故选项B不对；‎ 对于选项C ,假设平面，可得.因为是的中点，‎ 所以 .这与矛盾.故假设不成立.‎ 所以选项C不对；‎ 对于选项D,分别取的中点P、Q，连接PM、QN、PQ.‎ 19‎ 因为点是的中点，所以且.同理且.‎ 故选D.‎ 点睛：在立体图形中判断直线与直线、直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线平行、垂直的判定定理、性质定理，直线与平面平行、垂直的判定定理、性质定理.注意直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直之间的互相推导.‎ 要判断选项错误，可用反证法得到矛盾.‎ 例5.【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若，那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若，那么，成立，反过来时，也能推出,所以C成立，D.若，则，显然不成立，故选C.‎ 19‎ 例6.【2019届安徽省六安市毛坦厂中学四月月考】已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：‎ ‎①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中说法正确的个数为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：‎ ‎④若，则，或或与相交且与不垂直.‎ 故选C.‎ 例7．【2019届福建省三明市5月测试】如图，已知正方体的棱长为2，则以下四个命题中错误的是 A. 直线与为异面直线 B. 平面 C. D. 三棱锥的体积为 19‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：在A中，由异面直线判定定理得直线A1C1与AD1为异面直线；在B中，由A1C1∥AC，得A1C1∥平面ACD1；在C中，由AC⊥BD，AC⊥DD1，得AC⊥面BDD1，从而BD1⊥AC；在D中，三棱锥D1﹣ADC的体积为．‎ 在D中，三棱锥D1﹣ADC的体积：‎ ‎==，故D错误．‎ 故选：D．‎ 例8. 【2019届广西钦州市第三次检测】如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论正确的是__________．‎ ‎①对于任意的点，都有 ‎②对于任意的点，四边形不可能为平行四边形 ‎③存在点，使得为等腰直角三角形 ‎④存在点，使得直线平面 ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】分析：根据面面平行的性质判断A，B，使用假设法判断C，D．‎ 19‎ 详解：（1）∵AB∥CD，AA1∥DD1，‎ ‎∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1，∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP，平面APQR∩平面CDD1C1=RQ，‎ ‎∴AP∥QR，故A正确．‎ ‎ ‎ 例9.【2017山东，文18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,‎ ‎（Ⅰ）证明：∥平面B1CD1;‎ ‎（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1. ‎ ‎【答案】①证明见解析.②证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 19‎ 试题分析：（Ⅰ）取中点,证明,（Ⅱ）证明面.‎ ‎ ‎ ‎(II)因为 ,，分别为和的中点,‎ 所以, ‎ 因为为正方形,所以,‎ 又 平面,平面 所以 因为 所以 又平面，.‎ 所以平面 又平面,‎ 所以平面平面.‎ 19‎ 点睛：证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行．‎ 例10.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎ ‎ 19‎ 由（I）知，平面，所以平面.‎ 所以三棱锥的体积. ‎ 点睛：线线，线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1.如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（ ）‎ 19‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎2．【2019届河南省南阳市第一中学第十五次考】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的个数（ ）‎ ‎①若则∥； ②若∥，，则；‎ ‎③若∥，则∥； ④若，则.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】分析：根据直线与平面的位置关系的判定和性质，即可判定命题的真假.‎ 详解：对于①中，若，则或，所以不正确；‎ 对于②中，若，则，又由，所以是正确；‎ 对于③中，若，则或与相交，所以不正确；‎ 对于④中，若，则，又由，所以是正确的，‎ 综上正确命题的个数为2个，故选B.‎ ‎3.【2019届东北三省三校（哈尔滨师范大学附属中学）三模】已知互不相同的直线，，和平面，，，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若与为异面直线，，，则；‎ B. 若，，，则；‎ C. 若，，，，则；‎ D. 若，，则 19‎ ‎【答案】C ‎4．【2019届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知互不相同的直线和平面,则下列命题正确的是( ）‎ A. 若与为异面直线,,则 B. 若.则 C. 若, 则 D. 若.则 ‎【答案】C.‎ ‎【解析】分析：对于，可利用面面平行的判定定理进行判断；对于，可利用线面平行的判定定理进行判断；对于，可利用面面垂直的性质进行判断. ‎ 详解：若与为异面直线，，则与平行或相交，错，排除；‎ 若，则与平行或异面，错，排除；‎ 若，则或相交，错，排除，故选C.‎ ‎5.【2019届广东省湛江市二模】下列命题正确的是：‎ ‎①三点确定一个平面；‎ ‎②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；‎ ‎③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；‎ ‎④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面.‎ A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③‎ ‎【答案】C 19‎ ‎④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，该说法正确.‎ 综上可得：命题正确的是：②④ .‎ 本题选择C选项.‎ ‎6.【2019届河北省武邑中学一模】已知平面，直线，且有，给出下列命题：‎ ‎①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确命题个数有（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用线面平行、垂直的判定定理与性质定理进行判断即可.‎ 详解：有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：‎ ‎①若α∥β，∴l⊥β，又m⊂β，则l⊥m，正确；‎ ‎②若l∥m，m⊂β，则α⊥β，正确；‎ ‎③若α⊥β，则l∥m或异面直线，不正确；‎ ‎④若l⊥m，则α∥β或相交，因此不正确．‎ 其中，正确命题个数为2．‎ 故选：B．‎ ‎7.【2016高考新课标2理数】 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果，那么.‎ ‎（2）如果，那么.‎ ‎（3）如果，那么.‎ ‎（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）‎ 19‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ ‎8.如图，在正方体中，过对角线的一个平面交于点，交于.‎ ‎①四边形一定是平行四边形；‎ ‎②四边形有可能是正方形；‎ ‎③四边形在底面内的投影一定是正方形；‎ ‎④四边形有可能垂直于平面．‎ 以上结论正确的为_______________．（写出所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】分析：由题意结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.‎ 详解：如图所示：‎ ‎①由于平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1，四点共面，故ED1∥BF，‎ 同理可证，FD1∥EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故①正确；‎ 19‎ ‎9．【2019届江苏省南京市三模】已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，有如下四个命题：‎ ‎①若，则； ②若，则； ‎ ‎③若，则； ④若，则．‎ 其中真命题为_________（填所有真命题的序号）．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．‎ 详解：对于①，当l⊥α，l⊥β时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知α∥β，①正确；‎ 对于②，l⊥α，α⊥β时，有l∥β或l⊂β，∴②错误；‎ 对于③，l∥α，l⊥β时，根据线面平行的性质与面面垂直的定义知α⊥β，∴③正确；‎ 对于④，l∥α，α⊥β时，有l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交，∴④错误．‎ 综上，以上真命题为①③．‎ 故答案为：①③‎ ‎10.【2017江苏，15】 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.‎ 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 19‎ ‎【解析】证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.‎ 又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC. ‎ ‎11. 如图，已知菱形的边长为，，，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由题意知，为的中点， 为的中点， ．‎ 又 平面，平面， 平面．‎ ‎（2）由题意结合勾股定理可得．由菱形的性质可得；结合线面垂直的判断定理可得平面，则平面平面．‎ 详解：（1）由题意知，为的中点， 为的中点， ．‎ 又 平面，平面， 平面．‎ 19‎ ‎（2）由题意知，，， ，‎ 点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．‎ ‎(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．‎ ‎12．【2019年山东省烟台市春季高考一模】如图，在四棱锥中，平面，，．‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）设点为的中点，点为中点，求证平面． ‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意得，，利用线面垂直的判定定理，即可得到面．‎ ‎（2）由题意，又面，得，证得平面，利用面面垂直的判定定理，即 19‎ ‎（2）∵，，∴．‎ 又∵面，面，∴，‎ 又，‎ ‎∴ ，‎ 又面，‎ ‎∴面面．‎ ‎（3）在中，为中点，为中点，‎ ‎∴，‎ 又 ∵面，面，‎ ‎∴ 面．‎ 19‎