备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题42 点、线、面的位置关系

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文档介绍

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题42 点、线、面的位置关系

专题42 点、线、面的位置关系 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 平面的基本性质、点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点,题型多为选择题或填空题,关于平行关系、垂直关系的证明,多是解答题的一问.平面的基本性质是立体几何的基础,而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点,因此,要加强基本判定定理、性质定理的理解与记忆.本专题通过例题说明点、直线、平面之间的位置关系问题求解方法,为解答更为复杂的问题提供坚实基础.‎ ‎(一)直线与直线位置关系:‎ ‎1、线线平行的判定 ‎(1)平行公理:空间中平行于同一直线的两条直线平行 ‎(2)线面平行性质:如果一条直线与平面平行,则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行 ‎(3)面面平行性质:‎ ‎2、线线垂直的判定 ‎ ‎(1)两条平行直线,如果其中一条与某直线垂直,则另一条直线也与这条直线垂直 直线与平面位置关系:‎ ‎(2)线面垂直的性质:如果一条直线与平面垂直,则该直线与平面上的所有直线均垂直 ‎(二)直线与平面的位置关系 ‎1、线面平行判定定理:‎ ‎(1)若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行,则 ‎(2)若两个平面平行,则一个平面上的任一直线与另一平面平行 ‎2、线面垂直的判定:‎ ‎(1)若直线与平面上的两条相交直线垂直,则 ‎(2)两条平行线中若其中一条与平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直 ‎(3)如果两个平面垂直,则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直 ‎(三)平面与平面的位置关系 ‎1、平面与平面平行的判定:‎ ‎(1)如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行,则两个平面平行 ‎(2)平行于同一个平面的两个平面平行 ‎2、平面与平面垂直的判定 如果一条直线与一个平面垂直,则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直 19‎ ‎(四)利用空间向量判断线面位置关系 ‎1、刻画直线,平面位置的向量:直线:方向向量 ‎ 平面:法向量 ‎2、向量关系与线面关系的转化:‎ 设直线对应的法向量为,平面对应的法向量为(其中在外)‎ ‎(1)∥∥‎ ‎(2)‎ ‎(3)∥‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎3、有关向量关系的结论 ‎(1)若,则 平行+平行→平行 ‎(2)若,则 平行+垂直→垂直 ‎(3)若,则的位置关系不定.‎ ‎4、如何用向量判断位置关系命题真假 ‎(1)条件中的线面关系翻译成向量关系 ‎(2)确定由条件能否得到结论 ‎(3)将结论翻译成线面关系,即可判断命题的真假 ‎【经典例题】‎ 例1.【2017课标1,文6】如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB与平面MNQ不平行的是( )‎ ‎ A. B.‎ 19‎ ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 例2.【2019届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】设是两条不同的直线,时一个平面,则下列说法正确的是( )‎ A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 ‎【答案】C ‎【解析】对于A,若还可以相交或异面,故A是错误的;‎ 对于B. 若,可以是平行的,故B是错误的;‎ 对于C. 若则,显然C是正确的;‎ 对于D. 若则,显然D是错误的.‎ 故选:C.‎ 例3.【2019届河北省邢台市高三上第二次月考】已知直线平面,直线平面,则下列命题正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A,若,直线平面,直线平面,则与 19‎ 可能平行、相交、异面,故不正确;对于B,若,直线平面,直线平面,则与可能平行也可能相交,故B不正确;对于C, 若, 与的位置不确定,故C不正确;对于D,若 ,直线平面,则直线平面,又因直线平面,则正确;故选D.‎ 例4.【2019届云南省昆明市5月检测】在正方体中,分别是的中点,则( )‎ A. B. C. 平面 D. 平面 ‎【答案】D 平行的一条直线,证其垂直于平面.故分别取的中点P、Q,连接PM、QN、PQ.可得四边形为平行四边形.进而可得.正方体中易得,由直线与平面垂直的判定定理可得平面.进而可得平面.‎ 详解:对于选项A,因为分别是的中点,所以点平面,点 平面,所以直线MN是平面的交线,‎ 又因为直线在平面内,故直线MN与直线不可能平行,故选项A错;‎ ‎ 对于选项B,正方体中易知 ,因为点是的中点,所以直线 与直线不垂直.故选项B不对;‎ 对于选项C ,假设平面,可得.因为是的中点,‎ 所以 .这与矛盾.故假设不成立.‎ 所以选项C不对;‎ 对于选项D,分别取的中点P、Q,连接PM、QN、PQ.‎ 19‎ 因为点是的中点,所以且.同理且.‎ 故选D.‎ 点睛:在立体图形中判断直线与直线、直线与平面的位置关系,应熟练掌握直线与直线平行、垂直的判定定理、性质定理,直线与平面平行、垂直的判定定理、性质定理.注意直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直之间的互相推导.‎ 要判断选项错误,可用反证法得到矛盾.‎ 例5.【2017课标3,文10】在正方体中,E为棱CD的中点,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三垂线逆定理,平面内的线垂直平面的斜线,那也垂直于斜线在平面内的射影,A.若,那么,很显然不成立;B.若,那么,显然不成立;C.若,那么,成立,反过来时,也能推出,所以C成立,D.若,则,显然不成立,故选C.‎ 19‎ 例6.【2019届安徽省六安市毛坦厂中学四月月考】已知是两个不同的平面,是一条直线,给出下列说法:‎ ‎①若,则;②若,则;③若,则;④若,则.其中说法正确的个数为( )‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:‎ ‎④若,则,或或与相交且与不垂直.‎ 故选C.‎ 例7.【2019届福建省三明市5月测试】如图,已知正方体的棱长为2,则以下四个命题中错误的是 A. 直线与为异面直线 B. 平面 C. D. 三棱锥的体积为 19‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:在A中,由异面直线判定定理得直线A1C1与AD1为异面直线;在B中,由A1C1∥AC,得A1C1∥平面ACD1;在C中,由AC⊥BD,AC⊥DD1,得AC⊥面BDD1,从而BD1⊥AC;在D中,三棱锥D1﹣ADC的体积为.‎ 在D中,三棱锥D1﹣ADC的体积:‎ ‎==,故D错误.‎ 故选:D.‎ 例8. 【2019届广西钦州市第三次检测】如图,在四棱柱中,平面,,,,为棱上一动点,过直线的平面分别与棱,交于点,,则下列结论正确的是__________.‎ ‎①对于任意的点,都有 ‎②对于任意的点,四边形不可能为平行四边形 ‎③存在点,使得为等腰直角三角形 ‎④存在点,使得直线平面 ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】分析:根据面面平行的性质判断A,B,使用假设法判断C,D.‎ 19‎ 详解:(1)∵AB∥CD,AA1∥DD1,‎ ‎∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1,∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP,平面APQR∩平面CDD1C1=RQ,‎ ‎∴AP∥QR,故A正确.‎ ‎ ‎ 例9.【2017山东,文18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,‎ ‎(Ⅰ)证明:∥平面B1CD1;‎ ‎(Ⅱ)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1. ‎ ‎【答案】①证明见解析.②证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 19‎ 试题分析:(Ⅰ)取中点,证明,(Ⅱ)证明面.‎ ‎ ‎ ‎(II)因为 ,,分别为和的中点,‎ 所以, ‎ 因为为正方形,所以,‎ 又 平面,平面 所以 因为 所以 又平面,.‎ 所以平面 又平面,‎ 所以平面平面.‎ 19‎ 点睛:证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行.‎ 例10.【2017北京,文18】如图,在三棱锥P–ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.‎ ‎(Ⅰ)求证:PA⊥BD;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅲ)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E–BCD的体积.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎ ‎ 19‎ 由(I)知,平面,所以平面.‎ 所以三棱锥的体积. ‎ 点睛:线线,线面的位置关系以及证明是高考的重点内容,而其中证明线面垂直又是重点和热点,要证明线面垂直,根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直,而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直,或是根据面面垂直,平面内的线垂直于交线,则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1.如图,是正方体的棱上的一点(不与端点重合),平面,则( )‎ 19‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎2.【2019届河南省南阳市第一中学第十五次考】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的个数( )‎ ‎①若则∥; ②若∥,,则;‎ ‎③若∥,则∥; ④若,则.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】分析:根据直线与平面的位置关系的判定和性质,即可判定命题的真假.‎ 详解:对于①中,若,则或,所以不正确;‎ 对于②中,若,则,又由,所以是正确;‎ 对于③中,若,则或与相交,所以不正确;‎ 对于④中,若,则,又由,所以是正确的,‎ 综上正确命题的个数为2个,故选B.‎ ‎3.【2019届东北三省三校(哈尔滨师范大学附属中学)三模】已知互不相同的直线,,和平面,,,则下列命题正确的是( )‎ A. 若与为异面直线,,,则;‎ B. 若,,,则;‎ C. 若,,,,则;‎ D. 若,,则 19‎ ‎【答案】C ‎4.【2019届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知互不相同的直线和平面,则下列命题正确的是( )‎ A. 若与为异面直线,,则 B. 若.则 C. 若, 则 D. 若.则 ‎【答案】C.‎ ‎【解析】分析:对于,可利用面面平行的判定定理进行判断;对于,可利用线面平行的判定定理进行判断;对于,可利用面面垂直的性质进行判断. ‎ 详解:若与为异面直线,,则与平行或相交,错,排除;‎ 若,则与平行或异面,错,排除;‎ 若,则或相交,错,排除,故选C.‎ ‎5.【2019届广东省湛江市二模】下列命题正确的是:‎ ‎①三点确定一个平面;‎ ‎②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面;‎ ‎③如果两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面;‎ ‎④如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面.‎ A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③‎ ‎【答案】C 19‎ ‎④如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面,该说法正确.‎ 综上可得:命题正确的是:②④ .‎ 本题选择C选项.‎ ‎6.【2019届河北省武邑中学一模】已知平面,直线,且有,给出下列命题:‎ ‎①若,则;②若,则;③若,则;④若,则,其中正确命题个数有( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:利用线面平行、垂直的判定定理与性质定理进行判断即可.‎ 详解:有l⊥α,m⊂β,给出下列命题:‎ ‎①若α∥β,∴l⊥β,又m⊂β,则l⊥m,正确;‎ ‎②若l∥m,m⊂β,则α⊥β,正确;‎ ‎③若α⊥β,则l∥m或异面直线,不正确;‎ ‎④若l⊥m,则α∥β或相交,因此不正确.‎ 其中,正确命题个数为2.‎ 故选:B.‎ ‎7.【2016高考新课标2理数】 是两个平面,是两条直线,有下列四个命题:‎ ‎(1)如果,那么.‎ ‎(2)如果,那么.‎ ‎(3)如果,那么.‎ ‎(4)如果,那么与所成的角和与所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号)‎ 19‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ ‎8.如图,在正方体中,过对角线的一个平面交于点,交于.‎ ‎①四边形一定是平行四边形;‎ ‎②四边形有可能是正方形;‎ ‎③四边形在底面内的投影一定是正方形;‎ ‎④四边形有可能垂直于平面.‎ 以上结论正确的为_______________.(写出所有正确结论的编号)‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】分析:由题意结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.‎ 详解:如图所示:‎ ‎①由于平面BCB1C1∥平面ADA1D1,并且B、E、F、D1,四点共面,故ED1∥BF,‎ 同理可证,FD1∥EB,故四边形BFD1E一定是平行四边形,故①正确;‎ 19‎ ‎9.【2019届江苏省南京市三模】已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,有如下四个命题:‎ ‎①若,则; ②若,则; ‎ ‎③若,则; ④若,则.‎ 其中真命题为_________(填所有真命题的序号).‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】分析:①,根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确;②,根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误;③,根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确;④,根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误.‎ 详解:对于①,当l⊥α,l⊥β时,根据线面垂直的性质和面面平行的定义知α∥β,①正确;‎ 对于②,l⊥α,α⊥β时,有l∥β或l⊂β,∴②错误;‎ 对于③,l∥α,l⊥β时,根据线面平行的性质与面面垂直的定义知α⊥β,∴③正确;‎ 对于④,l∥α,α⊥β时,有l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交,∴④错误.‎ 综上,以上真命题为①③.‎ 故答案为:①③‎ ‎10.【2017江苏,15】 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.‎ 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 19‎ ‎【解析】证明:(1)在平面内,因为AB⊥AD,,所以.‎ 又因为平面ABC,平面ABC,所以EF∥平面ABC. ‎ ‎11. 如图,已知菱形的边长为,,,将菱形沿对角线折起,得到三棱锥,点是棱的中点,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:平面平面.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】分析:(1)由题意知,为的中点, 为的中点, .‎ 又 平面,平面, 平面.‎ ‎(2)由题意结合勾股定理可得.由菱形的性质可得;结合线面垂直的判断定理可得平面,则平面平面.‎ 详解:(1)由题意知,为的中点, 为的中点, .‎ 又 平面,平面, 平面.‎ 19‎ ‎(2)由题意知,,, ,‎ 点睛:(1)有关折叠问题,一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系,哪些变,哪些不变.‎ ‎(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母线或棱展开,转化为平面上两点间的最短距离问题.‎ ‎12.【2019年山东省烟台市春季高考一模】如图,在四棱锥中,平面,,.‎ ‎(1)求证:平面; ‎ ‎(2)求证:平面平面;‎ ‎(3)设点为的中点,点为中点,求证平面. ‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.‎ ‎【解析】分析:(1)由题意得,,利用线面垂直的判定定理,即可得到面.‎ ‎(2)由题意,又面,得,证得平面,利用面面垂直的判定定理,即 19‎ ‎(2)∵,,∴.‎ 又∵面,面,∴,‎ 又,‎ ‎∴ ,‎ 又面,‎ ‎∴面面.‎ ‎(3)在中,为中点,为中点,‎ ‎∴,‎ 又 ∵面,面,‎ ‎∴ 面.‎ 19‎
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