高考数学第一轮复习数列理

高考数学第一轮复习数列理

高考数学（理）一轮复习 数列 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)‎ ‎1、（2012辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11= （　　）‎ A．58 B．‎88 ‎C．143 D．176‎ ‎2．（2012新课标理）已知为等比数列,,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3、【山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理】已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（ ）‎ ‎(A). -110 (B). -90‎ ‎(C). 90 (D). 110‎ ‎4、【2012福建宁德质检理】设为等差数列的前n项和，若，则等于（ ）‎ ‎ A．7 B．‎15 ‎C．30 D．31‎ ‎5．夏季高山上气温从山脚起每升高‎100 m降低‎0.7 ℃‎，已知山顶的气温是‎14.1 ℃‎，山脚的气温是‎26 ℃‎.那么，此山相对于山脚的高度是(　　)‎ A．‎1500 m B．‎‎1600 m C．‎1700 m D．‎‎1800 m ‎6、【广东省惠州市2012届高三一模（四调）（理数）】公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项，，则等于 （ ） ‎ A．18 B．‎24 ‎‎ C．60 D．90 ‎ ‎7 ．（2012安徽理）公比为等比数列的各项都是正数,且,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、【2012黑龙江绥化市一模理】已知数列{}，若点 （）在经过点的定直l上，则数列{}的前9项和=( )‎ A. 9 B. ‎10 C. 18 D.27‎ ‎9．若m，n，m＋n成等差数列，m，n，m·n成等比数列，则椭圆＋＝1的离心率为(　　)‎ A. 　 B.　　C. 　D. ‎10．【2012泉州四校二次联考理】满足，它的前项和为，则满足的最小值是（　　）‎ A．9 B．‎10 ‎ 　　C．11 　　D．12‎ ‎11．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是此数列中的(　　)‎ A．第48项 B．第49项 C．第50项 D．第51项 ‎12 ．（2012湖北理）定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:‎ ‎①;②;③;④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （　　）‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)‎ ‎13、（2012江西理）设数列都是等差数列,若,则_________‎ ‎14．【2012粤西北九校联考理】在数列中，，为数列的前项和且，则 ; ‎ ‎15．（2012广东理）已知递增的等差数列满足,,则_____________‎ ‎16．（2012年高考（福建理））数列的通项公式,前项和为,则___________.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分) 【广东省肇庆市2012届高三第一次模拟理】已知数列是一个等差数列，且，.‎ ‎（I）求的通项；‎ ‎（II）设，,求的值。‎ ‎18．(本小题满分12分) （2012湖北理）已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.‎ ‎(Ⅰ)求等差数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.‎ ‎19．(本小题满分12分) （2012天津理）已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=,,.‎ ‎(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记,,证明.‎ ‎20．(本小题满分12分) 【山东省济南市2012届高三12月考】28. （本小题满分8分）‎ 已知是一个公差大于0的等差数列，且满足.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）等比数列满足：，若数列，求数列 的前n项和.‎ ‎21．(本小题满分12分) 【2012武昌区高三年级元月调研】某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0．4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，1：作时间为n天．‎ ‎（I）工作n天，记三种付费方式薪酬总金额依次为An，Bn，Cn，写出An，Bn，Cn 关于n的表达式；‎ ‎（II）如果n=10，你会选择哪种方式领取报酬？‎ ‎22．(本小题满分12分) （2012广东理）设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1. 【答案】B ‎ ‎【解析】在等差数列中,,答案为B ‎ ‎2. 【答案】D ‎【解析】,或 ‎ ‎ ‎ ‎3、【答案】D ‎【解析】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为-2，所以a72=a3•a9，所以a72=（a7+8）（a7-4），所以a7=8，所以a1=20，‎ 所以S10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。故选D ‎4、【答案】B ‎【解析】由等差数列通项公式得：‎ ‎5、【答案】C ‎【解析】14.1＝26＋（－0.7）（n－1），解得n＝18‎ bn＝0＋（18－1）×100＝1700‎ ‎6、【答案】C ‎【解析】由得得,‎ 再由得则,‎ 所以．故选C.‎ ‎7.【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎8、8、【答案】D ‎【解析】点（）在经过点的定直l上，，根据等差数列性质得：=27‎ ‎9、【答案】B 解析　由题意知2n＝m＋m＋n ‎∴n＝‎2m，n2＝m·m·n，∴n＝m2，∴m2＝‎‎2m ‎∴m＝2，∴n＝4，∴a2＝4，b2＝2，c2＝2‎ ‎∴e＝＝ ‎10、【答案】C ‎【解析】因为，所以，，，则满足的最小值是11；‎ ‎11、【答案】C 解析　将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n组n个，()，(，)，(，，)，…，(，，…，)，则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50‎ ‎12. 【答案】 C ‎ ‎【解析】设数列的公比为.对于①,,是常数,故①符合条件;对于②,,不是常数,故②不符合条件;对于③, ‎ ‎,是常数,故③符合条件;对于④, ,不是常数,故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C. ‎ 二、填空题 ‎13、【答案】35‎ ‎【解析】(解法一)因为数列都是等差数列,所以数列也是等差数列. ‎ 故由等差中项的性质,得,即,解得. ‎ ‎(解法二)设数列的公差分别为, ‎ 因为, ‎ 所以.所以. ‎ ‎14、【答案】 ‎ ‎ 【解析】因为，两式相减得，求得 ‎15. 【答案】‎ 解析:设公差为(),则有,解得,所以.‎ ‎16、【答案】 ‎ ‎【解析】由,可得 ‎ 三、解答题 ‎17、【答案】（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，（2分） ‎ 解得，．（4分）‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）∵，∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎18、解析:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,, ‎ 由题意得 解得或 ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎ ‎,或. ‎ 故,或. ‎ ‎(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列; ‎ 当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件. ‎ 故 ‎ 记数列的前项和为. ‎ 当时,;当时,; ‎ 当时, ‎ ‎ ‎ ‎. 当时,满足此式. ‎ 综上, ‎ ‎19、(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故 ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎20、解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，则依题设d>0 ‎ 由.得 ① ‎ 由得 ② ‎ 由①得将其代入②得。即 ‎∴,又,代入①得, ‎ ‎∴. ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ∴, ‎ ‎ ‎ 错位相减可得：‎ 整理得：‎ ‎∴ ‎ ‎21、【解析】（Ⅰ）三种付酬方式每天金额依次为数列，，，它们的前项和依次分别为．依题意，‎ 第一种付酬方式每天金额组成数列为常数数列，．‎ 第二种付酬方式每天金额组成数列为首项为4，公差为4的等差数列，‎ 则．‎ 第三种付酬方式每天金额组成数列为首项是0．4，公比为2的等比数列，‎ 则． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时， ‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎．‎ 所以．‎ 答：应该选择第三种付酬方案 ‎22. 解析:(Ⅰ)由,解得. ‎ ‎(Ⅱ)由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以为首项,3为公比的等比数列.由可得,,所以,即(),当时,,也满足该式子,所以数列的通项公式是. ‎ ‎(Ⅲ)因为,所以,所以,于是.‎ 点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题,该加强命题的思考过程如下. ‎ 考虑构造一个公比为的等比数列,其前项和为,希望能得到,考虑到,所以令即可.由 的通项公式的形式可大胆尝试令,则,于是,此时只需证明就可以了. ‎ 当然,的选取并不唯一,也可令,此时,,与选取不同的地方在于,当时,,当时,,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法. ‎ 当时,;当时,;当时,. ‎ 当时,,所以 ‎ ‎. ‎ 综上所述,命题获证. ‎ 下面再给出的两个证法. ‎ 法1:(数学归纳法) ‎ ‎①当时,左边,右边,命题成立. ‎ ‎②假设当(,)时成立,即成立.为了证明当时命题也成立,我们首先证明不等式:(,). ‎ 要证,只需证,只需证,只需证,只需证,该式子明显成立,所以. ‎ 于是当时,,所以命题在时也成立. ‎ 综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数,有. ‎ 备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识. ‎ 法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) ‎ 当时,显然成立.当时,显然成立. ‎ 当时, ‎ ‎,又因为,所以(),所以(),所以 ‎ ‎. ‎ 综上所述,命题获证.‎