高考新课标Ⅱ卷文数试题解析精编

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高考新课标Ⅱ卷文数试题解析精编

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)已知集合,则 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:由得,所以,因为,所以,故选D.‎ ‎【考点】 一元二次不等式的解法,集合的运算 ‎【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图处理.‎ ‎ (2)设复数z满足,则 =‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由得,所以,故选C.‎ ‎【考点】 复数的运算,共轭复数 ‎【名师点睛】复数的共轭复数是,据此先化简再计算即可.‎ ‎ (3) 函数 的部分图像如图所示,则 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由题图知,,最小正周期,所以,所以.因为图象过点,所以,所以,所以,令,得,所以,故选A.‎ ‎【考点】 三角函数的图像与性质 ‎【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是:先根据函数图像的最高点、最低点确定A,h的值,由函数的周期确定ω的值,再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值.‎ ‎ (4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:因为正方体的体积为8,所以棱长为2,所以正方体的体对角线长为,所以正方体的外接球的半径为,所以该球的表面积为,故选A.‎ ‎【考点】 正方体的性质,球的表面积 ‎【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个:‎ ‎ 外接球、内切球和与各条棱都相切的球,其半径分别为、和.‎ ‎ (5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=‎ ‎(A) (B)1 (C) (D)2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:因为是抛物线的焦点,所以,‎ 又因为曲线与交于点,轴,所以,所以,选D.‎ ‎【考点】 抛物线的性质,反比例函数的性质 ‎【名师点睛】抛物线方程有四种形式,注意焦点的位置. 对于函数y= ,当时,在,上是减函数,当时,在,上是增函数.‎ ‎ (6)圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1,则a=‎ ‎(A)− (B)− (C) (D)2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由配方得,所以圆心为,因为圆的圆心到直线的距离为1,所以,解得,故选A.‎ ‎【考点】 圆的方程,点到直线的距离公式 ‎【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况:相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时,常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系,以此来确定参数的值或取值范围.‎ ‎ (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ‎(A)20π (B)24π (C)28π (D)32π ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由题意可知,圆柱的侧面积为,圆锥的侧面积为,圆柱的底面面积为,故该几何体的表面积为,故选C.‎ ‎【考点】 三视图,空间几何体的体积 ‎【名师点睛】以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.‎ ‎ (8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为,故选B.‎ ‎【考点】几何概型 ‎【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法.‎ ‎ (9)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的 依次输入的a为2,2,5,则输出的s=‎ ‎(A)7‎ ‎(B)12‎ ‎(C)17‎ ‎(D)34‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由题意,,输入,则,循环;输入,则,循环;输入,,结束循环.故输出的,选C.‎ ‎【考点】 程序框图,直到型循环结构 ‎【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是高考的重点和热点.解决这类问题:首先,要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构;第二,要识别运行算法框图,理解框图解决的实际问题;第三,按照题目的要求完成解答.对框图的考查常与函数和数列等相结合,进一步强化框图问题的实际背景.‎ ‎ (10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是 ‎(A)y=x (B)y=lgx (C)y=2x (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:,定义域与值域均为,只有D满足,故选D.‎ ‎【考点】 函数的定义域、值域,对数的计算 ‎【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题,应熟记图象,运用数形结合思想求解.‎ ‎ (11)函数的最大值为 ‎(A)4 (B)5 (C)6 (D)7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:因为,而,所以当时,取得最大值5,选B.‎ ‎【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质 ‎【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时,函数取得最大值.‎ ‎ (12) 已知函数f(x)(x∈)满足f(x)=f(2−x),若函数 y=|x2−2x−3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则 ‎ ‎(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:因为的图像都关于对称,所以它们图像的交点也关于对称,当为偶数时,其和为;当为奇数时,其和为,因此选B.‎ ‎【考点】 函数图像的对称性 ‎【名师点睛】如果函数,,满足,恒有,那么函数的图象有对称轴;如果函数,,满足,恒有,那么函数的图象有对称中心.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本题共4小题,每小题5分。‎ ‎(13)已知向量a=(m,4),b=(3,−2),且a∥b,则m=___________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为a∥b,所以,解得.‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算 ,平行向量 ‎【名师点睛】如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.‎ ‎ (14)若x,y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由得,记为点;由得,记为点;由得,记为点.分别将A,B,C的坐标代入,得,,,所以的最小值为.‎ ‎【考点】 简单的线性规划 ‎【名师点睛】利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是:‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域;‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;‎ ‎(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解;‎ ‎(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.‎ ‎ (15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,a=1,则b=____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为,且为三角形的内角,所以,,又因为,所以. ‎ ‎【考点】 正弦定理,两角和、差的三角函数公式 ‎【名师点睛】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.‎ ‎ (16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3. 甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________________.‎ ‎【答案】1和3‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3,乙的卡片上的数字为2和3,丙的卡片上的数字为1和2.‎ ‎【考点】 推理 ‎【名师点睛】演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出具体陈述或个别结论的过程.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎(17) (本小题满分12分)‎ 等差数列{}中,.‎ ‎(Ⅰ)求{}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ) 设,求数列的前10项和,其中表示不超过的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)24.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ) 根据等差数列的通项公式及已知条件求,,从而求得;(Ⅱ)由(Ⅰ)求,再求数列的前10项和.‎ 试题解析:(Ⅰ)设数列的公差为d,由题意有.‎ 解得.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.‎ 当n=1,2,3时,;‎ 当n=4,5时,;‎ 当n=6,7,8时,;‎ 当n=9,10时,.‎ 所以数列的前10项和为.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式,数列的求和 ‎【名师点睛】求解本题时常出现以下错误:对“表示不超过的最大整数”理解出错.‎ ‎(18) (本小题满分12分)‎ 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(Ⅰ)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;‎ ‎(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;‎ ‎(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)由求P(A)的估计值;(Ⅱ)由求P(B)的估计值;(III)根据平均值的计算公式求解.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:‎ 试题解析:(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内险次数小于2的频率为,故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(Ⅱ)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为,故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(Ⅲ)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为 ‎,‎ 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.‎ ‎【考点】 样本数据的频率、由频率估计概率、平均值的计算 ‎【名师点睛】样本的数字特征常见的命题角度有:(1)样本的数字特征与频率分布直方图交汇;(2)样本的数字特征与茎叶图交汇;(3)样本的数字特征与优化决策问题交汇.‎ ‎(19) (本小题满分12分)‎ ‎ 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将沿EF折到的位置.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)若,求五棱锥的体积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)证,再证(Ⅱ)证明,再证平面,最后根据锥体的体积公式求五棱锥的体积.‎ 试题解析:(I)由已知得 又由得,故 由此得,所以 ‎(II)由得 由得 所以 ‎ 于是故 由(I)知,又,‎ 所以平面于是 又由,所以,平面 又由得 五边形的面积 所以五棱锥D'–ABCFE体积 ‎【考点】 空间中线面位置关系的判断,几何体的体积 ‎【名师点睛】立体几何中的折叠问题,应注意折叠前后线段的长度、角哪些变了,哪些没变.‎ ‎(20) (本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若当时,,求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)先求的定义域,再求,,,由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为(Ⅱ)构造新函数,对实数分类讨论,用导数法求解.‎ 试题解析:(I)的定义域为.当时,‎ ‎,‎ 曲线在处的切线方程为 ‎(II)当时,等价于 设,则 ‎,‎ ‎(i)当,时, ,故在上单调递增,因此;‎ ‎(ii)当时,令得 ‎.‎ 由和得,故当时,,在单调递减,因此.‎ 综上,的取值范围是 ‎【考点】 导数的几何意义,利用导数判断函数的单调性 ‎【名师点睛】求函数的单调区间的方法:‎ ‎(1)确定函数y=f(x)的定义域;‎ ‎(2)求导数y′=f′(x);‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.‎ ‎(21) (本小题满分12分)‎ 已知A是椭圆E:的左顶点,斜率为的直线交E于A,M两点,点N在E上,.‎ ‎(Ⅰ)当时,求的面积 ‎ (Ⅱ) 当时,证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)先求直线的方程,再求点的纵坐标,最后求的面积;(Ⅱ)设,将直线的方程与椭圆方程组成方程组,消去,用表示,从而表示,同理用表示,再由求的取值范围.‎ 试题解析:(Ⅰ)设,则由题意知.‎ 由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.‎ 又,因此直线的方程为.‎ 将代入得.‎ 解得或,所以.‎ 因此的面积.‎ ‎(Ⅱ)将直线的方程代入得 ‎.‎ 由得,故.‎ 由题设,直线的方程为,故同理可得.‎ 由得,即.‎ 设,则是的零点,,所以在单调递增.又,因此在有唯一的零点,且零点在内,所以.‎ ‎【考点】椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系 ‎【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题,通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解,注意计算的准确性.‎ 请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.‎ ‎(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;‎ ‎(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)证再证四点共圆;(Ⅱ)证明四边形的面积是面积的2倍. ‎ 试题解析:(I)因为,所以 则有 所以由此可得 由此所以四点共圆.‎ ‎(II)由四点共圆,知.连结.‎ 由为斜边的中点,知,故因此四边形的面积是面积的2倍,即 ‎【考点】 三角形相似、全等,四点共圆 ‎【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边.通过相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等,还可间接证明线段相等.‎ ‎(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,圆C的方程为.‎ ‎ (Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,,求l的斜率.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(I)利用,可得C的极坐标方程;(II)先将直线的参数方程化为极坐标方程,再利用弦长公式可得的斜率.‎ 试题解析:(I)由可得圆的极坐标方程 ‎(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为.‎ 设所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得.‎ 所以的斜率为或.‎ ‎【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化,直线的参数方程,弦长公式 ‎【名师点睛】极坐标与直角坐标互化时要注意:将点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一;将曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.‎ ‎(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数,M为不等式的解集.‎ ‎(Ⅰ)求M;‎ ‎(Ⅱ)证明:当a,b时,.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(I)先去掉绝对值,再分,和三种情况解不等式,即可得;(II)采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当,时,.‎ 试题解析:(I)‎ 当时,由得解得;‎ 当时,;‎ 当时,由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,,从而 ‎,‎ 因此 ‎【考点】绝对值不等式,不等式的证明. ‎ ‎【名师点睛】形如(或)型的不等式主要有两种解法:‎ ‎(1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应的方程的根,将数轴分为,, (此处设)三个部分,在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解 ‎,然后取各个不等式解集的并集.‎ ‎(2)图象法:作出函数和的图象,结合图象求解.‎
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