江苏高考圆锥曲线专题
第 10 讲 圆锥曲线
历年高考分析：
回顾 2009～2013 年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中 2010、2011、2012 年连续三
年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考
试说明中 A 级要求相符合．
预测在 2014 年的高考题中：
(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及．
(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解．
题型分类：
(1)圆锥曲线的几何性质，如 a，b，c，p 的几何性质以及离心率的值或范围的求解；
(2)解答题中简单的直线与椭圆位置关系问题；
(3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题；
(4)综合出现多字母等式的化简，这类问题难度较高．
例 1：若椭圆x2
5
＋y2
m
＝1 的离心率 e＝ 10
5
，则 m 的值是________．
解析：当 m>5 时， 10
5
＝ m－5
m
，解得 m＝25
3
；当 m<5 时， 10
5
＝ 5－m
5
，解得 m＝3. 答案：3 或25
3
例 2：若抛物线 y2＝2x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3，则 M 到该抛物线焦点的距离为________．
解析：设 M 的坐标为(x，± 2x)(x>0)，则 x2＋2x＝3，解得 x＝1，所求距离为 1＋1
2
＝3
2.
例 3：双曲线 2x2－y2＋6＝0 上一个点 P 到一个焦点的距离为 4，则它到另一个焦点的距离为________．
解析：双曲线方程化为y2
6
－x2
3
＝1.设 P 到另一焦点的距离为 d，则由|4－d|＝2 6得 d＝4＋2 6，或 d＝4－2 6(舍去)．
例 4：(2012·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x2
m
－ y2
m2＋4
＝1 的离心率为 5，则 m 的值为________．
解析：由题意得 m＞0，∴a＝ m，b＝ m2＋4，
∴c＝ m2＋m＋4，由 e＝c
a
＝ 5得m2＋m＋4
m
＝5，解得 m＝2.
例 5：已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的离心率 3
2e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4，则椭圆
的方程为 ．
例 6：在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 1 :C
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，其中 2F 也
是抛物线 2
2 : 4C y x 的焦点，点 M 为 1C 和 2C 在第一象限的交点，且 2
5
3MF ,则 1C 的方程为 ．
例 7：(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A，B 两点，左焦点在以 AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心
率的取值范围为________．
例 8：(2013 南京二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：
2 2
14 3
x y ．设过点 M(0,1)的直线与双曲线 C
交于 A、B 两点，若 2AM MB
，则直线的斜率为_____．
例 9：已知椭圆 G：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为 6
3
，右焦点为(2 2，0)，斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点，
以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(－3,2)．
(1)求椭圆 G 的方程；
(2)求△PAB 的面积．
解：(1) 由已知得 c＝2 2，c
a
＝ 6
3 .解得 a＝2 3，又 b2＝a2－c2＝4.
所以椭圆 G 的方程为x2
12
＋y2
4
＝1.
(2) 设直线 l 的方程为 y＝x＋m.
由
y＝x＋m，
x2
12
＋y2
4
＝1， 得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设 A、B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1
b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 e，若椭圆上存在点 P，使得PF1
PF2
＝e，则该椭圆离
心率 e 的取值范围是________．
解析：(1)2 (2)∵PF1
PF2
＝e，∴PF1＝ePF2＝e(2a－PF1)，PF1＝ 2ae
1＋e
.
又 a－c≤PF1≤a＋c，∴a－c≤ 2ae
1＋e
≤a＋c，a(1－e)≤ 2ae
1＋e
≤a(1＋e)，1－e≤ 2e
1＋e
≤1＋e，解得 e≥ 2－1.
又 00)，
则有 B(2cos θ，－ 3sin θ)，|FA|＝|FB|＝ 2cos θ＋1 2＋3sin2θ＝2＋cos θ，|AB|＝2 3sin θ，
|FA|＋|FB|＋|AB|＝4＋2cos θ＋2 3sin θ＝4＋4sin θ＋π
6 ，
当θ＋π
6
＝2kπ＋π
2
，k∈Z，即θ＝2kπ＋π
3
，k∈Z，2cos θ＝1， 3sin θ＝3
2
时，△FAB 的周长最大，
此时△FAB 的面积等于1
2×(1＋1)×3＝3.
法二：椭圆右焦点为 F′(1,0)．
由椭圆定义|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
则△FAB 的周长 l＝|AF|＋|BF|＋|AB|＝4a－(|F′A|＋|F′B|)＋|AB|＝4a－||F′A|＋|F′B|－|AB||≤4a.
所以△FAB 周长最大时，直线 x＝m 经过 F′(1,0)，这时|AB|＝3，此时 S△FAB＝1
2×2×3＝3.
(2)由题意可设：|PF1|＝4m，|F1F2|＝3m，|PF2|＝2m，
当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为 2a＝|PF1|＋|PF2|＝4m＋2m＝6m，焦距为 2c＝|F1F2|＝3m，离心率 e＝c
a
＝2c
2a
＝3m
6m
＝1
2
；
当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为 2a＝ |PF1|－|PF2|＝4m－2m＝2m，焦距为 2c＝|F1F2|＝3m，离心率 e＝c
a
＝ 2c
2a
＝3m
2m
＝
3
2.
[答案] (1)3 (2)1
2
或3
2
解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意 a，b，c 之间关系的区别．
演练 2：
(1)已知双曲线x2
a
－y2
2
＝1 的一个焦点坐标为(－ 3，0)，则其渐近线方程为________；
(2)已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是
________．
解析：(1)由 a＋2＝3，可得 a＝1，
∴双曲线方程为 x2－y2
2
＝1，其渐近线方程为 x± y
2
＝0，即 y＝± 2x.
(2)由 y2＝4x 可知 l2：x＝－1 是抛物线的准线，所以 P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离．
动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值即为点 F(1,0)到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离 d＝ |4＋6|
42＋32
＝2.
答案：(1)y＝± 2x (2)2
典例 3：(2012·北京高考)已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 2
2 .直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交
于不同的两点 M，N.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)当△AMN 的面积为 10
3
时，求 k 的值．
[解] (1)由题意得
a＝2，
c
a
＝ 2
2
，
a2＝b2＋c2，
解得 b＝ 2，
所以椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2
2
＝1.
(2)由
y＝k x－1 ，
x2
4
＋y2
2
＝1 得 (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝ 4k2
1＋2k2
，x1x2＝2k2－4
1＋2k2
，
所以 MN＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2＝ 1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2]＝2 1＋k2 4＋6k2
1＋2k2 .
又因为点 A(2,0)到直线 y＝k(x－1)的距离 d＝ |k|
1＋k2
，
所以△AMN 的面积为 S＝1
2MN·d＝|k| 4＋6k2
1＋2k2 .
由|k| 4＋6k2
1＋2k2
＝ 10
3
，化简得 7k4－2k2－5＝0，解得 k＝±1.
本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系．解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，一
般是联立方程消元后转化为二次方程的问题．
演练 3：已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1b>0)有一个公共点 A(3,1)，F1、F2 分别是椭
圆的左、右焦点，直线 PF1 与圆 C 相切．
(1) 求 m 的值与椭圆 E 的方程；
(2) 设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求AP
→
·AQ
→ 的取值范围．
解：(1) 点 A 坐标代入圆 C 方程，得(3－m)2＋1＝5.∵ m＜3，∴ m＝1.
圆 C：(x－1)2＋y2＝5.
设直线 PF1 的斜率为 k，则 PF1：y＝k(x－4)＋4，即 kx－y－4k＋4＝0.
∵ 直线 PF1 与圆 C 相切，∴ |k－0－4k＋4|
k2＋1
＝ 5.解得 k＝11
2
或 k＝1
2.
当 k＝11
2
时，直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为36
11
，不合题意，舍去．
当 k＝1
2
时，直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为－4，
∴ c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0).
2a＝AF1＋AF2＝5 2＋ 2＝6 2，a＝3 2，a2＝18，b2＝2.
椭圆 E 的方程为：x2
18
＋y2
2
＝1.
(2) AP
→＝(1,3)，设 Q(x，y)，AQ
→ ＝(x－3，y－1)，
AP
→
·AQ
→ ＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.
∵ x2
18
＋y2
2
＝1，即 x2＋(3y)2＝18，
而 x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴ －3≤xy≤3.
则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy 的取值范围是[0,36].
x＋3y 的取值范围是[－6,6]．
∴ AP
→
·AQ
→ ＝x＋3y－6 的取值范围是[－12,0].
(注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)
典例 5：(2012·南师大信息卷)已知双曲线 x2－y2
3
＝1，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3)．
(1)求椭圆方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为 A，B，右焦点为 F，直线 l 为椭圆的右准线，N 为 l 上的一动点，且在 x 轴上方，直线
AN 与椭圆交于点 M.
①若 AM＝MN，求∠AMB 的余弦值；
②设过 A，F，N 三点的圆与 y 轴交于 P，Q 两点，当线段 PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．
[解] (1)双曲线焦点为(±2,0)，
设椭圆方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)．
则
a2－b2＝4，
4
a2
＋ 9
b2
＝1. 解得 a2＝16，b2＝12.故椭圆方程为x2
16
＋y2
12
＝1.
(2)①由已知，A(－4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直线 l 的方程为 x＝8.设 N(8，t)(t>0)．
∵AM＝MN，∴M 2，t
2 .
由点 M 在椭圆上，得 t＝6.故点 M 的坐标为 M(2,3)．
所以 MA
＝(－6，－3)， MB
＝(2，－3)， MA
· MB
＝－12＋9＝－3.
cos ∠AMB＝ MA
·MB
|
MA
|·|
MB
|
＝ －3
36＋9· 4＋9
＝－ 65
65 .
②设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 A， F，N 三点坐标代入，得
16－4D＋F＝0，
4＋2D＋F＝0，
64＋t2＋8D＋Et＋F＝0，
得
D＝2，
E＝－t－72
t
，
F＝－8.
圆的方程为 x2＋y2＋2x－ t＋72
t y－8＝0，
令 x＝0，得 y2－ t＋72
t y－8＝0.
设 P(0，y1)，Q(0，y2)，
由线段 PQ 的中点为(0,9)，得 y1＋y2＝t＋72
t
＝18.
此时，所求圆的方程为 x2＋y2＋2x－18y－8＝0.
本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程．
演练 5：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为 3
2
，以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴
长为半径的圆与直线 x－y＋2＝0 相切．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)已知点 P(0,1)，Q(0,2)．设 M，N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同 两点，直线 PM 与 QN 相交于点 T．求证：点 T
在椭圆 C 上．
解：(1)由题意知椭圆 C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即 b＝ 2
2
＝ 2.
因为离心率 e＝c
a
＝ 3
2
，所以b
a
＝ 1－
c
a 2＝1
2
，解得 a＝2 2.
所以椭圆 C 的方程为x2
8
＋y2
2
＝1.
(2)证明：由题意可设 M，N 的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线 PM 的方程为 y＝y0－1
x0
x＋1，①
直线 QN 的方程为 y＝y0－2
－x0
x＋2. ②
设 T 点的坐标为(x，y)．
联立①②解得 x0＝ x
2y－3
，y0＝3y－4
2y－3
.
因为x20
8
＋y20
2
＝1，所以 1
8
x
2y－3 2＋1
2
3y－4
2y－3 2＝1.
整理得x2
8
＋ 3y－4 2
2
＝(2y－3)2，所以x2
8
＋9y2
2
－12y＋8＝4y2－12y＋9，即x2
8
＋y2
2
＝1.
所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上．
典例 6：已知抛物线 D 的顶点是椭圆 C：x2
16
＋y2
15
＝1 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线 D 的方程；
(2)过椭圆 C 右顶点 A 的直线 l 交抛物线 D 于 M、N 两点．
①若直线 l 的斜率为 1，求 MN 的长；
②是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出 m 的方程；如果不存在，
说明理由．
[解] (1)由题意，可设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)．由 a2－b2＝16－15＝1，得 c＝1.
∴抛物线的焦点为(1,0)，∴p＝2.
∴抛物线 D 的方程为 y2＝4x.
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)．
①直线 l 的方程为：y＝x－4，联立 y＝x－4，
y2＝4x，
整理得 x2－12x＋16＝0，则 x1＋x2＝12，x1x2＝16，
所以 MN＝ x1－x2 2＋ y1－y2 2＝4 10.
②设存在直线 m：x＝a 满足题意，则圆心 E
x1＋4
2
，y1
2 ，过 E 作直线 x＝a 的垂线，垂足为 H，
设直线 m 与圆 E 的一个交点为 G.可得 GH2＝EG2－EH2，
即 GH2＝EA2－EH2＝ x1－4 2＋y21
4
－
x1＋4
2
－a 2＝1
4y21＋ x1－4 2－ x1＋4 2
4
＋a(x1＋4)－a2
＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.
当 a＝3 时，GH2＝3，此时直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长恒为定值 2 3.
因此存在直线 m：x＝3 满足题意．
以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设
出参数．建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在．
演练 6：已知椭圆 C 的离心率 e＝ 2
2
，一条准线方程为 x＝4，P 为准线上一动点，直线 PF1、PF2 分别与以原点为圆心、
椭圆的焦距 F1F2 为直径的圆 O 交于点 M、N.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)探究是否存在一定点恒在直线 MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意得c
a
＝ 2
2
，a2
c
＝4，解得 c＝2，a＝2 2，
则 b2＝a2－c2＝4，所以椭圆的标准方程为x2
8
＋y2
4
＝1.
(2)由(1)易知 F1F2＝4，所以圆 O 的方程为 x2＋y2＝4.
设 P(4，t)，则直线 PF1 方程为 y＝t
6(x＋2)，
由
x2＋y2＝4，
y＝t
6
x＋2 ， 得(t2＋36)x2＋4t2x＋4(t2－36)＝0，解得 x1＝－2，x2＝－2 t2－36
t2＋36
，
所以 M
－2 t2－36
t2＋36
， 24t
t2＋36 ，同理可得 N
2 t2－4
t2＋4
， －8t
t2＋4 .
①若 MN⊥x 轴，则－2 t2－36
t2＋36
＝2 t2－4
t2＋4
，解得 t2＝12，此时点 M，N 的横坐标都为 1，故直线 MN 过定点(1,0)；
②若 MN 与 x 轴不垂直，即 t2≠12，
此时 kMN＝
－8t
t2＋4
－ 24t
t2＋36
2 t2－4
t2＋4
＋2 t2－36
t2＋36
＝ －8t
t2－12
，
所以直线 MN 的方程为 y－ －8t
t2＋4
＝ －8t
t2－12
x－2 t2－4
t2＋4 ，
即 y＝ －8t
t2－12
(x－1)，所以直线 MN 过定点(1,0)．
综上，直线 MN 过定点(1,0)．
专题技法归纳：
(1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下
可以统一设成 mx2＋ny2＝1(mn≠0)，这样可以避免对参数的讨论．
(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系，然后把 b 用 a，c 代换，求c
a
的值．
(3)在双曲线中由于 e2＝1＋b2
a2
，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．
课后练习(十)
1．已知方程 x2
m－1
＋ y2
2－m
＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则 m 的
取值范围是________．
解析：若方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则
m－1>0，
2－m>0，
2－m>m－1，
解得 12.
答案： 1，3
2 (－∞，1)∪(2，＋∞)
2．点 P 为椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)上一点，F1，F2 为椭圆的焦点，如果∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率
为________．
解析：由题意得∠F1PF2＝90°，PF1＝2c cos 75°，PF2＝2c sin 75°，所以 2c(sin 75°＋cos 75°)＝2a，e＝ 1
sin 75°＋cos 75°
＝
6
3 .
3．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则
该抛物线的准线方程为________．
解析：直线 AB 的方程为 y＝x－p
2
，即 x＝y＋p
2
，代入 y2＝2px 得，y2－2py－p2＝0.
则 yA＋yB＝2p＝4，p＝2，准线方程为 x＝－1.
4．(2011·天津高考)已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，它的一个焦点在抛物线 y2＝24x 的准
线上，则双曲线的方程为________．
解析：由题设可得双曲线方程满足 3x2－y2＝λ(λ>0)，即 x2
λ
3
－y2
λ
＝1.于是 c2＝λ
3
＋λ＝4λ
3 .
又抛物线 y2＝24x 的准线方程为 x＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线 y2＝24x 的准线上，则 c2＝4λ
3
＝36，于是λ＝
27.
所以双曲线的方程x2
9
－y2
27
＝1.
5．已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D，且 BF
＝2 FD
， 则 C 的离
心率为________．
解析：不妨设椭圆 C 的焦点在 x 轴上，中心在原点，B 点为椭圆的上顶点，F(c,0)(c＞0)为右焦点，则由 BF
＝2 FD
，
得 D 点到右准线的距离是 B 点到右准线距离的一半，则 D 点横坐标 xD＝a2
2c
，由 BF
＝2 FD
知，c＝2
a2
2c
－c ，得 3c2＝a2，
e＝ 3
3 .
6．(2011·江西高考)若椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1 的焦点在 x 轴上，过点 1，1
2 作圆 x2＋y2＝1 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB
恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是____ ____．
解析：由题可设斜率存在的切线的方程为 y－1
2
＝k(x－1)(k 为切线的斜率)，即 2kx－2y－2k＋1＝0，由|－2k＋1|
4k2＋4
＝1，解
得 k＝－3
4
，所以圆 x2＋y2＝1 的一条切线方程为 3x＋4y－5＝0，求得切点 A
3
5
，4
5 ，易知另一切点 B(1,0)，则直线 AB 的方
程为 y＝－2x＋2.令 y＝0 得右焦点为(1,0)，令 x＝0 得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为x2
5
＋y2
4
＝1.
7．已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)和椭圆x2
16
＋y2
9
＝1 有相同的焦点，且双 曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲
线的方程为___ _____．
解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(± 7，0)，离心率是 7
4 .故在双曲线中 c＝ 7，e＝2 7
4
＝c
a
，故 a＝2，b2＝c2－a2＝
3，故所求双曲线的方程是x2
4
－y2
3
＝1.
8．已知双曲线 C:
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的右顶点、右焦点分别为 A、F,它的左准线与 x 轴的交点为 B，若 A 是线段
BF 的中点，则双曲线 C 的离心率为 .
9．设 P 点在圆 x2＋(y－2)2＝1 上移动，点 Q 在椭圆x2
9
＋y2＝1 上移动，则 PQ 的最大值是________．
解析：圆心 C(0,2)，PQ ≤PC＋CQ＝1＋CQ，
于是只要求 CQ 的最大值．设 Q(x，y)，
∴CQ＝ x2＋ y－2 2＝ 9 1－y2 ＋ y－2 2＝ －8y2－4y＋13，
∵－1≤y≤1，∴当 y＝－1
4
时，CQmax＝ 27
2
＝3 6
2
，
∴PQmax＝1＋3 6
2
.
10．(2012·辽宁高考)已知双曲线 x2－y2＝1，点 F1，F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|
的值为________
解析：不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1⊥PF2，所以(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝ 2，所以(|PF1|
－|PF2|)2＝4，可得 2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2 3.
11．(2011·四川高考)过点 C(0,1)的椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的离心率为 3
2 .椭圆与 x 轴交于两点 A(a ,0)、B(－a,0)．过点 C
的直线 l 与椭圆交于另一点 D，并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.
(1)当直线 l 过椭圆右焦点时，求线段 CD 的长；
(2)当点 P 异于点 B 时，求证： OP
· OQ
为定值．
解：(1)由已知得 b＝1，c
a
＝ 3
2
，解得 a＝2，所以椭圆方程为x2
4
＋y2＝1.
椭圆的右焦点为( 3，0)，此时直线 l 的方程为 y＝－ 3
3 x＋1，
代入椭圆方程化简得 7x2－8 3x＝0.解得 x1＝0，x2＝8 3
7
，
代入直线 l 的方程得 y1＝1，y2＝－1
7
，所以 D 点坐标为
8 3
7
，－1
7 .
故|CD|＝
8 3
7
－0 2＋ －1
7
－1 2＝16
7 .
(2)证明：当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符．设直线 l 的方程为 y＝kx＋1 k≠0 且 k≠1
2 .
代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0.解得 x1＝0，x2＝ －8k
4k2＋1
，
代入直线 l 的方程得 y1＝1，y2＝1－4k2
4k2＋1
，所以 D 点坐标为
－8k
4k2＋1
，1－4k2
4k2＋1 .
又直线 AC 的方程为x
2
＋y＝1，直线 BD 的方程为 y＝1＋2k
2－4k
(x＋2)，
联立解得 x＝－4k，
y＝2k＋1.
因此 Q 点坐标为(－4k,2k＋1)．
又 P 点坐标为 －1
k
，0 ，所以 OP
· OQ
＝ －1
k
，0 ·(－4k,2k＋1)＝4.
故 OP
· OQ
为定值．
12．已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为 2
2
，一条准线 l：x＝2.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 O 为坐标原点，M 是 l 上的点，F 为椭圆 C 的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于 P，Q 两
点．
①若 PQ＝ 6，求圆 D 的方程；
②若 M 是 l 上的动点，求证点 P 在定圆上，并求该定圆的方程．
解：(1)由题设：
c
a
＝ 2
2
，
a2
c
＝2，
∴ a＝ 2
c＝1
，∴b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆 C 的方程为x2
2
＋y2＝1.
(2)①由(1)知：F(1,0)，设 M(2，t)，
则圆 D 的方程：(x－1)2＋ y－t
2 2＝1＋t2
4
，直线 PQ 的方程：2x＋ty－2＝0，
∵PQ＝ 6，∴2 1＋t2
4 －
|2＋t2
2
－2|
4＋t2 2＝ 6，
∴t2＝4，∴t＝±2.
∴圆 D 的方程：(x－1)2 ＋(y－1)2＝2 或(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
②证明：法一：设 P(x0，y0)，
由①知 x0－1 2＋ y0－t
2 2＝1＋t2
4
，
2x0＋ty0－2＝0
即 x20＋y20－2x0－ty0＝0，
2x0＋ty0－2＝0，
消去 t 得 x20＋y20＝2
∴点 P 在定圆 x2＋y2＝2 上．
法二：设 P(x0，y0)，则直线 FP 的斜率为 kFP＝ y0
x0－1
.
∵FP⊥OM，∴直线 OM 的斜率为 kOM＝x0－1
y0
，
∴直线 OM 的方程为 y＝－x0－1
y0
x，点 M 的坐标为 M 2，－2 x0－1
y0 .
∵MP⊥OP，∴ OP
· MP
＝0，
∴x0(x0－2)＋y0
y0＋2 x0－1
y0 ＝0
∴x20＋y20＝2，∴点 P 在定圆 x2＋y2＝2 上．
