步步高高考数学一轮总复习北师大版打印版

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高考数学总复习 一轮复习资料 北师大版 目录 专题1 集合与常用逻辑用语 - 1 -‎ §1.1 集合的概念与运算 - 1 -‎ §2 命题及其条件、充分条件与必要条件 - 3 -‎ §3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词 - 5 -‎ 专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ - 7 -‎ §1 函数及其表示 - 7 -‎ §2 函数的单调性与最值 - 9 -‎ §3 函数的奇偶性与周期性 - 11 -‎ §4 二次函数与幂函数 - 13 -‎ §5 指数与指数函数 - 15 -‎ §6 对数与对数函数 - 17 -‎ §7 函数的图像 - 19 -‎ §8 函数与方程 - 22 -‎ §9 实际问题的函数建模 - 23 -‎ 专题3 导数及其应用 - 25 -‎ §1 导数的概念及运算 - 25 -‎ §2 导数的应用 - 27 -‎ 2.1 导数与函数的单调性 - 27 -‎ 2.2 导数与函数的极值、最值 - 29 -‎ §3 定积分与微积分基本定理 - 33 -‎ 专题4 三角函数、解三角形 - 34 -‎ §1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 - 34 -‎ §2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 - 36 -‎ §3 三角函数的图像与性质 - 38 -‎ §4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用 - 40 -‎ §5 两角和与差的正弦、余弦正切公式 - 42 -‎ §6 简单的三角恒等变换 - 44 -‎ §7 正弦定理、余弦定理 - 46 -‎ §8 解三角形的综合运用 - 48 -‎ 专题5 平面向量 - 50 -‎ §1 平面向量的概念及线性运算 - 50 -‎ §2 平面向量基本定理及坐标表示 - 52 -‎ §3 平面向量的数量积 - 54 -‎ §4平面向量应用举例 - 56 -‎ 专题6 数列 - 58 -‎ §1 数列的概念与简单表示法 - 58 -‎ §2 等差数列及其前n项和 - 60 -‎ §3 等比数列及其前n项和 - 62 -‎ §4 数列求和 - 64 -‎ 专题7 不等式 - 66 -‎ §1 不等关系与不等式 - 66 -‎ §2 一元二次不等式及其解法 - 68 -‎ §3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 - 70 -‎ §4 基本不等式及其应用 - 72 -‎ 专题8 立体几何与空间向量 - 74 -‎ §1 简单几何体的结构、三视图和直观图 - 74 -‎ §2 空间图形的基本关系与公理 - 76 -‎ §3 平行关系 - 78 -‎ §4 垂直关系 - 80 -‎ §5 简单几何体的面积与体积 - 82 -‎ §6 空间向量及其运算 - 84 -‎ §7 立体几何中的向量方法 - 86 -‎ 7.1 证明平行与垂直 - 86 -‎ 7.2 求空间角和距离 - 88 -‎ 专题9 平面解析几何 - 90 -‎ §1 直线的方程 - 90 -‎ §2 两条直线的关系 - 92 -‎ §3 圆的方程 - 94 -‎ §4 直线与圆、圆与圆的位置关系 - 95 -‎ §5 椭圆 - 96 -‎ §6 抛物线 - 98 -‎ §7 双曲线 - 101 -‎ §8 曲线与方程 - 103 -‎ §9 圆锥曲线的综合问题 - 105 -‎ 专题10 计数原理 - 119 -‎ §1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 - 119 -‎ §2 排列与组合 - 120 -‎ §3 二项式定理 - 122 -‎ 专题11 统计与统计案例 - 124 -‎ §1 随机抽样 - 124 -‎ §2 统计图表、用样本估计总体 - 126 -‎ §3 变量间的相关关系、统计案例 - 128 -‎ 专题12 概率、随机变量及其分布 - 130 -‎ §1 随机事件的概率 - 130 -‎ §2 古典概型 - 132 -‎ §3 几何概型 - 134 -‎ §4离散型随机变量及其分布列 - 135 -‎ §5 二项分布及其应用 - 137 -‎ §6离散型随机变量的均值与方差、正态分布 - 139 -‎ 专题13 推理与证明、算法、复数 - 141 -‎ §1 归纳与类比 - 141 -‎ §2综合法与分析法、反证法 - 143 -‎ §3 数学归纳法 - 145 -‎ §4 算法与算法框图 - 147 -‎ §5 复数 - 149 -‎ 专题14 系列4选讲 - 151 -‎ §1 几何证明选讲 - 151 -‎ 1.1 相似三角形的判定及有关性质 - 151 -‎ 1.2 直线与圆的位置关系 - 152 -‎ §2 坐标系与参数方程 - 153 -‎ 2.1 坐标系 - 153 -‎ 2.2 参数方程 - 154 -‎ §3 不等式选讲 - 155 -‎ 3.1 绝对值不等式 - 155 -‎ 3.2 不等式的证明 - 156 -‎ 专题1 集合与常用逻辑用语 ‎§1.1 集合的概念与运算 ‎1.集合与元素 ‎(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示.‎ ‎(3)集合的表示法：列举法、描述法.‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋(或N*)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)‎ A⊆B ‎(或 B=A)‎ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A⊊B 集合相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 A＝B ‎3.集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}‎ A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎4.集合关系与运算的常用结论 ‎(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个.‎ ‎(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.‎ 易错警示系列 ‎ ‎1.遗忘空集致误 典例　设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若B⊆A，则实数a的取值范围是________.‎ 易错分析　集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的实数根所构成的集合，由B⊆A，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B＝∅的情况，导致漏解.‎ 解析　因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：‎ ‎①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 解得a＝1；‎ ‎②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，‎ 并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，‎ 解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；‎ ‎③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.‎ 综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.‎ 答案　(－∞，－1]∪{1}‎ 温馨提醒　(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考生很容易忽视A＝∅而造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.‎ ‎2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.‎ ‎3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.‎ ‎2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.‎ ‎3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.‎ ‎4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.‎ ‎§2 命题及其条件、充分条件与必要条件 ‎1.四种命题及相互关系 ‎2.四种命题的真假关系 ‎(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件与必要条件 ‎(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；‎ ‎(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.‎ 思想与方法系列 ‎ ‎1.等价转化思想在充要条件中的应用 典例　(1)已知p：(a－1)2≤1，q：任意x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成立的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且┐q的一个充分不必要条件是┐p，则a的取值范围是(　　)‎ A.[1，＋∞) B.(－∞，1]‎ C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]‎ 解析　(1)由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2.‎ 当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成立；‎ 当a≠0时，由得00，得x<－3或x>1，由┐q的一个充分不必要条件是┐p，可知┐p是┐q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.‎ ‎∴{x|x>a}⊊{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.‎ 答案　(1)A　(2)A 温馨提醒　(1)本题用到的等价转化 ‎①将┐p，┐q之间的关系转化成p，q之间的关系.‎ ‎②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.‎ ‎(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.‎ ‎2.充要条件的几种判断方法 ‎(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.‎ ‎(2)等价法：即利用A⇒B与┐B⇒┐A；B⇒A与┐A⇒┐B；A⇔B与┐B⇔┐A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.‎ ‎(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A⊊B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.‎ ‎2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.‎ ‎3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.‎ ‎§3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词 ‎1.全称量词与存在量词 ‎(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.‎ ‎(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.‎ ‎2.全称命题与特称命题 ‎(1)含有全称量词的命题叫全称命题.‎ ‎(2)含有存在量词的命题叫特称命题.‎ ‎3.命题的否定 ‎(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.‎ ‎(2)p或q的否定：┐p且┐q；p且q的否定：┐p或┐q.‎ ‎4.简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.‎ ‎(2)简单复合命题的真值表：‎ p q ‎┐p ‎┐q p或q p且q 真 真 假 假 真 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 高频小考点 ‎ ‎1.常用逻辑用语及其应用 一、命题的真假判断 典例　已知命题p：存在x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－40，a≠1)‎ f(x)>0‎ logf(x)g(x)‎ f(x)>0，且f(x)≠1，g(x)>0‎ ‎ tan f(x)‎ f(x)≠kπ＋，k∈Z 思想与方法系列 ‎ ‎2.分类讨论思想在函数中的应用 典例　(1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________.‎ ‎(2)(2015·山东)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)‎ A. B.[0,1]‎ C. D.[1, ＋∞)‎ 解析　(1)当x<1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln 2，‎ ‎∴x<1.‎ 当x≥1时，≤2，解得x≤8，∴1≤x≤8.‎ 综上可知x∈(－∞，8].‎ ‎(2)由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.‎ 当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.‎ 当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.‎ 综上，a≥，故选C.‎ 答案　(1)(－∞，8]　(2)C 温馨提醒　(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解.‎ ‎(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.‎ ‎(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.‎ ‎2.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行.‎ ‎3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.‎ ‎4.分段函数问题要分段求解.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.‎ ‎2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.‎ ‎§2 函数的单调性与最值 ‎1.函数的单调性 ‎(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 当x1f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 ‎(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间.‎ ‎2.函数的最值 前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 ‎(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；‎ ‎(2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M.‎ ‎(3)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；‎ ‎(4)对于任意x∈D，都有f(x)≥M.‎ 结论 M为最大值 M为最小值 答题模版系列 ‎ ‎1.确定抽象函数单调性解函数不等式 典例　(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.‎ ‎(1)求证：f(x)在R上是增函数；‎ ‎(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.‎ 思维点拨　(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)0，‎ ‎∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.[2分]‎ f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]‎ ‎∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(2x)的x的取值范围是________.‎ 易错分析　(1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k＝1.‎ ‎(2)本题易出现以下错误：‎ 由f(1－x2)>f(2x)得1－x2>2x，忽视了1－x2>0导致解答失误.‎ 解析　(1)∵f(－x)＝＝，‎ ‎∴f(－x)＋f(x)‎ ‎＝ ‎＝.‎ 由f(－x)＋f(x)＝0可得k2＝1，‎ ‎∴k＝±1.‎ ‎(2)画出f(x)＝的图像，‎ 由图像可知，若f(1－x2)>f(2x)，‎ 则 即 得x∈(－1，－1).‎ 答案　(1)±1　(2)(－1，－1)‎ 温馨提醒　(1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域.‎ ‎(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论.②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系.③弄清最终结果取并集还是交集.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.‎ ‎2.利用函数奇偶性可以解决以下问题 ‎①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图像，确定函数单调性.‎ ‎3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.应用时要注意函数的定义域并进行检验.‎ ‎2.判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性.‎ ‎§4 二次函数与幂函数 ‎1.二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).‎ ‎②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).‎ ‎③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).‎ ‎(2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图像 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在x∈上单调递减；‎ 在x∈上单调递增；‎ 在x∈上单调递增 在x∈上单调递减 对称性 函数的图像关于x＝－对称 ‎2.幂函数 ‎(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.‎ ‎(2)幂函数的图像比较 ‎(3)幂函数的性质 ‎①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；‎ ‎②幂函数的图像过定点(1,1)；‎ ‎③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；‎ ‎④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减.‎ 思想与方法系列 ‎ ‎3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例　已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.‎ 思维点拨　参数a的值确定f(x)图像的形状；a≠0时，函数f(x)的图像为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系.‎ 规范解答 解　(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减，‎ ‎∴f(x)min＝f(1)＝－2.‎ ‎(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x图像的开口方向向上，且对称轴为x＝.‎ ‎①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图像的对称轴在[0,1]内，‎ ‎∴f(x)在[0，]上递减，在[，1]上递增.‎ ‎∴f(x)min＝f()＝－＝－.‎ ‎②当>1，即01)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．‎ ‎(2)幂的运算性质：aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，其中a>0，b>0，m，n∈R.‎ ‎2．指数函数的图像与性质 y＝ax a>1‎ ‎00时，y>1；当x<0时，00时，01‎ ‎(6)是R上的增函数 ‎(7)是R上的减函数 思想与方法系列 ‎ ‎4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用 典例　(1)函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．‎ ‎(2)函数的单调减区间为__________________________．‎ 思维点拨　(1)求函数值域，可利用换元法，设t＝x，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域．‎ ‎(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．‎ 解析　(1)因为x∈[－3,2]，‎ 所以若令t＝x，则t∈，‎ 故y＝t2－t＋1＝2＋.‎ 当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.‎ 故所求函数值域为.‎ ‎(2)设u＝－x2＋2x＋1，‎ ‎∵y＝u在R上为减函数，‎ ‎∴函数的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．‎ 又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，‎ ‎∴f(x)的减区间为(－∞，1]．‎ 答案　(1)　(2)(－∞，1]‎ 温馨提醒　(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．通过指数函数图像比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．‎ ‎2．指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与00，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数.‎ ‎2.对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM (n∈R)；‎ ‎④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).‎ ‎(2)对数的性质 ‎①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1).‎ ‎(3)对数的重要公式 ‎①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；‎ ‎②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.‎ ‎3.对数函数的图像与性质 a>1‎ ‎01时，y>0当01时，y<0当00‎ ‎(6)是(0，＋∞)上的增函数 ‎(7)是(0，＋∞)上的减函数 ‎4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图像关于直线 y＝x 对称.‎ 高频小考点 ‎ ‎2.比较指数式、对数式的大小 典例　(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A.cb>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a ‎(3)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)‎ A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 思维点拨　(1)可根据幂函数y＝x0.5的单调性或比商法确定a，b的大小关系，然后利用中间值比较a，c大小.(2)a，b均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c比较.(3)化为同底的指数式.‎ 解析　(1)根据幂函数y＝x0.5的单调性，‎ 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即blog0.30.3＝1，即c>1.‎ 所以blog22＝1，b＝＝log2log3>log43.6.‎ 方法二　∵log3>log33＝1，且<3.4，‎ ‎∴log31，‎ ‎∴log43.6log3>log43.6.‎ 由于y＝5x为增函数，∴.‎ 即，故a>c>b.‎ 答案　(1)C　(2)C　(3)C 温馨提醒　(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.‎ ‎(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或00；‎ 当a>1且01时，logab<0.‎ ‎2.对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论.‎ ‎3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.‎ ‎4.多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y＝1交点的横坐标进行判定.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数).‎ ‎2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.‎ ‎§7 函数的图像 ‎1.描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像.‎ ‎2.图像变换 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)y＝－f(x)；‎ ‎②y＝f(x)y＝f(－x)；‎ ‎③y＝f(x)y＝－f(－x)；‎ ‎④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1).‎ ‎⑤y＝f(x)y＝|f(x)|.‎ ‎⑥y＝f(x)y＝f(|x|).‎ ‎(3)伸缩变换 ‎①y＝y＝f(ax).‎ ‎②y＝f(x) y＝af(x).‎ 高频小考点 ‎ ‎3.高考中的函数图像及应用问题 一、已知函数解析式确定函数图像 典例　函数f(x)＝2x＋sin x的部分图像可能是(　　)‎ 思维点拨　根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和特征点确定函数图像.‎ 解析　方法一　∵f(－x)＝－2x－sin x＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数，排除B、C，‎ 又00，排除D，‎ 故A正确.‎ 方法二　∵f′(x)＝2＋cos x>0，‎ ‎∴f(x)为增函数，故A正确.‎ 答案　A 温馨提醒　(1)确定函数的图像，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想.‎ ‎(2)对于给出图像的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除.‎ 二、函数图像的变换问题 典例　若函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图像大致为(　　)‎ 思维点拨　从y＝f(x)的图像可先得到y＝－f(x)的图像，再得y＝－f(x＋1)的图像.‎ 解析　要想由y＝f(x)的图像得到y＝－f(x＋1)的图像，需要先将y＝f(x)的图像关于x轴对称得到y＝－f(x)的图像，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图像，根据上述步骤可知C正确.‎ 答案　C 温馨提醒　(1)对图像的变换问题，从f(x)到f(ax＋b)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别.‎ ‎(2)图像变换也可利用特征点的变换进行确定.‎ 三、函数图像的应用 典例　(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)‎ B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)‎ D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ ‎(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.‎ 思维点拨　(1)画出函数f(x)的图像观察.(2)利用函数f(x)，g(x)图像的位置确定a的取值范围.‎ 解析　(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝ 画出函数f(x)的图像，如图，观察得到，f(x)为奇函数，递减区间是(－1,1).‎ ‎(2)如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，观察图像可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞).‎ 答案　(1)C　(2)[－1，＋∞)‎ 温馨提醒　(1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质.‎ ‎(2)利用函数图像也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图.‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1.列表描点法是作函数图像的辅助手段，要作函数图像首先要明确函数图像的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；(2)可通过函数图像的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等.‎ ‎2.合理处理识图题与用图题 ‎(1)识图 对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系.‎ ‎(2)用图 函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图像研究含参数的方程或不等式解集的情况.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.函数图像平移的方向和大小：‎ 函数图像的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图像到f(－2x＋1)的图像是向右平移个单位.‎ ‎2.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.‎ ‎§8 函数与方程 ‎1.函数的零点 ‎(1)函数零点的定义 函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.‎ ‎(2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.‎ ‎(3)函数零点的判定(零点存在性定理)‎ 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.‎ ‎2.二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.‎ ‎3.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像与零点的关系 Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a>0)的图像 与x轴的交点 ‎(x1,0)，(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 易错警示系列 ‎ ‎3.忽视定义域导致零点个数错误 典例　已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 016x＋log2 016x，则在R上函数f(x)的零点个数为________.‎ 易错分析　得出当x>0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R上的奇函数，导致漏掉x<0时和x ‎＝0时的情况.‎ 解析　当x>0时，由f(x)＝2 016x＋log2 016x＝0得2 016x＝－log2 016x＝.作出函数y＝2 016x与函数y＝的图像，可知它们只有一个交点，所以当x>0时函数只有一个零点.由于函数为奇函数，所以当x<0时，也有一个零点.又当x＝0时y＝0，所以共有三个零点.‎ 答案　3‎ 温馨提醒　(1)讨论x>0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定.(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.函数零点的判定常用的方法有 ‎(1)零点存在性定理；‎ ‎(2)数形结合：函数y＝f(x)－g(x)的零点，就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图像交点的横坐标.‎ ‎(3)解方程.‎ ‎2.二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图像列不等式(组).‎ ‎3.利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法. ‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像.‎ ‎2.判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确.‎ ‎§9 实际问题的函数建模 ‎1.几类函数模型及其增长差异 ‎(1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)‎ 反比例函数模型 f(x)＝＋b (k，b为常数且k≠0)‎ 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)‎ 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)‎ 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)‎ 幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)‎ ‎(2)三种函数模型的性质 性质 函数 y＝ax(a>1)‎ y＝logax(a>1)‎ y＝xn(n>0)‎ 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax40时，W＝xR(x)－(16x＋40)‎ ‎＝－－16x＋7 360.[2分]‎ 所以W＝[4分]‎ ‎(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，‎ 由于＋16x≥2＝1 600，‎ 当且仅当＝16x，‎ 即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，‎ 所以W取最大值为5 760.[10分]‎ 综合①②知，‎ 当x＝32时，W取得最大值6 104万元.[12分]‎ 解函数应用题的一般程序 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；‎ 第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；‎ 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；‎ 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；‎ 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.‎ 温馨提醒　(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础.‎ ‎2.实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.‎ ‎3.解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.‎ ‎2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.‎ ‎3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.‎ 专题3 导数及其应用 ‎§1 导数的概念及运算 ‎1.导数与导函数的概念 ‎(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ .‎ ‎(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝ ，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.‎ ‎2.导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).‎ ‎3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝xα(α为实数)‎ f′(x)＝αxα－1‎ f(x)＝ax(a>0，a≠1)‎ f′(x)＝axln_a f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝logax(a>0，a≠1)‎ f′(x)＝ ‎4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)[]′＝(g(x)≠0).‎ ‎5.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.‎ 易错警示系列 ‎ ‎4.求曲线的切线方程条件审视不准致误 典例　若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值.‎ 易错分析　由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况，容易忽略点O在曲线y＝x3－3x2＋2x上这个隐含条件，进而不考虑O点为切点的情况.‎ 规范解答 解　易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上.‎ ‎(1)当O(0,0)是切点时，‎ 由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，‎ 即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.‎ 由得x2－2x＋a＝0，‎ 依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.[4分]‎ ‎(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0＝x－3x＋2x0，且k＝＝3x－6x0＋2，①‎ 又k＝＝x－3x0＋2，②‎ 联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，‎ 故直线l的方程为y＝－x.‎ 由得x2＋x＋a＝0，‎ 依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝.‎ 综上，a＝1或a＝.‎ 温馨提醒　对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论.‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.‎ ‎2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.‎ ‎3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.‎ ‎2.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.‎ ‎3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.‎ ‎§2 导数的应用 ‎2.1 导数与函数的单调性 ‎1.函数的单调性 如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的.‎ ‎2.函数的极值 如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值.‎ 如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.‎ ‎3.函数的最值 ‎(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.‎ ‎(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：‎ ‎①求f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.‎ 答题模版系列 ‎ ‎5.分类讨论思想研究函数的单调性 典例　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函数g(x)的图像在点(1，g(1))处的切线平行于x轴.‎ ‎(1)确定a与b的关系；‎ ‎(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.‎ 思维点拨　依据g(x)的切线条件可得g′(1)＝0得a，b关系，代g(x)后消去b，对a进行分类讨论确定g′(x)的符号.‎ 规范解答 解　(1)依题意得g(x)＝ln x＋ax2＋bx，‎ 则g′(x)＝＋2ax＋b.‎ 由函数g(x)的图像在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得：g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1.‎ ‎(2)由(1)得g′(x)＝＝.‎ ‎∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ ‎∴当a＝0时，g′(x)＝－.‎ 由g′(x)>0，得01，‎ 当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝，‎ 若<1，即a>，‎ 由g′(x)>0，得x>1或01，即00，得x>或0时，函数g(x)在(0，)上单调递增，‎ 在(，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.‎ 温馨提醒　(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.‎ ‎(2)本题求解先分a＝0或a>0两种情况，再比较和1的大小.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域.‎ ‎2.含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性.‎ ‎3.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.‎ ‎2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别.‎ ‎3.讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点.‎ ‎2.2 导数与函数的极值、最值 题型一　用导数解决函数极值问题 命题点1　根据函数图像判断极值 例1　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)‎ C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)‎ 答案　D 解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.‎ 命题点2　求函数的极值 例2　已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－(a∈R且a≠0)，求函数f(x)的极大值与极小值.‎ 解　由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax.‎ 令f′(x)＝0得x＝0或.‎ 当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.‎ 当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：‎ x ‎(－∞，)‎ ‎(，0)‎ ‎0‎ ‎(0，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.‎ 综上，f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.‎ 命题点3　已知极值求参数 例3　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.‎ ‎(2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(2，) B.[2，) C.(2，) D.[2，)‎ 答案　(1)－7　(2)C 解析　(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则 解得或 经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，‎ 则当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立.‎ 当x∈(，3)时，y＝x＋的值域是[2，)；‎ 当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0，即a≤x＋恒成立，a≤2；‎ 当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0，即a≥x＋恒成立，a≥.‎ 因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，实数a的取值范围应是(2，).‎ 思维升华　(1)求函数f(x)极值的步骤：‎ ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数f′(x)；‎ ‎③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；‎ ‎④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.‎ ‎(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.‎ 题型二　用导数求函数的最值 例4　已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1.‎ ‎(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值.‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)＝＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞).‎ 因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为.又f(2)＝ln 2－，‎ 所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln 2－)＝(x－2)，即x－4y＋4ln 2－4＝0.‎ ‎(2)因为f(x)＝＋ln x－1，所以f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝a.‎ ‎①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值.‎ ‎②若00，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，‎ 所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.‎ ‎③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以，当x＝e时，函数f(x ‎)取得最小值.‎ 综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；‎ 当00)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值.‎ 解　(1)f′(x)＝＝.‎ 令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，‎ 因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同.‎ 又因为a>0，所以－30，即f′(x)>0，‎ 当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，‎ 所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).‎ ‎(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，‎ 所以有解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.‎ 因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，‎ 所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，‎ 故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，‎ 而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，‎ 所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.‎ 答题模版系列 ‎ ‎3.利用导数求函数的最值问题 典例　(12分)已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R).‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值.‎ 思维点拨　(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域.(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论.‎ 规范解答　‎ 解　(1)f′(x)＝－a (x>0)，‎ ‎①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).[2分]‎ ‎②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，‎ 当00；‎ 当x>时，f′(x)＝<0，‎ 故函数f(x)的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为.[4分]‎ 综上可知，‎ 当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；‎ 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.[5分]‎ ‎(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.[6分]‎ ‎②当≥2，即00)的形式.‎ ‎2.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.‎ ‎3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质.‎ ‎4.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.‎ ‎2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数.‎ ‎3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.‎ ‎§4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用 ‎1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：‎ x ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.函数y＝sin x的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图像的步骤如下：‎ 答题模版系列 ‎ ‎4.三角函数图像与性质的综合问题 典例　(12分)已知函数f(x)＝2sin(＋)cos(＋)－sin(x＋π).‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值.‎ 思维点拨　(1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；‎ ‎(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得g(x)，然后利用整体思想求最值.‎ 规范解答 解　(1)f(x)＝2sin(＋)cos(＋)－sin(x＋π)＝cos x＋sin x[3分]‎ ‎＝2sin(x＋)，[5分]‎ 于是T＝＝2π.[6分]‎ ‎(2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)，[8分]‎ ‎∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，‎ ‎∴sin(x＋)∈[－，1]，[10分]‎ ‎∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1,2].[11分]‎ 故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]‎ 解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤：‎ 第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；‎ 第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝· (sin x·＋cos x·)；‎ 第三步：(求性质)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；‎ 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.‎ 温馨提醒　(1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)，或asin α＋bcos α＝cos(α－φ)(其中tan φ＝)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.‎ ‎(2)求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图像进行求解.‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1.五点法作图及图像变换问题 ‎(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；‎ ‎(2)图像变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化.‎ ‎2.由图像确定函数解析式 由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图像的最值点代入；若选零点代入，应根据图像升降找“五点法”作图中第一个零点.‎ ‎3.对称问题 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图像上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离).‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.由函数y＝sin x的图像经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来.‎ ‎2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.‎ ‎3.函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图像得出y＝Asin t的值域.‎ ‎§5 两角和与差的正弦、余弦正切公式 ‎1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))‎ cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(C(α＋β))‎ sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(S(α－β))‎ sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(S(α＋β))‎ tan(α－β)＝　(T(α－β))‎ tan(α＋β)＝　(T(α＋β))‎ ‎2.二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ ‎3.公式的逆用、变形等 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；‎ ‎(2)cos2α＝，sin2α＝；‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.‎ 易错警示系列 ‎ ‎6.三角函数求值忽视角的范围致误 典例　(1)已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，则cos(α＋β)的值为________.‎ ‎(2)已知在△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，则cos A＝________.‎ 易错分析　(1)角－β，α－的范围没有确定准确，导致开方时符号错误.‎ ‎(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角.‎ 解析　(1)∵0＜β＜＜α＜π，‎ ‎∴－＜－β＜，＜α－＜π，‎ ‎∴cos＝ ＝，‎ sin＝ ＝，‎ ‎∴cos＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝×＋×＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝2cos2－1‎ ‎＝2×－1＝－.‎ ‎(2)在△ABC中，∵cos B＝－，‎ ‎∴＜B＜π，sin B＝＝.‎ ‎∵＜B＜A＋B＜π，sin(A＋B)＝，‎ ‎∴cos(A＋B)＝－＝－，‎ ‎∴cos A＝cos[(A＋B)－B]‎ ‎＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B ‎＝×＋×＝.‎ 答案　(1)－　(2) 温馨提醒　在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号.另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.巧用公式变形：‎ 和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1∓tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝，‎ 配方变形：1±sin α＝2，1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.‎ ‎2.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.‎ ‎2.在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围.‎ ‎§6 简单的三角恒等变换 ‎1.公式的常见变形 ‎(1)1＋cos α＝2cos2；‎ ‎1－cos α＝2sin2；‎ ‎(2)1＋sin α＝(sin＋cos)2；‎ ‎1－sin α＝(sin－cos)2.‎ ‎(3)tan ＝＝.‎ ‎2.辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，‎ 其中sin φ＝，cos φ＝.‎ 思想与方法系列 ‎ ‎8.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 典例　已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)讨论f(x)在上的单调性.‎ 思维点拨　(1)讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数.‎ ‎(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图像解决.‎ 规范解答 解　(1)f(x)＝sinsin x－cos2x ‎＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，‎ 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.‎ ‎(2)当x∈时，0≤2x－≤π，‎ 从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，‎ 当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减.‎ 综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.‎ 温馨提醒　(1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y＝Asin(ωx＋φ)，φ的确定一定要准确.(2)将ωx＋φ视为一个整体，设ωx＋φ＝t，可以借助y＝sin t的图像讨论函数的单调性、最值等.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换.‎ ‎2.利用三角函数值求角要考虑角的范围.‎ ‎3.与三角函数的图像与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图像解决.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.利用辅助角公式，asin x＋bcos x转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角.‎ ‎2.计算形如y＝sin(ωx＋φ), x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆.‎ ‎§7 正弦定理、余弦定理 ‎1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(4)asin B＝bsin A，‎ bsin C＝csin B，‎ asin C＝csin A cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)r(r内切圆的半径)，并可由此计算R、r.‎ ‎3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 审题路线图系列 ‎ 二审结论会转换 例　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝b，sin B＝sin C.‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ 审题路线图：‎ ‎ ‎ 规范解答　‎ 解　(1)△ABC中，由＝，及sin B＝sin C，可得b＝c，‎ 又由a－c＝b，有a＝2c，所以cos A＝＝＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由cos A＝，可得sin A＝.‎ 于是，cos 2A＝2cos2A－1＝－，sin 2A＝2sin A·cos A＝.‎ 所以，cos＝cos 2Acos ＋sin 2Asin ＝×＋×＝.‎ 温馨提醒　(1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公式综合进行考查，具有一定的综合性，要求考生对公式要熟练记忆；通过审题理清解题方向；‎ ‎(2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确无误，尽量简化计算过程，减少错误．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．‎ ‎2．解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．‎ ‎2．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．‎ ‎§8 解三角形的综合运用 ‎1．仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．‎ ‎2．方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．‎ ‎3．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．‎ 思想与方法系列 ‎ ‎9．函数思想在解三角形中的应用 典例　某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．‎ 思维点拨　(1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意t的取值范围．‎ 规范解答 解　(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 S＝＝＝ .‎ 故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.‎ 即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇．‎ 则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，‎ 故v2＝900－＋.‎ ‎∵00时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ ‎(1)λ(μa)＝(λμ)a；‎ ‎(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；‎ ‎(3)λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．‎ 思想与方法系列 ‎ ‎10．方程思想在平面向量线性运算中的应用 典例　如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.‎ 思维点拨　(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解．‎ ‎(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出＝ma＋nb.‎ ‎(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．‎ 规范解答 解　设＝ma＋nb，‎ 则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.‎ ＝－＝－＝－a＋b.[3分]‎ 又∵A、M、D三点共线，∴与共线．‎ ‎∴存在实数t，使得＝t，‎ 即(m－1)a＋nb＝t.[5分]‎ ‎∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.‎ ‎∴消去t得，m－1＝－2n，‎ 即m＋2n＝1.①　[7分]‎ 又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，‎ ＝－＝b－a＝－a＋b.‎ 又∵C、M、B三点共线，∴与共线．[10分]‎ ‎∴存在实数t1，使得＝t1，‎ ‎∴a＋nb＝t1，‎ ‎∴ 消去t1得，4m＋n＝1. ②‎ 由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.[12分]‎ 温馨提醒　(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．‎ ‎2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．‎ ‎3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．‎ ‎2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. ‎ ‎§2 平面向量基本定理及坐标表示 ‎1．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.‎ 思想与方法系列 ‎ ‎11．解析法(坐标法)在向量中的应用 典例　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．‎ 思维点拨　可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A，B的坐标，用三角函数表示出点C的坐标，最后转化为三角函数求最值．‎ 规范解答 解　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则A(1,0)，B(－，)．[4分]‎ 设∠AOC＝α(α∈[0，])，则C(cos α，sin α)，‎ 由＝x＋y，得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，[8分]‎ 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin(α＋)，[10分]‎ 又α∈[0，]，‎ 所以当α＝时，x＋y取得最大值2.[12分]‎ 温馨提醒　本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x＋y的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．‎ 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．‎ ‎2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．‎ ‎2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎§3 平面向量的数量积 ‎1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．‎ ‎2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b 投影 ‎|a|cos θ叫做向量a在b方向上的射影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的射影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos θ的乘积 ‎3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 ‎(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0.‎ ‎(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；‎ 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.‎ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(4)cos θ＝.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|.‎ 规定：零向量与任一向量垂直．‎ ‎4．平面向量数量积满足的运算律 ‎(1)a·b＝b·a；‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.‎ ‎(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ 易错警示系列 ‎ ‎7．向量夹角范围不清致误 典例　(12分)若两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2所成的角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2所成的角为钝角，求实数t的取值范围．‎ 易错分析　两个向量所成角的范围是[0，π]，两个向量所成的角为钝角，容易误认为所成角π为钝角，导致所求的结果范围扩大．‎ 规范解答 解　设向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为θ，由θ为钝角，知cos θ＜0，故 ‎(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－.[5分]‎ 再设向量2te1＋7e2与向量e1＋te2反向，‎ 则2te1＋7e2＝k(e1＋te2)(k＜0)，[7分]‎ 从而且k＜0，解得 即当t＝－时，两向量所成的角为π.[10分]‎ 所以t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．[12分]‎ 温馨提醒　(1)两个非零向量的夹角范围为[0，π]，解题时要注意挖掘题中隐含条件．‎ ‎(2)利用数量积的符号判断两向量的夹角取值范围时，应该注意向量夹角的取值范围，不要忽视两向量共线的情况．若a·b＜0，则〈a，b〉∈(，π]；若a·b＞0，则〈a，b〉∈[0，)．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．‎ ‎2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．‎ ‎3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．‎ ‎2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立. ‎ ‎§4平面向量应用举例 ‎1．向量在平面几何中的应用 ‎(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：‎ 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0‎ 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ‎|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 ‎(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：‎ 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．‎ ‎2．平面向量在物理中的应用 ‎(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．‎ ‎(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ (θ为F与s的夹角)．‎ ‎3．平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．‎ 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．‎ 审题路线图系列 ‎ 三审图形抓特点 典例　已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图像上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的射影为，则ω， φ的值为(　　)‎ A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ 审题路线图 解析　由E为该函数图像的一个对称中心，作点C的对称点为M，作MF⊥x轴，垂足为F，如图．B与D关于点E对称，在x轴上的射影为，知OF＝.又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同时函数y＝sin(ωx＋φ)图像可以看作是由y＝sin ωx的图像向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝.‎ 答案　A 温馨提醒　对于在图形中给出解题信息的题目，要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲求结论间的联系．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．‎ ‎2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．‎ ‎2．注意向量共线和两直线平行的关系．‎ ‎3．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况. ‎ 专题6 数列 ‎§1 数列的概念与简单表示法 ‎1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．‎ ‎2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1 > an 其中n∈N 递减数列 an＋1 < an 常数列 an＋1＝an ‎3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．‎ ‎4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子来表示成an＝f(n)，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 高频小考点 ‎ ‎5．数列中的新定义问题 典例　(1)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．‎ 根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a2 014－5等于(　　)‎ A．2 018×2 012 B．2 020×2 013 C．1 009×2 012 D．1 010×2 013‎ ‎(2)对于数列{xn}，若对任意n∈N＋，都有＜xn＋1成立，则称数列{xn}为“减差数列”．设bn＝2t－，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，则实数t的取值范围是(　　)‎ A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(1，＋∞) D．(－∞，1]‎ 思维点拨　(1)观察图形，易得an－an－1＝n＋2(n≥2)可利用累加法求解．‎ ‎(2)由“减差数列”的定义，可得关于bn的不等式，把bn的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解．‎ 解析　(1)因为an－an－1＝n＋2(n≥2)，a1＝5，‎ 所以a2 014＝(a2 014－a2 013)＋(a2 013－a2 012)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2 016＋2 015＋…＋4＋5＝＋5＝1 010×2 013＋5，‎ 所以a2 014－5＝1 010×2 013，故选D.‎ ‎(2)由数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，‎ 得＜bn＋1(n≥3)，‎ 即t－＋t－＜2t－，‎ 即＋＞，‎ 化简得t(n－2)＞1.‎ 当n≥3时，若t(n－2)＞1恒成立，则t＞恒成立，‎ 又当n≥3时，的最大值为1，‎ 则t的取值范围是(1，＋∞)．‎ 答案　(1)D　(2)C 温馨提醒　解决数列的新定义问题要做到：‎ ‎1．准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．‎ ‎2．方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．‎ ‎ ‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．‎ ‎2．强调an与Sn的关系：an＝ ‎3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：‎ ‎(1)算出前几项，再归纳、猜想；‎ ‎(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式．‎ ‎4．数列的性质可利用函数思想进行研究．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．数列an＝f(n)和函数y＝f(x)定义域不同，其单调性也有区别：y＝f(x)是增函数是an＝f(n)是递增数列的充分不必要条件．‎ ‎2．数列的通项公式可能不存在，也可能有多个．‎ ‎3．由an＝Sn－Sn－1求得的an是从n＝2开始的，要对n＝1时的情况进行验证．‎ ‎§2 等差数列及其前n项和 ‎1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示．‎ ‎2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎3．等差中项 如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．‎ ‎4．等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．‎ ‎5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.‎ ‎6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．‎ ‎7．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最 大 值；若a1<0，d>0，则Sn存在最 小 值．‎ 高频小考点 ‎ ‎6．等差数列的前n项和及其最值 典例　(1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于(　　)‎ A．45 B．60 C．75 D．90‎ ‎(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝ .‎ ‎(3)等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)‎ A．S4 B．S5 C．S6 D．S7‎ 思维点拨　(1)求等差数列前n项和，可以通过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a1＋an＝a2＋an－1＝…；‎ ‎(2)求等差数列前n项和的最值，可以将Sn化为关于n的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．‎ 解析　(1)由题意得a3＋a8＝9，‎ 所以S10＝＝＝＝45.‎ ‎(2)方法一　设数列{an}的公差为d，首项为a1，‎ 则解得 所以S110＝110a1＋d＝－110.‎ 方法二　因为S100－S10＝＝－90，‎ 所以a11＋a100＝－2，‎ 所以S110＝ ‎＝＝－110.‎ ‎(3)因为所以 所以Sn的最大值为S5.‎ 答案　(1)A　(2)－110　(3)B 温馨提醒　(1)利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时，要注意到n∈N＋；‎ ‎(2)利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减少了运算量．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解．‎ ‎2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列．‎ ‎3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．‎ ‎4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数．‎ ‎2．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列. ‎ ‎§3 等比数列及其前n项和 ‎1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．‎ ‎2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.‎ ‎3．等比中项 若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．‎ ‎4．等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．‎ ‎(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.‎ ‎(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．‎ ‎5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　)‎ ‎(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　×　)‎ ‎(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　×　)‎ ‎(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　×　)‎ ‎(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)‎ ‎(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　)‎ 思想与方法系列 ‎ ‎12．分类讨论思想在等比数列中的应用 典例　(12分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：Sn＋≤(n∈N＋)．‎ 思维点拨　(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；‎ ‎(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．‎ 规范解答 ‎(1)解　设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为－2S2，S3,4S4成等差数列，‎ 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，‎ 可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.[2分]‎ 又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为 an＝×n－1＝(－1)n－1·.[3分]‎ ‎(2)证明　由(1)知，Sn＝1－n，‎ Sn＋＝1－n＋ ‎＝[6分]‎ 当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，‎ 所以Sn＋≤S1＋＝.[8分]‎ 当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，‎ 所以Sn＋≤S2＋＝.[10分]‎ 故对于n∈N＋，有Sn＋≤.[12分]‎ 温馨提醒　(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 ‎①已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况．‎ ‎②等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．‎ ‎③项数的奇、偶数讨论．‎ ‎④等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．‎ ‎(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图像或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．已知等比数列{an}‎ ‎(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，{}也是等比数列．‎ ‎(2)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.‎ ‎2．判断数列为等比数列的方法 ‎(1)定义法：＝q(q是不等于0的常数，n∈N＋)⇔数列{an}是等比数列；也可用＝q(q 是不等于0的常数，n∈N＋，n≥2)⇔数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．‎ ‎(2)等比中项法：a＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N＋)⇔数列{an}是等比数列．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．‎ ‎2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.‎ ‎3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ ‎4．等比数列性质中：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，不能忽略条件q≠－1.‎ ‎§4 数列求和 求数列的前n项和的方法 ‎(1)公式法 ‎①等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d.‎ ‎②等比数列的前n项和公式 ‎(ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；‎ ‎(ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．‎ ‎(3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．‎ 常见的裂项公式 ‎①＝－；‎ ‎②＝；‎ ‎③＝－.‎ ‎(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．‎ ‎(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．‎ ‎(6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．‎ 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.‎ 审题路线图系列 四审结构定方案 典例　(12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.‎ ‎(1)确定常数k，并求an；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎ (1) ‎(2) 规范解答 解　(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取得最大值，‎ 即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，k＝4.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝，[3分]‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n.‎ 当n＝1时，上式也成立，‎ 综上，an＝－n.[6分]‎ ‎(2)因为＝，‎ 所以Tn＝1＋＋＋…＋＋，①‎ ‎2Tn＝2＋2＋＋…＋＋.②‎ ‎[7分]‎ ‎②－①得：‎ ‎2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－ ‎＝4－－＝4－.[11分]‎ 故Tn＝4－.[12分]‎ 温馨提醒　(1)根据数列前n项和的结构特征和最值确定k和Sn，求出an后再根据{}的结构特征确定利用错位相减法求Tn.在审题时，要通过题目中数式的结构特征判定解题方案；‎ ‎(2)利用Sn求an时不要忽视n＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数．‎ ‎(3)可以通过n＝1,2时的特殊情况对结论进行验证．‎ ‎ [方法与技巧]‎ 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：‎ ‎(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；‎ ‎(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项法、数列的周期性等来求和．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．‎ ‎2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．‎ ‎3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．‎ 专题7 不等式 ‎§1 不等关系与不等式 ‎1．两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 (a，b∈R)；‎ ‎(2)作商法 (a∈R，b>0)．‎ ‎2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒acb＋d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn ‎(n∈N＋)‎ a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N＋)‎ ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b，ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0,0.‎ ‎④0b>0，m>0，则 ‎①<；>(b－m>0)．‎ ‎②>；<(b－m>0)．‎ 易错警示系列 ‎ ‎8．不等式变形中扩大变量范围致误 典例　设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．‎ 易错分析　解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(－2)＝4a－2b的范围，导致变量范围扩大．‎ 解析　方法一　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1) (m、n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，‎ 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，‎ 于是得解得∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．‎ 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，‎ 即5≤f(－2)≤10.‎ 方法二　由得∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．‎ 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.‎ 方法三　由 确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点A(，)时，取得最小值4×－2×＝5，‎ 当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，‎ ‎∴5≤f(－2)≤10.‎ 答案　[5,10]‎ 温馨提醒　(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．‎ ‎(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．用同向不等式求差的范围．‎ ⇒⇒a－d.‎ ‎3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商．‎ ‎4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．‎ ‎ [失误与防范]‎ ‎1．a>b⇒ac>bc或ab⇒<或a，当ab≤0时不成立．‎ ‎3．a>b⇒an>bn对于正数a、b才成立．‎ ‎4.>1⇔a>b，对于正数a、b才成立．‎ ‎5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：‎ a>b，b>c⇒a>c，其中a>c不能推出 ‎6．比商法比较大小时，要注意两式的符号. ‎ ‎§2 一元二次不等式及其解法 ‎1．“三个二次”的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a>0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ ‎{x|x≠－}‎ ‎{x|x∈R}‎ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ‎{x|x1< x0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 不等式 解集 ab ‎(x－a)·(x－b)>0‎ ‎{x|xb}‎ ‎{x|x≠a}‎ ‎{x|xa}‎ ‎(x－a)·(x－b)<0‎ ‎{x|a0恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 思维点拨　(1)考虑“三个二次”间的关系；‎ ‎(2)将恒成立问题转化为最值问题求解．‎ 解析　(1)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b ‎＝2＋b－.‎ ‎∵f(x)的值域为[0，＋∞)，‎ ‎∴b－＝0，即b＝.‎ ‎∴f(x)＝2.‎ 又∵f(x)0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立．‎ 即当x≥1时，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立．‎ 而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.‎ ‎∴实数a的取值范围是{a|a>－3}．‎ 答案　(1)9　(2){a|a>－3}‎ 温馨提醒　(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．‎ ‎(2)注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0时的情形转化为a>0时的情形．‎ ‎2．f(x)>0的解集即为函数y＝f(x)的图像在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．‎ ‎3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．‎ ‎2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．‎ ‎3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论. ‎ ‎§3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 ‎1．二元一次不等式表示的平面区域 一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：‎ ‎(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；‎ ‎(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0；‎ ‎(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.‎ 所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．‎ ‎2．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 由所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的顶点处取得 二元线性规划问题 如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题 ‎3.重要结论 ‎(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：‎ ‎①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；‎ ‎②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．‎ ‎(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：‎ 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 ‎①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；‎ ‎②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．‎ ‎(3)最优解和可行解的关系：‎ 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．‎ 思维升华　解线性规划应用问题的一般步骤：‎ ‎(1)分析题意，设出未知量；‎ ‎(2)列出线性约束条件和目标函数；‎ ‎(3)作出可行域并利用数形结合求解；‎ ‎(4)作答．‎ 易错警示系列 ‎ ‎9．含参数的线性规划问题的易错点 典例　已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.‎ 易错分析　题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x＋y＝m和直线y＝－x平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．‎ 解析　显然，当m<2时，不等式组表示的平面区域是空集；‎ 当m＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A(1,1)．此时zmin＝1－1＝0≠－1.‎ 显然都不符合题意．‎ 故必有m>2，此时不等式组所表示的平面区域如图所示，‎ 平面区域为一个三角形区域，‎ 其顶点为A(1,1)，B(m－1,1)，C(，)．‎ 由图可知，当直线y＝x－z经过点C时，z取得最小值，‎ 最小值为－＝.‎ 由题意，得＝－1，解得m＝5.‎ 答案　5‎ 温馨提醒　(1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来．‎ ‎(2)应注意直线y＝x－z经过的特殊点．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．‎ ‎2．求最值：求二元一次函数z＝ax＋by (ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得．‎ ‎3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．‎ ‎4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题．‎ ‎ [失误与防范]‎ ‎1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．‎ ‎2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．‎ ‎§4 基本不等式及其应用 ‎1．基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．‎ ‎(2)＋≥2(a，b同号)．‎ ‎(3)ab≤2 (a，b∈R)．‎ ‎(4)≥2 (a，b∈R)．‎ 以上不等式等号成立的条件均为a＝b.‎ ‎3．算术平均数与几何平均数 ‎(1)设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为.‎ ‎(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．‎ ‎4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 ‎(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；‎ ‎(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.‎ 易错警示系列 ‎ ‎10．忽视最值取得的条件致误 典例　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．‎ ‎(2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．‎ 易错分析　(1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝＋≥2，∴≥2，∴x＋y≥2≥4，得(x＋y)min＝4.‎ ‎(2)没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x＋≥2.‎ 解析　(1)∵x>0，y>0，‎ ‎∴x＋y＝(x＋y)(＋)‎ ‎＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x时取等号)，‎ ‎∴当x＝＋1，y＝2＋时，(x＋y)min＝3＋2.‎ ‎(2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2 ＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故y的最小值为1＋2.‎ 答案　(1)3＋2　(2)1＋2 温馨提醒　(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；‎ ‎(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．‎ ‎2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤()2≤，≤≤ (a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．‎ ‎3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．‎ ‎2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．‎ 专题8 立体几何与空间向量 ‎§1 简单几何体的结构、三视图和直观图 ‎1．简单几何体的结构特征 ‎(1)旋转体 ‎①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．‎ ‎②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．‎ ‎③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．‎ ‎④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．‎ ‎(2)多面体 ‎①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形．‎ ‎②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．‎ ‎③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．‎ ‎2．直观图 画直观图常用斜二测画法，其规则是：‎ ‎(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；‎ ‎(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；‎ ‎(3)已知图形中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.‎ ‎3．三视图 ‎(1)主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．‎ ‎(2)在三视图中，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．‎ ‎(3)同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．‎ ‎(4)清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．‎ ‎4．常用结论 ‎(1)常见旋转体的三视图 ‎①球的三视图都是半径相等的圆．‎ ‎②水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形．‎ ‎③水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形．‎ ‎④水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形．‎ ‎(2)斜二测画法中的“三变”与“三不变”‎ ‎“三变” ‎“三不变” 易错警示系列 ‎ ‎11．三视图识图中的易误辨析 典例　将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图为(　　)‎ 易错分析　(1)不能正确把握投影方向、角度致误；(2)不能正确确定点、线的投影位置；(3)不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线．‎ 解析　左视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.‎ 答案　B 温馨提醒　(1)因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项A和B，而易误选A；(2)因对三视图的画法要求不明而误选C或D.在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图，在复习时要明确三视图的含义，掌握“长对正、宽相等、高平齐”的要求．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．三视图的画法特征 ‎“长对正、宽相等，高平齐”，即主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．‎ ‎2．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图．‎ ‎3．由三视图还原几何体时，要遵循以下三步：‎ ‎(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体．‎ ‎[失误与防范]‎ 画三视图应注意的问题 ‎(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．‎ ‎(2)确定主视、左视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．‎ ‎§2 空间图形的基本关系与公理 ‎1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．‎ 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．‎ 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．‎ 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．‎ ‎2．直线与直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ ‎3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．‎ ‎4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ ‎5．等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ 思想与方法系列 ‎ ‎14．构造模型判断空间线面位置关系 典例　已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；‎ ‎②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；‎ ‎③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；‎ ‎④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.‎ 其中所有正确的命题是(　　)‎ A．①④ B．②④ C．① D．④‎ 思维点拨　构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系．‎ 解析　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．‎ 答案　A 温馨提醒　(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．主要题型的解题方法 ‎(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．‎ ‎(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．‎ ‎2．判定空间两条直线是异面直线的方法 ‎(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．‎ ‎(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．‎ ‎3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．‎ ‎2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．‎ ‎3．两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．‎ ‎§3 平行关系 ‎1．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅‎ a⊂α，b⃘α，a∥α a∥b a∥α，a⊂β，‎ α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅‎ a∥b ‎2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅‎ a⊂β，b⊂β，‎ a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 答题模版系列 ‎ ‎5．立体几何中的探索性问题 典例　(12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝.‎ ‎(1)求四棱锥S－ABCD的体积；‎ ‎(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．‎ 规范解答 解　(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝，SA＝2，‎ ‎∴AD＝3.[2分]‎ 由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，[4分]‎ VS－ABCD＝×SA××(BC＋AD)×AB ‎＝×2××(2＋3)×2＝.[6分]‎ ‎(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.[8分]‎ 证明如下：‎ 取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，‎ 则EF AD，BCAD，‎ ‎∴BC∥EF，∴CE∥BF.[10分]‎ 又∵BF⊂平面SAB，CE⃘平面SAB，‎ ‎∴CE∥平面SAB.[12分]‎ 解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论；‎ 第二步：证明探求结论的正确性；‎ 第三步：给出明确答案；‎ 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．‎ 温馨提醒　(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设．‎ ‎(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．平行问题的转化关系 线∥线线∥面面∥性质判定面 ‎2．直线与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．‎ ‎3．平面与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎ [失误与防范]‎ ‎1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．‎ ‎2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．‎ ‎3．解题中注意符号语言的规范应用．‎ ‎§4 垂直关系 ‎1．直线与平面垂直 图形 条件 结论 判定 a⊥b，b ⊆α(b为α内的任意一条直线)‎ a⊥α a⊥m，a⊥n，m、n⊆α，m∩n＝O a⊥α a∥b，a⊥α b⊥α 性质 a⊥α，b⊆α a⊥b a⊥α，b⊥α a∥b ‎2.平面与平面垂直 ‎(1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 思想与方法系列 ‎ ‎16．立体几何证明问题中的转化思想 典例　(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：‎ ‎(1)AN∥平面A1MK；‎ ‎(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.‎ 思维点拨　(1)要证线面平行，需证线线平行．(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．‎ 规范解答 证明　(1)如图所示，连接NK.‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，‎ ‎∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，‎ ‎∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]‎ ‎∵N，K分别为CD，C1D1的中点，‎ ‎∴DN∥D1K，DN＝D1K，‎ ‎∴四边形DD1KN为平行四边形．[3分]‎ ‎∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.‎ ‎∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.[4分]‎ ‎∵A1K⊆平面A1MK，AN平面A1MK，‎ ‎∴AN∥平面A1MK.[6分]‎ ‎(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.‎ ‎∵M，K分别为AB，C1D1的中点，‎ ‎∴BM∥C1K，BM＝C1K.‎ ‎∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.[8分]‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，‎ BC1⊆平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.‎ ‎∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.‎ ‎∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]‎ ‎∴MK⊥B1C.‎ ‎∵A1B1⊆平面A1B1C，B1C⊆平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.‎ 又∵MK⊆平面A1MK，‎ ‎∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]‎ 温馨提醒　(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；‎ ‎(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；‎ ‎(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．‎ ‎ ‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．三类论证 ‎(1)证明线线垂直的方法 ‎①定义：两条直线所成的角为90°；‎ ‎②平面几何中证明线线垂直的方法；‎ ‎③线面垂直的性质：a⊥α，b⊆α⇒a⊥b；‎ ‎④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.‎ ‎(2)证明线面垂直的方法 ‎①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；‎ ‎②判定定理1：⇒l⊥α；‎ ‎③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；‎ ‎④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；‎ ‎⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊆α，a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎(3)证明面面垂直的方法 ‎①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；‎ ‎②判定定理：a⊆α，a⊥β⇒α⊥β.‎ ‎2．转化思想：垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂判定性质直 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．‎ ‎ [失误与防范]‎ ‎1．‎ 在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．‎ ‎2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．‎ ‎§5 简单几何体的面积与体积 ‎1．多面体的表(侧)面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．‎ ‎2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l ‎3.柱、锥、台和球的表面积和体积 几何体 　　名称　　‎ 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ ‎4.常用结论 ‎(1)与体积有关的几个结论 ‎①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．‎ ‎②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．‎ ‎(2)几个与球有关的切、接常用结论 a．正方体的棱长为a，球的半径为R，‎ ‎①若球为正方体的外接球，则2R＝a；‎ ‎②若球为正方体的内切球，则2R＝a；‎ ‎③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.‎ b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.‎ c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.‎ 思想与方法系列 ‎ ‎16．巧用补形法解决立体几何问题 典例　如图：△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.‎ 则此几何体的体积为________．‎ 思维点拨　将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积．‎ 解析　用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC·AA′＝×24×8＝96.‎ 答案　96‎ 温馨提醒　(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”‎ 补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．‎ ‎(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．‎ ‎[方法与技巧]‎ 求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法 ‎(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．‎ ‎(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．‎ ‎[失误与防范]‎ 求空间几何体的表面积应注意的问题 ‎(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．‎ ‎(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．‎ ‎§6 空间向量及其运算 ‎1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 ‎0‎ 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b ‎2.空间向量中的有关定理 ‎(1)共线向量定理 空间两个向量a与b (b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.‎ ‎(2)空间向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．‎ ‎3．空间向量的数量积及运算律 ‎(1)数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.‎ ‎②两向量的数量积 已知空间两个向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①交换律：a·b＝b·a；‎ ‎②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；‎ ‎③λ(a·b)＝(λa)·b (λ∈R)．‎ ‎4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 ‎〈a，b〉(a≠0，b≠0)‎ cos〈a，b〉＝ 易错警示系列 ‎ ‎12．“两向量同向”意义不清致误 典例　已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________．‎ 易错分析　将a，b同向和a∥b混淆，没有搞清a∥b的意义：a、b方向相同或相反．‎ 解析　由题意知a∥b，所以＝＝，‎ 即 把①代入②得x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0，‎ 解得x＝－2或x＝1，‎ 当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.‎ 当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，‎ 两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．‎ 当时，b＝(1,2,3)＝a，a与b同向，所以 答案　1,3‎ 温馨提醒　(1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a，b满足a＝λb(b≠0)且λ>0则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对应成比例．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．‎ ‎2．利用共线向量定理、空间向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．‎ ‎3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．‎ ‎ [失误与防范]‎ ‎1．向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．‎ ‎2．求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．‎ ‎§7 立体几何中的向量方法 ‎7.1 证明平行与垂直 ‎1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 ‎(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．‎ ‎(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 ‎2．用向量证明空间中的平行关系 ‎(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.‎ ‎(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.‎ ‎(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或lα⇔v⊥u.‎ ‎(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.‎ ‎3．用向量证明空间中的垂直关系 ‎(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.‎ ‎(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.‎ ‎(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.‎ 思想与方法系列 ‎ ‎17．利用向量法解决立体几何问题 典例　(12分)(2014·湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．‎ ‎(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；‎ ‎(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．‎ 规范解答 解　以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．[1分]‎ 由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0，0，λ)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，＝(－2,0,2)，＝(－1,0，λ)，＝(1,1,0)，＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，λ－2)．[3分]‎ ‎(1)证明　当λ＝1时，＝(－1,0,1)，‎ 因为＝(－2,0,2)，‎ 所以＝2，即BC1∥FP.‎ 而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，‎ 故直线BC1∥平面EFPQ.[7分]‎ ‎(2)解　设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由可得 于是可取n＝(λ，－λ，1)．[9分]‎ 同理可得平面PQMN的一个法向量为m＝(λ－2,2－λ，1)．‎ 若存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，‎ 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±.[11分]‎ 故存在λ＝1±，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角．[12分]‎ 温馨提醒　(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量；‎ ‎(2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；‎ ‎(3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．‎ ‎2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．‎ ‎[失误与防范]‎ 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．‎ ‎7.2 求空间角和距离 ‎1．两条异面直线的夹角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 ‎(0，]‎ ‎[0，π]‎ 求法 cos θ＝ cos β＝ ‎2.直线与平面的夹角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝.‎ ‎3．求平面间的夹角 已知平面π1和π2的法向量分别为n1，n2.当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；当<〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．‎ ‎4．利用空间向量求距离(供选用)‎ ‎(1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝.‎ ‎(2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.‎ 答题模版系列 ‎ ‎6．利用空间向量求解空间角 典例　(12分)(2014·天津)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．‎ ‎(1)证明：BE⊥DC；‎ ‎(2)求直线BE与平面PBD的夹角的正弦值；‎ ‎(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求平面FAB与平面PAB的夹角的余弦值．‎ 规范解答 ‎(1)证明　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．[1分]‎ 由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，＝(0,1,1)，＝(2,0,0)。‎ 故·＝0，所以BE⊥DC.[3分]‎ ‎(2)解　＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，‎ 则即不妨令y＝1，[5分]‎ 可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量．‎ 于是有cos〈n，〉＝＝＝，‎ 所以，直线BE与平面PBD的夹角的正弦值为.[7分]‎ ‎(3)解　＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．‎ 由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1，‎ 故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．‎ 由BF⊥AC，得·＝0，‎ 因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，‎ 即＝(－，，)．[9分]‎ 设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，‎ 则 即 不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，‎ 则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.‎ 所以平面FAB与平面PAB的夹角的余弦值为.[12分]‎ 利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系；‎ 第二步：确定点的坐标；‎ 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；‎ 第四步：计算向量的夹角(或函数值)；‎ 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；‎ 第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．‎ 温馨提醒　(1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用．‎ ‎(2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范．‎ ‎(3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易失分．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．‎ ‎2．求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段．‎ ‎ [失误与防范]‎ ‎1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．‎ ‎2．求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便．‎ 专题9 平面解析几何 ‎§1 直线的方程 ‎1．直线的倾斜角与斜率 ‎(1)直线的倾斜角 ‎①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.‎ ‎②倾斜角的范围为[0°，180°)．‎ ‎(2)直线的斜率 ‎①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．‎ ‎②过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.‎ ‎2．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎3.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．‎ 易错警示系列 ‎ ‎13．求直线方程忽视零截距致误 典例　(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；‎ ‎(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ 易错分析　本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．‎ 规范解答 解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]‎ 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.‎ ‎∴＝a－2，即a＋1＝1.[4分]‎ ‎∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.‎ 综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.[6分]‎ ‎(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，‎ ‎∴或 ‎∴a≤－1.[10分]‎ 综上可知a的取值范围是a≤－1.[12分]‎ 温馨提醒　(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．‎ ‎(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．‎ ‎[方法与技巧]‎ 直线的倾斜角和斜率的关系：‎ ‎(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．‎ ‎(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：‎ α ‎0°‎ ‎0°<α<90°‎ ‎90°‎ ‎90°<α<180°‎ k ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ ‎[失误与防范]‎ 与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：‎ ‎(1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．‎ ‎(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．‎ ‎(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．‎ ‎§2 两条直线的关系 ‎1．两条直线的位置关系 ‎(1)两条直线平行与垂直 ‎①两条直线平行：‎ ‎(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.‎ ‎(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎②两条直线垂直：‎ ‎(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎(2)两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎2．几种距离 ‎(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.‎ ‎(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝.‎ ‎(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.‎ ‎2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ∈R)，但不包括l2.‎ ‎3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：‎ ‎(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．‎ ‎(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．‎ 思想与方法系列 ‎ ‎18．妙用直线系求直线方程 一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．‎ 典例　求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．‎ 思维点拨　因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0 (c≠1)．‎ 规范解答 解　依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0 (c≠1)，‎ 又因为直线过点(1,2)，‎ 所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.‎ 因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.‎ 温馨提醒　与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0 (C1≠C)，再由其他条件求C1.‎ 二、垂直直线系 由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．‎ 典例　求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．‎ 思维点拨　依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．‎ 规范解答 解　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.‎ 温馨提醒　与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1.‎ 三、过直线交点的直线系 典例　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．‎ 思维点拨　可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．‎ 规范解答 解　方法一　解方程组得P(0,2)．‎ 因为l3的斜率为，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－，‎ 由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，‎ 即4x＋3y－6＝0.‎ 方法二　设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，‎ 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.‎ 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，‎ 解得λ＝11.‎ ‎∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.‎ 温馨提醒　本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解．‎ ‎ [方法与技巧]‎ ‎1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．‎ ‎2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．‎ ‎2．在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．‎ ‎§3 圆的方程 ‎ ‎1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．‎ ‎2．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．‎ ‎3．圆的标准方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．‎ ‎4．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为，半径r＝.‎ ‎5．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 ‎(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；‎ ‎(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；‎ ‎(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．‎ ‎6．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种．‎ 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)‎ ‎(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；‎ ‎(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；‎ ‎(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)20)，‎ 则有解得故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.‎ 巧妙解法 (几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．‎ 故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.‎ 则圆C的半径为＝3，‎ 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.‎ 温馨提醒　(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．‎ ‎(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．‎ ‎2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．‎ ‎2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．‎ ‎§4 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 ‎(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．‎ dr⇔相离．‎ ‎(2)代数法： ‎2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，‎ 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).‎ 位置关系 方法 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2‎ 无解 外切 d＝r1＋r2‎ 一组实数解 相交 ‎|r1－r2|0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ 解析　(1)由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆直径，故＋＝2＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x－6，y)．故|＋＋|＝，‎ ‎∴x＝－1时有最大值＝7，故选B.‎ ‎(2)根据题意，画出示意图，如图所示，‎ 则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.‎ 因为∠APB＝90°，连接OP，‎ 易知|OP|＝|AB|＝m.‎ 要求m的最大值，‎ 即求圆C上的点P到原点O的最大距离．‎ 因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.‎ 答案　(1)B　(2)B 二、直线与圆的综合问题 典例　(1)(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．2 ‎(2)(2014·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)‎ A.π B.π C．(6－2)π D.π 解析　(1)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，‎ ‎∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．‎ ‎∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.‎ ‎∴|AB|＝6.‎ ‎(2)∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上．‎ 设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，‎ 则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，‎ ‎∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，‎ ‎∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.‎ 又|OD|＝＝，‎ ‎∴圆C的最小半径为，‎ ‎∴圆C面积的最小值为π()2＝π.‎ 答案　(1)C　(2)A 温馨提醒　(1)与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．(2)直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．‎ ‎2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．‎ ‎3．圆的弦长的常用求法 ‎(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2；‎ ‎(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．‎ ‎2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.‎ ‎§5 椭圆 ‎1．椭圆的概念 ‎ 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点F1，F2的距离叫作椭圆的焦距．‎ 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：‎ ‎(1)若a>c，则集合P为椭圆；‎ ‎(2)若a＝c，则集合P为线段；‎ ‎(3)若ab>0)‎ ＋＝1(a>b>0)‎ 图形 性质 范围 ‎－a≤x≤a ‎－b≤y≤b ‎－b≤x≤b ‎－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)‎ 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 ‎|F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1)‎ a，b，c的关系 a2＝b2＋c2‎ ‎【知识拓展】‎ 点P(x0，y0)和椭圆的关系 ‎(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.‎ ‎(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.‎ ‎(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.‎ ‎(4)＋＝1 (a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．‎ 高频小考点 ‎ ‎8．高考中求椭圆的离心率问题 典例　(1)(2015·福建)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2014·江西)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．‎ 解析　(1)如图，设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．‎ ‎∵|AF|＋|BF|＝4，‎ ‎∴|AF|＋|AF0|＝4，‎ ‎∴a＝2.‎ 设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.‎ 离心率e＝＝ ＝ ＝ ∈，‎ 故选A.‎ ‎(2)直线AB：x＝c，代入＋＝1，得y＝±.‎ ‎∴A(c，)，B(c，－)． ∴kBF1＝＝＝－. ∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)．‎ 令x＝0，则y＝－， ∴D(0，－)，∴kAD＝＝. 由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，‎ ‎∴3b4＝4a2c2，‎ ‎∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，‎ ‎∴e2＋2e－＝0，‎ ‎∴e＝＝.‎ ‎∵e>0，∴e＝＝＝.‎ 答案　(1)A　(2) 温馨提醒　离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．‎ ‎ ‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．‎ ‎2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1 (m>0，n>0，且m≠n)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1 (A>0，B>0，且A≠B)，这种形式在解题中更简便．‎ ‎3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：‎ ‎(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得；‎ ‎(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小．‎ ‎2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1 (a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．‎ ‎§6 抛物线 ‎ ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0)‎ y2＝－2px(p>0)‎ x2＝2py(p>0)‎ x2＝－2py(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 ‎【知识拓展】‎ ‎1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．‎ ‎2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ 答题模版系列 ‎ ‎7．直线与圆锥曲线问题的求解策略 典例　(12分)(2014·山东)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，‎ ‎①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；‎ ‎②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ 规范解答 解　(1)由题意知F(，0)．‎ 设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为(，0)．‎ 因为|FA|＝|FD|，‎ 由抛物线的定义知3＋＝，‎ 解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．‎ 由＝3，解得p＝2.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝4x.[2分]‎ ‎(2)①由(1)知F(1,0)．‎ 设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)．‎ 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，‎ 由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)，‎ 故直线AB的斜率kAB＝－.‎ 因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－x＋b，代入抛物线方程得y2＋y－＝0，‎ 由题意得Δ＝＋＝0，得b＝－.[5分]‎ 设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.‎ 当y≠4时，kAE＝＝＝，‎ 可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)．‎ 由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，‎ 直线AE恒过点F(1,0)．‎ 当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1,0)，‎ 所以直线AE过定点F(1,0)．[7分]‎ ‎②由①知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.‎ 设直线AE的方程为x＝my＋1.‎ 因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.‎ 设B(x1，y1)，直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，‎ 由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，‎ 所以y0＋y1＝－，可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.‎ 所以点B到直线AE的距离为 d＝＝＝4.[10分]‎ 则△ABE的面积S＝×4≥16，‎ 当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立．‎ 所以△ABE的面积的最小值为16.[12分]‎ 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：‎ 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；‎ 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范 ‎ 围(或指出直线过曲线内一点)；‎ 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或 ‎ y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；‎ 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．‎ 温馨提醒　(1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系．‎ ‎(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化．‎ ‎(3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率．‎ ‎ ‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．认真区分四种形式的标准方程 ‎(1)区分y＝ax2与y2＝2px (p>0)，前者不是抛物线的标准方程．‎ ‎(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx (m≠0)或x2＝‎ my(m≠0)．‎ ‎2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．‎ 抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．‎ ‎2．注意应用抛物线的定义解决问题．‎ ‎3．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．‎ ‎§7 双曲线 ‎1．双曲线定义 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．‎ 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.‎ ‎(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；‎ ‎(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；‎ ‎(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．‎ ‎2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) ‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)‎ ‎【知识拓展】‎ 巧设双曲线方程 ‎(1)与双曲线－＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t (t≠0)．‎ ‎(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1 (mn<0)．‎ 易错警示系列 ‎ ‎14．忽视“判别式”致误 典例　(12分)已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？‎ 易错分析　由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误．‎ 规范解答 解　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，‎ 若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．[2分]‎ 设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，‎ 即y＝kx＋1－k.[3分]‎ 由 得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0 (2－k2≠0)．①　[6分]‎ ‎∴x0＝＝.‎ 由题意，得＝1，解得k＝2.[8分]‎ 当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.‎ Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[11分]‎ ‎∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．[12分]‎ 温馨提醒　(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．‎ ‎(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程．‎ ‎(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．‎ ‎ ‎ ‎[方法与技巧]‎ 双曲线标准方程的求法：‎ ‎(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为－＝1 (mn>0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1 (AB<0)，这种形式在解题时更简便；‎ ‎(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；‎ ‎(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.‎ ‎2．双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0,1)．‎ ‎3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.‎ ‎4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．‎ ‎5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．‎ ‎§8 曲线与方程 ‎1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：‎ ‎(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．‎ ‎2．求动点的轨迹方程的一般步骤 ‎(1)建系——建立适当的坐标系．‎ ‎(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．‎ ‎(3)列式——列出动点P所满足的关系式．‎ ‎(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．‎ ‎(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．‎ ‎3．两曲线的交点 ‎(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．‎ ‎(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．‎ 思想与方法系列 ‎ ‎20．利用参数法求轨迹方程 典例　(12分)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N＋，1≤i≤9)．‎ ‎(1)求证：点Pi(i∈N＋，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；‎ ‎(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．‎ 规范解答 方法一　解　(1)依题意，过Ai(i∈N＋，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x＝i，Bi的坐标为(10，i)，‎ 所以直线OBi的方程为y＝x.[2分]‎ 设Pi的坐标为(x，y)，由 得y＝x2，即x2＝10y.‎ 所以点Pi(i∈N＋，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.[4分]‎ ‎(2)依题意知，直线l的斜率存在，‎ 设直线l的方程为y＝kx＋10.‎ 由得x2－10kx－100＝0，‎ 此时Δ＝100k2＋400>0，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.[6分]‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 因为S△OCM∶S△OCN＝4∶1，所以S△OCM＝4S△OCN，‎ 所以|x1|＝4|x2|.‎ 又x1·x2<0，所以x1＝－4x2，③‎ 把③代入①和②，得 解得k＝±.[10分]‎ 所以直线l的方程为y＝±x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0.[12分]‎ 方法二　解　(1)点Pi(i∈N＋，1≤i≤9)都在抛物线E：x2＝10y上．‎ 证明如下：过Ai(i∈N＋，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x＝i，Bi的坐标为(10，i)，‎ 所以直线OBi的方程为y＝x.[2分]‎ 由解得Pi的坐标为(i，)，‎ 因为点Pi的坐标都满足方程x2＝10y，‎ 所以点Pi(i∈N＋，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.[4分]‎ ‎(2)同方法一．‎ 温馨提醒　参数法求轨迹方程的步骤：‎ ‎(1)选取参数k，用k表示动点M的坐标．‎ ‎(2)得出动点M的参数方程 ‎(3)消去参数k，得M的轨迹方程．‎ ‎(4)由k的范围确定x，y的范围．‎ ‎ ‎ ‎[方法与技巧]‎ 求轨迹的常用方法 ‎(1)直接法：‎ 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程．‎ ‎(2)待定系数法：‎ 已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．‎ ‎(3)定义法：‎ 其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．‎ ‎(4)代入法(相关点法)：‎ 当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动时．如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就是把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．‎ ‎2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.‎ ‎§9 圆锥曲线的综合问题 一、直线与圆锥曲线 ‎1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)．‎ ‎(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ‎①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；‎ ‎②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；‎ ‎③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．‎ ‎(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，‎ ‎①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；‎ ‎②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．‎ ‎2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.‎ ‎【知识拓展】‎ 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 ‎(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．‎ ‎(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；‎ 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；‎ 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线. ‎ ‎(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；‎ 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；‎ 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．‎ ‎ ‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．有关弦的三个问题 涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．‎ ‎2．求解与弦有关问题的两种方法 ‎(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系．‎ ‎(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．‎ ‎ [失误与防范]‎ 判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点 ‎(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．‎ ‎(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．‎ 二、范围、最值问题 题型一　范围问题 例1　(2015·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.‎ ‎(1)求直线FM的斜率；‎ ‎(2)求椭圆的方程；‎ ‎(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．‎ 解　(1)由已知有＝，‎ 又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.‎ 设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．‎ 由已知，有2＋2＝2，‎ 解得k＝.‎ ‎(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.‎ 因为点M在第一象限，可得M的坐标为.‎ 由|FM|＝ ＝.‎ 解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，‎ 得t＝，即直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立．‎ 消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，‎ 又由已知，得t＝ ＞，‎ 解得－＜x＜－1，或－1＜x＜0.‎ 设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.‎ ‎①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，‎ 因此m＞0，于是m＝ ，得m∈.‎ ‎②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0.‎ 因此m＜0，于是m＝－ ，‎ 得m∈.‎ 综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.‎ 思维升华　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 ‎(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；‎ ‎(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．‎ 题型二　最值问题 命题点1　利用三角函数有界性求最值 例2　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　　)‎ A．2 B. C．4 D．2 答案　C 解析　设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.‎ 命题点2　数形结合利用几何性质求最值 例3　(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_____________．‎ 答案　 解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.‎ 命题点3　转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 例4　(2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为 e1；双曲线C2：－＝1的左，右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.‎ ‎(1)求C1，C2的方程；‎ ‎(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．‎ 解　(1)因为e1e2＝，所以 ·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.‎ 故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.‎ ‎(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)，‎ 故可设直线AB的方程为x＝my－1.‎ 由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.‎ 易知此方程的判别式大于0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1，y2是上述方程的两个实根，‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝.‎ 因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，‎ 于是AB的中点为M(，)，‎ 故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，‎ 即mx＋2y＝0.‎ 由得(2－m2)x2＝4，‎ 所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，‎ 从而|PQ|＝2＝2.‎ 设点A到直线PQ的距离为d，‎ 则点B到直线PQ的距离也为d，‎ 所以2d＝.‎ 因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，‎ 所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，‎ 于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，‎ 从而2d＝.‎ 又因为|y1－y2|＝ ‎＝，‎ 所以2d＝.‎ 故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.‎ 而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取得最小值2.‎ 综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.‎ 思维升华　处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．‎ ‎2．圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 ‎(1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题．‎ ‎(2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．求范围问题要注意变量自身的范围．‎ ‎2．利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系．注意特殊关系，特殊位置的应用．‎ 三、定点、定值、探索性问题 题型一　定点问题 例1　已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．‎ 解　(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，‎ 又a2＝b2＋c2，所以a2＝3.‎ 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，‎ N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，‎ 由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，‎ ‎∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.‎ 同理由＝λ2知λ2＝－1.‎ ‎∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①‎ 联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，‎ ‎∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②‎ 且有y1＋y2＝，y1y2＝，③‎ ‎③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，‎ ‎∴(mt)2＝1，‎ 由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，‎ 得l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．‎ 思维升华　圆锥曲线中定点问题的两种解法 ‎(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．‎ ‎(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．‎ 题型二　定值问题 例2　如图，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．‎ 解　(1)设F(c,0)，因为b＝1，‎ 所以c＝，‎ 直线OB方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，‎ 解得B(，－)．‎ 又直线OA的方程为y＝x，‎ 则A(c，)，kAB＝＝.‎ 又因为AB⊥OB，所以·(－)＝－1，‎ 解得a2＝3，‎ 故双曲线C的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为 －y0y＝1(y0≠0)，即y＝.‎ 因为直线AF的方程为x＝2，‎ 所以直线l与AF的交点为M(2，)；‎ 直线l与直线x＝的交点为N(，)．‎ 则＝＝ ‎＝·.‎ 因为P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，‎ 代入上式得＝· ‎＝·＝，‎ 即所求定值为＝＝.‎ 思维升华　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；‎ ‎(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；‎ ‎(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．‎ 题型三　探索性问题 例3　(2015·湖北)一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎(1) 求曲线C的方程；‎ ‎(2) 设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)设点D(t,0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，＝2，且||＝||＝1，‎ 所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，且 即且t(t－2x0)＝0.‎ 由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，‎ 于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－，代入x＋y＝1，‎ 可得＋＝1，即所求曲线C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.‎ ‎②当直线l的斜率存在时，‎ 设直线l：y＝kx＋m，‎ 由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.‎ 因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，‎ 所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，‎ 即m2＝16k2＋4.①‎ 又由可得P；‎ 同理可得Q.‎ 由原点O到直线PQ的距离为d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得S△OPQ＝|PQ|·d＝|m|·|xP－xQ|＝·|m|＝.②‎ 将①代入②得，S△OPQ＝＝8.‎ 当k2>时，S△OPQ＝8＝8>8；‎ 当0≤k2<时，‎ S△OPQ＝8＝8.‎ 因0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，‎ 所以S△OPQ＝8≥8，‎ 当且仅当k＝0时取等号．‎ 所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.‎ 综合①②可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.‎ 思维升华　解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．‎ ‎(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；‎ ‎(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；‎ ‎(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．‎ 思想与方法系列 ‎ ‎21．设而不求，整体代换 典例　(12分)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；‎ ‎(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2‎ 的斜率分别为k1、k2，若k2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值．‎ 思维点拨　第(3)问，可设P点坐标为(x0，y0)，写出直线l的方程；联立方程组消去y得关于x的一元二次方程，则Δ＝0；变为，把k与＋均用x0，y0表示后可消去．‎ 规范解答 解　(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.由题意知＝1，即a＝2b2.‎ 又e＝＝，所以a＝2，b＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.[3分]‎ ‎(2)设P(x0，y0) (y0≠0)，又F1(－，0)，F2(，0)，‎ 所以直线PF1，PF2的方程分别为 ‎：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，‎ ‎：y0x－(x0－)y－y0＝0.‎ 由题意知＝.‎ 由于点P在椭圆上，所以＋y＝1.[6分]‎ 所以＝.‎ 因为－0或说明中点在曲线内部．‎ ‎3．解决定值、定点问题，不要忘记特值法.‎ 专题10 计数原理 ‎§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎1．分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称加法原理)‎ ‎2．分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．(也称乘法原理)‎ ‎3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．‎ 易错警示系列 ‎ ‎15．对两个基本原理认识不清致误 典例　(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有(　　)‎ A．24种 B．4种 ‎ C．43种 D．34种 ‎(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．‎ 易错分析　解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算．‎ 解析　(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．‎ ‎(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7种．‎ 答案　(1)C　(2)7‎ 温馨提醒　(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择．‎ ‎(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏．‎ ‎ ‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．‎ ‎2．分类标准要明确，做到不重复不遗漏．‎ ‎3．混合问题一般是先分类再分步．‎ ‎4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．‎ ‎ [失误与防范]‎ ‎1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．‎ ‎2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．‎ ‎3．确定题目中是否有特殊条件限制．‎ ‎§2 排列与组合 ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ‎(2)C＝＝＝ 性质 ‎(1)0！＝1；A＝n！‎ ‎(2)C＝C；C＝C＋C 易错警示系列 ‎ ‎16．排列、组合问题计算重、漏致误 典例　有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．‎ 易错分析　易犯错误如下：先从一等品中取1个，有C种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C种不同取法，共有C×C＝2 736种不同取法．上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复．‎ 解析　方法一　将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有CC＋CC＋C＝1 136种．‎ 方法二　考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C－C＝1 136种．‎ 答案　1 136‎ 温馨提醒　(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素(位置)优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题．‎ ‎(2)“至少、至多”型问题不能直接利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解．‎ ‎ ‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：‎ ‎(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；‎ ‎(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；‎ ‎(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．‎ ‎2．排列、组合问题的求解方法与技巧：‎ ‎(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．‎ ‎[失误与防范]‎ 求解排列与组合问题的三个注意点：‎ ‎(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．‎ ‎(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．‎ ‎(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．‎ ‎§3 二项式定理 ‎1．二项式定理 二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)‎ 二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0,1,2，…，n})‎ ‎2.二项式系数的性质 ‎(1)0≤r≤n时，C与C的关系是C＝C.‎ ‎(2)二项式系数先增后减中间项最大 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为和.‎ ‎(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，‎ C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1.‎ ‎【知识拓展】‎ 二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C，C，一直到，C.‎ 易错警示系列 ‎ ‎17．混淆二项展开式的系数与二项式系数致误 典例　(1)已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中含x3的项的系数是20，求a的值；‎ ‎(2)设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，求展开式中二项式系数最大的项．‎ 易错分析　解答此题时易将二项式系数之和与各项系数和混淆，从而导致计算错误；另外，也要注意项与项的系数，项的系数与项的系数绝对值的区别与联系．‎ 规范解答 解　(1)(x＋1)6(ax－1)2的展开式中x3的系数是C＋C×(－1)×a＋Ca2＝6a2－15a＋20，‎ ‎∵x3的系数为20，‎ ‎∴6a2－15a＋20＝20，∴a＝0，a＝.‎ ‎(2)依题意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n，‎ 于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0，‎ ‎∴2n＝16＝24，‎ 解得n＝4.‎ 要使二项式系数C最大，只有r＝2，‎ 故展开式中二项式系数最大的项为 T3＝C(5x)2·(－)2＝150x3‎ 温馨提醒　(1)对于(ax＋b)n展开式中，第r＋1项的二项式系数是指C，第r＋1项的系数是Can－rbr.‎ ‎(2)对于(ax＋b)n展开式中各项系数之和，令x＝1即得：(a＋b)n；(ax＋b)n展开式的二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎ ‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．通项Tr＋1＝Can－rbr是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，而不是第r项，这里r＝0,1，…，n.‎ ‎2．二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．‎ ‎3．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．‎ ‎4．运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．项的系数与a、b有关，二项式系数只与n有关，大于0.‎ ‎2．求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”．‎ ‎3．关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法．‎ ‎4．展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．‎ 专题11 统计与统计案例 ‎§1 随机抽样 ‎1．抽样调查 ‎(1)抽样调查 通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测 ‎，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．‎ ‎(2)总体和样本 调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．‎ ‎(3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点：‎ ‎①迅速、及时；‎ ‎②节约人力、物力和财力．‎ ‎2．简单随机抽样 ‎(1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率相同．‎ ‎(2)通常采用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．‎ ‎3．分层抽样 ‎(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．‎ ‎(2)分层抽样的应用范围：‎ 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．‎ ‎4．系统抽样 系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样．‎ 审题路线图系列 ‎ ‎5.审图表找规律 典例　(12分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：‎ 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 ‎40‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎200‎ 中年 ‎80‎ ‎120‎ ‎160‎ ‎240‎ ‎600‎ 青年 ‎40‎ ‎160‎ ‎280‎ ‎720‎ ‎1 200‎ 共计 ‎160‎ ‎320‎ ‎480‎ ‎1 040‎ ‎2 000‎ ‎(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？‎ ‎(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？‎ ‎(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？‎ 抽取40人调查身体状况 ‎↓(观察图表中的人数分类统计情况)‎ 样本人群应受年龄影响 ‎↓(表中老、中、青分类清楚，人数确定)‎ 要以老、中、青分层，用分层抽样 ‎↓‎ 要开一个25人的座谈会 ‎↓(讨论单位发展与薪金调整)‎ 样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响 ‎↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定)‎ 要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样 ‎↓‎ 要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解 可认为亚运会是大众体育盛会，一个单位人员对情,况了解相当 将单位人员看作一个整体 ‎↓(从表中数据看总人数为2 000人)‎ 人员较多，可采用系统抽样 规范解答 解　(1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，[1分]‎ 抽取比例为＝.[2分]‎ 故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人．[4分]‎ ‎(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，[5分]‎ 抽取比例为＝，[6分]‎ 故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人．[8分]‎ ‎(3)用系统抽样，‎ 对全部2 000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，共20人组成一个样本．[12分]‎ 温馨提醒　(1)本题审题的关键有两点，一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚；二是对样本的功能要审视准确．‎ ‎(2)本题易错点是，对于第(2)问，由于对样本功能审视不准确，按老、中、青三层分层抽样．‎ ‎ ‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距．‎ ‎2．系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．‎ ‎3．分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．‎ ‎ [失误与防范]‎ 进行分层抽样时应注意以下几点：‎ ‎(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．‎ ‎(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.‎ ‎§2 统计图表、用样本估计总体 ‎ ‎1．统计图表 统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等．‎ ‎2．数据的数字特征 ‎(1)众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．‎ 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．‎ 平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)．‎ 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．‎ ‎(2)样本方差、标准差 标准差s＝ ，‎ 其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．‎ 标准差是刻画数据的离散程度的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．‎ ‎3．用样本估计总体 ‎(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．‎ ‎(2)在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.‎ ‎(3)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图．‎ ‎(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它没有信息的缺失，而且可以随时记录，方便表示与比较．‎ 高频小考点 ‎ ‎9．高考中频率分布直方图的应用 典例　(12分)(2015·广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．‎ ‎(1)求直方图中x的值；‎ ‎(2)求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？‎ 规范解答 解　(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：x＝0.007 5，‎ 所以直方图中x的值是0.007 5.[3分]‎ ‎(2)月平均用电量的众数是＝230.[4分]‎ 因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.[8分]‎ ‎(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)，抽取比例＝＝ ‎，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5(户)．[12分]‎ 温馨提醒　本题的难点是对频率分布直方图意义的理解以及利用这个图提供的数据对所提问题的计算，频率分布直方图中纵轴上的数据是频率除以组距，组距越大该数据越小，在解答这类问题时要特别注意．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．‎ ‎2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．‎ ‎3．若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2.‎ ‎[失误与防范]‎ 频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．‎ ‎§3 变量间的相关关系、统计案例 ‎1．相关性 ‎(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．‎ ‎(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．‎ ‎(3)在两个变量x和y的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关 的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．‎ ‎2．线性回归方程 ‎(1)最小二乘法 如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．‎ ‎(2)线性回归方程 方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的线性回归方程，其中a，b是待定参数．‎ ‎3．回归分析 ‎(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．‎ ‎(2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(，)称为样本点的中心．‎ ‎(3)相关系数 ‎①r＝ ‎＝；‎ ‎②当r>0时，表明两个变量正相关；‎ 当r<0时，表明两个变量负相关；‎ 当r＝0时，表明两个变量线性不相关．‎ r的绝对值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度越高．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低．‎ ‎4．独立性检验 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，‎ 变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1；‎ ‎2×2列联表：‎ A B B1‎ B2‎ 总计 A1‎ a b a＋b A2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 构造一个随机变量 χ2＝.‎ 利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．‎ 当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B没有关联的；‎ 当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；‎ 当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；‎ 当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．‎ 思想与方法系列 ‎ ‎22．求线性回归方程的方法技巧 典例　(12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：‎ 年份 ‎2006‎ ‎2008‎ ‎2010‎ ‎2012‎ ‎2014‎ 需求量/万吨 ‎236‎ ‎246‎ ‎257‎ ‎276‎ ‎286‎ ‎(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y＝bx＋a；‎ ‎(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量．‎ 规范解答 解　(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下：‎ 年份－2010‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 需求－257‎ ‎－21‎ ‎－11‎ ‎0‎ ‎19‎ ‎29‎ 对处理的数据，容易算得＝0，＝3.2，[4分]‎ b＝＝＝6.5，‎ a＝－b ＝3.2.[6分]‎ 由上述计算结果，知所求线性回归方程为 y－257＝6.5(x－2010)＋3.2，‎ 即y＝6.5(x－2010)＋260.2.[8分]‎ ‎(2)利用所求得的线性回归方程，可预测2016年的粮食需求量大约为6.5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．[12分]‎ 温馨提醒　求线性回归方程时，重点考查的是计算能力．若本题用一般法去解，计算更烦琐(如年份、需求量，不做如上处理)，所以平时训练时遇到数据较大的题目时，要考虑有没有更简便的方法解决．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．‎ ‎2．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎2．独立性检验中统计量χ2的值的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错．‎ 专题12 概率、随机变量及其分布 ‎§1 随机事件的概率 ‎1．随机事件和确定事件 ‎(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件．‎ ‎(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件．‎ ‎(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．‎ ‎(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件．‎ ‎(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．‎ ‎2．频率与概率 在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．‎ ‎3．事件的关系与运算 互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．‎ 事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．‎ 对立事件：不会同时发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件．‎ ‎4．概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎(4)互斥事件概率的加法公式 ‎①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎②若事件A与事件互为对立事件，则P(A)＝1－P()．‎ ‎[知识拓展]‎ 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．‎ 思想与方法系列 ‎ ‎23．用正难则反思想求互斥事件的概率 典例　(12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)‎ 思维点拨　若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．‎ 规范解答 解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，‎ 所以x＝15，y＝20.[2分]‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 ＝1.9(分钟)．[6分]‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.[9分]‎ P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.[11分]‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.[12分]‎ 温馨提醒　(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．‎ ‎(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．‎ 易错提示　(1)对统计表的信息不理解，错求x，y，难以用样本平均数估计总体．‎ ‎(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．‎ ‎2．从集合角度理解互斥事件和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．‎ ‎2．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．‎ ‎§2 古典概型 ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的；‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；‎ ‎(2)每一个试验结果出现的可能性相同．‎ ‎3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是　　；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝　　.‎ ‎4．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ 审题路线图系列 ‎ ‎6.审细节更完善 典例　(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.‎ ‎(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n，‎ 故图中阴影部分符合构成三角形的条件．‎ 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的，‎ 故这三条线段能构成三角形的概率为.‎ 温馨提醒　解决几何概型问题的易误点：‎ ‎(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．‎ ‎(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个．‎ ‎2．转化思想的应用 对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．‎ ‎(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；‎ ‎(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；‎ ‎(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；‎ ‎2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.‎ ‎§4离散型随机变量及其分布列 ‎1．离散型随机变量的分布列 ‎(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．‎ ‎(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．‎ ‎(3)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，‎ 或把上式列表：‎ X＝ai a1‎ a2‎ ‎…‎ P(X＝ai)‎ p1‎ p2‎ ‎…‎ 称为离散型随机变量X的分布列．‎ ‎(4)性质：‎ ‎①pi__>__0，i＝1,2，…；‎ ‎②p1＋p2＋…＝__1__.‎ ‎2．超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n (n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝ (其中k为非负整数)．‎ 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．‎ 易错警示系列 ‎ ‎19．随机变量取值不全致误 典例　(12分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其分布列．‎ 易错分析　由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误．‎ 规范解答 解　由题意可得，随机变量ξ的可能取值是2,3,4,6,7,10.[3分]‎ P(ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09，‎ P(ξ＝3)＝C×0.3×0.4＝0.24，‎ P(ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16，‎ P(ξ＝6)＝C×0.3×0.3＝0.18，‎ P(ξ＝7)＝C×0.4×0.3＝0.24，‎ P(ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09.[9分]‎ 故随机变量ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎10‎ P ‎0.09‎ ‎0.24‎ ‎0.16‎ ‎0.18‎ ‎0.24‎ ‎0.09‎ ‎[12分]‎ 温馨提醒　(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．‎ ‎(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．‎ ‎(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．‎ ‎2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．‎ ‎[失误与防范]‎ 掌握离散型随机变量的分布列，须注意：‎ ‎(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．‎ ‎(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．‎ ‎§5 二项分布及其应用 ‎1．条件概率 在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝(P(B)>0)．‎ ‎2．相互独立事件 ‎(1)一般地，对两个事件A，B，如果有P(AB)＝P(A)P(B)，则称A、B相互独立．‎ ‎(2)如果A、B相互独立，则A与、与B、与也相互独立．‎ ‎(3)如果A1，A2，…，An相互独立，则有：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．‎ ‎3．二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件：‎ ‎(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；‎ ‎(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；‎ ‎(3)各次试验是相互独立的．‎ 用X表示这n次试验中成功的次数，则 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)‎ 若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．‎ 答题模版系列 ‎ ‎20．独立事件概率求解中的易误点 典例　(12分)某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．‎ ‎(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；‎ ‎(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；‎ ‎(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．‎ 易错分析　解本题第(2)问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n 次独立重复试验，可导致求得P＝C()3×()2＝这一错误结果．‎ 规范解答 解　(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，‎ 则X～B.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P(X＝2)＝C×2×3＝.[2分]‎ ‎(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则 P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3A45)‎ ‎＋P(12A3A4A5)‎ ‎＝3×2＋×3×＋2×3＝.[4分]‎ ‎(3)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3)．‎ 由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.[5分]‎ P(ξ＝0)＝P(123)＝3＝；‎ P(ξ＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)‎ ‎＝×2＋××＋2×＝；‎ P(ξ＝2)＝P(A12A3)＝××＝；‎ P(ξ＝3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)‎ ‎＝2×＋×2＝；‎ P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝3＝.[11分]‎ 所以ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ P ‎[12分]‎ 温馨提醒　(1)正确区分相互独立事件与n次独立重复试验是解决这类问题的关键．独立重复试验是在同一条件下，事件重复发生或不发生．‎ ‎(2)独立重复试验中的概率公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p与1－p的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了．‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法．‎ ‎2．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A事件与n－k个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．‎ ‎2．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意“恰好”与“至多(少)”的关系，灵活运用对立事件．‎ ‎§6离散型随机变量的均值与方差、正态分布 ‎1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…r)．‎ ‎(1)均值 EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，EX刻画的是X取值的“中心位置”．‎ ‎(2)方差 DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．‎ ‎2．二项分布的均值、方差 若X～B(n，p)，则EX＝__np__，DX＝np(1－p)．‎ ‎3．正态分布 ‎(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．‎ ‎(2)正态分布密度函数的性质：‎ ‎①函数图像关于直线x＝μ对称；‎ ‎②σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；‎ ‎③P(μ－σb>0)‎ (φ为参数)‎ 双曲线 －＝1 ，(a>0，b>0)‎ (φ为参数)‎ ‎1．将参数方程化为普通方程是解决问题的一般思路，体现了化归思想．‎ ‎2．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.‎ ‎§3 不等式选讲 ‎3.1 绝对值不等式 ‎1．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎2．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法．‎ ‎2．可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．‎ ‎3．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.‎ ‎3.2 不等式的证明 ‎1．不等式证明的方法 ‎(1)比较法：‎ ‎①求差比较法：‎ 知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．‎ ‎②求商比较法：‎ 由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法．‎ ‎(2)分析法：‎ 从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．‎ ‎(3)综合法：‎ 从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法．‎ ‎(4)放缩法和反证法：‎ 在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．‎ 反证法是常用的证明方法．它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立．其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．‎ ‎(5)数学归纳法：‎ 数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题．证明需要经过两个步骤：‎ ‎①验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确．‎ ‎②假设当n＝k时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确．‎ ‎2．几个常用基本不等式 ‎(1)柯西不等式：‎ ‎①柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时，等号成立)．‎ ‎②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．‎ ‎③设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．‎ ‎(2)算术—几何平均不等式 若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ 证明不等式的方法和技巧：‎ ‎(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．‎ ‎(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．‎ ‎(3)在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立．‎ ‎(4)柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件