2017全国高考近四年圆锥曲线题目

2017全国高考近四年圆锥曲线题目

全国高考近四年圆锥曲线题目 ‎　‎ 一．选择题（共14小题）‎ ‎1．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=±x D．y=‎ ‎2．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（　　）‎ A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1）‎ C．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1） D．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1）‎ ‎5．椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知抛物线C：y2‎ ‎=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎7．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（　　）‎ A． B．6 C．12 D．7‎ ‎9．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1‎ ‎10．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎12．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎13．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥‎ x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎14．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎　‎ 二．填空题（共2小题）‎ ‎15．已知g（x）=+x2+2a1nx在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎17．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎18．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．‎ ‎（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．‎ ‎19．在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．‎ ‎（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）‎ ‎20．已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎21．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．‎ ‎　‎ 全国高考近四年圆锥曲线题目 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共14小题）‎ ‎1．（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=±x D．y=‎ ‎【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），‎ 则离心率e===，即4b2=a2，‎ 故渐近线方程为y=±x=x，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 代入椭圆方程得，‎ 相减得，‎ ‎∴．‎ ‎∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．‎ ‎∴，‎ 化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．‎ ‎∴椭圆E的方程为．‎ 故选D．‎ ‎【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2013•新课标Ⅱ）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1‎ ‎、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．‎ ‎【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，‎ ‎∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，‎ 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ‎∴2a=3x，2c=x，‎ ‎∴C的离心率为：e==．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（　　）‎ A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1）‎ C．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1） D．y=（x﹣1）或 y=﹣（x﹣1）‎ ‎【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得﹣y﹣k=0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），‎ ‎∴设直线l方程为y=k（x﹣1）‎ 由消去x，得﹣y﹣k=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 可得y1+y2=，y1y2=﹣4…（*）‎ ‎∵|AF|=3|BF|，‎ ‎∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4，‎ 消去y2得k2=3，解之得k=‎ ‎∴直线l方程为y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）‎ 故选：C ‎【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（2013•大纲版）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．‎ ‎【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．‎ 设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．‎ ‎∵=，=，‎ ‎∴==，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得．‎ 故选B．‎ ‎【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（2013•大纲版）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．‎ ‎【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），‎ 由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），‎ 代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎∴x1+x2=4+，x1x2=4．‎ ‎∴y1+y2=，y1y2=﹣16，‎ 又=0，‎ ‎∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0‎ ‎∴k=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（2013•大纲版）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a2=4，b2=3，从而得到椭圆C的方程．‎ ‎【解答】解：设椭圆的方程为，‎ 可得c==1，所以a2﹣b2=1…①‎ ‎∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3‎ ‎∴可得A（1，），B（1，﹣），代入椭圆方程得，…②‎ 联解①②，可得a2=4，b2=3‎ ‎∴椭圆C的方程为 ‎ 故选：C ‎【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（　　）‎ A． B．6 C．12 D．7‎ ‎【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．‎ ‎【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．‎ 则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．‎ 代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 则x1+x2=，‎ 所以|AB|=x1++x2+=++=12‎ 故选：C ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•大纲版）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1‎ ‎【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：∵△AF1B的周长为4，‎ ‎∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，‎ ‎∴4a=4，‎ ‎∴a=，‎ ‎∵离心率为，‎ ‎∴，c=1，‎ ‎∴b==，‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，‎ ‎∴e=，即c=2a，‎ 点A在双曲线上，‎ 则|F1A|﹣|F2A|=2a，‎ 又|F1A|=2|F2A|，‎ ‎∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，‎ 则由余弦定理得cos∠AF2F1===．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．‎ ‎　‎ ‎11．（2014•大纲版）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，‎ ‎∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，‎ 则c=2a，b=，‎ ‎∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，‎ ‎∴d=，‎ 即，‎ 解得c=2，‎ 则焦距为2c=4，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），‎ 曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，‎ 由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，‎ 代入C得：P点纵坐标为2，‎ 故k=2，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．‎ ‎　‎ ‎13．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），‎ 令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，‎ 可得P（﹣c，±），‎ 设直线AE的方程为y=k（x+a），‎ 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），‎ 设OE的中点为H，可得H（0，），‎ 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，‎ 即为=，‎ 化简可得=，即为a=3c，‎ 可得e==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（2015•新课标Ⅰ）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．‎ ‎【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，‎ 可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，‎ 抛物线的准线方程为：x=﹣2，‎ 由，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．‎ ‎|AB|=6．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ 二．填空题（共2小题）‎ ‎15．已知g（x）=+x2+2a1nx在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围为 ‎　（﹣∞，﹣]　．‎ ‎【分析】求函数的导数，利用g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，结合参数分离法进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵g（x）=+x2+2a1nx在[1，2]上是减函数 ‎∴等价为g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，‎ 即g′（x）=﹣+2x+≤0，‎ 即≤﹣2x，‎ 则a≤﹣x2，‎ 设f（x）=﹣x2，则f（x）在[1，2]上是减函数，‎ ‎∴f（x）min=f（2）==﹣，‎ 即a≤﹣，‎ 故答案为：（﹣∞，﹣]．‎ ‎【点评】本题主要考查导数的应用，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（2015•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　12　．‎ ‎【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积．‎ ‎【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2‎ ‎≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），‎ 直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0，‎ ‎∴P的纵坐标为2，‎ ‎∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．‎ ‎　‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎17．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；‎ ‎（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，‎ 由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，‎ ‎∴∠PFQ=90°，‎ ‎∵R是PQ的中点，‎ ‎∴RF=RP=RQ，‎ ‎∴△PAR≌△FAR，‎ ‎∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，‎ ‎∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，‎ ‎∴∠FQB=∠PAR，‎ ‎∴∠PRA=∠PQF，‎ ‎∴AR∥FQ．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎ F（，0），准线为 x=﹣，‎ ‎ S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，‎ 设直线AB与x轴交点为N，‎ ‎∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，‎ ‎∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，‎ ‎∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．‎ 设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），‎ 又=，‎ ‎∴=，即y2=x﹣1．‎ ‎∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．‎ ‎（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥‎ l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，‎ 可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，‎ 由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，‎ 由AC=AD，可得∠D=∠C，‎ 即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，‎ 则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，‎ 故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，‎ 且有2a=4，即a=2，c=1，b==，‎ 则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；‎ ‎（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，‎ 由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），‎ 由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，‎ 则|MN|=•|y1﹣y2|=•‎ ‎=•=12•，‎ A到PQ的距离为d==，‎ ‎|PQ|=2=2=，‎ 则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•‎ ‎=24•=24，‎ 当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，‎ 即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．‎ ‎（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）‎ ‎【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．‎ ‎（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2‎ ‎．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．‎ ‎【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，‎ 由曲线C：y=可得：y′=，‎ ‎∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．‎ 同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．‎ ‎（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：‎ 设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．‎ 联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，‎ ‎∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．‎ ‎∴k1+k2=+==．‎ 当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，‎ ‎∴∠OPM=∠OPN．‎ ‎∴点P（0，﹣a）符合条件．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞‎ ‎0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得=又，‎ 所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）‎ ‎（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，‎ 从而=+ 又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，‎ 设，则t＞0，，‎ 当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，‎ 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）‎ ‎【点评】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（2014•大纲版）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），‎ 可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．‎ 又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，‎ ‎∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．‎ 故C的方程为 y2=4x．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），‎ 设l的方程为 x=my+1（m≠0），‎ 代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．‎ ‎∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．‎ 又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3．‎ 过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，‎ 把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．‎ 故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，‎ ‎∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，‎ ‎∴+DE2=MN2，‎ ‎∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得 m2﹣1=0，‎ ‎∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．‎ ‎【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．‎ ‎　‎