2018天津理科数学高考真题

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2018天津理科数学高考真题

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数学(理工类)‎ 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。‎ 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 祝各位考生考试顺利!‎ 第I卷 注意事项:‎ ‎1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。‎ ‎2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。‎ 参考公式:‎ 如果事件A,B互斥,那么 .‎ 如果事件A,B相互独立,那么 .‎ 棱柱的体积公式,其中表示棱柱的底面面积,表示棱柱的高.‎ 棱锥的体积公式,其中表示棱锥的底面面积,表示棱锥的高.‎ 一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)设全集为R,集合,,则 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(2)设变量x,y满足约束条件 则目标函数的最大值为 ‎ ‎(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45‎ ‎(3)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为 ‎ ‎(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ ‎(4)设,则“”是“”的 ‎ ‎(A)充分而不必要条件 ‎(B)必要而不充分条件 ‎(C)充要条件 ‎(D)既不充分也不必要条件 ‎(5)已知,,,则a,b,c的大小关系为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(6)将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数 ‎ ‎(A)在区间上单调递增 (B)在区间上单调递减 ‎(C)在区间上单调递增 (D)在区间上单调递减 ‎(7)已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点. 设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为 ‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(8)如图,在平面四边形ABCD中,,,,. 若点E为边CD上的动点,则的最小值为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 第Ⅱ卷 注意事项:‎ ‎1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。‎ ‎2. 本卷共12小题,共110分。‎ 二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9) i是虚数单位,复数 .‎ ‎(10) 在的展开式中,的系数为 .‎ ‎(11) 已知正方体的棱长为1,除面外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥的体积为 .‎ ‎(12)已知圆的圆心为C,直线(为参数)与该圆相交于A,B两点,则的面积为 . ‎ ‎(13)已知,且,则的最小值为 . ‎ ‎(14)已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是 . ‎ 三.解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(15)(本小题满分13分)‎ 在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.‎ ‎(I)求角B的大小; ‎ ‎(II)设a=2,c=3,求b和的值.‎ ‎(16)(本小题满分13分)‎ 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.‎ ‎(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?‎ ‎(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.‎ ‎(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;‎ ‎ (ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.‎ ‎(17)(本小题满分13分)‎ ‎ 如图,且AD=2BC,,且EG=AD,且CD=2FG,,DA=DC=DG=2.‎ ‎(I)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:;‎ ‎(II)求二面角的正弦值; ‎ ‎(III)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.‎ ‎(18)(本小题满分13分)‎ 设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列. 已知,,,.‎ ‎(I)求和的通项公式;‎ ‎(II)设数列的前n项和为,‎ ‎ (i)求;‎ ‎ (ii)证明.‎ ‎(19)(本小题满分14分)‎ 设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)设直线l:与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q. ‎ 若(O为原点) ,求k的值.‎ ‎(20)(本小题满分14分)‎ 已知函数,,其中a>1.‎ ‎(I)求函数的单调区间;‎ ‎(II)若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行,证明;‎ ‎(III)证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.‎ 参考答案:‎ 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分.‎ ‎(1)B (2)C (3)B (4)A ‎(5)D (6)A (7)C (8)A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分.‎ ‎(9)4–i (10) (11) ‎ ‎(12) (13) (14) ‎ 三、解答题 ‎(15)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.‎ ‎(Ⅰ)解:在△ABC中,由正弦定理,可得,又由,得,即,可得.又因为,可得B=.‎ ‎(Ⅱ)解:在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有,故b=.‎ 由,可得.因为a=,于是sin=.‎ 所以,二面角E–BC–F的正弦值为.‎ ‎(Ⅲ)解:设线段DP的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得.‎ 易知,=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故 ‎,‎ 由题意,可得=sin60°=,解得h=∈[0,2].‎ 所以线段的长为.‎ ‎(18)本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.‎ ‎(I)解:设等比数列的公比为q.由可得.‎ 因为,可得,故.‎ 设等差数列的公差为d,由,可得由,‎ 可得 从而 故 ‎ 所以数列的通项公式为,数列的通项公式为 ‎(II)(i)由(I),有,故 ‎.‎ ‎(ii)证明:因为 ‎,‎ 所以,.‎ ‎(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.‎ ‎(Ⅰ)解:设椭圆的焦距为2c,由已知知,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,,,由,可得ab=6,从而a=3,b=2.‎ 所以,椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)解:设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,‎ 故.又因为,而∠OAB=,故.由,可得5y1=9y2.‎ 由方程组消去x,可得.易知直线AB的方程为x+y–2=0,由方程组 消去x,可得.由5y1=9y2,可得5(k+1)=,两边平方,整理得,解得,或.‎ 所以,k的值为 ‎ ‎(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.‎ ‎(I)解:由已知,,有.‎ 令,解得x=0.‎ 由a>1,可知当x变化时,,的变化情况如下表:‎ x ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 所以函数的单调递减区间,单调递增区间为.‎ ‎(II)证明:由,可得曲线在点处的切线斜率为.‎ 由,可得曲线在点处的切线斜率为.‎ 因为这两条切线平行,故有,即.‎ 两边取以a为底的对数,得,所以.‎ ‎(III)证明:曲线在点处的切线l1:.‎ 曲线在点处的切线l2:.‎ 要证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得l1和l2重合. ‎ 即只需证明当时,方程组有解,‎ 由①得,代入②,得. ③‎ 因此,只需证明当时,关于x1的方程③有实数解.‎ 设函数,即要证明当时,函数存在零点.‎ ‎,可知时,;时,单调递减,又 ‎,,故存在唯一的x0,且x0>0,使得,即 ‎.‎ 由此可得在上单调递增,在上单调递减. 在处取得极大值.‎ 因为,故,‎ 所以.‎ 下面证明存在实数t,使得.‎ 由(I)可得,‎ 当时,‎ 有,‎ 所以存在实数t,使得 因此,当时,存在,使得.‎ 所以,当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.#‎
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