均值不等式高考题

均值不等式高考题

应用一、求最值 直接求 例 1、若 ， 是正数，则 的最小值是【 】 A． B． C． D． 例 2、设 的最大值为【 】 A. B. C. D. 练习 1.若 ，则 的最小值为 . 练习 2.设 为正数, 则 的最小值为【 】 A. B. C. D. 练习 3.若 ,且函数 在 处有极值，则 的最大值等于【 】 A. B． C． D． 练习 4.某公司一年购买某种货物 吨，每次都购买 吨，运费为 万元/次，一年的总存储费用为 万 元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨. 练习 5.求下列函数的值域： （1） （2） 练习 6.已知 ， ， 成等差数列， 成等比数列，则 的最小值是【 】 A. B. C. D. 例 3、已知 则 最小值为【 】 A. B. C. D. 凑系数 例 4、若 ，且 ，则 的最大值是 ． 练习 1.已知 ，且满足 ，则 的最大值为 . 练习 2. 当 时，求 的最大值. 凑项 例 5、若函数 在 处取最小值，则 【 】 A. B． C． D． 练习 1.已知 ，求函数 的最大值. 练习 2.函数 的最小值为【 】 A. B. C. D. 练习 3.函数 的最小值为【 】 A. B. C. D. 0x > 2x x + 0x > 0y > x a b y， ， ， x c d y， ， ， 2( )a b cd + x y 22 )2 1()2 1( xyyx +++ 3 2 7 4 2 9 yxbababaRyx yx 11,32,3,1,1,, +=+==>>∈ 则若 2 2 3 1 2 1 ,x y 1 4( )( )x y x y + + 6 9 12 15 0,0 >> ba 224)( 23 +−−= bxaxxxf 1=x ab 2 3 6 9 400 x 4 4x x = 2 2 2 13 xxy += xxy 1+= 0 4 2 1 0, 0, 0 1,a b c a b c> > > + + =且 1 1 1( 1)( 1)( 1)a b c − − − 5 6 7 8 x y ∈ +R， 14 =+ yx x y⋅ ,x y R+∈ 13 4 x y+ = xy 40 << x (8 2 )y x x= − )2(2 1)( >−+= xxxxf x a= a = 21+ 31+ 3 4 5 4x < 14 2 4 5y x x = − + − 1 ( 3)3 x xx + >− 2 3 4 5 2 32 ( 0)x xx + > 3 93 2 3 94 2 3 95 2 3 9 2 两次用不等式 例 6、已知 ，则 的最小值为__________. 例 7、已知 ，则 的最小值是【 】 A. B． C． D． 例 8、设 ，则 的最小值是【 】 A. B. C. D. 练习 1.设 ，则 的最小值是【 】 A. B. C. D. 练习 2.设 ，则 的最小值是【 】 A. B. C. D. 练习 3.设 ，则 的最小值是【 】 A. B. C. D. 练习 4.设 ，则 的最小值是 . 换元 例 9、若 的最大值是 . 练习 1.设 的最小值是【 】 A． B． C． D． 例 10、设 是实数，且 则 的最小值是【 】 A. B. C. D. 练习 1.若 则最大值是 练习 2.若 且 则 【 】 A.无最大值也无最小值 B.无最大值但有最小值 C.有最大值但无最小值 D.有最大值也有最小值 消元 例 11、设 为正实数，满足 ，则 的最小值是 . 练习 1。已知实数 满足 ,则 的取值范围为 两次用 例 12、已知正数 满足 则 的最小值是【 】 2 2log log 1a b+ ≥ 3 9a b+ 0, 0a b> > 1 1 2 aba b + + 2 2 2 4 5 0a b c> > > 2 21 12 10 25( )a ac cab a a b + + − +− 2 4 2 5 5 0a b> > ( )2 1 1a ab a a b + + − 1 2 3 4 0a b> > 2 1 ( )a b a b + − 2 3 4 5 0a b≥ > 1 (2 )a b a b + − 33 22 33 32 32 2 33 42 2 0a b> > 2 9( ) ( 2 )a b b a b − + − yxyx −=+ 则,422 bababa +=+∈ 则,62,, 22R 22− 3 35− 3− 2 7− ,x y 2 2 4,x y+ = 2 2 xyS x y = + − 2− 2− 2 2 2− 2( 2 1)+ 2 2 1,x y+ = 1 xy x y+ − 0 1,0 1,a x y< < < ≤ < (log )(log ) 1a ax y = xy , ,x y z 2 3 0x y z− + = 2y xz , , 0a b c > 9, 24,a b c ab bc ca+ + = + + = b , ,x y z 2 2 2 1,x y z+ + = 1 2 zS xyz += A. B. C. D. 练习 1。已知正数 满足 则 的最小值是【 】 A. B. C. D. 练习 2.已知 均为正数，则 的最大值是【 】 A. B. C. D. 练习 3.已知实数 满足 则 的最大值是 整体代换 例 13、已知 ，则 的最小值是【 】 A. B． C． D． 例 14、函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，则 的最小值为 ． 例 15、设 若 的最小值为 A. B. C. D. 例 16、已知 都是正实数，且满足 ，则使 恒成立的 的取值范围 是 A. B. C. D. 练习 1.函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上， 其中 ，则 的最小值为__________． 练习 2.若 ,且 ，则 的最小值为 . 练习 3.已知 ，且 ，求 的最小值. 练习 4.若 且 ，求 的最小值. 练习 5.已知 且 ，求 的最小值. 练习 6.已知 则 的最小值等于【 】 A. B. C. D. 3 3(1 3) 2 + 4 2( 2 1)+ , ,x y z 2 2 2 1,x y z+ + = 2 1 2S xyz = 3 9 2 4 2 3 , ,x y z 2 2 2 xy yz x y z + + + 2 2 2 2 2 2 3 , ,x y z 2 2 2 1,x y z+ + = 2xy yz+ 2,0,0 =+>> baba 1 4y a b = + 7 2 4 9 2 5 1 ( 0 1)xy a a a−= > ≠， A A 1 0( 0)mx ny mn+ − = > 1 1 m n + 0, 0.a b> > 1 13 3 3a b a b +是 与 的等比中项，则 8 4 1 1 4 , ,a b c 9 3log (9 ) loga b ab+ = 4a b c+ ≥ c 4[ ,2)3 [0,22) [2,23) (0,25] log ( 3) 1ay x= + − ( 0 1)a a> ≠且， A A 1 0mx ny+ + = 0mn > 1 2 m n + +∈ Ryx, 12 =+ yx yx 11 + 0, 0x y> > 1 9 1x y + = x y+ +∈ Ryx, 12 =+ yx yx 11 + +∈ Ryxba ,,, 1=+ y b x a yx + 2 1 2 1 21, 1, 1000,x x x x> > = 1 2 1 3 lg lgx x + 4 4 6 3 7 2 6 3 + 7 2 6 3 − 练习 7.若 为常数，则 的最小值是 练习 8.已知 恒成立，则 的取值范围是 练习 9. 则 最小值为 分离法【分式】 例 17、 ，则函数 的最小值为__________. 例 18、已知 有【 】 A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 练习 1.求 的值域. 练习 2.若 ，则函数 的最小值为 . 放缩法—— 解不等式 例 19、设 为实数，若 则 的最大值 是 . 例 20 已知 ,则 的最小值是 . 例 21、若 是 与 的等比中项，则 的最大值为【 】 A. B． C． D． 练习 1.若实数 满足 ，则 的最大值是__________. 练习 2.若正实数 满足 则 的最小值是 练习 3.已知 则 的最小值是【 】 A. B. C. D. 练习 4.已知 ，求 的最小值. 练习 5：已知 恒成立，则 的最小值是 . 练习 6.若直角三角形周长为 ，求它的面积最大值. 练习 7.若实数 满足 则 的取值范围是 取平方 例 22、若 且 ，则 的最小值是【 】 A. 　　 B. 　　C. 　　　D. 练习 1.若 且 ,则 的最小值为【 】 A. B. C. D. 练习 2.已知 为正实数， ，求函数 的最值. 取平方+解不等式 例 23、已知 则 最小值为【 】 0 1, ,x a b< < 2 2 1 a b x x + − 1 1 ma b c a b b c a c > > + ≥− − −且 m , (0, ), 3 1,a b a b∈ +∞ + = 1 1 3a b + 0t >已知 2 4 1t ty t − += 42 54)(,2 5 2 − +−=≥ x xxxfx 则 4 5 4 5 1 1 2 7 10 ( 1)1 x xy xx + += > −+ 1x > 2 1 16 1 xy x x x = + + + ,x y 2 24 1,x y xy+ + = 2x y+ ( )2 3 2 0, 0x yx y + = > > xy a 1 2b+ 1 2b− 2 2 ab a b+ 2 5 15 2 4 5 5 2 2 ,x y 2 2 1x y xy+ + = x y+ ,X Y 2 6 ,X Y XY+ + = XY 0, 0, 2 2 8x y x y xy> > + + = ， 2x y+ 3 4 9 2 11 2 1)(,0,0 =+−>> baabba ba + 5 3 2( 0, 0)x yx y + = > > xy 1 ,x y 1 14 4 2 2x y x y+ ++ = + 2 2x yt = + , , 0a b c > 2 2 2 4 12a ab ac bc+ + + = a b c+ + 2 3 3 2 3 , , 0a b c > ( ) 4 2 3a a b c bc+ + + = − 2a b c+ + 3 1− 3 1+ 2 3 2+ 2 3 2− yx, 1023 =+ yx yxW 23 += 0, 0, 0 1,a b c a b c> > > + + =且 2 2 2a b c+ + A. B. C. D. 结合单调性——与函数 例 24、若 ，则 的最小值为【 】 A. B. C. D. 练习 1.求函数 的值域. 练习 2．求下列函数的最小值，并求取得最小值时 的值. （1） （2） （3） 练习 3．已知 ，求函数 的最大值. 练习 4． ，求函数 的最大值. 练习 5.设 且 的最大值是【 】 A. B. C. D. 例 25、已知 ，则 的最小值是【 】 A. B. C. D. 练习 1.若实数 的最大值是 用另一个公式 例 26、函数 的最大值为 . 练习 1.已知 ，则 的最大值是【 】 A. B. C. D. 例 27、已知 则 最小值为【 】 A. B. C. D. 直接取值【讨论】 例 28、 则 的最小值【 】 A. B． C． D． , , 2 2 2 ,2 2 2 2 ,a b a b a b c a b ca b c c+ + ++ = + + =满足 则 1 2 1 3 1 4 1 5 , , 1a b R a b+∈ + = 1ab ab + 14 4 14 2 12 4 2 2 2 5 4 xy x += + x 2 3 1,( 0)x xy xx + += > 12 , 33y x xx = + >− 12sin , (0, )siny x xx π= + ∈ 0 1x< < (1 )y x x= − 20 3x< < (2 3 )y x x= − +∈ Rba, 2242,12 baabSba −−==+ 12 − 2 12 − 12 + 2 12 + 1a b+ = 4 4a b+ 1 1 2 1 4 1 8 3 1 3x x+ − 2 2, , 1,2 ba b R a+∈ + = 21a b+ 1 1 2 3 24 2 2 0, 0, 0 1,a b c a b c> > > + + =且 2 2 2 1 1 1 a b c + + 12 18 24 27 ,2,2,1 222222 =+=+=+ accbba cabcab ++ 13 2 − 1 32 − 1 32 − − 1 32 + 应用二、恒成立问题 例 1、若 ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是【 】 A． B． C． D． 例 2、设 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是【 】 A． 　　　 　　B． C． 　　　　　　 　D． 例 3、设 则以下不等式中不恒成立的是【 】 A． B． C． D． 例 4、已知不等式 对任意正实数 恒成立,则正实数 的最小值为【 】 A. 　 　B. 　C. 　　D. 例 5、若直线 通过点 ，则【 】 A． B． C． D． 练习 1.设 ，则下列不等式中不成立的是【 】 A. B. C. D. 练习 2.已知下列不等式：① ；② ； ③ . 其中正确的个数是【 】 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 练习 3.已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围. 练习 4.若 ，且 恒成立，则 的最小值是【 】 A. B. C. D. 练习 5.已知 ，则使不等式 成立的最小 的值是【 】 A. B. C. D. 练习 6.是否存在常数 ，使得不等式 对任意正数 恒成立，试证明你的结论. ,a b R∈ 0ab > 2 2 2a b ab+ > 2a b ab+ ≥ 1 1 2 a b ab + > 2b a a b + ≥ , ,a b c |||||| cbcaba −+−≤− aa a a 11 2 2 +≥+ 21|| ≥−+− baba aaaa −+≤+−+ 213 ,0,0 >> ba ( ) 1 1 4a b a b  + + ≥   233 2abba ≥+ baba 22222 +≥++ baba −≥− || 1( )( ) 9ax y x y + + ≥ ,x y a 8 6 4 2 1x y a b + = ( )cos sinM α α， 2 2 1a b+ ≤ 2 2 1a b+ ≥ 2 2 1 1 1a b + ≤ 2 2 1 1 1a b + ≥ +∈ Rba, 4)11)(( ≥++ baba ab ab ba 2 22 ≥+ 21 ≥+ ab ab abba ab ≤+ 2 )(233 +∈>+ Rxxx ),(322355 +∈+≥+ Rbabababa )1(222 −−≥+ baba 0 1 2 3 0, 0x y> > 1 9 1x y + = x y m+ ≥ m +∈ Ryxa ,, yxayx +≤+ a 22 2 2 1 ,a b R+∈ 3 3 3( ) ( )a b k a b+ ≤ + k 1 2 3 4 c yx y yx xcyx y yx x +++≤≤+++ 2222 yx, 应用三、证明不等式 例 1、已知 且 ，求证： . 例 2、若 且 ，求证： . 例 3、已知 是互不相等的正数且 ，求证： . 练习 1.在某两个正数 之间插入一个数 ，使 成等差数列；若插入两个数 ，使 成等比数列，求证： . 练习 2.证明：对于任意实数 有 . 应用四、比较大小 例 1、若 ，则 的大小关系是 . 例 2、若 ，则 中最大的是 . 练习 1.若 ，且 ，则下列代数式中值最大的是【 】 A. B. C. D. 1 2 1 20 ,0a a b b< < < < 1 2 1 2 1a a b b+ = + = 1 1 2 2a b a b+ 1 2 1 2a a b b+ 1 2 2 1a b a b+ 2 1 0,0 >> ba 1=+ ba 4 25)1)(1( ≥++ bbaa +∈ Rba, 1=+ ba 22 1 2 1 ≤+++ ba zyx ,, 1=++ zyx 8)11)(11)(11( >−−− zyx yx, a yax ,, cb, ycbx ,,, )1)(1()1( 2 ++≥+ cba ,, yx 244 )(2 1 yxxyyx +≥+ )2lg(),lg(lg2 1,lglg,1 baRbaQbaPba +=+=⋅=>> RQP ,, baba ≠<<<< 且,10,10 abbaabba 2,,2, 22 ++