高考立体几何文科大题答案

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高考立体几何文科大题答案

高考立体几何大题及答案 ‎1.(2009全国卷Ⅰ文)如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,点在侧棱上,。 ‎ ‎(I)证明:是侧棱的中点;‎ 求二面角的大小。 ‎ ‎2.(2009全国卷Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B‎1C的中点,DE⊥平面BCC1(Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角A-BA C B A1‎ B1‎ C1‎ D E D-C为60°,求B‎1C与平面BCD所成的角的大小 ‎ ‎ ‎3.(2009浙江卷文)如图,平面,,,,分别为的中点.(I)证明:平面;(II)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎4.(2009北京卷文)如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.(Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.‎ ‎5.(2009江苏卷)如图,在直三棱柱中,、分别是、的中点,点在上,。 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)平面平面.‎ ‎6.(2009安徽卷文)如图,ABCD的边长为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,g和F式l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC, 和是平面ABCD内的两点,和都与平面ABCD垂直,(Ⅰ)证明:直线垂直且平分线段AD:. (Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面体ABCDEF的体积。‎ ‎7.(2009江西卷文)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,.以的中点为球心、为直径的球面交于点.‎ ‎(1)求证:平面⊥平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成的角;‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ ‎8.(2009四川卷文)如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)设线段、的中点分别为、,求证: ∥‎ ‎(III)求二面角的大小。‎ ‎9.(2009湖北卷文)如图,四棱锥S=ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=a(0<≦1). (Ⅰ)求证:对任意的(0、1),都有AC⊥BE:‎ ‎(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为‎600C,求的值。‎ ‎10.(2009湖南卷文)如图3,在正三棱柱中,AB=4, ,点D是BC的中点,点E在AC上,且DEE.(Ⅰ)证明:平面平面; (Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。‎ ‎11.(2009辽宁卷文)如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点。(I)若CD=2,平面ABCD ⊥平面DCEF,求直线MN的长;‎ ‎(II)用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。 ‎ ‎12.(2009四川卷文) 如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)设线段、的中点分别为、,‎ 求证: ∥‎ ‎(III)求二面角的大小。‎ ‎13.(2009陕西卷文)如图,直三棱柱中, AB=1,,∠ABC=60.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎C B A C1‎ B1‎ A1‎ ‎(Ⅱ)求二面角A——B的大小。 ‎ ‎14.(2009宁夏海南卷文)如图,在三棱锥中,⊿是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 (Ⅰ)证明:AB⊥PC ‎(Ⅱ)若,且平面⊥平面, ‎ 求三棱锥体积。‎ ‎15.(2009福建卷文)如图,平行四边形中,,将 沿折起到的位置,使平面平面 ‎ (I)求证: ‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥的侧面积。‎ ‎16.(2009重庆卷文)如题(18)图,在五面体中,∥,,,四边形为平行四边形,平面,.求:‎ ‎(Ⅰ)直线到平面的距离;‎ ‎(Ⅱ)二面角的平面角的正切值.‎ ‎17.(2009年广东卷文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;‎ ‎(2)求该安全标识墩的体积 ‎(3)证明:直线BD平面PEG 参考答案 ‎1、【解析】(I)解法一:作∥交于N,作交于E,‎ 连ME、NB,则面,,‎ 设,则,‎ 在中,。‎ 在中由 解得,从而 M为侧棱的中点M. ‎ 解法二:过作的平行线.‎ ‎(II)分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。‎ 过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.‎ 法二:利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点,则点为AM的中点,取SA的中点G,连GF,易证,则即为所求二面角.‎ 解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz,则。‎ S A B C D M z x y ‎(Ⅰ)设,则 ‎,‎ ‎,由题得 ‎,即 解之个方程组得即 所以是侧棱的中点。 ‎ 法2:设,则 又 故,即 ‎,解得,‎ 所以是侧棱的中点。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,,‎ 设分别是平面、的法向量,则 且,即且 分别令得,即 ‎,‎ ‎∴ ‎ 二面角的大小。‎ ‎2、解法一:(Ⅰ)取BC中点F,连接EF,则EF,从而EFDA。‎ 连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE。又DE⊥平面,故AF⊥平面,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC。‎ ‎(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知,∠AGC=600..‎ ‎ 设AC=2,则AG=。又AB=2,BC=,故AF=。‎ 由得2AD=,解得AD=。‎ 故AD=AF。又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形。‎ 因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF。‎ 连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD。‎ 连接CH,则∠ECH为与平面BCD所成的角。. ‎ 因ADEF为正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,‎ 所以∠ECH=300,即与平面BCD所成的角为300.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz。‎ 设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则(1,0,‎2c),E(,,c).‎ 于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC, =0,求得b=1,所以 AB=AC。‎ ‎(Ⅱ)设平面BCD的法向量则 又=(-1,1, 0),‎ ‎=(-1,0,c),故 ‎ 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).‎ 又平面的法向量=(0,1,0)‎ 由二面角为60°知,=60°,‎ 故 °,求得 ‎ 于是 , ‎ ‎,‎ ‎ °‎ 所以与平面所成的角为30°‎ ‎3、(Ⅰ)证明:连接, 在中,分别是的中点,所以, 又,所以,又平面ACD ,DC平面ACD, 所以平面ACD ‎(Ⅱ)在中,,所以 ‎ 而DC平面ABC,,所以平面ABC ‎ 而平面ABE, 所以平面ABE平面ABC, 所以平面ABE 由(Ⅰ)知四边形DCQP是平行四边形,所以 ‎ 所以平面ABE, 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP,‎ ‎ 所以直线AD与平面ABE所成角是 ‎ 在中, ,‎ 所以 ‎4、【解法1】(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,‎ ‎∵,‎ ‎∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,‎ ‎∴平面.‎ ‎(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE,‎ ‎ 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,‎ ‎ ∴O,E分别为DB、PB的中点,‎ ‎ ∴OE//PD,,又∵,‎ ‎ ∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,‎ ‎ 在Rt△AOE中,,‎ ‎ ∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎【解法2】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,‎ ‎ 设 则,‎ ‎(Ⅰ)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面PDB,‎ ‎∴平面.‎ ‎(Ⅱ)当且E为PB的中点时,,‎ ‎ 设AC∩BD=O,连接OE, ‎ ‎ 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,‎ ‎ ∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎5、‎ ‎6、【解析】(1)由于EA=ED且 点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.‎ 又ABCD是四方形 线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线 即点EF都居线段AD的垂直平分线上. . ‎ 所以,直线EF垂直平分线段AD.‎ ‎(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, .‎ ‎—ABCD 又—BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC 多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD+VE—BCF=‎ ‎7、解:方法(一):‎ ‎(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.‎ 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,‎ 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.‎ ‎(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD,‎ 由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,‎ 所以 就是与平面所成的角,‎ 且 ‎ ‎ 所求角为 ‎(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,PD⊥平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.‎ 因为在Rt△PAD中,,,所以为中点,,则O点到平面ABM的距离等于。‎ 方法二:‎ ‎(1)同方法一;‎ ‎(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,,, ,,,‎ 设平面的一个法向量,由可得:,令,则,即.设所求角为,则,‎ 所求角的大小为. ‎ ‎(3)设所求距离为,由,得:‎ ‎8、【解析】解法一:‎ 因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB,‎ 所以BC⊥平面ABEF.‎ 所以BC⊥EF.‎ 因为⊿ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ 所以∠AEB=45°,‎ 又因为∠AEF=45,‎ 所以∠FEB=90°,即EF⊥BE.‎ 因为BC平面ABCD, BE平面BCE,‎ BC∩BE=B 所以 ‎ …………………………………………6分 ‎(II)取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC ‎∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.‎ ‎∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,‎ ‎∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分 ‎(III)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.‎ 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,‎ 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.‎ ‎∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.‎ ‎∵ FA=FE,∠AEF=45°,‎ ‎∠AEF=90°, ∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=,则 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ ‎, ‎ 在Rt⊿FGH中, ,‎ ‎∴ 二面角的大小为 ‎ …………………………………………12分 ‎ 解法二: 因等腰直角三角形,,所以 又因为平面,所以⊥平面,‎ 所以 即两两垂直;如图建立空间直角坐标系,‎ ‎ (I) 设,则,‎ ‎∵,∴,‎ 从而 ‎ ‎,‎ 于是,‎ ‎ ∴⊥,⊥‎ ‎ ∵平面,平面,‎ ‎ ∴‎ ‎(II),从而 ‎ 于是 ‎ ∴⊥,又⊥平面,直线不在平面内,‎ ‎ 故∥平面 ‎(III)设平面的一个法向量为,并设=(‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 取,则,,从而=(1,1,3)‎ ‎ 取平面D的一个法向量为 ‎ ‎ 故二面角的大小为 ‎9、(Ⅰ)证发1:连接BD,由底面是正方形可得ACBD。‎ ‎ SD平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影,‎ 由三垂线定理得ACBE.‎ ‎(II)解法1:SD平面ABCD,CD平面ABCD, SDCD. ‎ 又底面ABCD是正方形, CDAD,又SDAD=D,CD平面SAD。‎ 过点D在平面SAD内做DFAE于F,连接CF,则CFAE, ‎ 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角,即CFD=60°‎ 在Rt△ADE中,AD=, DE= , AE= 。‎ 于是,DF=‎ 在Rt△CDF中,由cot60°=‎ 得, 即=3 ‎ ‎, 解得=‎ ‎10、解:(Ⅰ)如图所示,由正三棱柱的性质知平面.‎ 又DE平面ABC,所以DE.而DEE,,‎ 所以DE⊥平面.又DE 平面,‎ 故平面⊥平面.‎ ‎ (Ⅱ)解法 1: 过点A作AF垂直于点,‎ 连接DF.由(Ⅰ)知,平面⊥平面,‎ 所以AF平面,故是直线AD和 平面所成的角。 因为DE,‎ 所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形,‎ 于是AD=,AE=4-CE=4-=3.‎ 又因为,所以E= = 4, ‎ ‎ , .‎ 即直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ 解法2 : 如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,‎ 则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).‎ 易知=(-3,,-),=(0,-,0),=(-3,,0).‎ 设是平面的一个法向量,则 解得.‎ 故可取.于是 ‎ ‎= . ‎ 由此即知,直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ ‎11解(Ⅰ)取CD的中点G连结MG,NG.‎ ‎ 因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,‎ ‎ 所以MG⊥CD,MG=2,.‎ ‎ 因为平面ABCD⊥平面DCEF,‎ ‎ 所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG.‎ ‎ 所以 ……6分 ‎(Ⅱ)假设直线ME与BN共面, …..8分 则平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN,‎ 由已知,两正方形不共面,故平面DCEF.‎ 又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,‎ 所以AB∥EN.‎ 又AB∥CD∥EF,‎ 所以EN∥EF,这与矛盾,故假设不成立。 ‎ 所以ME与BN不共面,它们是异面直线。 ……..12分 ‎12、【解析】解法一:‎ 因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB,‎ 所以BC⊥平面ABEF.‎ 所以BC⊥EF.‎ 因为⊿ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ 所以∠AEB=45°,‎ 又因为∠AEF=45,‎ 所以∠FEB=90°,即EF⊥BE.‎ 因为BC平面ABCD, BE平面BCE,‎ BC∩BE=B 所以 ‎ …………………………………………6分 ‎(II)取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC ‎∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.‎ ‎∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,‎ ‎∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分 ‎(III)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.‎ 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,‎ 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.‎ ‎∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.‎ ‎∵ FA=FE,∠AEF=45°,‎ ‎∠AEF=90°, ∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=,则 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ ‎, ‎ 在Rt⊿FGH中, ,‎ ‎∴ 二面角的大小为 ‎ …………………………………………12分 ‎ 解法二: 因等腰直角三角形,,所以 又因为平面,所以⊥平面,所以 即两两垂直;如图建立空间直角坐标系,‎ ‎ (I) 设,则,‎ ‎∵,∴,‎ 从而 ‎ ‎,‎ 于是,‎ ‎ ∴⊥,⊥‎ ‎ ∵平面,平面,‎ ‎ ∴‎ ‎(II),从而 ‎ 于是 ‎ ∴⊥,又⊥平面,直线不在平面内,‎ ‎ 故∥平面 ‎(III)设平面的一个法向量为,并设=(‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 取,则,,从而=(1,1,3)‎ ‎ 取平面D的一个法向量为 ‎ ‎ 故二面角的大小为 ‎13、解析:解答1(Ⅰ)‎ 因为三棱柱为直三棱柱所以 在中 由正弦定理得所以 即,所以又因为所以 ‎(Ⅱ)如图所示,作交于,连,由三垂线定理可得 所以为所求角,在中,,在中, ,所以 所以所成角是 ‎14、解:(Ⅰ)因为是等边三角形,,‎ 所以,可得。‎ 如图,取中点,连结,,‎ 则,,‎ 所以平面,‎ 所以。 ......6分 ‎ ‎(Ⅱ)作,垂足为,连结.‎ 因为,‎ 所以,.‎ 由已知,平面平面,故.        ......8分 因为,所以都是等腰直角三角形。‎ 由已知,得, 的面积.‎ 因为平面,‎ 所以三角锥的体积 ‎ .......12分 ‎15、(I)证明:在中,‎ ‎ ‎ ‎ 又平面平面 ‎ 平面平面平面 ‎ 平面 ‎ 平面 ‎(Ⅱ)解:由(I)知从而 ‎ 在中,‎ ‎ ‎ ‎ 又平面平面 ‎ ‎ ‎ 平面平面,平面 ‎ 而平面 ‎ 综上,三棱锥的侧面积,‎ ‎16、解法一:(Ⅰ)平面, AB到面的距离等于点A到面的距离,过点A作于G,因∥,故;又平面,由三垂线定理可知,,故,知,所以AG为所求直线AB到面的距离。‎ 在中,‎ 由平面,得AD,从而在中,‎ ‎。即直线到平面的距离为。‎ ‎(Ⅱ)由己知,平面,得AD,又由,知,故平面ABFE ‎,所以,为二面角的平面角,记为.‎ 在中, ,由得,,从而 在中, ,故 所以二面角的平面角的正切值为.‎ 解法二: ‎ ‎(Ⅰ)如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ∥,‎ 面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而 ‎,此即 解得 ① ,知G点在面上,故G点在FD上.‎ ‎,故有 ② 联立①,②解得, . ‎ 为直线AB到面的距离. 而 所以 ‎(Ⅱ)因四边形为平行四边形,则可设, .由 得,解得.即.故 由,因,,故为二面角的平面角,又,,,所以 ‎ ‎17、【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.‎ ‎   (2)该安全标识墩的体积为:‎ ‎     ‎ ‎   (3)如图,连结EG,HF及 BD,EG与HF相交于O,连结PO.‎ ‎ 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , ‎ ‎ 又 平面PEG ‎ 又 平面PEG;. ‎
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