浙江名校高考研究联盟高三数学理试题

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浙江省名校新高考研究联盟2013届第一次联考 数学（理科）试题卷 命 题：慈溪中学 施炎平 胡 平 审 题：元济高级中学 甘建飞 德清县高级中学 江战明 永嘉中学 汪志强 校 稿：金勤宏 ‎ 本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．‎ 参考公式：‎ 如果事件，互斥，那么 棱柱的体积公式 ‎ ‎ 如果事件，相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高 ‎ 棱锥的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 ‎ 棱台的体积公式 球的表面积公式 ‎ 球的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积，‎ ‎ 其中表示球的半径 表示棱台的高 第I卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。）‎ ‎1．已知是虚数单位，且复数是实数，则实数的值为 （ ） ‎ A． B． C．0 D．‎ ‎2．已知集合，是实数集，则（）∩=‎ A．R B． C． D． （ ）‎ ‎3．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．当时，函数取得最小值，则函数是 （ ）‎ A．奇函数且图像关于点对称 B．偶函数且图像关于点对称 ‎ C．奇函数且图像关于直线对称 D．偶函数且图像关于点对称 ‎5．已知每项均大于零的数列中，首项且前项的和满足 且，则 （ ）‎ A．638 B．‎639 ‎ C．640 D．641‎ ‎6．已知为双曲线：上的点，点满足，且，则当取得最小值时的点到双曲线的渐近线的距离为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在平面斜坐标系中，点的斜坐标定义为：“若（其中分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”．若且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为 ‎ （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎.‎ ‎8．在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D． (第8题图)‎ ‎9．如果正整数的各位数字之和等于6，那么称为 “好数”（如：6，24，2013等均为“好数”），将所有“好数”从小到大排成一列 若，则 （ ）‎ A．50 B．‎51 ‎ C．52 D．53 ‎ ‎10．设函数，若有且仅有一个正实数，使得对任意的正数t都 成立，则= （ ）‎ A．5 B． C．3 D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）‎ 二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分。）‎ ‎11． 在各项均为正数的等比数列中，若公比为，且满足=16，则 ▲ .‎ ‎12．二项式（）展开式中的常数项是 ▲ .‎ ‎13．执行如下图的程序框图，输出和,则的值为 ▲ . ‎ ‎14．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是 ▲ . ‎ 正视图 侧视图 俯视图 图图图 ‎（第13题图） （第14题图）‎ ‎15．设圆，过圆心作直线交圆于、两点，与轴交于点，若恰好为线段的中点，则直线的方程为 ▲ .‎ ‎16．设函数为坐标原点，为函数图象上横坐标为 的点，向量,向量，设为向量与向量的夹角，则满足的最大整数是 ▲ .‎ ‎17．已知函数 . 若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ▲ . ‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎18．在中，内角的对边分别为．已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.‎ ‎19．甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．‎ ‎（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；‎ ‎（Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为，求的均值．‎ ‎20．如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知,．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）当的长为何值时，平面与平面所成的 锐二面角的大小为？‎ ‎21．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线，切点分别是A,B.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)‎ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎22. 已知函数 （I） 若为的极值点，求实数的值；‎ （II） 若在上为增函数，求实数的取值范围；‎ （III） 当时，方程有实根，求实数的最大值.‎ 浙江省名校高考研究联盟2013届第一次联考 数学(理科)参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ A C B C C B D D B D 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）‎ ‎11. 5 　 12. 15 13. 13 ‎ ‎14. 　 15. 或 16. 10 ‎ ‎17. 4 　 ‎ 三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或解题步骤)‎ ‎18. （本小题满分14分）‎ 解：（I）由正弦定理，设 ‎ 则 所以 ………………4分 即，‎ 化简可得 ………………6分 又，‎ 所以 因此 ………………8分 ‎ （II）由得 ………………9分 由题意， ………………12分 ‎ ………………14分 ‎19. （本小题满分14分）‎ 解：（I）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．‎ 设此数列为，则易知，‎ 解得（舍去）或，所以此决赛共比赛了5场． …………3分 则前4场比赛的比分必为，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为；‎ ‎ …………6分 ‎（II）随机变量可取的值为，即220，300，390，490 …………7分 又 …………8分 ‎ …………12分 所以，的分布列为 ‎220‎ ‎300‎ ‎390‎ ‎490‎ 所以的均值为377.5万元 …………14分 ‎20. （本小题满分14分）‎ ‎（I）证明：平面平面,,‎ 平面平面=，‎ 平面．‎ 平面，，…………2分 又为圆的直径，，‎ 平面． …………3分 平面，平面平面．‎ ‎ …………4分 ‎ （II）根据（Ⅰ）的证明，有平面，‎ 为在平面内的射影,‎ 因此，为直线与平面所成的角 ……………6分 ‎，四边形为等腰梯形，‎ 过点作，交于．‎ ‎,，则．‎ 在中，根据射影定理，得． …………8分 ‎，．‎ 直线与平面所成角的大小为． …………9分 ‎（Ⅲ）设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、 轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则点的坐标为则 ,又 ‎ …………10分 设平面的法向量为，则,．‎ 即 令，解得 ‎ ………………12分 由（I）可知平面，取平面的一个法向量为，依题意 与的夹角为 ‎，即， 解得 因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为.‎ ‎………14分 ‎21. （本小题满分15分）‎ 解：（I）设椭圆方程为。抛物线的焦点是，故，又，所以，‎ 所以所求的椭圆方程为 …………………………4分 ‎（II）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标。则切线方程分别为，。又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是，显然对任意实数t，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点。 …………………………………………………………………………9分 ‎（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得 ‎，即 所以 不妨设 ‎，同理………12分 所以 即。‎ 故存在实数，使得。 ……………………………15分 ‎22. （本小题满分15分）‎ 解：（I）‎ 因为为的极值点，所以，即，解得。……4分 ‎（II）因为函数在上为增函数，所以 在上恒成立。………6 分 当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故 符合题意。 … ……7分 ‎ ‚当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立。 ………8分 令函数，其对称轴为，因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以。因为，所以。‎ 综上所述，a的取值范围为。 ………10分 ‎（Ⅲ）当时，方程可化为。‎ 问题转化为在上有解，即求函数的值域。‎ 因为函数，令函数，………12分 则，‎ 所以当时，，从而函数在上为增函数，‎ 当时，，从而函数在上为减函数，‎ 因此。‎ 而，所以，因此当时，b取得最大值0. ………15分 ‎ ‎ ‎╔━┅━┅━┅━┅━┅━┅━┅━┅━━┅━┅━┅━┅━┅━┅━╗‎ ‎┃≡状元源 提供教学资源下载：同步、题库、教案、课件、论文 ≡┃‎ ‎┃ - ¤╭⌒╮ ╭⌒╮ ┃‎ ‎┃ ╱◥██◣ ╭ ⌒ 感谢使用状元源，状元源 将竭诚为您服务！！┃‎ ‎┃ |田︱田田| ╰---------状 元 源----------状 元 源，梦想实现之源 ┃‎ ‎┃︵﹏～︵﹏～︵﹏～︵﹏～︵﹏～︵ 状元源 www.zyy100.com ┃‎ ‎╚┅━┅━┅━┅━┅━┅━┅━┅━┅━┅━┅━┅━┅━┅━┅━╝‎ ‎ ▍ ★∴‎ ‎　 　　．．．．▍▍．..．█▍ ☆ ★∵ ..../ ‎ ‎　 　　◥█▅▅██▅▅██▅▅▅▅▅███◤ ‎ ‎　 　　．◥███████████████◤‎ ‎ 状元源 ～～～～◥█████████████◤～～～～‎ 状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载 状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。‎