高考数学试题分章节汇编圆锥曲线

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高考数学试题分章节汇编圆锥曲线

2010 年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题 (2010 湖南文数)5. 设抛物线 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点 的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 (2010 浙江理数)(8)设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若在 双曲线右支上存在点 ,满足 ,且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的渐近线方程为 (A) (B) (C) (D) 解析:利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出 a 与 b 之间的等量关系, 可知答案选 C,本题主要考察三角与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知 识能力的考察,属中档题 (2010 全国卷 2 理数)(12)已知椭圆 的离心率为 ,过右焦 点 且斜率为 的直线与 相交于 两点.若 ,则 (A)1 (B) (C) (D)2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线 l 为椭圆的有准线,e 为离心率,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B 为垂足,过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E,由第二定义得, ,由 , 得 , ∴ 2 8y x= 1F 2F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > P 2 1 2PF F F= 2F 1PF 3 4 0x y± = 3 5 0x y± = 4 3 0x y± = 5 4 0x y± = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 F ( 0)k k> C A B、 3AF FB=  k = 2 3 即 k= ,故选 B. (2010 陕西文数)9.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为 [C] (A) (B)1 (C)2 (D)4 解析:本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一:抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 ,因为抛物线 y2=2px(p>0)的准线 与圆(x-3)2+y2=16 相切,所以 法二:作图可知,抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切与点(-1,0) 所以 (2010 辽宁文数)(9)设双曲线的一个焦点为 ,虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该 双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D) 解析:选 D.不妨设双曲线的焦点在 轴上,设其方程为: , 则一个焦点为 一条渐近线斜率为: ,直线 的斜率为: , , ,解得 . (2010 辽宁文数)(7)设抛物线 的焦点为 ,准线为 , 为抛物线上一点, , 为垂足,如果直线 斜率为 ,那么 (A) (B) 8 (C) (D) 16 解析:选 B.利用抛物线定义,易证 为正三角形,则 (2010 辽宁理数) (9)设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与 该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 1 2 2 px −= 2,423 ==+ pp 2,12 =−=− pp F B FB 2 3 3 1 2 + 5 1 2 + x 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ( ,0), (0, )F c B b b a FB b c − ( ) 1b b a c ∴ ⋅ − = − 2b ac∴ = 2 2 0c a ac− − = 5 1 2 ce a += = 2 8y x= F l P PA l⊥ A AF 3− PF = 4 3 8 3 PAF∆ 4| | 8sin30PF °= = (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率,考查了两条直线垂 直的条件,考查了方程思想。 【解析】设双曲线方程为 ,则 F(c,0),B(0,b) 直线 FB:bx+cy-bc=0 与渐近线 y= 垂直,所以 ,即 b2=ac 所以 c2-a2=ac,即 e2-e-1=0,所以 或 (舍去) (2010 辽宁理数)(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂 足.如果直线 AF 的斜率为 ,那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 16 【答案】B 【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系, 考查了等价转化的思想。 【 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 F ( 2 , 0 ),直 线 AF 的 方 程 为 , 所 以 点 、 ,从而|PF|=6+2=8 (2010 全国卷 2 文数)(12)已知椭圆 C: (a>b>0)的离心率为 ,过右焦 点 F 且斜率为 k(k>0)的直线于 C 相交于 A、B 两点,若 。则 k = (A)1 (B) (C) (D)2 【 解 析 】 B : , ∵ , ∴ , ∵ , 设 , ,∴ ,直线 AB 方程为 。代入消去 ,∴ ,∴ , 2 3 3 1 2 + 5 1 2 + 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > b xa 1b b c a − = − 1 5 2e += 1 5 2e −= - 3 4 3 8 3 3( 2)y x= − − ( 2,4 3)A − (6,4 3)P 2 2 2 2 1x y a b + = 3 2 3AF FB=  2 3 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 3AF FB=  1 23y y= − 3 2e = 2 , 3a t c t= = b t= 2 2 24 4 0x y t+ − = 3x sy t= + x 2 2 2( 4) 2 3 0s y sty t+ + − = 2 1 2 1 22 2 2 3 ,4 4 st ty y y ys s + = − = −+ + ,解得 , (2010 浙江文数)(10)设 O 为坐标原点, , 是双曲线 (a>0,b>0)的焦 点,若在双曲线上存在点 P,满足∠ P =60°,∣OP∣= ,则该双曲线的渐近线方程 为 (A)x± y=0 (B) x±y=0 (C)x± =0 (D) ±y=0 解析:选 D,本题将解析几何与三角知识相结合,主要考察了双曲线的定义、标准方程,几 何图形、几何性质、渐近线方程,以及斜三角形的解法,属中档题 (2010 重庆理数)(10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平 行于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 解析:排除法 轨迹是轴对称图形,排除 A、C,轨迹与已知直线不能有交点,排除 B (2010 山东文数)(9)已知抛物线 ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线 与 、 两点,若线段 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 (A) (B) (C) (D) 答案:B (2010 四川理数)(9)椭圆 的右焦点 ,其右准线与 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 ,则椭圆离心率的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 , 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而|FA|= |PF|∈[a-c,a+c] 2 2 2 22 2 2 32 , 34 4 st ty ys s − = − − = −+ + 2 1 2s = 2k = 1F 2F 2 2 2 2 x y 1a b − = 1F 2F 7a 3 3 2y 2x 2 2 ( 0)y px p= > A B AB 1x = 1x = − 2x = 2x = − 2 2 2 2 1( )x y a ba b + = > > 0 F x F 20, 2      10,2     )2 1,1 − 1,12    F 2 2a bcc c − = 于是 ∈[a-c,a+c] 即 ac-c2≤b2≤ac+c2 ∴ ⇒ 又 e∈(0,1) 故 e∈ 答案:D (2010 天津理数)(5)已知双曲线 的一条渐近线方程是 y= , 它的一个焦点在抛物线 的准线上,则双曲线的方程为 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程,属于容易题。 依题意知 ,所以双曲线的方程为 【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质,这部 分内容也是高考的热点内容之一,在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。 (2010 广东文数)7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的 离心率是 2b c 2 2 2 2 2 2 ac c a c a c ac c  − ≤ − − ≤ + 1 11 2 c a c c a a  ≤  ≤ − ≥ 或 1,12    2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3x 2 24y x= 2 2 136 108 x y− = 2 2 19 27 x y− = 2 2 1108 36 x y− = 2 2 127 9 x y− = 2 2 2 2 2 3 6 9, 27 b a c a b c a b+  =  = ⇒ = =  =  2 2 19 27 x y− = A. B. C. D. (2010 福建文数)11.若点O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点,点 P 为椭圆 上的任意一点,则 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 【答案】C 【解析】由题意,F(-1,0),设点 P ,则有 ,解得 , 因为 , ,所以 = = ,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ,因为 ,所以当 时, 取得最大值 ,选 C。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的 单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 (2010 全国卷 1 文数)(8)已知 、 为双曲线 C: 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ = ,则 (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理,考查转化的数学思想, 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos∠ P = 5 4 5 3 5 2 5 1 2 2 14 3 x y+ = OP FP   0 0( , )x y 2 2 0 0 14 3 x y+ = 2 2 0 0 3(1 )4 xy = − 0 0( 1, )FP x y= + 0 0( , )OP x y= 2 0 0 0( 1)OP FP x x y⋅ = + +  0 0( 1)OP FP x x⋅ = + +  2 03(1 )4 x− 2 0 0 34 x x+ + 0 2x = − 02 2x− ≤ ≤ 0 2x = OP FP⋅  22 2 3 64 + + = 1F 2F 2 2 1x y− = 1F P 2F 060 1 2| | | |PF PF = 1F 2F 2 2 2 1 2 1 2 1 2 | | | | | | 2 | || | PF PF F F PF PF + − 4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得: 4 (2010 全国卷 1 理数)(9)已知 、 为双曲线 C: 的左、右焦点,点P 在 C 上, ∠ P = ,则 P 到 x 轴的距离为 (A) (B) (C) (D) (2010 四川文数)(10)椭圆 的右焦点为 F,其右准线与 轴的 交点为 .在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围 是 (A)(0, ] (B)(0, ] (C)[ ,1) (D)[ ,1) 解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 , 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而|FA|= |PF|∈[a-c,a+c] 于是 ∈[a-c,a+c] 即 ac-c2≤b2≤ac+c2 ( ) ( )22 2 2 1 21 2 1 2 1 20 1 2 1 2 2 2 2 22 1cos60 2 2 2 PF PFPF PF PF PF F F PF PF PF PF + −− + −⇒ = ⇒ = 1 2| | | |PF PF = 1 2 0 2 2 0 1 2 1 2 60 1 1 3cot 1 cot 3 sin 602 2 2 2 2F PFS b PF PF PF PF θ ∆ = = = = = 1 2| | | |PF PF = 1F 2F 2 2 1x y− = 1F 2F 060 3 2 6 2 3 6 ( )2 2 2 2 1 0x y aa b + = >b> x A 2 2 1 2 2 1− 1 2 F 2 2a bcc c − = 2b c ∴ ⇒ 又 e∈(0,1) 故 e∈ 答案:D (2010 四川文数)(3)抛物线 的焦点到准线的距离是 (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:由 y2=2px=8x 知 p=4 又交点到准线的距离就是 p 答案:C (2010 湖北文数)9.若直线 与曲线 有公共点,则 b 的取值范围 是 A.[ , ] B.[ ,3] C.[-1, ] D.[ ,3] (2010 山东理数)(7)由曲线 y= ,y= 围成的封闭图形面积为[来源:Www.ks5u.com] (A) (B) (C) (D) 【答案】A 2 2 2 2 2 2 ac c a c a c ac c  − ≤ − − ≤ + 1 11 2 c a c c a a  ≤  ≤ − ≥ 或 1,12    2 8y x= y x b= + 23 4y x x= − − 1 2 2− 1 2 2+ 1 2− 1 2 2+ 1 2 2− 2x 3x 1 12 1 4 1 3 7 12 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 ,故选 A。 【命题意图】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积。 (2010 安徽理数)5、双曲线方程为 ,则它的右焦点坐标为 A、 B、 C、 D、 5.C 【解析】双曲线的 , , ,所以右焦点为 . 【误区警示】本题考查双曲线的交点,把双曲线方程先转化为标准方程,然后利用 求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式,很多学生会误认为 或 ,从而得出错误结论. (2010 湖北理数)9.若直线 y=x+b 与曲线 有公共点,则 b 的取值范围是 A. B. C. D. 9.【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 ,即表示圆心为(2,3)半径为 2 的半圆,依据数形结合,当直线 与此半圆相切时须满足圆心(2,3) 到直线 y=x+b 距离等于 2,解得 ,因为是下半圆故可得 (舍),当直线过(0,3)时,解得 b=3,故 所以 C 正确. (2010 福建理数) 1 2 3 0 x -x )dx=∫( 1 1 11- 1=3 4 12 × × 2 22 1x y− = 2 ,02       5 ,02       6 ,02       ( )3,0 2 2 11, 2a b= = 2 3 2c = 6 2c = 6 ,02       2 2 2c a b= + 2 1b = 2 2b = 23 4y x x= − − 1,1 2 2 − +  1 2 2,1 2 2 − +  1 2 2,3 −  1 2,3 −  2 2( 2) ( 3) 4(1 3)x y y− + − = ≤ ≤ y x b= + 1 2 2 1 2 2b b= + = −或 1 2 2b = + 1 2 2 3,b− ≤ ≤ A. ①④ B. ②③ C.②④     D.③④ 【答案】C 【解析】经分析容易得出②④正确,故选 C。 【命题意图】本题属新题型,考查函数的相关知识。 (2010 福建理数)7.若点 O 和点 分别是双曲线 的中心和左焦点, 点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 是已知双曲线的左焦点,所以 ,即 ,所以双曲线方 程为 ,设点 P ,则有 ,解得 , 因 为 , , 所 以 = ,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ,因为 , 所以当 时, 取得最小值 ,故 的取值范 围是 ,选 B。 【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次 函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运 算能力。 ( 2,0)F − 2 2 2 1(a>0)a x y− = OP FP⋅  [3-2 3, )+∞ [3 2 3, )+ +∞ 7[- , )4 +∞ 7[ , )4 +∞ ( 2,0)F − 2 1 4a + = 2 3a = 2 2 13 x y− = 0 0( , )x y 2 20 0 01( 3)3 x y x− = ≥ 2 2 0 0 01( 3)3 xy x= − ≥ 0 0( 2, )FP x y= + 0 0( , )OP x y= 2 0 0 0( 2)OP FP x x y⋅ = + +  0 0( 2)x x + + 2 0 13 x − = 2 0 0 4 2 13 x x+ − 0 3 4x = − 0 3x ≥ 0 3x = OP FP⋅  4 3 2 3 13 × + − = 3 2 3+ OP FP⋅  [3 2 3, )+ +∞ (2010 福建理数)2.以抛物线 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心,又圆过原点,所以 圆的半径为 ,故所求圆的方程为 ,即 ,选 D。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题。 二、填空题 (2010 上海文数)8.动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等,则 的 轨迹方程为 y2=8x 。 解析:考查抛物线定义及标准方程 定义知 的轨迹是以 为焦点的抛物线,p=2 所以其方程为 y2=8x (2010 浙江理数)(13)设抛物线 的焦点为 ,点 .若线段 的中点 在抛物线上,则 到该抛物线准线的距离为 _____________。 解析:利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为 ,B 点坐标为( )所 以点 B 到抛物线准线的距离为 ,本题主要考察抛物线的定义及几何性质,属容易 题 (2010 全国卷 2 理数)(15)已知抛物线 的准线为 ,过 且斜率 为 的直线与 相交于点 ,与 的一个交点为 .若 ,则 . 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质. 【解析】过 B 作 BE 垂直于准线 于 E,∵ ,∴M 为中点,∴ ,又 斜率为 , ,∴ ,∴ ,∴M 为抛物线的焦点,∴ 2. (2010 全国卷 2 文数)(15)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 2 4y x= 2 2x +y +2x=0 2 2x +y +x=0 2 2x +y -x=0 2 2x +y -2x=0 r=1 2 2x-1) +y =1( 2 2x -2x+y =0 P (2,0)F 2 0x + = P P (2,0)F 2 2 ( 0)y px p= > F (0,2)A FA B B 2 14 2 , 3 24 2: 2 ( 0)C y px p= > l (1,0)M 3 l A C B AM MB=  p = l AM MB=  1BM AB2 = 3 0BAE 30∠ = 1BE AB2 = BM BE= p = 的直线与 l 相交于 A,与 C 的一个交点为 B,若 ,则 p=_________ 【解析】2:本题考查了抛物线的几何性质 设 直 线 AB : , 代 入 得 , 又 ∵ ,∴ ,解得 ,解得 (舍去) (2010 江西理数)15.点 在双曲线 的右支上,若点 A 到右焦点的距 离等于 ,则 = 【答案】 2 【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化,读取 a=2.c=6, , (2010 安徽文数)(12)抛物线 的焦点坐标是 答案: 【解析】抛物线 ,所以 ,所以焦点 . 【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求 ,或求出 后,误认为焦点 , 还有没有弄清楚焦点位置,从而得出错误结论. (2010 重庆文数)(13)已知过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 、 两点, ,则 ____________ . 解析:由抛物线的定义可知 故 2 (2010 重庆理数)(14)已知以 F 为焦点的抛物线 上的两点 A、B 满足 ,则弦 AB 的 3 3y x= − 2 2y px= 23 ( 6 2 ) 3 0x p x+ − − + = AM MB=  1 22x p= + 2 4 12 0p P+ − = 2, 6p p= = − 0 0( )A x y, 2 2 14 32 x y− = 02x 0x r ed = 3r d⇒ = 2 0 0 02 3( ) 2ax x xc = − ⇒ = 2 8y x= (2,0) 2 8y x= 4p = (2,0) p p ( ,0)p 2 4y x= F A B 2AF = BF = 1 2AF AA KF= = = AB x∴ ⊥ 轴 AF = BF = 2 4y x= 3AF FB=  中点到准线的距离为___________. 解析:设 BF=m,由抛物线的定义知 中,AC=2m,AB=4m, 直线 AB 方程为 与抛物线方程联立消 y 得 所以 AB 中点到准线距离为 ( 2010 北 京 文 数 )( 13 ) 已 知 双 曲 线 的 离 心 率 为 2 , 焦 点 与 椭 圆 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 。 答案:( ) (2010 北京理数)(13)已知双曲线 的离心率为 2,焦点与椭圆 的 焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 。 答案:( ,0) ( 2010 天 津 文 数 )( 13 ) 已 知 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 是 ,它的一个焦点与抛物线 的焦点相同。则双曲线的方程为 。 【答案】 【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程,属于容易题。 由渐近线方程可知 ① 因为抛物线的焦点为(4,0),所以 c=4 ② 又 ③ mBBmAA == 11 ,3 ABC∆∴ 3=ABk )1(3 −= xy 03103 2 =+− xx 3 813 512 21 =+=++ xx 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 125 9 x y− = 4,0± 3 0x y+ = 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 125 9 χ γ+ = 4± 3 0x y = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3y x= 2 16y x= 2 2 14 12 x y− = 3b a = 2 2 2c a b= + 联立①②③,解得 ,所以双曲线的方程为 【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解,注意双曲线中 c 最大。 (2010 福建文数)13. 若双曲线 - =1(b>0)的渐近线方程式为 y= ,则b等 于        。 【答案】1 【解析】由题意知 ,解得 b=1。 【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法,属基础题。 (2010 全国卷 1 文数)(16)已知 是椭圆 的一个焦点, 是短轴的一个端点,线段 的延长线交 于点 , 且 ,则 的离心率为 . 16. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与 几何性质、第二定义、平面向量知识,考查了数形 结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点:“数 研究形,形助数”,利用几何性质可寻求到简化问题 的捷径. 【解析 1】如图, , 作 轴于点 D1,则由 ,得 ,所以 , 即 ,由椭圆的第二定义得 又由 ,得 【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式 ,设 ,F 分 BD 所成的比为 2, ,代入 2 24, 12a b= = 2 2 14 12 x y− = 2x 4 2 2 y b 1 x2 ± 1 2 2 b = F C B BF C D BF 2FD=  C 3 3 2 2| |BF b c a= + = 1DD y⊥ BF 2FD=  1 | | | | 2 | | | | 3 OF BF DD BD = = 1 3 3| | | |2 2DD OF c= = 3 2D cx = 2 23 3| | ( )2 2 a c cFD e ac a = − = − | | 2 | |BF FD= 232 ,ca a a = − 3 3e⇒ = 2 2 2 2 1x y a b + = ( )2 2,D x y 2 2 2 2 30 2 23 3 3 0;1 2 2 2 1 2 2 2 2 c c c c y bx b y b bx x x c y y −+ + ⋅ −= ⇒ = = = ⇒ = = = −+ + xO y B F 1D D , (2010 全国卷 1 理数) ( 2010 湖 北 文 数 ) 15. 已 知 椭 圆 的 两 焦 点 为 , 点 满 足 ,则| |+ |的取值范围为_______,直线 与椭圆 C 的公共 点个数_____。 【答案】 【解析】依题意知,点 P 在椭圆内部.画出图形,由数形结合可得,当 P 在原点处时 ,当 P 在椭圆顶点处时,取到 为 ,故范围为 .因为 在椭圆 的内部,则直线 上的点(x, y)均在椭圆外,故此直线与椭圆不可能有交点,故交点数为 0 个. 3.(2010 江苏卷)6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 上一点 M,点 M 的横 坐标是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是__________ 2 2 2 2 9 1 14 4 c b a b + = 3 3e⇒ = 2 2: 12 xc y+ = 1 2,F F 0 0( , )P x y 2 20 00 12 x y< + < 1PF 2PF 0 0 12 x x y y+ = [ )2,2 2 ,0 1 2 max(| | | |) 2 PF PF+ = 1 2 max(| | | |)PF PF+ ( 2 1) ( 2 1) =2 2 − + + [ )2,2 2 0 0( , )x y 2 2 12 x y+ = 0 0 12 x x y y ⋅ + ⋅ = 1124 22 =− yx [解析]考查双曲线的定义。 , 为点 M 到右准线 的距离, =2,MF=4。 三、解答题 (2010 上海文数)23(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题 满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知椭圆 的方程为 , 、 和 为 的三个顶 点. (1)若点 满足 ,求点 的坐标; ( 2 ) 设 直 线 交 椭 圆 于 、 两 点 , 交 直 线 于 点 . 若 ,证明: 为 的中点; (3)设点 在椭圆 内且不在 轴上,如何构作过 中点 的直线 ,使得 与椭圆 的两个交点 、 满足 ?令 , ,点 的坐 标是(-8,-1),若椭圆 上的点 、 满足 ,求点 、 的坐标. 解析:(1) ; (2) 由方程组 ,消 y 得方程 , 因为直线 交椭圆 于 、 两点, 所以∆>0,即 , 设 C(x1,y1)、D(x2,y2),CD 中点坐标为(x0,y0), 则 , 由方程组 ,消 y 得方程(k2−k1)x=p, 4 22 MF ed = = = d 1x = d Γ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (0, )A b (0, )B b− ( ,0)Q a Γ M 1 ( )2AM AQ AB= +   M 1 1:l y k x p= + Γ C D 2 2:l y k x= E 2 1 2 2 bk k a ⋅ = − E CD P Γ x PQ F l l Γ 1P 2P 1 2PP PP PQ+ =   1 2PP PP PQ+ =   10a = 5b = P Γ 1P 2P 1 2PP PP PQ+ =   1P 2P ( , )2 2 a bM − 1 2 2 2 2 1 y k x p x y a b = + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1( ) 2 ( ) 0a k b x a k px a p b+ + + − = 1 1:l y k x p= + Γ C D 2 2 2 2 1 0a k b p+ − > 2 1 2 1 0 2 2 2 1 2 0 1 0 2 2 2 1 2 x x a k px a k b b py k x p a k b  += = − +  = + = + 1 2 y k x p y k x = +  = 又因为 ,所以 , 故 E 为 CD 的中点; (3) 因为点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上,所以点 F 在椭圆 Γ 内,可以求得直线 OF 的斜率 k2, 由 知 F 为 P1P2 的中点,根据(2)可得直线 l 的斜率 ,从而得直线 l 的 方程. ,直线 OF 的斜率 ,直线 l 的斜率 , 解方程组 ,消 y:x2−2x−48=0,解得 P1(−6,−4)、P2(8,3). (2010 湖南文数)19.(本小题满分 13 分) 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基 地,视冰川面为平面形,以过 A、B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立 平面直角坐标系(图 4)。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。 (I) 求考察区域边界曲线的方程: (II) 如图 4 所示,设线段 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融 化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后 每年移动的距离为前一年的 2 倍。问:经过多长时间,点 A 恰好在冰川边界线 上? 2 2 2 1 bk a k = − 2 1 02 2 2 2 1 1 2 2 02 2 2 1 a k ppx xk k a k b b py k x ya k b  = = − = − +  = = = + 1 2PP PP PQ+ =   2 1 2 2 bk a k = − 1(1, )2F − 2 1 2k = − 2 1 2 2 1 2 bk a k = − = 2 2 1 12 1100 25 y x x y  = −  + = 1 2PP (2010 浙江理数)(21) (本题满分 15 分)已知 m>1,直线 ,椭圆 , 分别为椭圆 的左、右焦点. (Ⅰ)当直线 过右焦点 时,求直线 的方程; (Ⅱ)设直线 与椭圆 交于 两点, , 的重心分别为 .若原点 在以线段 为直径的圆内,求实 数 的取值范围. 解析:本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考 察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 (Ⅰ)解:因为直线 经过 ,所以 , 得 , 2 : 02 ml x my− − = 2 2 2: 1xC ym + = 1, 2F F C l 2F l l C ,A B 1 2AF F 1 2BF F ,G H O GH m :l 2 02 mx my− − = 2 2 ( 1,0)F m − 2 2 1 2 mm − = 2 2m = 又因为 ,所以 , 故直线 的方程为 。 (Ⅱ)解:设 。 由 ,消去 得 则由 ,知 , 且有 。 由于 , 故 为 的中点, 由 , 可知 设 是 的中点,则 , 由题意可知 即 即 而 1m > 2m = l 2 22 02x y− − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 2 2 1 mx my x ym  = +  + = x 2 22 1 04 my my+ + − = 2 2 28( 1) 8 04 mm m∆ = − − = − + > 2 8m < 2 1 2 1 2 1,2 8 2 m my y y y+ = − = − 1 2( ,0), ( ,0),F c F c− O 1 2F F 2 , 2AG GO BH HO= =    1 1 2 1( , ), ( , ),3 3 3 3 x y x yG h 2 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 9 9 x x y yGH − −= + M GH 1 2 1 2( , )6 6 x x y yM + + 2 ,MO GH< 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )4[( ) ( ) ]6 6 9 9 x x y y x x y y+ + − −+ < + 1 2 1 2 0x x y y+ < 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( )2 2 m mx x y y my my y y+ = + + + 所以 即 又因为 且 所以 。 所以 的取值范围是 。 (2010 全国卷 2 理数)(21)(本小题满分 12 分) 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 相交于 B、D 两点,且 BD 的中点为 . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质,考查直线与圆的关系,既考查考生的基础 知识掌握情况,又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】 2 2 1( 1 ( )8 2 mm= + −) 2 1 08 2 m − < 2 4m < 1m > 0∆ > 1 2m< < m (1,2) ( )2 2 2 2 1 0 0x y a ba b − = > , > ( )1,3M 17DF BF = 【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目,命题者将好多考点以圆锥曲线为 背景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定. (2010 陕西文数)20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 n 为过原点的直线,l 是与 n 垂直相交与点 P,与椭圆相交 于 A,B 两点的直线 立?若存在,求出直线 l 的方程;并说出;若不存在,请说明理由。 (2010 辽宁文数)(20)(本小题满分 12 分) 设 , 分别为椭圆 的左、右焦点,过 的直线 与椭圆 相交于 , 两点,直线 的倾斜角为 , 到直线 的距离为 . (Ⅰ)求椭圆 的焦距; (Ⅱ)如果 ,求椭圆 的方程. 解:(Ⅰ)设焦距为 ,由已知可得 到直线 l 的距离 所以椭圆 的焦距为 4. (Ⅱ)设 直线 的方程为 联立 解得 因为 即 得 故椭圆 的方程为 (2010 辽宁理数)(20)(本小题满分 12 分) 设椭圆 C: 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60o, . 1F 2F 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > 2F l C A B l 60 1F l 2 3 C 2 22AF F B=  C 2c 1F 3 2 3, 2.c c= =故 C 1 1 2 2 1 2( , ), ( , ), 0, 0,A x y B x y y y< >由题意知 l 3( 2).y x= − 2 2 2 2 42 2 2 2 3( 2), (3 ) 4 3 3 0. 1 y x a b y b y bx y a b  = − + + − = + = 得 2 2 1 22 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 ), .3 3 b a b ay ya b a b − + − −= =+ + 2 2 1 22 , 2 .AF F B y y= − =  所以 2 2 2 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 )2 .3 3 b a b a a b a b + − −= ⋅+ + 2 23. 4, 5.a a b b= − = =而 所以 C 2 2 1.9 5 x y+ = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2AF FB=  (I) 求椭圆 C 的离心率; (II) 如果|AB|= ,求椭圆 C 的方程. 解: 设 ,由题意知 <0, >0. (Ⅰ)直线 l 的方程为 ,其中 . 联立 得 解得 因为 ,所以 . 即 得离心率 . ……6 分 (Ⅱ)因为 ,所以 . 由 得 .所以 ,得 a=3, . 椭圆 C 的方程为 . ……12 分 (2010 全国卷 2 文数)(22)(本小题满分 12 分) 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C: 相交于 B、D 两点,且 BD 的 中点为 M(1.3) (Ⅰ)(Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)(Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|·|BF|=17 证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。 【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问题的能力。 (1)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于 BD 两点的中点为(1, 3),可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,B 的关系式即求得离心率。 (2)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含 A 的代数式表示,即可求得 A,则 A 点坐标可得 15 4 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1y 2y 3( )y x c= − 2 2c a b= − 2 2 2 2 3( ), 1 y x c x y a b  = − + = 2 2 2 2 4(3 ) 2 3 3 0a b y b cy b+ + − = 2 2 1 22 2 2 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 ),3 3 b c a b c ay ya b a b − + − −= =+ + 2AF FB=  1 22y y− = 2 2 2 2 2 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 )23 3 b c a b c a a b a b + − −= •+ + 2 3 ce a = = 2 1 11 3AB y y= + − 2 2 2 2 4 3 15 3 43 ab a b • =+ 2 3 c a = 5 3b a= 5 15 4 4a = 5b = 2 2 19 5 x y+ = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > (1,0),由于 A 在 X 轴上所以,只要证明 2AM=BD 即证得。 (2010 江西理数)21. (本小题满分 12 分) 设椭圆 ,抛物线 。 (1) 若 经过 的两个焦点,求 的离心率; (2) 设 A(0,b), ,又 M、N 为 与 不在 y 轴上的两个交点,若△AMN 的垂心为 ,且△QMN 的重心在 上,求椭圆 和抛物线 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。 (1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得: ,由 。 (2) 由 题 设 可 知 M 、 N 关 于 y 轴 对 称 , 设 ,由 的垂心为 B,有 。 由点 在抛物线上, ,解得: 故 ,得 重心坐标 . 由重心在抛物线上得: , ,又因为 M、N 在椭圆上得: ,椭圆方程为 ,抛物线方程为 。 (2010 安徽文数)17、(本小题满分 12 分) 椭圆 经过点 ,对称轴为坐标轴, 焦点 在 轴上,离心率 。 (Ⅰ)求椭圆 的方程; 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2 :C x by b+ = 2C 1C 1C 53 3 4Q    , 1C 2C 3 4B b    0, 2C 1C 2C 2 2c b= 2 2 2 2 2 2 1 22 , 2 2 ca b c c ea = + = = ⇒ =有 1 1 1 1 1( , ), ( , )( 0)M x y N x y x− > AMN∆ 2 1 1 1 30 ( )( ) 04BM AN x y b y b⋅ = ⇒ − + − − =  1 1( , )N x y 2 2 1 1x by b+ = 1 1 ( )4 by y b= − =或 舍去 1 5 5 5, ( , ), ( , )2 2 4 2 4 b bx b M b N b= − − − QMN∆ ( 3, )4 b 2 23 , =24 b b b+ = 所以 1 1( 5, ), ( 5, )2 2M N− − − 2 16 3a = 2 2 16 3 14 x y+ = 2 2 4x y+ = E ( )2,3A 1 2,F F x 1 2e = E (Ⅱ)求 的角平分线所在直线的方程。 17.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方 程与一般方程,点到直线的距离公式等基础知识;考查解析几何的基本思想、综合运算能力. 【解题指导】(1)设椭圆方程为 ,把点 代入椭圆方程,把离心率 用 表示,再根据 ,求出 ,得椭圆方程;(2)可以设直线 l 上任一点 坐标为 ,根据角平分线上的点到角两边距离相等得 . 解:(Ⅰ)设椭圆 E 的方程为 【规律总结】对于椭圆解答题,一般都是设椭圆方程为 ,根据题目满足的条件 求出 ,得椭圆方程,这一问通常比较简单;(2)对于角平分线问题,利用角平分线 的几何意义,即角平分线上的点到角两边距离相等得方程. (2010 重庆文数)(21)(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分. ) 已知以原点 为中心, 为右焦点的双曲线 的离心率 . (Ⅰ)求双曲线 的标准方程及其渐近线方程; (Ⅱ)如题(21)图,已知过点 的直线 : 与过点 (其中 )的直线 : 的交点 在双曲线 上,直线 与双曲线的 两条渐近线分别交于 、 两点,求 的值. 1 2F AF∠ 2 2 2 2 1x y a b + = ( )2,3A 1 2e = ,a c 2 2 2a b c+ = 2 2,a b ( , )x y | 3 4 6 | | 2 |5 x y x − + = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1. 1 1, , 3 , 1.2 2 4 3 1 3 1, 2, 1.16 12 3( ) ( 2,0), (2,0), ( 2),4 3 4 6 0. 2. x y a b c x ye b a c ca c c A c Ec c x y F AF x x y AF x E AF + = = = = − = ∴ + = + = = ∴ + = ∏ Ι − + − + = = ∠ 由 得 将(2,3)代入,有 解得: 椭圆 的方程为 由( )知F 所以直线 的方程为y= 即 直线 的方程为 由椭圆 的图形知, F 的角平分线所在直线的斜率为正 1 2 1 2 3 4 6 25 3 4 6 5 10, 2 8 0, x yAF x x y x x y AF − +∠ = − − + = − + − = ∠ 数。 设P(x, y)为 F 的角平分线所在直线上任一点,则有 若 得 其斜率为负,不合题意,舍去。 于是3x- 4y+6=- 5x+10, 即2x- y- 1=0. 所以, F 的角平分线所在直线的方程为2x- y- 1=0. 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2,a b O ( 5,0)F C 5 2e = C 1 1( , )M x y 1l 1 14 4x x y y+ = 2 2( , )N x y 2 1x x≠ 2l 2 24 4x x y y+ = E C MN G H OG OH   (2010 浙江文数)(22)、(本题满分 15 分)已知 m 是非零实数,抛物线 (p>0) 的焦点 F 在直线 上。 (I)若 m=2,求抛物线 C 的方程 (II)设直线 与抛物线 C 交于 A、B,△A , △ 的重心分别为 G,H 求证:对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。 2: 2C y ps= 2 : 02 ml x my− − = l 2A F 1BB F (2010 重庆理数)(20)(本小题满分 12 分, (I)小问 5 分,(II)小问 7 分) 已知以原点 O 为中心, 为右焦点 的双曲线 C 的离心率 。 ( )5,0F 5 2e = (I) 求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; (II) 如题(20)图,已知过点 的直线 与过点 (其中 )的直线 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与 两条渐近线分别交与 G、H 两点,求 的面积。 ( )1 1,M x y 1 1 1: 4 4l x x y y+ = ( )2 2,N x y 2x x≠ 2 2 2: 4 4l x x y y+ = OGH∆ (2010 山东文数)(22)(本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 过点. ,离心率为 ,左、右焦点分别为 、 .点 为直线 上且不在 轴上的任意 一点,直线 和 与椭圆的交点分别为 、 和 、 , 为坐标原点. (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 、 的斜线分别为 、 . (i)证明: ; (ii)问直线 上是否存在点 ,使得直线 、 、 、 的斜率 、 、 、 满足 ?若存在,求出所有满足条件的点 的坐标; 若不存在,说明理由. 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b + = > > 2(1, )2 2 2 1F 2F P : 2l x y+ = x 1PF 2PF A B C D O 1PF 2PF 1k 2k 1 2 1 3 2k k − = l P OA OB OC OD OAk OBk OCk ODk 0OA OB OC ODk k k k+ + + = P (2010 北京文数)(19)(本小题共 14 分) 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 , ,离心率是 ,直线 y=t 椭 圆 C 交与不同的两点 M,N,以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值。 解:(Ⅰ)因为 ,且 ,所以 所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)由题意知 由 得 所以圆 P 的半径为 解得 所以点 P 的坐标是(0, ) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 。因为点 在圆 P 上。所以 ( 2,0)− ( 2,0) 6 3 6 3 c a = 2c = 2 23, 1a b a c= = − = 2 2 13 x y+ = (0, )( 1 1)p t t− < < 2 2 13 y t x y = + = 23(1 )x t= ± − 23(1 )t− 3 2t = ± 3 2 ± 2 2 2( ) 3(1 )x y t t+ − = − ( , )Q x y 2 2 23(1 ) 3(1 )y t t x t t= ± − − ≤ + − 设 ,则 当 ,即 ,且 , 取最大值 2. (2010 北京理数)(19)(本小题共 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。 (I)解:因为点 B 与 A 关于原点 对称,所以点 得坐标为 . 设点 的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点 的轨迹方程为 (II)解法一:设点 的坐标为 ,点 , 得坐标分别为 , . 则直线 的方程为 ,直线 的方程为 令 得 , . 于是 得面积 又直线 的方程为 , , 点 到直线 的距离 . 于是 的面积 cos , (0, )t θ θ π= ∈ 23(1 ) cos 3sin 2sin( )6t t πθ θ θ+ − = + = + 3 πθ = 1 2t = 0x = y 1 3 − ( 1,1)− O B (1, 1)− P ( , )x y 1 1 1 1 1 3 y y x x − + = −+ − 2 23 4( 1)x y x+ = ≠ ± P 2 23 4( 1)x y x+ = ≠ ± P 0 0( , )x y M N (3, )My (3, )Ny AP 0 0 11 ( 1)1 yy xx −− = ++ BP 0 0 11 ( 1)1 yy xx ++ = −− 3x = 0 0 0 4 3 1M y xy x + −= + 0 0 0 2 3 1N y xy x − += − PMN 2 0 0 0 0 2 0 | | (3 )1 | | (3 )2 | 1|PMN M N x y xS y y x x + −= − − = − AB 0x y+ = | | 2 2AB = P AB 0 0| | 2 x yd += PAB 0 0 1 | | | |2PABS AB d x y= = +   当 时,得 又 , 所以 = ,解得 。 因为 ,所以 故存在点 使得 与 的面积相等,此时点 的坐标为 . 解法二:若存在点 使得 与 的面积相等,设点 的坐标为 则 . 因为 , 所以 所以 即 ,解得 因为 ,所以 故存在点 S 使得 与 的面积相等,此时点 的坐标为 . (2010 四川理数)(20)(本小题满分 12 分) 已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它 到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由. 本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识,考察平面机袭击和的思想方法及推理 运算能力. 解:(1)设 P(x,y),则 PAB PMNS S=   2 0 0 0 0 0 2 0 | | (3 )| | | 1| x y xx y x + −+ = − 0 0| | 0x y+ ≠ 2 0(3 )x− 2 0| 1|x − 0 5| 3x = 2 2 0 03 4x y+ = 0 33 9y = ± P PAB PMN P 5 33( , )3 9 ± P PAB PMN P 0 0( , )x y 1 1| | | | sin | | | | sin2 2PA PB APB PM PN MPN∠ = ∠  sin sinAPB MPN∠ = ∠ | | | | | | | | PA PN PM PB = 0 0 0 | 1| | 3 | | 3 | | 1| x x x x + −=− − 2 2 0 0(3 ) | 1|x x− = − 0x 5 3 = 2 2 0 03 4x y+ = 0 33 9y = ± P PAB PMN P 5 33( , )3 9 ± 1 2 2 2 1( 2) 2 | |2x y x− + = − 化简得 x2- =1(y≠0)………………………………………………………………4 分 (2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y=k(x-2)(k≠0) 与双曲线 x2- =1 联立消去 y 得 (3-k)2x2+4k2x-(4k2+3)=0 由题意知 3-k2≠0 且△>0 设 B(x1,y1),C(x2,y2), 则 y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4] =k2( +4) = 因为 x1、x2≠-1 所以直线 AB 的方程为 y= (x+1) 因此 M 点的坐标为( ) ,同理可得 因此 = =0 ②当直线 BC 与 x 轴垂直时,起方程为 x=2,则 B(2,3),C(2,-3) AB 的方程为 y=x+1,因此 M 点的坐标为( ), 2 3 y 2 3 y 2 1 2 2 2 1 2 2 4 3 4 3 3 kx x k kx x k  + = − + = − 2 2 2 2 4 3 8 3 3 k k k k + −− − 2 2 9 3 k k − − 1 1 1 y x + 1 1 31 ,2 2( 1) y x + 1 1 33( , )2 2( 1) yFM x = − +  2 2 33( , )2 2( 1) yFN x = − +  2 1 2 1 2 93( )2 2( 1)( 1) y yFM FN x x = − + + +    2 2 2 2 2 2 81 4 3 4 3 49 4( 1)3 3 k k k k k k − −+ + + +− − 1 3,2 2 3 3( , )2 2FM = − 同理可得 因此 =0 综上 =0,即 FM⊥FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F………………………………………………12 分 (2010 天津文数)(21)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 (a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点 A 的坐标为(-a,0). (i)若 ,求直线 l 的倾斜角; (ii)若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上,且 .求 的值. 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、 直线的倾斜角、平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想,考查综合分析与运算能力.满分 14 分. (Ⅰ)解:由 e= ,得 .再由 ,解得 a=2b. 由题意可知 ,即 ab=2. 解方程组 得 a=2,b=1. 所以椭圆的方程为 . (Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ)可知点 A 的坐标是(-2,0).设点 B 的坐标为 ,直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k(x+2). 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理,得 . 3 3( , )2 2FN = − − 23 3 3( ) ( )2 2 2FM FN = − + × −   FM FN   2 2 2 2 1x y a b + = 3 2 4 2AB 5| | = y0(0, ) QA QB=4   y0 3 2 c a = 2 23 4a c= 2 2 2c a b= − 1 2 2 42 a b× × = 2 , 2, a b ab =  = 2 2 14 x y+ = 1 1( , )x y 2 2 ( 2), 1.4 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k+ + + − = 由 ,得 .从而 . 所以 . 由 ,得 . 整理得 ,即 ,解得 k= . 所以直线 l 的倾斜角为 或 . (ii)解:设线段 AB 的中点为 M,由(i)得到 M 的坐标为 . 以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是 由 ,得 。 (2)当 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 。 令 ,解得 。 由 , , , 整理得 。故 。所以 。 综上, 或 (2010 天津理数)(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 的离心率 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 2 1 2 16 42 1 4 kx k −− = + 2 1 2 2 8 1 4 kx k −= + 1 2 4 1 4 ky k = + 2 22 2 2 2 2 2 8 4 4 1| | 2 1 4 1 4 1 4 k k kAB k k k  − + = − − + =   + + +   4 2| | 5AB = 2 2 4 1 4 2 1 4 5 k k + =+ 4 232 9 23 0k k− − = 2 2( 1)(32 23) 0k k− + = 1± 4 π 3 4 π 2 2 2 8 2,1 4 1 4 k k k k  − + +  ( ) ( )0 02, , 2, .QA y QB y= − − = −  4QA QB• =  y 2 2= ±0 0k ≠ 2 2 2 2 1 8 1 4 1 4 k ky xk k k  − = − + + +  0x = 0 2 6 1 4 ky k = − + ( )02,QA y= − − ( )1 1 0,QB x y y= − ( ) ( )2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 8 6 4 62 1 4 1 4 1 4 1 4 k k k kQA QB x y y y k k k k − −  • = − − − = + + + + + +    ( ) ( ) 4 2 22 4 16 15 1 4 1 4 k k k + − = = + 27 2k = 14 7k = ± 0 2 14 5y = ± 0 2 2y = ± 0 2 14 5y = ± 2 2 2 2 1( 0x y a ba b + = > > ) 3 2e = 为 4。 (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线 与椭圆相交于不同的两点 ,已知点 的坐标为( ),点 在线段 的垂直平分线上,且 ,求 的值 【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力,满分 12 分 (1)解:由 ,得 ,再由 ,得 由题意可知, 解方程组 得 a=2,b=1 所以椭圆的方程为 (2)解:由(1)可知 A(-2,0)。设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的 方程为 y=k(x+2), 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 由方程组消去 Y 并整理,得 由 得 设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0)。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是 l ,A B A ,0a− 0(0, )Q y AB 4QA QB =   0y 3e 2 c a = = 2 23 4a c= 2 2 2c a b= − 2a b= 1 2 2 4, 22 a b ab× × = =即 2 2 a b ab =  = 2 2 14 x y+ = 2 2 ( 2) 14 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 16 42 ,1 4 kx k −− = + 2 1 12 2 2 8 4, ,1 4 1 4 k kx yk k −= =+ +从而 2 2 2 8 2( , )1 4 1 4 k k k k − + + 0 0 0( 2, y ), (2, = 2QA QB y QA QB y → → → → = − − = − ±)由 4,得 = 2 (2)当 K 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 令 x=0,解得 由 整理得 综上 (2010 广东理数) 21.(本小题满分 14 分) 设 A( ),B( )是平面直角坐标系 xOy 上的两点,先定义由点 A 到点 B 的一种折 线距离 p(A,B)为 . 0≠ 2 2 2 2 1 8( )1 4 1 4 k kY xk k k − = ++ + 0 2 6 1 4 ky k = + 0 1 1 0( 2, y ), ( ,QA QB x y y → → = − − = − ) 2 1 0 1 0 2 2 2 2 2(2 8 ) 6 4 62 ( ( )1 4 1 4 1 4 1 4 k k k kQA QB x y y y k k k k → → − −= − − − + ++ + + + )= 4 2 2 2 4(16 15 1) 4(1 4 ) k k k + − =+= 2 0 14 2 147 2, =7 5k k y= = ± ±故 所以 0 0 2 14= 2 2 = 5y y± ±或 1 1,x y 2 2,x y 2 1 2 1( , ) | | | |P A B x x y y= − + − 当且仅当 时等号成立,即 三点共线时 等号成立. (2)当点 C(x, y) 同时满足①P +P = P ,②P = P 时,点 是 线段 的中点. ,即存在点 满足条件。 (2010 广东理数)20.(本小题满分为 14 分) 一条双曲线 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 , 是双曲线上 不同的两个动点。 (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式; (2)若过点 H(0, h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 ,求 h 的值。 故 ,即 。 (2)设 ,则由 知, 。 将 代入 得 ,即 , 由 与 E 只有一个交点知, ,即 。 同理,由 与 E 只有一个交点知, ,消去 得 ,即 ,从 1 2 1 2( )( ) 0,( )( ) 0x x x x y y y y− − ≥ − − ≥ , ,A B C ( , )A C ( , )C B ( , )A B ( , )A C ( , )C B C AB 1 2 1 2,2 2 x x y yx y + += = 1 2 1 2( , )2 2 x x y yC + + 2 2 12 x y− = 1 1( , )P x y 1 1( , )Q x y− 1 2l l⊥ 2 21 ( 2)2y x= − − 2 2 12 x y+ = 1 :l y kx h= + 1 2l l⊥ 2 1:l y x hk = − + 1 :l y kx h= + 2 2 12 x y+ = 2 2( ) 12 x kx h+ + = 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x khx h+ + + − = 1l 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k h k h∆ = − + − = 2 21 2k h+ = 2l 2 2 11 2 hk + ⋅ = 2h 2 2 1 kk = 2 1k = 而 ,即 。 (2010 广东文数)21.(本小题满分 14 分) 已知曲线 ,点 是曲线 上的点 , 2 21 2 3h k= + = 3h = 2: nxyCn = ),( nnn yxP )0,0( >> nn yx nC ,...)2,1( =n (2010 福建文数)19.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: 过点 A (1 , -2)。 (I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 L 的距离等于 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由。 2 2 ( 0)y px p= > 5 5 (2010 全国卷 1 理数)(21)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 的焦点为 F,过点 的直线 与 相交于 、 两点, 点 A 关于 轴的对称点为 D. (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 ,求 的内切圆 M 的方程 . 2: 4C y x= ( 1,0)K − l C A B x 8 9FA FB =   BDK∆ (2010 四川文数)(21)(本小题满分 12 分) 已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它 到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由. 1 2 (2010 湖北文数)20.(本小题满分 13 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上没一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都 是 1。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程 (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线, 都有 <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。FA·FB  (2010 山东理数)(21)(本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦 点 为顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 为 该双曲线上异于顶点的任一点,直线 和 与椭圆的交点分别为 和 . 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 1 2,F F 4( 2 1)+ P 1PF 2PF BA、 C D、 (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 、 的斜率分别为 、 ,证明 ; (Ⅲ)是否存在常数 ,使得 恒成立?若存在,求 的值;若不 存在,请说明理由. 【解析】(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为 ,得 ,又 , 所以可解得 , ,所以 ,所以椭圆的标准方程为 ; 所以椭圆的焦点坐标为( ,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所 以该双曲线的标准方程为 。 1PF 2PF 1k 2k 1 2· 1k k = λ ·AB CD AB CDλ+ = λ c a = 2 2 2a c= 2 2a c+ = 4( 2 1)+ 2 2a = 2c = 2 2 2 4b a c= − = 2 2 18 4 x y+ = 2± 2 2 14 4 x y− = 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线 的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题 (3)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能 力, (2010 湖南理数)19.(本小题满分 13 分) 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地。 视冰川面为平面形,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面 直角坐标系(图 6)在直线 x=2 的右侧,考察范围为到点 B 的距离不超过 km 区域;在直 6 5 5 线 x=2 的左侧,考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过 km 区域。 (Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程; (Ⅱ)如图 6 所示,设线段 P1P2,P2P3 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线),当冰川 融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后每年移动的 距离为前一年的 2 倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。 4 5 化 融 区 域 2 8 3P - 63       , P3(8,6) 已 冰 B(4,0)A(-4,0) x( 5 3− ,-1)P1 (2010 湖北理数)19(本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都 有 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。 (2010 安徽理数)19、(本小题满分 13 分) 已知椭圆 经过点 ,对称轴为坐标轴,焦点 在 轴上,离心率 。 (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)求 的角平分线所在直线 的方程; (Ⅲ)在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。 0FA FB• <  E ( )2,3A 1 2,F F x 1 2e = E 1 2F AF∠ l E l (2010 江苏卷)18、(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 中,如图,已知椭圆 的左、右顶点为 A、B,右焦点为 F。设过点 T( )的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、 ,其中 m>0, 。 (1)设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹; (2)设 ,求点 T 的坐标; (3)设 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐 标与 m 无关)。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 (1)设点 P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。 由 ,得 化简得 。 故所求点 P 的轨迹为直线 。 xoy 159 22 =+ yx mt, ),( 11 yx ),( 22 yxN 0,0 21 <> yy 422 =− PBPF 3 1,2 21 == xx 9=t 422 =− PBPF 2 2 2 2( 2) [( 3) ] 4,x y x y− + − − + = 9 2x = 9 2x = (2)将 分别代入椭圆方程,以及 得:M(2, )、N( , ) 直线 MTA 方程为: ,即 , 直线 NTB 方程为: ,即 。 联立方程组,解得: , 所以点 T 的坐标为 。 (3)点 T 的坐标为 直线 MTA 方程为: ,即 , 直线 NTB 方程为: ,即 。 分别与椭圆 联立方程组,同时考虑到 , 解得: 、 。 (方法一)当 时,直线 MN 方程为: 令 ,解得: 。此时必过点 D(1,0); 当 时,直线 MN 方程为: ,与 x 轴交点为 D(1,0)。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0)。 (方法二)若 ,则由 及 ,得 , 此时直线 MN 的方程为 ,过点 D(1,0)。 3 1,2 21 == xx 0,0 21 <> yy 5 3 1 3 20 9 − 0 3 5 2 303 y x− += +− 1 13y x= + 0 3 20 10 39 3 y x− −= − − − 5 5 6 2y x= − 7 10 3 x y = = 10(7, )3 (9, )m 0 3 0 9 3 y x m − +=− + ( 3)12 my x= + 0 3 0 9 3 y x m − −=− − ( 3)6 my x= − 159 22 =+ yx 1 23, 3x x≠ − ≠ 2 2 2 3(80 ) 40( , )80 80 m mM m m − + + 2 2 2 3( 20) 20( , )20 20 m mN m m − −+ + 1 2x x≠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 3( 20) 20 20 40 20 3(80 ) 3( 20) 80 20 80 20 m my xm m m m m m m m m m −+ −+ += − −+ −+ + + + 0y = 1x = 1 2x x= 1x = 1 2x x= 2 2 2 2 240 3 3 60 80 20 m m m m − −=+ + 0m > 2 10m = 1x = 若 ,则 ,直线 MD 的斜率 , 直线 ND 的斜率 ,得 ,所以直线 MN 过 D 点。 因此,直线 MN 必过 轴上的点(1,0)。 (2010 福建理数)17.(本小题满分 13 分) 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 ,使得直线 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 的距离等 于 4?若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由。 【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【解析】(1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 ,且可知左焦点为 1 2x x≠ 2 10m ≠ 2 2 2 2 40 1080 240 3 40180 MD m mmk m m m += =− −−+ 2 2 2 2 20 1020 3 60 40120 ND m mmk m m m − += =− −−+ MD NDk k= x l l l l 2 2 2 2 1(a>0,b>0)x y a b + =
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