高考数学试题分章节汇编圆锥曲线

高考数学试题分章节汇编圆锥曲线

2010 年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题 （2010 湖南文数）5. 设抛物线 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点 的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 （2010 浙江理数）（8）设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若在 双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长， 则该双曲线的渐近线方程为 （A） （B） （C） （D） 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系， 可知答案选 C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知 识能力的考察，属中档题 （2010 全国卷 2 理数）（12）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦 点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则 （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB1 垂直于 l，A1，B 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E，由第二定义得， ，由 ， 得 ， ∴ 2 8y x= 1F 2F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = ＞ ＞ P 2 1 2PF F F= 2F 1PF 3 4 0x y± = 3 5 0x y± = 4 3 0x y± = 5 4 0x y± = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = ＞ ＞ 3 2 F ( 0)k k＞ C A B、 3AF FB=  k = 2 3 即 k= ，故选 B. （2010 陕西文数）9.已知抛物线 y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16 相切，则 p 的值为 [C] （A） （B）1 （C）2 （D）4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线 y2＝2px（p>0）的准线方程为 ，因为抛物线 y2＝2px（p>0）的准线 与圆（x－3）2＋y2＝16 相切，所以 法二：作图可知，抛物线 y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16 相切与点（-1,0） 所以 （2010 辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该 双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D） 解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在 轴上，设其方程为： ， 则一个焦点为 一条渐近线斜率为： ，直线 的斜率为： ， ， ，解得 . （2010 辽宁文数）（7）设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点， ， 为垂足，如果直线 斜率为 ，那么 （A） （B） 8 （C） （D） 16 解析：选 B.利用抛物线定义，易证 为正三角形，则 （2010 辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为 F；虚轴的—个端点为 B，如果直线 FB 与 该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 1 2 2 px −= 2,423 ==+ pp 2,12 =−=− pp F B FB 2 3 3 1 2 + 5 1 2 + x 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ( ,0), (0, )F c B b b a FB b c − ( ) 1b b a c ∴ ⋅ − = − 2b ac∴ = 2 2 0c a ac− − = 5 1 2 ce a += = 2 8y x= F l P PA l⊥ A AF 3− PF = 4 3 8 3 PAF∆ 4| | 8sin30PF °= = (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂 直的条件，考查了方程思想。 【解析】设双曲线方程为 ，则 F（c,0）,B(0,b) 直线 FB：bx+cy-bc=0 与渐近线 y= 垂直，所以 ，即 b2=ac 所以 c2-a2=ac,即 e2-e-1=0,所以 或 （舍去） （2010 辽宁理数）(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂 足．如果直线 AF 的斜率为 ,那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 16 【答案】B 【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系， 考查了等价转化的思想。 【 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 F （ 2 ， 0 ），直 线 AF 的 方 程 为 ， 所 以 点 、 ，从而|PF|=6+2=8 （2010 全国卷 2 文数）（12）已知椭圆 C： （a>b>0）的离心率为 ，过右焦 点 F 且斜率为 k（k>0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若 。则 k = （A）1 （B） （C） （D）2 【 解 析 】 B ： ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 设 ， ，∴ ，直线 AB 方程为 。代入消去 ，∴ ，∴ ， 2 3 3 1 2 + 5 1 2 + 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > b xa 1b b c a − = − 1 5 2e += 1 5 2e −= - 3 4 3 8 3 3( 2)y x= − − ( 2,4 3)A − (6,4 3)P 2 2 2 2 1x y a b + = 3 2 3AF FB=  2 3 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 3AF FB=  1 23y y= − 3 2e = 2 , 3a t c t= = b t= 2 2 24 4 0x y t+ − = 3x sy t= + x 2 2 2( 4) 2 3 0s y sty t+ + − = 2 1 2 1 22 2 2 3 ,4 4 st ty y y ys s + = − = −+ + ，解得 ， （2010 浙江文数）（10）设 O 为坐标原点， , 是双曲线 （a＞0，b＞0）的焦 点，若在双曲线上存在点 P，满足∠ P =60°，∣OP∣= ,则该双曲线的渐近线方程 为 （A）x± y=0 （B） x±y=0 （C）x± =0 （D） ±y=0 解析：选 D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几 何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 （2010 重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平 行于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除 A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除 B （2010 山东文数）（9）已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线 与 、 两点，若线段 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 （A） (B) (C) (D) 答案：B （2010 四川理数）（9）椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 ， 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而|FA|＝ |PF|∈[a－c,a＋c] 2 2 2 22 2 2 32 , 34 4 st ty ys s − = − − = −+ + 2 1 2s = 2k = 1F 2F 2 2 2 2 x y 1a b − = 1F 2F 7a 3 3 2y 2x 2 2 ( 0)y px p= > A B AB 1x = 1x = − 2x = 2x = − 2 2 2 2 1( )x y a ba b + = > > 0 F x F 20, 2      10,2     )2 1,1 − 1,12    F 2 2a bcc c − = 于是 ∈[a－c,a＋c] 即 ac－c2≤b2≤ac＋c2 ∴ ⇒ 又 e∈(0,1) 故 e∈ 答案：D （2010 天津理数）(5)已知双曲线 的一条渐近线方程是 y= , 它的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。 依题意知 ，所以双曲线的方程为 【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部 分内容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。 （2010 广东文数）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的 离心率是 2b c 2 2 2 2 2 2 ac c a c a c ac c  − ≤ − − ≤ + 1 11 2 c a c c a a  ≤  ≤ − ≥ 或 1,12    2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3x 2 24y x= 2 2 136 108 x y− = 2 2 19 27 x y− = 2 2 1108 36 x y− = 2 2 127 9 x y− = 2 2 2 2 2 3 6 9, 27 b a c a b c a b+  =  = ⇒ = =  =  2 2 19 27 x y− = A. B. C. D. （2010 福建文数）11．若点O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 P 为椭圆 上的任意一点，则 的最大值为 A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由题意，F（-1，0），设点 P ，则有 ,解得 ， 因为 ， ，所以 = = ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，选 C。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的 单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 （2010 全国卷 1 文数）（8）已知 、 为双曲线 C: 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ = ，则 (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想， 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos∠ P = 5 4 5 3 5 2 5 1 2 2 14 3 x y+ = OP FP   0 0( , )x y 2 2 0 0 14 3 x y+ = 2 2 0 0 3(1 )4 xy = − 0 0( 1, )FP x y= + 0 0( , )OP x y= 2 0 0 0( 1)OP FP x x y⋅ = + +  0 0( 1)OP FP x x⋅ = + +  2 03(1 )4 x− 2 0 0 34 x x+ + 0 2x = − 02 2x− ≤ ≤ 0 2x = OP FP⋅  22 2 3 64 + + = 1F 2F 2 2 1x y− = 1F P 2F 060 1 2| | | |PF PF = 1F 2F 2 2 2 1 2 1 2 1 2 | | | | | | 2 | || | PF PF F F PF PF + − 4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 4 （2010 全国卷 1 理数）(9)已知 、 为双曲线 C: 的左、右焦点，点P 在 C 上， ∠ P = ，则 P 到 x 轴的距离为 (A) (B) (C) (D) （2010 四川文数）（10）椭圆 的右焦点为 F，其右准线与 轴的 交点为 ．在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围 是 （A）（0， ] （B）（0， ] （C）[ ，1） （D）[ ，1） 解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 ， 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而|FA|＝ |PF|∈[a－c,a＋c] 于是 ∈[a－c,a＋c] 即 ac－c2≤b2≤ac＋c2 ( ) ( )22 2 2 1 21 2 1 2 1 20 1 2 1 2 2 2 2 22 1cos60 2 2 2 PF PFPF PF PF PF F F PF PF PF PF + −− + −⇒ = ⇒ = 1 2| | | |PF PF = 1 2 0 2 2 0 1 2 1 2 60 1 1 3cot 1 cot 3 sin 602 2 2 2 2F PFS b PF PF PF PF θ ∆ = = = = = 1 2| | | |PF PF = 1F 2F 2 2 1x y− = 1F 2F 060 3 2 6 2 3 6 ( )2 2 2 2 1 0x y aa b + = ＞b＞ x A 2 2 1 2 2 1− 1 2 F 2 2a bcc c − = 2b c ∴ ⇒ 又 e∈(0,1) 故 e∈ 答案：D （2010 四川文数）(3)抛物线 的焦点到准线的距离是 (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 解析：由 y2＝2px＝8x 知 p＝4 又交点到准线的距离就是 p 答案：C （2010 湖北文数）9.若直线 与曲线 有公共点，则 b 的取值范围 是 A.[ , ] B.[ ,3] C.[-1, ] D.[ ,3] （2010 山东理数）(7)由曲线 y= ,y= 围成的封闭图形面积为[来源:Www.ks5u.com] （A） (B) (C) (D) 【答案】A 2 2 2 2 2 2 ac c a c a c ac c  − ≤ − − ≤ + 1 11 2 c a c c a a  ≤  ≤ − ≥ 或 1,12    2 8y x= y x b= + 23 4y x x= − − 1 2 2− 1 2 2+ 1 2− 1 2 2+ 1 2 2− 2x 3x 1 12 1 4 1 3 7 12 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 ,故选 A。 【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。 （2010 安徽理数）5、双曲线方程为 ，则它的右焦点坐标为 A、 B、 C、 D、 5.C 【解析】双曲线的 ， ， ，所以右焦点为 . 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用 求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为 或 ，从而得出错误结论. （2010 湖北理数）9.若直线 y=x+b 与曲线 有公共点，则 b 的取值范围是 A. B. C. D. 9．【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 ，即表示圆心为（2，3）半径为 2 的半圆，依据数形结合，当直线 与此半圆相切时须满足圆心（2，3） 到直线 y=x+b 距离等于 2，解得 ，因为是下半圆故可得 （舍），当直线过（0，3）时，解得 b=3,故 所以 C 正确. （2010 福建理数） 1 2 3 0 x -x )dx=∫（ 1 1 11- 1=3 4 12 × × 2 22 1x y− = 2 ,02       5 ,02       6 ,02       ( )3,0 2 2 11, 2a b= = 2 3 2c = 6 2c = 6 ,02       2 2 2c a b= + 2 1b = 2 2b = 23 4y x x= − − 1,1 2 2 − +  1 2 2,1 2 2 − +  1 2 2,3 −  1 2,3 −  2 2( 2) ( 3) 4(1 3)x y y− + − = ≤ ≤ y x b= + 1 2 2 1 2 2b b= + = −或 1 2 2b = + 1 2 2 3,b− ≤ ≤ A． ①④ B． ②③ C．②④　　　　　D．③④ 【答案】C 【解析】经分析容易得出②④正确，故选 C。 【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。 （2010 福建理数）7．若点 O 和点 分别是双曲线 的中心和左焦点, 点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 是已知双曲线的左焦点，所以 ，即 ，所以双曲线方 程为 ，设点 P ，则有 ，解得 ， 因 为 ， ， 所 以 = ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ，因为 ， 所以当 时， 取得最小值 ，故 的取值范 围是 ，选 B。 【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次 函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运 算能力。 ( 2,0)F − 2 2 2 1(a>0)a x y− = OP FP⋅  [3-2 3, )+∞ [3 2 3, )+ +∞ 7[- , )4 +∞ 7[ , )4 +∞ ( 2,0)F − 2 1 4a + = 2 3a = 2 2 13 x y− = 0 0( , )x y 2 20 0 01( 3)3 x y x− = ≥ 2 2 0 0 01( 3)3 xy x= − ≥ 0 0( 2, )FP x y= + 0 0( , )OP x y= 2 0 0 0( 2)OP FP x x y⋅ = + +  0 0( 2)x x + + 2 0 13 x − = 2 0 0 4 2 13 x x+ − 0 3 4x = − 0 3x ≥ 0 3x = OP FP⋅  4 3 2 3 13 × + − = 3 2 3+ OP FP⋅  [3 2 3, )+ +∞ （2010 福建理数）2．以抛物线 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以 圆的半径为 ，故所求圆的方程为 ，即 ，选 D。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。 二、填空题 （2010 上海文数）8.动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则 的 轨迹方程为 y2=8x 。 解析：考查抛物线定义及标准方程 定义知 的轨迹是以 为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为 y2=8x （2010 浙江理数）（13）设抛物线 的焦点为 ，点 .若线段 的中点 在抛物线上，则 到该抛物线准线的距离为 _____________。 解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为 ，B 点坐标为（ ）所 以点 B 到抛物线准线的距离为 ，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易 题 （2010 全国卷 2 理数）（15）已知抛物线 的准线为 ，过 且斜率 为 的直线与 相交于点 ，与 的一个交点为 ．若 ，则 ． 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质. 【解析】过 B 作 BE 垂直于准线 于 E，∵ ，∴M 为中点，∴ ，又 斜率为 ， ，∴ ，∴ ，∴M 为抛物线的焦点，∴ 2. （2010 全国卷 2 文数）(15)已知抛物线 C：y2=2px（p>0）的准线 l，过 M（1,0）且斜率为 2 4y x= 2 2x +y +2x=0 2 2x +y +x=0 2 2x +y -x=0 2 2x +y -2x=0 r=1 2 2x-1) +y =1（ 2 2x -2x+y =0 P (2,0)F 2 0x + = P P (2,0)F 2 2 ( 0)y px p= > F (0,2)A FA B B 2 14 2 ， 3 24 2: 2 ( 0)C y px p= ＞ l (1,0)M 3 l A C B AM MB=  p = l AM MB=  1BM AB2 = 3 0BAE 30∠ = 1BE AB2 = BM BE= p = 的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若 ，则 p=_________ 【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质 设 直 线 AB ： ， 代 入 得 ， 又 ∵ ，∴ ，解得 ，解得 （舍去） （2010 江西理数）15.点 在双曲线 的右支上，若点 A 到右焦点的距 离等于 ，则 = 【答案】 2 【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取 a=2.c=6, , （2010 安徽文数）(12)抛物线 的焦点坐标是 答案： 【解析】抛物线 ，所以 ，所以焦点 . 【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求 ，或求出 后，误认为焦点 ， 还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论. （2010 重庆文数）（13）已知过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 、 两点， ，则 ____________ . 解析：由抛物线的定义可知 故 2 （2010 重庆理数）(14)已知以 F 为焦点的抛物线 上的两点 A、B 满足 ,则弦 AB 的 3 3y x= − 2 2y px= 23 ( 6 2 ) 3 0x p x+ − − + = AM MB=  1 22x p= + 2 4 12 0p P+ − = 2, 6p p= = − 0 0( )A x y， 2 2 14 32 x y− = 02x 0x r ed = 3r d⇒ = 2 0 0 02 3( ) 2ax x xc = − ⇒ = 2 8y x= (2,0) 2 8y x= 4p = (2,0) p p ( ,0)p 2 4y x= F A B 2AF = BF = 1 2AF AA KF= = = AB x∴ ⊥ 轴 AF = BF = 2 4y x= 3AF FB=  中点到准线的距离为___________. 解析：设 BF=m,由抛物线的定义知 中，AC=2m,AB=4m, 直线 AB 方程为 与抛物线方程联立消 y 得 所以 AB 中点到准线距离为 （ 2010 北 京 文 数 ）（ 13 ） 已 知 双 曲 线 的 离 心 率 为 2 ， 焦 点 与 椭 圆 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 答案：( ) （2010 北京理数）（13）已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆 的 焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 答案：（ ，0） （ 2010 天 津 文 数 ）（ 13 ） 已 知 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 是 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同。则双曲线的方程为 。 【答案】 【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。 由渐近线方程可知 ① 因为抛物线的焦点为（4，0），所以 c=4 ② 又 ③ mBBmAA == 11 ,3 ABC∆∴ 3=ABk )1(3 −= xy 03103 2 =+− xx 3 813 512 21 =+=++ xx 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 125 9 x y− = 4,0± 3 0x y+ = 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 125 9 χ γ+ = 4± 3 0x y = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3y x= 2 16y x= 2 2 14 12 x y− = 3b a = 2 2 2c a b= + 联立①②③，解得 ，所以双曲线的方程为 【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中 c 最大。 （2010 福建文数）13． 若双曲线 - =1(b>0)的渐近线方程式为 y= ，则ｂ等 于　　　　　　　　。 【答案】1 【解析】由题意知 ，解得 b=1。 【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。 （2010 全国卷 1 文数）(16)已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 的延长线交 于点 ， 且 ，则 的离心率为 . 16. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与 几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形 结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数 研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题 的捷径. 【解析 1】如图， , 作 轴于点 D1,则由 ，得 ,所以 , 即 ,由椭圆的第二定义得 又由 ,得 【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式 ，设 ，F 分 BD 所成的比为 2， ，代入 2 24, 12a b= = 2 2 14 12 x y− = 2x 4 2 2 y b 1 x2 ± 1 2 2 b = F C B BF C D BF 2FD=  C 3 3 2 2| |BF b c a= + = 1DD y⊥ BF 2FD=  1 | | | | 2 | | | | 3 OF BF DD BD = = 1 3 3| | | |2 2DD OF c= = 3 2D cx = 2 23 3| | ( )2 2 a c cFD e ac a = − = − | | 2 | |BF FD= 232 ,ca a a = − 3 3e⇒ = 2 2 2 2 1x y a b + = ( )2 2,D x y 2 2 2 2 30 2 23 3 3 0;1 2 2 2 1 2 2 2 2 c c c c y bx b y b bx x x c y y −+ + ⋅ −= ⇒ = = = ⇒ = = = −+ + xO y B F 1D D ， （2010 全国卷 1 理数） （ 2010 湖 北 文 数 ） 15. 已 知 椭 圆 的 两 焦 点 为 , 点 满 足 ,则| |+ |的取值范围为_______，直线 与椭圆 C 的公共 点个数_____。 【答案】 【解析】依题意知，点 P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当 P 在原点处时 ，当 P 在椭圆顶点处时，取到 为 ，故范围为 .因为 在椭圆 的内部，则直线 上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0 个. 3.（2010 江苏卷）6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 上一点 M，点 M 的横 坐标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是__________ 2 2 2 2 9 1 14 4 c b a b + = 3 3e⇒ = 2 2: 12 xc y+ = 1 2,F F 0 0( , )P x y 2 20 00 12 x y< + < 1PF 2PF 0 0 12 x x y y+ = [ )2,2 2 ,0 1 2 max(| | | |) 2 PF PF+ = 1 2 max(| | | |)PF PF+ ( 2 1) ( 2 1) =2 2 − + + [ )2,2 2 0 0( , )x y 2 2 12 x y+ = 0 0 12 x x y y ⋅ + ⋅ = 1124 22 =− yx [解析]考查双曲线的定义。 ， 为点 M 到右准线 的距离， =2，MF=4。 三、解答题 （2010 上海文数）23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题 满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 已知椭圆 的方程为 ， 、 和 为 的三个顶 点. （1）若点 满足 ，求点 的坐标； （ 2 ） 设 直 线 交 椭 圆 于 、 两 点 ， 交 直 线 于 点 . 若 ，证明： 为 的中点； （3）设点 在椭圆 内且不在 轴上，如何构作过 中点 的直线 ，使得 与椭圆 的两个交点 、 满足 ？令 ， ，点 的坐 标是（-8，-1），若椭圆 上的点 、 满足 ，求点 、 的坐标. 解析：(1) ； (2) 由方程组 ，消 y 得方程 ， 因为直线 交椭圆 于 、 两点， 所以∆>0，即 ， 设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)， 则 ， 由方程组 ，消 y 得方程(k2−k1)x=p， 4 22 MF ed = = = d 1x = d Γ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (0, )A b (0, )B b− ( ,0)Q a Γ M 1 ( )2AM AQ AB= +   M 1 1:l y k x p= + Γ C D 2 2:l y k x= E 2 1 2 2 bk k a ⋅ = − E CD P Γ x PQ F l l Γ 1P 2P 1 2PP PP PQ+ =   1 2PP PP PQ+ =   10a = 5b = P Γ 1P 2P 1 2PP PP PQ+ =   1P 2P ( , )2 2 a bM − 1 2 2 2 2 1 y k x p x y a b = + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1( ) 2 ( ) 0a k b x a k px a p b+ + + − = 1 1:l y k x p= + Γ C D 2 2 2 2 1 0a k b p+ − > 2 1 2 1 0 2 2 2 1 2 0 1 0 2 2 2 1 2 x x a k px a k b b py k x p a k b  += = − +  = + = + 1 2 y k x p y k x = +  = 又因为 ，所以 ， 故 E 为 CD 的中点； (3) 因为点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上，所以点 F 在椭圆 Γ 内，可以求得直线 OF 的斜率 k2， 由 知 F 为 P1P2 的中点，根据(2)可得直线 l 的斜率 ，从而得直线 l 的 方程． ，直线 OF 的斜率 ，直线 l 的斜率 ， 解方程组 ，消 y：x2−2x−48=0，解得 P1(−6,−4)、P2(8,3)． （2010 湖南文数）19.（本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基 地，视冰川面为平面形，以过 A、B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立 平面直角坐标系（图 4）。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。 （I） 求考察区域边界曲线的方程： （II） 如图 4 所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融 化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以后 每年移动的距离为前一年的 2 倍。问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界线 上？ 2 2 2 1 bk a k = − 2 1 02 2 2 2 1 1 2 2 02 2 2 1 a k ppx xk k a k b b py k x ya k b  = = − = − +  = = = + 1 2PP PP PQ+ =   2 1 2 2 bk a k = − 1(1, )2F − 2 1 2k = − 2 1 2 2 1 2 bk a k = − = 2 2 1 12 1100 25 y x x y  = −  + = 1 2PP （2010 浙江理数）(21) （本题满分 15 分）已知 m＞1，直线 ，椭圆 ， 分别为椭圆 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线 过右焦点 时，求直线 的方程； （Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点， ， 的重心分别为 .若原点 在以线段 为直径的圆内，求实 数 的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考 察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （Ⅰ）解：因为直线 经过 ，所以 , 得 ， 2 : 02 ml x my− − = 2 2 2: 1xC ym + = 1, 2F F C l 2F l l C ,A B 1 2AF F 1 2BF F ,G H O GH m :l 2 02 mx my− − = 2 2 ( 1,0)F m − 2 2 1 2 mm − = 2 2m = 又因为 ，所以 ， 故直线 的方程为 。 （Ⅱ）解：设 。 由 ，消去 得 则由 ，知 ， 且有 。 由于 ， 故 为 的中点， 由 ， 可知 设 是 的中点，则 ， 由题意可知 即 即 而 1m > 2m = l 2 22 02x y− − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 2 2 1 mx my x ym  = +  + = x 2 22 1 04 my my+ + − = 2 2 28( 1) 8 04 mm m∆ = − − = − + > 2 8m < 2 1 2 1 2 1,2 8 2 m my y y y+ = − = − 1 2( ,0), ( ,0),F c F c− O 1 2F F 2 , 2AG GO BH HO= =    1 1 2 1( , ), ( , ),3 3 3 3 x y x yG h 2 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 9 9 x x y yGH − −= + M GH 1 2 1 2( , )6 6 x x y yM + + 2 ,MO GH< 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )4[( ) ( ) ]6 6 9 9 x x y y x x y y+ + − −+ < + 1 2 1 2 0x x y y+ < 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( )2 2 m mx x y y my my y y+ = + + + 所以 即 又因为 且 所以 。 所以 的取值范围是 。 （2010 全国卷 2 理数）（21）（本小题满分 12 分） 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： 相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为 ． （Ⅰ）求 C 的离心率； （Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F， ，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切． 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础 知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】 2 2 1( 1 ( )8 2 mm= + −） 2 1 08 2 m − < 2 4m < 1m > 0∆ > 1 2m< < m (1,2) ( )2 2 2 2 1 0 0x y a ba b − = ＞ ， ＞ ( )1,3M 17DF BF = 【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为 背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定. （2010 陕西文数）20.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)设 n 为过原点的直线，l 是与 n 垂直相交与点 P，与椭圆相交 于 A,B 两点的直线 立？若存在，求出直线 l 的方程；并说出；若不存在，请说明理由。 （2010 辽宁文数）（20）（本小题满分 12 分） 设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 相交于 , 两点，直线 的倾斜角为 ， 到直线 的距离为 . （Ⅰ）求椭圆 的焦距； （Ⅱ）如果 ,求椭圆 的方程. 解：（Ⅰ）设焦距为 ，由已知可得 到直线 l 的距离 所以椭圆 的焦距为 4. （Ⅱ）设 直线 的方程为 联立 解得 因为 即 得 故椭圆 的方程为 （2010 辽宁理数）(20)（本小题满分 12 分） 设椭圆 C： 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o, . 1F 2F 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > 2F l C A B l 60 1F l 2 3 C 2 22AF F B=  C 2c 1F 3 2 3, 2.c c= =故 C 1 1 2 2 1 2( , ), ( , ), 0, 0,A x y B x y y y< >由题意知 l 3( 2).y x= − 2 2 2 2 42 2 2 2 3( 2), (3 ) 4 3 3 0. 1 y x a b y b y bx y a b  = − + + − = + = 得 2 2 1 22 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 ), .3 3 b a b ay ya b a b − + − −= =+ + 2 2 1 22 , 2 .AF F B y y= − =  所以 2 2 2 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 )2 .3 3 b a b a a b a b + − −= ⋅+ + 2 23. 4, 5.a a b b= − = =而 所以 C 2 2 1.9 5 x y+ = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2AF FB=  (I) 求椭圆 C 的离心率； (II) 如果|AB|= ，求椭圆 C 的方程. 解： 设 ，由题意知 ＜0， ＞0. （Ⅰ）直线 l 的方程为 ，其中 . 联立 得 解得 因为 ，所以 . 即 得离心率 . ……6 分 （Ⅱ）因为 ，所以 . 由 得 .所以 ，得 a=3， . 椭圆 C 的方程为 . ……12 分 （2010 全国卷 2 文数）（22）（本小题满分 12 分） 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C： 相交于 B、D 两点，且 BD 的 中点为 M（1.3） （Ⅰ）（Ⅰ）求 C 的离心率； （Ⅱ）（Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|·|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。 【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。 （1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BD 两点的中点为（1， 3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,B 的关系式即求得离心率。 （2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含 A 的代数式表示，即可求得 A，则 A 点坐标可得 15 4 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1y 2y 3( )y x c= − 2 2c a b= − 2 2 2 2 3( ), 1 y x c x y a b  = − + = 2 2 2 2 4(3 ) 2 3 3 0a b y b cy b+ + − = 2 2 1 22 2 2 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 ),3 3 b c a b c ay ya b a b − + − −= =+ + 2AF FB=  1 22y y− = 2 2 2 2 2 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 )23 3 b c a b c a a b a b + − −= •+ + 2 3 ce a = = 2 1 11 3AB y y= + − 2 2 2 2 4 3 15 3 43 ab a b • =+ 2 3 c a = 5 3b a= 5 15 4 4a = 5b = 2 2 19 5 x y+ = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > （1，0），由于 A 在 X 轴上所以，只要证明 2AM=BD 即证得。 （2010 江西理数）21. （本小题满分 12 分） 设椭圆 ，抛物线 。 （1） 若 经过 的两个焦点，求 的离心率； （2） 设 A（0，b）， ,又 M、N 为 与 不在 y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为 ，且△QMN 的重心在 上，求椭圆 和抛物线 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 （1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： ，由 。 (2) 由 题 设 可 知 M 、 N 关 于 y 轴 对 称 ， 设 ,由 的垂心为 B，有 。 由点 在抛物线上， ，解得： 故 ，得 重心坐标 . 由重心在抛物线上得： ， ，又因为 M、N 在椭圆上得： ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 。 （2010 安徽文数）17、（本小题满分 12 分） 椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴， 焦点 在 轴上，离心率 。 (Ⅰ)求椭圆 的方程； 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2 :C x by b+ = 2C 1C 1C 53 3 4Q    ， 1C 2C 3 4B b    0， 2C 1C 2C 2 2c b= 2 2 2 2 2 2 1 22 , 2 2 ca b c c ea = + = = ⇒ =有 1 1 1 1 1( , ), ( , )( 0)M x y N x y x− > AMN∆ 2 1 1 1 30 ( )( ) 04BM AN x y b y b⋅ = ⇒ − + − − =  1 1( , )N x y 2 2 1 1x by b+ = 1 1 ( )4 by y b= − =或 舍去 1 5 5 5, ( , ), ( , )2 2 4 2 4 b bx b M b N b= − − − QMN∆ ( 3, )4 b 2 23 , =24 b b b+ = 所以 1 1( 5, ), ( 5, )2 2M N− − − 2 16 3a = 2 2 16 3 14 x y+ = 2 2 4x y+ = E ( )2,3A 1 2,F F x 1 2e = E (Ⅱ)求 的角平分线所在直线的方程。 17.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方 程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力. 【解题指导】（1）设椭圆方程为 ，把点 代入椭圆方程，把离心率 用 表示，再根据 ，求出 ，得椭圆方程；（2）可以设直线 l 上任一点 坐标为 ，根据角平分线上的点到角两边距离相等得 . 解：（Ⅰ）设椭圆 E 的方程为 【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为 ，根据题目满足的条件 求出 ，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线 的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程. （2010 重庆文数）（21）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分. ） 已知以原点 为中心， 为右焦点的双曲线 的离心率 . （Ⅰ）求双曲线 的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题（21）图，已知过点 的直线 ： 与过点 （其中 ）的直线 ： 的交点 在双曲线 上，直线 与双曲线的 两条渐近线分别交于 、 两点，求 的值. 1 2F AF∠ 2 2 2 2 1x y a b + = ( )2,3A 1 2e = ,a c 2 2 2a b c+ = 2 2,a b ( , )x y | 3 4 6 | | 2 |5 x y x − + = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1. 1 1, , 3 , 1.2 2 4 3 1 3 1, 2, 1.16 12 3( ) ( 2,0), (2,0), ( 2),4 3 4 6 0. 2. x y a b c x ye b a c ca c c A c Ec c x y F AF x x y AF x E AF + = = = = − = ∴ + = + = = ∴ + = ∏ Ι − + − + = = ∠ 由 得 将（2，3）代入，有 解得： 椭圆 的方程为 由（ ）知F 所以直线 的方程为y= 即 直线 的方程为 由椭圆 的图形知， F 的角平分线所在直线的斜率为正 1 2 1 2 3 4 6 25 3 4 6 5 10, 2 8 0, x yAF x x y x x y AF − +∠ = − − + = − + − = ∠ 数。 设P（x, y）为 F 的角平分线所在直线上任一点，则有 若 得 其斜率为负，不合题意，舍去。 于是3x- 4y+6=- 5x+10, 即2x- y- 1=0. 所以， F 的角平分线所在直线的方程为2x- y- 1=0. 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2,a b O ( 5,0)F C 5 2e = C 1 1( , )M x y 1l 1 14 4x x y y+ = 2 2( , )N x y 2 1x x≠ 2l 2 24 4x x y y+ = E C MN G H OG OH   （2010 浙江文数）（22）、（本题满分 15 分）已知 m 是非零实数，抛物线 （p>0） 的焦点 F 在直线 上。 （I）若 m=2，求抛物线 C 的方程 （II）设直线 与抛物线 C 交于 A、B，△A , △ 的重心分别为 G,H 求证：对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。 2: 2C y ps= 2 : 02 ml x my− − = l 2A F 1BB F （2010 重庆理数）（20）（本小题满分 12 分， （I）小问 5 分，（II）小问 7 分） 已知以原点 O 为中心， 为右焦点 的双曲线 C 的离心率 。 ( )5,0F 5 2e = （I） 求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程； （II） 如题（20）图，已知过点 的直线 与过点 （其中 ）的直线 的交点 E 在双曲线 C 上，直线 MN 与 两条渐近线分别交与 G、H 两点，求 的面积。 ( )1 1,M x y 1 1 1: 4 4l x x y y+ = ( )2 2,N x y 2x x≠ 2 2 2: 4 4l x x y y+ = OGH∆ （2010 山东文数）（22）（本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆 过点. ，离心率为 ，左、右焦点分别为 、 .点 为直线 上且不在 轴上的任意 一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 、 和 、 ， 为坐标原点. （I）求椭圆的标准方程； （II）设直线 、 的斜线分别为 、 . （i）证明： ； （ii）问直线 上是否存在点 ，使得直线 、 、 、 的斜率 、 、 、 满足 ？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标； 若不存在，说明理由. 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b + = > > 2(1, )2 2 2 1F 2F P : 2l x y+ = x 1PF 2PF A B C D O 1PF 2PF 1k 2k 1 2 1 3 2k k − = l P OA OB OC OD OAk OBk OCk ODk 0OA OB OC ODk k k k+ + + = P （2010 北京文数）（19）（本小题共 14 分） 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ， ，离心率是 ，直线 y=t 椭 圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标； （Ⅲ）设 Q（x，y）是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值。 解：（Ⅰ）因为 ，且 ，所以 所以椭圆 C 的方程为 （Ⅱ）由题意知 由 得 所以圆 P 的半径为 解得 所以点 P 的坐标是（0， ） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆 P 的方程 。因为点 在圆 P 上。所以 ( 2,0)− ( 2,0) 6 3 6 3 c a = 2c = 2 23, 1a b a c= = − = 2 2 13 x y+ = (0, )( 1 1)p t t− < < 2 2 13 y t x y = + = 23(1 )x t= ± − 23(1 )t− 3 2t = ± 3 2 ± 2 2 2( ) 3(1 )x y t t+ − = − ( , )Q x y 2 2 23(1 ) 3(1 )y t t x t t= ± − − ≤ + − 设 ，则 当 ，即 ，且 ， 取最大值 2. （2010 北京理数）（19）（本小题共 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程； (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。 （I）解：因为点 B 与 A 关于原点 对称，所以点 得坐标为 . 设点 的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点 的轨迹方程为 （II）解法一：设点 的坐标为 ，点 ， 得坐标分别为 , . 则直线 的方程为 ，直线 的方程为 令 得 ， . 于是 得面积 又直线 的方程为 ， ， 点 到直线 的距离 . 于是 的面积 cos , (0, )t θ θ π= ∈ 23(1 ) cos 3sin 2sin( )6t t πθ θ θ+ − = + = + 3 πθ = 1 2t = 0x = y 1 3 − ( 1,1)− O B (1, 1)− P ( , )x y 1 1 1 1 1 3 y y x x − + = −+ − 2 23 4( 1)x y x+ = ≠ ± P 2 23 4( 1)x y x+ = ≠ ± P 0 0( , )x y M N (3, )My (3, )Ny AP 0 0 11 ( 1)1 yy xx −− = ++ BP 0 0 11 ( 1)1 yy xx ++ = −− 3x = 0 0 0 4 3 1M y xy x + −= + 0 0 0 2 3 1N y xy x − += − PMN 2 0 0 0 0 2 0 | | (3 )1 | | (3 )2 | 1|PMN M N x y xS y y x x + −= − − = − AB 0x y+ = | | 2 2AB = P AB 0 0| | 2 x yd += PAB 0 0 1 | | | |2PABS AB d x y= = +   当 时，得 又 ， 所以 = ，解得 。 因为 ，所以 故存在点 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 . 解法二：若存在点 使得 与 的面积相等，设点 的坐标为 则 . 因为 , 所以 所以 即 ，解得 因为 ，所以 故存在点 S 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 . （2010 四川理数）（20）（本小题满分 12 分） 已知定点 A(－1，0)，F(2，0)，定直线 l：x＝ ，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它 到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由. 本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理 运算能力. 解：(1)设 P(x,y)，则 PAB PMNS S=   2 0 0 0 0 0 2 0 | | (3 )| | | 1| x y xx y x + −+ = − 0 0| | 0x y+ ≠ 2 0(3 )x− 2 0| 1|x − 0 5| 3x = 2 2 0 03 4x y+ = 0 33 9y = ± P PAB PMN P 5 33( , )3 9 ± P PAB PMN P 0 0( , )x y 1 1| | | | sin | | | | sin2 2PA PB APB PM PN MPN∠ = ∠  sin sinAPB MPN∠ = ∠ | | | | | | | | PA PN PM PB = 0 0 0 | 1| | 3 | | 3 | | 1| x x x x + −=− − 2 2 0 0(3 ) | 1|x x− = − 0x 5 3 = 2 2 0 03 4x y+ = 0 33 9y = ± P PAB PMN P 5 33( , )3 9 ± 1 2 2 2 1( 2) 2 | |2x y x− + = − 化简得 x2－ =1(y≠0)………………………………………………………………4 分 (2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时，设 BC 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0) 与双曲线 x2－ =1 联立消去 y 得 (3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 由题意知 3－k2≠0 且△＞0 设 B(x1,y1),C(x2,y2)， 则 y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4] ＝k2( ＋4) ＝ 因为 x1、x2≠－1 所以直线 AB 的方程为 y＝ (x＋1) 因此 M 点的坐标为( ) ,同理可得 因此 ＝ ＝0 ②当直线 BC 与 x 轴垂直时，起方程为 x＝2，则 B(2,3),C(2,－3) AB 的方程为 y＝x＋1,因此 M 点的坐标为( )， 2 3 y 2 3 y 2 1 2 2 2 1 2 2 4 3 4 3 3 kx x k kx x k  + = − + = − 2 2 2 2 4 3 8 3 3 k k k k + −− − 2 2 9 3 k k − − 1 1 1 y x + 1 1 31 ,2 2( 1) y x + 1 1 33( , )2 2( 1) yFM x = − +  2 2 33( , )2 2( 1) yFN x = − +  2 1 2 1 2 93( )2 2( 1)( 1) y yFM FN x x = − + + +    2 2 2 2 2 2 81 4 3 4 3 49 4( 1)3 3 k k k k k k − −+ + + +− − 1 3,2 2 3 3( , )2 2FM = − 同理可得 因此 ＝0 综上 ＝0，即 FM⊥FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F………………………………………………12 分 （2010 天津文数）（21）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 （a>b>0）的离心率 e= ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. （i）若 ，求直线 l 的倾斜角； （ii）若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，且 .求 的值. 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、 直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14 分. （Ⅰ）解：由 e= ，得 .再由 ，解得 a=2b. 由题意可知 ，即 ab=2. 解方程组 得 a=2，b=1. 所以椭圆的方程为 . (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 ，直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）. 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理，得 . 3 3( , )2 2FN = − − 23 3 3( ) ( )2 2 2FM FN = − + × −   FM FN   2 2 2 2 1x y a b + = 3 2 4 2AB 5| | = y0（0， ） QA QB=4   y0 3 2 c a = 2 23 4a c= 2 2 2c a b= − 1 2 2 42 a b× × = 2 , 2, a b ab =  = 2 2 14 x y+ = 1 1( , )x y 2 2 ( 2), 1.4 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k+ + + − = 由 ，得 .从而 . 所以 . 由 ，得 . 整理得 ，即 ，解得 k= . 所以直线 l 的倾斜角为 或 . （ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为 . 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0），线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 由 ，得 。 （2）当 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 。 令 ，解得 。 由 ， ， ， 整理得 。故 。所以 。 综上， 或 （2010 天津理数）（20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 2 1 2 16 42 1 4 kx k −− = + 2 1 2 2 8 1 4 kx k −= + 1 2 4 1 4 ky k = + 2 22 2 2 2 2 2 8 4 4 1| | 2 1 4 1 4 1 4 k k kAB k k k  − + = − − + =   + + +   4 2| | 5AB = 2 2 4 1 4 2 1 4 5 k k + =+ 4 232 9 23 0k k− − = 2 2( 1)(32 23) 0k k− + = 1± 4 π 3 4 π 2 2 2 8 2,1 4 1 4 k k k k  − + +  ( ) ( )0 02, , 2, .QA y QB y= − − = −  4QA QB• =  y 2 2= ±0 0k ≠ 2 2 2 2 1 8 1 4 1 4 k ky xk k k  − = − + + +  0x = 0 2 6 1 4 ky k = − + ( )02,QA y= − − ( )1 1 0,QB x y y= − ( ) ( )2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 8 6 4 62 1 4 1 4 1 4 1 4 k k k kQA QB x y y y k k k k − −  • = − − − = + + + + + +    ( ) ( ) 4 2 22 4 16 15 1 4 1 4 k k k + − = = + 27 2k = 14 7k = ± 0 2 14 5y = ± 0 2 2y = ± 0 2 14 5y = ± 2 2 2 2 1( 0x y a ba b + = > > ） 3 2e = 为 4。 （1） 求椭圆的方程； （2） 设直线 与椭圆相交于不同的两点 ，已知点 的坐标为（ ），点 在线段 的垂直平分线上，且 ，求 的值 【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识， 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12 分 （1）解：由 ，得 ，再由 ，得 由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1 所以椭圆的方程为 (2)解：由（1）可知 A（-2,0）。设 B 点的坐标为（x1,,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的 方程为 y=k(x+2), 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 由方程组消去 Y 并整理，得 由 得 设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0）。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 l ,A B A ,0a− 0(0, )Q y AB 4QA QB =   0y 3e 2 c a = = 2 23 4a c= 2 2 2c a b= − 2a b= 1 2 2 4, 22 a b ab× × = =即 2 2 a b ab =  = 2 2 14 x y+ = 2 2 ( 2) 14 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 16 42 ,1 4 kx k −− = + 2 1 12 2 2 8 4, ,1 4 1 4 k kx yk k −= =+ +从而 2 2 2 8 2( , )1 4 1 4 k k k k − + + 0 0 0( 2, y ), (2, = 2QA QB y QA QB y → → → → = − − = − ±）由 4，得 = 2 （2）当 K 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 令 x=0，解得 由 整理得 综上 （2010 广东理数） 21．（本小题满分 14 分） 设 A( ),B( )是平面直角坐标系 xOy 上的两点，先定义由点 A 到点 B 的一种折 线距离 p(A,B)为 . 0≠ 2 2 2 2 1 8( )1 4 1 4 k kY xk k k − = ++ + 0 2 6 1 4 ky k = + 0 1 1 0( 2, y ), ( ,QA QB x y y → → = − − = − ） 2 1 0 1 0 2 2 2 2 2(2 8 ) 6 4 62 ( ( )1 4 1 4 1 4 1 4 k k k kQA QB x y y y k k k k → → − −= − − − + ++ + + + ）= 4 2 2 2 4(16 15 1) 4(1 4 ) k k k + − =+= 2 0 14 2 147 2, =7 5k k y= = ± ±故 所以 0 0 2 14= 2 2 = 5y y± ±或 1 1,x y 2 2,x y 2 1 2 1( , ) | | | |P A B x x y y= − + − 当且仅当 时等号成立，即 三点共线时 等号成立. （2）当点 C(x, y) 同时满足①P +P = P ，②P = P 时，点 是 线段 的中点. ，即存在点 满足条件。 （2010 广东理数）20．（本小题满分为 14 分） 一条双曲线 的左、右顶点分别为 A1,A2，点 ， 是双曲线上 不同的两个动点。 （1）求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式； （2）若过点 H(0, h)（h>1）的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点，且 ,求 h 的值。 故 ，即 。 （2）设 ，则由 知， 。 将 代入 得 ，即 ， 由 与 E 只有一个交点知， ，即 。 同理，由 与 E 只有一个交点知， ，消去 得 ，即 ，从 1 2 1 2( )( ) 0,( )( ) 0x x x x y y y y− − ≥ − − ≥ , ,A B C ( , )A C ( , )C B ( , )A B ( , )A C ( , )C B C AB 1 2 1 2,2 2 x x y yx y + += = 1 2 1 2( , )2 2 x x y yC + + 2 2 12 x y− = 1 1( , )P x y 1 1( , )Q x y− 1 2l l⊥ 2 21 ( 2)2y x= − − 2 2 12 x y+ = 1 :l y kx h= + 1 2l l⊥ 2 1:l y x hk = − + 1 :l y kx h= + 2 2 12 x y+ = 2 2( ) 12 x kx h+ + = 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x khx h+ + + − = 1l 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k h k h∆ = − + − = 2 21 2k h+ = 2l 2 2 11 2 hk + ⋅ = 2h 2 2 1 kk = 2 1k = 而 ，即 。 （2010 广东文数）21.（本小题满分 14 分） 已知曲线 ,点 是曲线 上的点 ， 2 21 2 3h k= + = 3h = 2: nxyCn = ),( nnn yxP )0,0( >> nn yx nC ,...)2,1( =n （2010 福建文数）19．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C： 过点 A （1 , -2）。 （I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； （II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 L，使得直线 L 与抛物线 C 有公共点， 且直线 OA 与 L 的距离等于 ？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由。 2 2 ( 0)y px p= > 5 5 （2010 全国卷 1 理数）（21）(本小题满分 12 分) 已知抛物线 的焦点为 F，过点 的直线 与 相交于 、 两点， 点 A 关于 轴的对称点为 D. （Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上； （Ⅱ）设 ，求 的内切圆 M 的方程 . 2: 4C y x= ( 1,0)K − l C A B x 8 9FA FB =   BDK∆ （2010 四川文数）（21）（本小题满分 12 分） 已知定点 A(－1，0)，F(2，0)，定直线 l：x＝ ，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它 到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由. 1 2 （2010 湖北文数）20.（本小题满分 13 分） 已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上没一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都 是 1。 （Ⅰ）求曲线 C 的方程 （Ⅱ）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线， 都有 ＜0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。FA·FB  （2010 山东理数）（21）（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦 点 为顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为 该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 . 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = ＞ ＞ 2 2 1 2,F F 4( 2 1)+ P 1PF 2PF BA、 C D、 （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ； （Ⅲ）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值；若不 存在，请说明理由. 【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为 ，得 ，又 ， 所以可解得 ， ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ； 所以椭圆的焦点坐标为（ ，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所 以该双曲线的标准方程为 。 1PF 2PF 1k 2k 1 2· 1k k = λ ·AB CD AB CDλ+ = λ c a = 2 2 2a c= 2 2a c+ = 4( 2 1)+ 2 2a = 2c = 2 2 2 4b a c= − = 2 2 18 4 x y+ = 2± 2 2 14 4 x y− = 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线 的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题 （3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能 力， （2010 湖南理数）19.（本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地。 视冰川面为平面形，以过 A,B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面 直角坐标系（图 6）在直线 x=2 的右侧，考察范围为到点 B 的距离不超过 km 区域；在直 6 5 5 线 x=2 的左侧，考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过 km 区域。 （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图 6 所示，设线段 P1P2,P2P3 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川 融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km,以后每年移动的 距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。 4 5 化 融 区 域 2 8 3P - 63       ， P3(8,6) 已 冰 B（4，0）A（-4,0） x（ 5 3− ，-1）P1 （2010 湖北理数）19(本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程； （Ⅱ）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都 有 ？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。 （2010 安徽理数）19、（本小题满分 13 分） 已知椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴，焦点 在 轴上，离心率 。 (Ⅰ)求椭圆 的方程； (Ⅱ)求 的角平分线所在直线 的方程； (Ⅲ)在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异两点？ 若存在，请找出；若不存在，说明理由。 0FA FB• <  E ( )2,3A 1 2,F F x 1 2e = E 1 2F AF∠ l E l （2010 江苏卷）18、（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B，右焦点为 F。设过点 T（ ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、 ，其中 m>0, 。 （1）设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹； （2）设 ，求点 T 的坐标； （3）设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐 标与 m 无关）。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 （1）设点 P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 由 ，得 化简得 。 故所求点 P 的轨迹为直线 。 xoy 159 22 =+ yx mt, ),( 11 yx ),( 22 yxN 0,0 21 <> yy 422 =− PBPF 3 1,2 21 == xx 9=t 422 =− PBPF 2 2 2 2( 2) [( 3) ] 4,x y x y− + − − + = 9 2x = 9 2x = （2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ）、N（ ， ） 直线 MTA 方程为： ，即 ， 直线 NTB 方程为： ，即 。 联立方程组，解得： ， 所以点 T 的坐标为 。 （3）点 T 的坐标为 直线 MTA 方程为： ，即 ， 直线 NTB 方程为： ，即 。 分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ， 解得： 、 。 （方法一）当 时，直线 MN 方程为： 令 ，解得： 。此时必过点 D（1，0）； 当 时，直线 MN 方程为： ，与 x 轴交点为 D（1，0）。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0）。 （方法二）若 ，则由 及 ，得 ， 此时直线 MN 的方程为 ，过点 D（1，0）。 3 1,2 21 == xx 0,0 21 <> yy 5 3 1 3 20 9 − 0 3 5 2 303 y x− += +− 1 13y x= + 0 3 20 10 39 3 y x− −= − − − 5 5 6 2y x= − 7 10 3 x y = = 10(7, )3 (9, )m 0 3 0 9 3 y x m − +=− + ( 3)12 my x= + 0 3 0 9 3 y x m − −=− − ( 3)6 my x= − 159 22 =+ yx 1 23, 3x x≠ − ≠ 2 2 2 3(80 ) 40( , )80 80 m mM m m − + + 2 2 2 3( 20) 20( , )20 20 m mN m m − −+ + 1 2x x≠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 3( 20) 20 20 40 20 3(80 ) 3( 20) 80 20 80 20 m my xm m m m m m m m m m −+ −+ += − −+ −+ + + + 0y = 1x = 1 2x x= 1x = 1 2x x= 2 2 2 2 240 3 3 60 80 20 m m m m − −=+ + 0m > 2 10m = 1x = 若 ，则 ，直线 MD 的斜率 ， 直线 ND 的斜率 ，得 ，所以直线 MN 过 D 点。 因此，直线 MN 必过 轴上的点（1，0）。 （2010 福建理数）17．（本小题满分 13 分） 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2，3），且点 F（2，0）为其右焦点。 （1）求椭圆 C 的方程； （2）是否存在平行于 OA 的直线 ，使得直线 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 的距离等 于 4？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。 【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力， 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【解析】（1）依题意，可设椭圆 C 的方程为 ，且可知左焦点为 1 2x x≠ 2 10m ≠ 2 2 2 2 40 1080 240 3 40180 MD m mmk m m m += =− −−+ 2 2 2 2 20 1020 3 60 40120 ND m mmk m m m − += =− −−+ MD NDk k= x l l l l 2 2 2 2 1(a>0,b>0)x y a b + =