2016年北京市高考数学试卷(理科)

2016年北京市高考数学试卷(理科)

‎2016年北京市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}‎ ‎2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（　　）‎ A．0 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．（5分）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（　　）‎ A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0‎ ‎6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎7．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（　　）‎ A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为 C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为 ‎8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　）‎ A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎　‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=　　．‎ ‎10．（5分）在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为　　．（用数字作答）‎ ‎11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=　　．‎ ‎12．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=　　．‎ ‎13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=　　．‎ ‎14．（5分）设函数f（x）=．‎ ‎①若a=0，则f（x）的最大值为　　；‎ ‎②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（13分）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．‎ ‎（Ⅰ）求∠B的大小；‎ ‎（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．‎ ‎16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：‎ A班 ‎6 6.5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎（Ⅰ）试估计C班的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）‎ ‎17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．‎ ‎18．（13分）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调区间．‎ ‎19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．‎ ‎20．（13分）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．‎ ‎（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G（A）≠∅；‎ ‎（Ⅲ）证明：若数列A满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．‎ ‎　‎ ‎2016年北京市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）（2016•北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}‎ 解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，‎ B={﹣1，0，1，2，3}，‎ ‎∴A∩B={﹣1，0，1}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2016•北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（　　）‎ A．0 B．3 C．4 D．5‎ 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 设z=2x+y得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，‎ 此时z最大．‎ 由，解得，即A（1，2），‎ 代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．‎ 即目标函数z=2x+y的最大值为4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解：输入的a值为1，则b=1，‎ 第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；‎ 第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；‎ 第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，‎ 故输出的k值为2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．（5分）（2016•北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；‎ 若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；‎ 故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2016•北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（　　）‎ A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0‎ 解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，‎ 棱锥的底面面积S=×1×1=，‎ 高为1，‎ 故棱锥的体积V==，‎ 故选：A ‎　‎ ‎7．（5分）（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（　　）‎ A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为 C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为 解：将x=代入得：t=sin=，‎ 将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，‎ 得到P′（﹣s，）点，‎ 若P′位于函数y=sin2x的图象上，‎ 则sin（﹣2s）=cos2s=，‎ 则2s=+2kπ，k∈Z，‎ 则s=+kπ，k∈Z，‎ 由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　）‎ A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 解：取两个球共有4种情况：‎ ‎①红+红，则乙盒中红球数加1个；‎ ‎②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；‎ ‎③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；‎ ‎④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．‎ 设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a．‎ 则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；‎ 丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；‎ 黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j 由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．（5分）（2016•北京）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=　﹣1　．‎ 解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，‎ 若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，‎ 则a+1=0，‎ 解得：a=﹣1，‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2016•北京）在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为　60　．（用数字作答）‎ 解：（1﹣2x）6的展开式中，通项公式Tr+1=（﹣2x）r=（﹣2）rxr，‎ 令r=2，则x2的系数==60．‎ 故答案为：60．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2016•北京）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=　2　．‎ 解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣y﹣1=0．‎ 圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．‎ 则圆心C在直线上，∴|AB|=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2016•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=　6　．‎ 解：∵{an}为等差数列，Sn为其前n项和．‎ a1=6，a3+a5=0，‎ ‎∴a1+2d+a1+4d=0，‎ ‎∴12+6d=0，‎ 解得d=﹣2，‎ ‎∴S6==36﹣30=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2016•北京）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=　2　．‎ 解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，‎ ‎∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，‎ 即a=b，‎ ‎∵正方形OABC的边长为2，‎ ‎∴OB=2，即c=2，‎ 则a2+b2=c2=8，‎ 即2a2=8，‎ 则a2=4，a=2，‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016•北京）设函数f（x）=．‎ ‎①若a=0，则f（x）的最大值为　2　；‎ ‎②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣1）　．‎ 解：①若a=0，则f（x）=，‎ 则f′（x）=，‎ 当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，‎ 当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，‎ 故当x=﹣1时，f（x）的最大值为2；‎ ‎②f′（x）=，‎ 令f′（x）=0，则x=±1，‎ 若f（x）无最大值，则，或，‎ 解得：a∈（﹣∞，﹣1）．‎ 故答案为：2，（﹣∞，﹣1）‎ ‎　‎ 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（13分）（2016•北京）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．‎ ‎（Ⅰ）求∠B的大小；‎ ‎（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．‎ 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．‎ ‎∴a2+c2﹣b2=ac．‎ ‎∴cosB===，‎ ‎∴B=‎ ‎（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，‎ ‎∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）‎ ‎=cosA﹣cosA+sinA ‎=cosA+sinA ‎=sin（A+）．‎ ‎∵A∈（0，），‎ ‎∴A+∈（，π），‎ 故当A+=时，sin（A+）取最大值1，‎ 即cosA+cosC的最大值为1．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）（2016•北京）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：‎ A班 ‎6 6.5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎（Ⅰ）试估计C班的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）‎ 解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，‎ 故抽样比K==，‎ 故C班有学生8÷=40人，‎ ‎（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，‎ 共有5×8=40种情况，‎ 而且这些情况是等可能发生的，‎ 当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；‎ 当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；‎ 当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；‎ 当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；‎ 当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；‎ 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P==；‎ ‎（Ⅲ）μ0＞μ1．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2016•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．‎ ‎（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ 且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，‎ ‎∵PD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD，‎ 又PD⊥PA，且PA∩AB=A，‎ ‎∴PD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，‎ ‎∵CD=AC=，‎ ‎∴CO⊥AD，‎ 又∵PA=PD，‎ ‎∴PO⊥AD．‎ 以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：‎ 则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），‎ 则，，‎ 设为平面PCD的法向量，‎ 则由，得，则．‎ 设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；‎ ‎（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），‎ 由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，‎ 则有，可得M（0，1﹣λ，λ），‎ ‎∴，‎ ‎∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，‎ ‎∴，即，解得．‎ 综上，存在点M，即当时，M点即为所求．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2016•北京）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调区间．‎ 解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，‎ ‎∴当x=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，‎ 同时f′（2）=e﹣1，‎ ‎∵f（x）=xea﹣x+bx，‎ ‎∴f′（x）=ea﹣x﹣xea﹣x+b，‎ 则，‎ 即a=2，b=e；‎ ‎（Ⅱ）∵a=2，b=e；‎ ‎∴f（x）=xe2﹣x+ex，‎ ‎∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，‎ f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，‎ 由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，‎ 即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，‎ ‎∴f′（x）＞0恒成立，‎ 即函数f（x）是增函数，‎ 即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2016•北京）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．‎ 解：（Ⅰ）由题意可得e==，‎ 又△OAB的面积为1，可得ab=1，‎ 且a2﹣b2=c2，‎ 解得a=2，b=1，c=，‎ 可得椭圆C的方程为+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），‎ 可得x02+4y02=4，‎ 直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，‎ 则|BM|=|1+|；‎ 直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，‎ 则|AN|=|2+|．‎ 可得|AN|•|BM|=|2+|•|1+|‎ ‎=||=||‎ ‎=||=4，‎ 即有|AN|•|BM|为定值4．‎ 证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），‎ 直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，‎ 则|BM|=||；‎ 直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，‎ 则|AN|=||．‎ 即有|AN|•|BM|=||•||‎ ‎=2||‎ ‎=2||=4．‎ 则|AN|•|BM|为定值4．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2016•北京）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．‎ ‎（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G（A）≠∅；‎ ‎（Ⅲ）证明：若数列A满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．‎ 解：（Ⅰ）根据题干可得，a1=﹣2，a2=2，a3=﹣1，a4=1，a5=3，a1＜a2满足条件，2满足条件，a2＞a3不满足条件，3不满足条件，‎ a2＞a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G（A）={2，5}．‎ ‎（Ⅱ）因为存在an＞a1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则ak＞a1≥ai，其中2≤i≤k﹣1，所以k∈G（A），G（A）≠∅；‎ ‎（Ⅲ）设A数列的所有“G时刻”为i1＜i2＜…＜ik，‎ 对于第一个“G时刻”i1，有＞a1≥ai（i=2，3，…，i1﹣1），则 ‎﹣a1≤﹣≤1．‎ 对于第二个“G时刻”i1，有＞≥ai（i=2，3，…，i1﹣1），则 ‎﹣≤﹣≤1．‎ 类似的﹣≤1，…，﹣≤1．‎ 于是，k≥（﹣）+（﹣）+L+（﹣）+（﹣a1）=﹣a1．‎ 对于aN，若N∈G（A），则=aN．‎ 若N∉G（A），则aN≤，否则由（2）知，，L，aN，中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾．‎ 从而k≥﹣a1≥aN﹣a1．‎ ‎　‎