专题03+线性规划与三角函数小题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（文）名师押题高端精品

专题03+线性规划与三角函数小题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（文）名师押题高端精品

专题03 线性规划与三角函数（文）‎ 一.线性规划小题 ‎（一）命题特点和预测：分析近8年的高考试题发现，线性规划8年8考，每年1题，主要考查利用数形结合思想解简单的线性规划问题，是基础题，少数年份考线性规划应用题和含参数得线性规划问题，难度较大.2019年仍将重点考查目标函数为线性的规划问题，也可能考查含参数的线性规划问题和线性规划应用题，要做好这方面问题的复习和训练．‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2018年 ‎（14）若，满足约束条件，则的最大值为_____________．‎ ‎6‎ ‎2017年 ‎ ‎（7）设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ D ‎2016年 ‎（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.‎ ‎2015年 ‎（15）若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为 ．‎ ‎4‎ ‎2014年 ‎(11)设，满足约束条件，且的最小值为7，则 ‎ A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3‎ B ‎2013年 ‎（14）设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为______．‎ ‎3‎ ‎2012年 ‎（5）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则的取值范围是 ‎（A）(1－，2) （B）(0，2) ‎ ‎（C）(－1，2) （D）(0，1+)‎ ‎2011年 ‎（14）若变量满足约束条件,则的最小值为 .‎ ‎-6‎ ‎【解析与点睛】‎ ‎（2018年）【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.‎ ‎（2017年）【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．‎ ‎（2016年）【解析】设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，那么由题意得约束条件 即 目标函数.‎ 作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.‎ 将变形，得，作直线：并平移，当直线经过点时， 取得最大值. ‎ 解方程组，得的坐标为.‎ 所以当，时，.‎ 故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.‎ ‎（2015年）【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，当直线:z=3x+y过点A时，z取最大值，由解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.‎ ‎（2014年）【解析】当＞0时，作出可行域如图1中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，由图知，：过点A时，取最小值；‎ 当＜0时，作出可行域如图2中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，由图知，‎ 无最小值；由解得A（，），故=7，解得=-5（舍）或=3,故选 B.‎ ‎（2013年）【解析】画出可行域如图所示．‎ 画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.‎ ‎（2012年）【解析】由题设知C(1+,2)，作出直线：，平移直线，有图像知，直线过B点时，=2，过C时，=，∴取值范围为(1－，2)，故选A.‎ ‎（2011年）【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过A点时，取最小值，解得A(4，－5)， =－6.‎ ‎（三）命题专家押题 ‎ ‎ 题号 试 题 ‎1. ‎ 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎2.‎ 设，满足约束条件，则的最小值是__________．‎ ‎3‎ 若满足，则的取值范围为______．‎ ‎4‎ 若变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5‎ 已知实数满足，则的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎6‎ 已知实数满足 则的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7‎ 设m为实数，若，则m的最大值是____．‎ ‎8‎ 若，满足不等式组，则成立的概率为 A． B． C． D．‎ ‎9‎ 某企业生产甲、乙两种产品均需要，两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　）‎ 甲 乙 原料限额 ‎（吨）‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎10 ‎ ‎（吨）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎6‎ A．10万元 B．12万元 C．13万元 D．14万元 ‎10‎ 若变量，满足约束条件，且最小值为7，则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C．-2 D．-1‎ ‎【详细解析】‎ ‎1.【答案】D ‎【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即，所以目标函数的的最大值为，故选D.‎ ‎2.【答案】4‎ ‎【解析】画出可行域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线在y轴的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，2），代入目标函数得z=2×1+2=4．即目标函数的最小值为4．‎ ‎3.【答案】[1，2]‎ ‎【解析】作出可行域如下图阴影部分所示，令，则，可知的取值范围即为直线在轴截距的取值范围由平移可知如图，当直线经过点时，截距最小；当与重合时，截距最大，‎ ‎，，‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】作可行域，如图，则直线过点A(-1,-1)时取最小值-4，过点时取最大值2，因此的最大值是4,选D.‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】画出可行域如下图所示，表示可行域内点到原点距离的平方，由图可知，最短距离平方为，最大距离平方为，故取值范围是，故选B.‎ ‎6.【答案】D ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示：z表示动点P（x，y）与定点A（3，1‎ ‎）连线的斜率．当连线经过B时斜率最大，此时,解B(8,5)则z，当连线经过C时斜率最小，此时,解C(8,-1)，则z，故的取值范围为，故选D ‎7.【答案】‎ ‎【解析】设，， 显然点集表示以原点为圆心，5为半径的圆及圆的内部，点集是二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示，作图可知，边界交圆于点，边界恒过原点，要求的最大值，故直线必须单调递减，因为，所以当过图中B点时，取得最大，联立方程组，解得，故，即。‎ ‎8.【答案】A ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为表示点与定点连线的斜率，所以成立的点只能在图中的内部（含边界），所以由几何概型得：成立的概率为，由，得，由，得，由，得，由，解得，由，解得，所以，‎ ‎，所以成立的概率为，故选A.‎ ‎9.【答案】D ‎【解析】设该企业生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，则约束条件为，且x，y≥0，目标函数z=3x+4y，作出不等式组对应的平面区域如图，由z=3x+4y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由图象知当直线y=-x+经过点A时，y=-x+的截距最大，此时z最大，由即A（2，2），此时z=3×2+4×2=6+8=14（万元），即该企业生产甲产品2吨，乙产品2吨，利润为14万元，故选D．‎ ‎10.【答案】B ‎【解析】由约束条件作出可行域如图，联立方程组求得A（2，1），B（4，5），C（1，2），化目标函数z＝ax+3y为y．当a＞0时，由图可知，当直线y过A或C时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3＝7，解得a＝2；若过C，则a+6＝7，解得a＝1不合题意．‎ 当a＜0时，由图可知，当直线y过A或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A ‎，则2a+3＝7，解得a＝2，不合题意；若过B，则4a+15＝7，解得a＝﹣2，不合题意．∴a的值为2，故选B．‎ 二.三角函数小题 ‎（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现，8年17考，每年至少1题，多数年份是2小、3小，个别年份4小，主要考查三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系、和差倍半公式、图象变换、三角函数的图象与性质、利用正余弦定理解三角形及利用正余弦定理解与测量、航行有关的实际问题，难度一般为1个基础题、2个中档题、有时也会为难题.2019年高考仍将坚持至少1小、难度为1基础1（或2）中档、重点考查三角公式、图象变换、三角函数图象与性质、正余弦定理应用，可能在与其他知识交汇处命题，适度创新.‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎（8）已知函数，则 A. 的最小正周期为π，最大值为3‎ B. 的最小正周期为π，最大值为4‎ C. 的最小正周期为，最大值为3‎ D. 的最小正周期为，最大值为4‎ B ‎（11）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则 ‎ A. B. C. D. ‎ B ‎（16）△的内角的对边分别为，已知 ‎，，则△的面积为________．‎ ‎2017年 ‎(11)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知，a=2，c=，则C= ‎ A． B． C． D． ‎ B ‎(15)已知,tan α=2，则=__________。‎ ‎2016年 ‎（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ D ‎（6）将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为 ‎（A）y=2sin(2x+) （B）y=2sin(2x+) （C）y=2sin(2x–) （D）y=2sin(2x–)‎ D ‎（12）若函数在单调递增，则a的取值范围是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ C ‎（14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)= .‎ ‎2015年 ‎(8)函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ D ‎2014年 ‎(2)若，则 A A. ‎ B. C. D. ‎ ‎(7)在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为 A. ②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①③‎ C ‎ (16)如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得 点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.‎ ‎150‎ ‎2013年 ‎(9)函数=在的图像大致为 C ‎（10） 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，=7，，则=‎ ‎.10 .9 .8 .5‎ D ‎ ‎(16)设当=时，函数=取得最大值，则=______.‎ ‎2012年 ‎（9）已知>0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D） A ‎2011年 ‎(7)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=‎ B ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎( 11).设函数=，则=‎ ‎（A）在（0，）单调递增，其图像关于直线=对称 ‎ (B) 在（0，）单调递增，其图像关于直线=对称 ‎ ‎(C) 在（0，）单调递减，其图像关于直线=对称 ‎ ‎ (D) 在（0，）单调递减，其图像关于直线=对称 D ‎（15）中，,AC=7，AB=5，则的面积为 .‎ ‎【解析与点睛】‎ ‎（2018年）（8）【解析】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.‎ ‎（11）【解析】根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.‎ ‎（16）【解析】根据题意，结合正弦定理，可得，即，结合余弦定理可得，所以A为锐角，且，从而求得，所以△的面积为，故答案是.‎ ‎（2017年）（11）【解析】由题意得，即，即= =0，所以，由正弦定理得，，即，所以，故选B.‎ ‎(15)【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以 ‎（2016年）(4)【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.‎ ‎(6)【解析】由题知，y=2sin (2x+)的周期为，将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为=，故选D.‎ ‎(12)【解析】=对恒成立，故，即恒成立，即对恒成立；设=（），所以，解得，故选C.‎ ‎(14)【解析】由题意，解得 所以， ‎ ‎（2015年）【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.‎ ‎（2014年）(2)【解析】由知，在第一、第三象限，即（），∴，即在第一、第二象限，故只有，故选A.‎ ‎（7）【解析】∵=，∴==；由图像知其周期为，由周期公式知，‎ 为，为，故选C.‎ ‎(16)【解析】在△ABC中，∠CAB=，∠ABC=，BC=100，则AC=；在△AMC中，，，则∠AMC=，由正弦定理得，，∴AM===，在△AMN中，，，则=150m.‎ ‎（2013年）(9)【解析】显然是奇函数，故排除B,当时，＜0，故排除A，∵==，由≥0解得，又∵，∴，同理，由≤0解得，或，‎ ‎∴在[－,－]上是减函数，在[－，]上是增函数，在[,]上是减函数，‎ ‎∴当=时，取最小值=，最小值点靠近－，故选.‎ ‎(10)【解析】由及△ABC是锐角三角形得=，∵=7，，∴，即，解得或=（舍），故选.‎ ‎(16)【解析】∵==,令=，，则==，当=，即=时，取最大值，此时=，∴===.‎ ‎（2012年）（9）【解析】由题设知，=，∴=1，∴=（），∴=（），∵，∴=，故选A.‎ ‎（2011年）(7)【解析】在直线取一点P（1,2），则=，则==，‎ ‎∴==，故选B.‎ ‎(11）【解析】===,‎ ‎∵在（0，）上是增函数，值域为，在是减函数，∴在（0，）是减函数，又∵==0，不是最值，==是最小值，∴图像关于直线=对称，故选D.‎ ‎（15）【解析】由余弦定理得，=，即 ‎=，即，解得=3或=－8(舍)，‎ ‎===.‎ ‎（三）命题专家押题 题号 试 题 ‎1. ‎ 已知为角终边上一点，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.‎ 若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3‎ 在中，角的对边分别为，若．则角的大小为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5‎ 已知，则的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6‎ 函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（　　）‎ A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎7‎ 函数的部分图像如图所示，则函数的单调增区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8‎ 在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的面积是__________．‎ ‎9‎ 已知函数和的图象的对称轴完全相同，则下列关于的说法正确的是（ ）‎ A．最大值为 B．在单调递减 C．是它的一个对称中心 D．是它的一条对称轴 ‎10‎ 已知函数，若对任意的，关于的方程总有两个不同的实数根，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【详细解析】‎ ‎1.【答案】B ‎【解析】∵，∴，解得，又为角终边上一点，∴，∴，∴，故选B ‎2.【答案】D ‎【解析】∵，故选D ‎3.【答案】A ‎【解析】∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴‎ ‎，∵，，∴，∴，故选A．‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】，故选D.‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】因为，所以，由，得，所以，故选B ‎6.【答案】C ‎【解析】因为函数的最小正周期为π，所以，图象向左平移个单位后得到，由得到的函数是奇函数可得，即.令得，，故A,B均不正确；令得，，时可得C正确.故选C.‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】由图可知：图象过,，∵图象过，，因为 ，所以，，当时，函数单调递增，化简得，故选D.‎ ‎8.【答案】‎ ‎【解析】由题意，可知，由正弦定理得，即，又由在中，,则，即，又由，则，所以，由余弦定理得，即 ‎，整理得，解得，所以的面积为.‎ ‎9.【答案】D ‎【解析】和的图象的对称轴完全相同，周期相等，，令，得，由，得，所以, 且，得，，的最大值为4，错误；当时，，不是单调函数，错误；不在图象上，不是其对称中心，错误；因为为函数的最大值，所以是对称轴，正确，故选D.‎ ‎10.【答案】B ‎【解析】由题意，函数，令，且，即，解得，又因为，且，所以要使得总有两个不同实数根时，即函数与的图象由两个不同的交点，结合图象，可得，所以实数m的取值范围是，故选B.‎