上海市高考数学试卷理科

上海市高考数学试卷理科

‎2014年上海市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题（共14题，满分56分）‎ ‎1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是　_________　．　‎ ‎2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=　_________　．‎ ‎3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为　_________　．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为　_________　．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为　_________　．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为　_________　（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是　_________　．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=　_________　．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是　_________　．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　_________　（结果用最简分数表示）．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=　_________　．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=　_________　．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为　_________　．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为　_________　．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 ‎15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 充分非必要条件 B．‎ 必要非充分条件 ‎　‎ C．‎ 充要条件 D．‎ 既非充分又非必要条件 ‎　‎ ‎16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 无论k，P1，P2如何，总是无解 B．‎ 无论k，P1，P2如何，总有唯一解 ‎　‎ C．‎ 存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．‎ 存在k，P1，P2，使之有无穷多解 ‎　‎ ‎18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎[﹣1，2]‎ B．‎ ‎[﹣1，0]‎ C．‎ ‎[1，2]‎ D．‎ ‎[0，2]‎ ‎　‎ 三、解答题（共5题，满分72分）‎ ‎19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．‎ ‎（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；‎ ‎（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．‎ ‎（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？‎ ‎（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．‎ ‎　‎ ‎22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．‎ ‎（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；‎ ‎（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．‎ ‎　‎ ‎23．（16分）（2014•上海）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．‎ ‎（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；‎ ‎（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．‎ ‎（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．‎ ‎　‎ ‎2014年上海市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14题，满分56分）‎ ‎1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是　　．‎ ‎2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=　6　．‎ ‎3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为　x=﹣2　．‎ ‎4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为　（﹣∞，2]　．‎ ‎5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为　2　．‎ ‎6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为　arccos　（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是　　．‎ ‎8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=　　．‎ ‎9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是　（0，1）　．‎ ‎10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　　（结果用最简分数表示）．‎ ‎11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=　﹣1　．‎ ‎12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=　　．‎ ‎13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为　0.2　．‎ ‎14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为　[2，3]　．‎ 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 ‎15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 充分非必要条件 B．‎ 必要非充分条件 ‎　‎ C．‎ 充要条件 D．‎ 既非充分又非必要条件 解答：‎ 解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，‎ 若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，‎ 故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（　　）‎ 解答：‎ 解：如图建立空间直角坐标系，‎ 则A（2，0，0），B（2，0，1），P1（1，0，1），P2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1），‎ P8（0，2，1），‎ ‎，=（﹣1，0，1），=（﹣2，0，1），=（0，1，1），=（﹣1，1，1），=（﹣2，1，1），=（0，2，1），‎ ‎=（﹣1，2，1），=（﹣2，2，1），‎ 易得•=1（i=1，2，…，8），‎ ‎∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，‎ 故选A．‎ ‎17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（　　）‎ 解答：‎ 解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，‎ ‎∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1‎ ‎，‎ ‎①×b2﹣②×b1得：（a2b1﹣a1b2）x=b2﹣b1，‎ 即（a2﹣a1）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．‎ 故选：B．‎ ‎18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）‎ 解答：‎ 解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，‎ 当a≥0时，f（0）=a2，‎ 由题意得：a2≤x++a≤2+a，‎ 解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，‎ ‎∴0≤a≤2，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5题，满分72分）‎ ‎19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．‎ 解答：‎ 解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，‎ ‎∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，‎ ‎∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，‎ ‎∴△P1P2P3的边长为4，‎ VP﹣ABC==‎ ‎20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．‎ ‎（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；‎ ‎（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．‎ 解答：‎ 解：（1）∵a=4，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．‎ ‎（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，‎ ‎∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．‎ ‎∵2x﹣2﹣x不恒为0，‎ ‎∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；‎ 若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，‎ ‎∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，‎ ‎∴a=±1，‎ ‎∵a≥0，‎ ‎∴a=1，‎ 此时f（x）=，满足条件；‎ 综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．‎ 点评：‎ 本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．‎ ‎（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？‎ ‎（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．‎ 解答：‎ 解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，‎ ‎∵0，‎ ‎∴tanα≥tan2β，‎ ‎∴tan，‎ 即=，‎ 解得0≈28.28，‎ 即CD的长至多为28.28米．‎ ‎（2）设DB=a，DA=b，CD=m，‎ 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，‎ 由正弦定理得，‎ 即a=，‎ ‎∴m=≈26.93，‎ 答：CD的长为26.93米．‎ ‎22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．‎ ‎（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；‎ ‎（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．‎ 分析：‎ ‎（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．‎ ‎（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2‎ ‎≤0，从而求得k的范围．‎ ‎（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，‎ ‎∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔．‎ ‎（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0，‎ ‎∴k≤﹣，或 k≥．‎ ‎（3）证明：设点M（x，y），则 •|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．‎ y轴为x=0，显然与方程①联立无解．‎ 又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 η=1×（﹣1）=﹣1＜0，‎ 故x=0是一条分隔线．‎ 若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，‎ 令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，‎ ‎∵f（0）f（2）＜0，‎ ‎∴f（x）=0有实数解，即y=kx与E有公共点，‎ ‎∴y=kx不是E的分隔线．‎ ‎∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．‎ ‎23．（16分）（2014•上海）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．‎ ‎（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；‎ ‎（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．‎ ‎（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．‎ 分析：‎ ‎（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；‎ ‎（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．‎ ‎（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．‎ 解答：‎ 解：（1）依题意：，‎ ‎∴；又 ‎∴3≤x≤27，‎ 综上可得：3≤x≤6‎ ‎（2）由已知得，，，‎ ‎∴，‎ 当q=1时，Sn=n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．‎ 当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，‎ ‎∴‎ 不等式 ‎∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1，‎ 得q2﹣3q+2≤0，‎ 解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，‎ ‎∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，‎ ‎∴1＜q≤2，‎ 当时，‎ ‎，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，‎ ‎∴此不等式即，‎ ‎3q﹣1＞0，q﹣3＜0，‎ ‎3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，‎ qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0‎ ‎∴时，不等式恒成立，‎ 上，q的取值范围为：．‎ ‎（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1=1，‎ 得 即 当n=1时，﹣≤d≤2；‎ 当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，‎ 所以d≥，‎ 所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，‎ 得k≤1999‎ 所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…ak的公差为﹣．‎ ‎　‎