高考数学大一轮复习向量的数量积和运算律向量的应用试题理含2014模拟试题

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高考数学大一轮复习向量的数量积和运算律向量的应用试题理含2014模拟试题

‎2015届高考数学大一轮复习 向量的数量积和运算律、向量的应用精品试题 理(含2014模拟试题)‎ ‎1.(2014重庆一中高三下学期第一次月考,10)(原创)已知分别是的三边上的点,且满足,,,,. 则(   )‎ ‎(A)         (B)         (C)         (D)‎ ‎[解析] 1.  因为=,∴;又因为,可得, 所以DE⊥AC; ,则可得, 所以可得.‎ ‎2.(2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试,2) 已知垂直,则的夹角是(   )‎ ‎(A)600    (B)900    (C)1350     (D)1200‎ ‎[解析] 2.  由题意可得, 得, 所以又因为, 得.‎ ‎3. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试,5) 已知点是的重心,若,,则的最小值为(    )‎ ‎   A. ‎ B.             ‎ C.         ‎ D. 2‎ ‎[解析] 3.  设中角,所对的边分别为,因为,,‎ 所以,即,‎ 由是的重心,所以,‎ 所以,,当且仅当时等号成立.‎ ‎4. (2014河北唐山高三第一次模拟考试,11) , 分别是的中线,若,且与的夹角为120°,则(    )‎ ‎[解析] 4.  由已知可得:, 所以,‎ 所以, 选C. ‎ ‎5. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 7) 如图,在矩形ABCD中, BC=2,点E为BC的中点,点F在CD上,的值是(    )‎ A.‎ B.  2        ‎ C.  0    ‎ D.  1‎ ‎[解析] 5.==, 所以=1.‎ 所以,==+=.‎ ‎6. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试,10) 若所在的平面内的点,且. 给出下列说法:‎ ‎①;‎ ‎②的最小值一定是;‎ ‎③点A、在一条直线上;‎ ‎④向量的方向上的投影必相等.‎ 其中正确的个数是(  )‎ A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个 ‎[解析] 6.  由可得,所以,即,有此可知点在过点且垂直与的直线上,所以③④正确. 选B.‎ ‎7. (2014广东汕头普通高考模拟考试试题,3)如图,在中,,则     (    ) ‎ A. 1           ‎ B.  ‎ C. 2       ‎ D. ‎ ‎[解析] 7. .‎ ‎8. (2014北京东城高三第二学期教学检测,5) 设,是两个非零向量. 则下列命题为真命题的是(    )‎ A. 若||=||-||,则 B. 若,则||=||-||‎ C. 若||=||-||,则存在实数,使得 D. 若存在实数,使得,则||=||-||‎ ‎[解析] 8.  若等价于反向共线且,所以存在实数,使得,选C.‎ ‎9. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题,10) 在所在的平面内,点满足,,且对于任意实数,恒有, 则 (     )‎ A.      B.      C.       D. ‎ ‎[解析] 9.   因为,,所以四点共线,‎ 以所在的直线为轴,以的中垂线为轴,建立直角坐标系,‎ 设,,则,‎ 因为恒有,所以,‎ 即恒成立,‎ 所以判别式,解得,所以,即点在的中垂线上,‎ 故.‎ ‎10.(2014江西红色六校高三第二次联考理数试题,10)定义空间两个向量的一种运算,则关于空间向量上述运算的以下结论中:‎ ‎①;     ②;‎ ‎③;④若,则. 恒成立的有(     )‎ A.①③          B. ①④         C. ②③          D. ②④‎ ‎[解析] 10.  根据定义可得,,故①正确;此时可排除选项C、D;故只需判断命题③和④的正确与否. 当向量为不为零的相反向量时,可得,显然的值为正值,故③的说法错误,故选B.‎ ‎11. (2014广西桂林中学高三2月月考,6) 若,则向量与的夹角为(    )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎[解析] 11.  设向量与的夹角为,因为,所以,‎ 由,所以,‎ 所以,所以.‎ ‎12.(2014湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,8)如图,在半径为R的圆C中,已知弦AB的长为5,则( )‎ A.           B.         C.         D.‎ ‎[解析] 12.  过点C作线段AB的垂线,垂足为D,则根据圆的性质可得AD=,,根据平面向量的数量积可得.‎ ‎13.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 7) 已知在△ABC中,,且,则函数的最小值为(  )‎ ‎ (A)    (B)   (C)          (D) ‎ ‎[解析] 13.  令,因为,由题意可得得,又因为,得. 所以,当时,有最小值.‎ ‎14.(2014湖北武汉高三2月调研测试,3) 已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,若a=e1+e2,b=-4e1+2e2,则a与b的夹角为 A.30°      B.60°      C.120°      D.150°‎ ‎[解析] 14.  由已知, 是夹解角为的两个单位向量, 所以, ‎ ‎, ‎ ‎=‎ ‎, 又因为故选C.‎ ‎15. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),5) 已知点,为坐标原点,动点满足,则点所构成的平面区域的面积是(       ) ‎ A. 12‎ B. 16‎ C. 32‎ D. 64‎ ‎[解析] 15.    ,,为坐标原点,动点,,,,由,即,他表示的可行域为边长为的正方形,如图,围成的区域的面积是.‎ ‎16. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 10) 已知,‎ 是两个互相垂直的单位向量,且,则对任意的正实数,的最小值是(    )‎ A. 2         ‎ B.         ‎ C. 4         ‎ D. ‎ ‎[解析] 16. 是互相垂直的单位向量,设,,,‎ 由,,即,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,,当且仅当时取等号,‎ ‎,故的最小值为.‎ ‎17. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 10) 已知向量,,满足,,则的最小值为()‎ A.  B.  C.  D.‎ ‎[解析] 17.由得:,建立直角坐标系可设,代入化简得:,又表示圆 上的点到点的距离,由图像可得最小距离为,故选A.‎ ‎18. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 6) 设,向量,,,且,,则(    )‎ A.         ‎ B.            ‎ C.        ‎ D. 10‎ ‎[解析] 18.  ,,即,又,,即,,,‎ ‎,故.‎ ‎19.(2014广州高三调研测试, 3) 已知向量,,,若,则实数的值为(    )‎ A.    B.    C.    D.‎ ‎[解析] 19.  依题意,,又,,即.‎ ‎20. (2014湖北黄冈高三期末考试) 已知为线段上一点,为直线外一点,为上一点,满足 ‎,,,且,则的值为(   ‎ ‎ )‎ A.            ‎ B.            ‎ C.            ‎ D.   ‎ ‎[解析] 20.  ,而,‎ ‎,‎ ‎,又,即,‎ 在的角平分线上,由此得是的内心,过作于,为圆心,为半径,作的内切圆,如图,分别切、于、,,‎ ‎,,‎ 在中,,.‎ ‎.‎ ‎21. (2014湖北黄冈高三期末考试) 函数的部分图象如图所示,若 ‎,则(    )‎ A.            ‎ B.            ‎ C.            ‎ D.   ‎ ‎[解析] 21.  由图知,函数的周期为,设,则,,又,,解得.‎ ‎22.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,15) 设向量a,b的夹角为θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),则sinθ=              ‎ ‎[解析] 22.  设,则由题意可得,解得. 所以,又因为,结合平方关系式可得sinθ= .‎ ‎23. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,14) 圆O为△ABC的外接圆,半径为2,‎ ‎[解析] 23.  ‎ 可得点O位线段BC的中点,又因点O为△ABC的外接圆的圆心,由此可得△ABC为以BC为斜边的直角三角形,且,根据勾股定理可得,所以,根据投影的定义可知方向上的投影为.‎ ‎24. (2014山西太原高三模拟考试(一),15) 已知O是锐角ABC的外接圆的圆心,且∠A=,若,则实数m=        . (用表示) ‎ ‎[解析] 24.  设外接圆半径为R,则:  可化为:  (*). 易知与的夹角为2∠C,与的夹角为2∠B,与的夹角为0, ||=||=||=R. 则对(*)式左右分别与作数量积,可得:. 即    R2  (cos‎2C-1)+•R2(cos2B-1)=-2mR2. ∴-2sinCcosB+(-2sinBcosC)=-‎2m,∴sinCcosB+sinBcosC=m,即 sin(B+C)=m. 因为sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)且∠A=θ,所以,m=sinA=sinθ.‎ ‎25. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),14) 若向量, 是两个互相垂直的单位向量,则向量在向量方向上的投影为__________. ‎ ‎[解析] 25.  依题意,投影为.‎ ‎26. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,15) 已知, ‎ 动点满足, 则的最大值为________. ‎ ‎[解析] 26.  设动点,因为,,,,‎ 所以,即,‎ 所以,‎ 所以,即为圆上的点到坐标原点的距离的2倍,因为圆心到坐标原点的距离为2,圆的半径为1,‎ 所以的最大值为.,‎ ‎27.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,14)已知是上一动点, 线段是的一条动直径(是直径的两端点), 则的取值范围是__________________.‎ ‎[解析] 27.  因为,又因为|AB|=2,所以①,又因为,两边同时平方得  ② ①②两式相加得,由①得,由圆的性质可得,所以的取值范围是[15,35].‎ ‎28. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测,11) 设向量,,则向量在向量上的投影为            . ‎ ‎[解析] 28.  向量在向量上的投影为.‎ ‎29. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),10) 已知是内的一点,且,,若,和的面积分别为,,,则的最小值是          . ‎ ‎[解析] 29.  由已知得 ,,‎ ‎,即,‎ 而.‎ ‎30.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 13) 在平面四边形中,已知,,点分别在边上,且,.若向量与的夹角为,则的值为   ▲   .‎ ‎[解析] 30.  如图所示,设直线与相交于,由题意知,‎ 令,则由,可得,,‎ 故为等边三角形,‎ 在中,由余弦定理求得,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎31.  (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 14) 已知直角中, 为斜边的中点,则向量在上的投影为           . ‎ ‎[解析] 31.   在直角中,,,为斜边的中点,如图,‎ 过点作,垂足为,则是向量在上的投影,,‎ ‎,,‎ 向量在上的投影为.‎ ‎32. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测,15) 设⊙O为不等边的外接圆,内角,,所对边的长分别为, , ,是所在平面内的一点,且满足(与不重合), 为所在平面外一点,. 有下列命题:‎ ‎①若,,则点在平面上的射影恰在直线上;‎ ‎ ②若,则;‎ ‎  ③若,,则;‎ ‎  ④若,则在内部的概率为(、分别表示与圆的面积).‎ 其中不正确的命题有            (写出所有不正确命题的序号).‎ ‎[解析] 32.  , ,‎ ‎,,‎ ‎,即是的平分线,‎ ‎,在平面上的射影是的外心,‎ ‎,是不等边三角形,‎ 点在平面上的射影恰在直线上不正确,故①错误;‎ ‎,为弧的中点,,‎ 是在平面上的射影,,‎ ‎,故②正确;‎ 由于,则点在圆内,,则为直径,若,则为的角平分线,且经过点,与是不等边三角形矛盾,故③不正确;‎ 若,是的平分线,在内部的概率应该为长度的测度,故④不正确.‎ 故不正确的为 ①③④.‎ ‎33.(2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 2) 设为向量,则是的(    )‎ ‎   A . 充分不必要条件   B. 必要不充分条件 ‎ ‎   C. 充分必要条件    D. 既不充分也必要条件   ‎ ‎[解析] 33.  设向量的夹角为,若,则;‎ 若,则,从而,是的充分必要条件.‎ ‎34. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 15) 已知向量,. ‎ ‎    (Ⅰ)若,求的值;‎ ‎    (Ⅱ)若,,求的值.‎ ‎[解析] 34.    解析  (Ⅰ)由可知,,所以,‎ 所以. (6分)‎ ‎(Ⅱ)由可得,‎ ‎,‎ 即,  ①  (10分)‎ 又,且  ②,由①②可解得,,‎ 所以. (14分)‎ ‎35. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 17) 如图中,已知点在边上,满足,. ‎ ‎    (Ⅰ)求的长;‎ ‎(Ⅱ)求.‎ ‎[解析] 35.  (Ⅰ) 因为,所以,‎ 即,‎ 在中,由余弦定理可知,‎ 即,解之得或 由于,所以         (7分)‎ ‎    (Ⅱ) 在中,由正弦定理可知,‎ 又由可知,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以        (12分)‎ ‎36. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 16) 如图,平面四边形中,,,,,. ‎ ‎(Ⅰ);‎ ‎(Ⅱ)设,求、的值.‎ ‎[解析] 36.  (Ⅰ)设,,则,,‎ ‎.     (6分)‎ ‎(Ⅱ)由得 ,‎ ‎   ,解得,.  ( 12分)‎ ‎37. (2014兰州高三第一次诊断考试, 17) 已知的三内角、、所对的边分别是,,,向量 ‎,,且.‎ ‎    (Ⅰ)求角的大小;‎ ‎    (Ⅱ)若,求的范围.‎ ‎[解析] 37.    解析  (Ⅰ)∵ ,,且.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即,‎ ‎,而,‎ 故.    (6分)‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理,得 , 当且仅当时,取等号.‎ ‎, ,‎ 又, .           (12分)‎ ‎38. (2014湖北黄冈高三期末考试)设向量,,,函数 ‎(1)求函数的最小正周期;‎ ‎(2)在锐角中,角、、所对的边分别为、、,,,,求的值.‎ ‎[解析] 38.(1)‎ ‎,‎ 所以,函数的.          (5分)‎ ‎(2),‎ ‎,,‎ ‎,‎ 答案和解析 理数 ‎[答案] 1.  D ‎[解析] 1.  因为=,∴;又因为,可得, 所以DE⊥AC; ‎ ‎,则可得, 所以可得.‎ ‎[答案] 2.  D ‎[解析] 2.  由题意可得, 得, 所以又因为, 得.‎ ‎[答案] 3.  B ‎[解析] 3.  设中角,所对的边分别为,因为,,‎ 所以,即,‎ 由是的重心,所以,‎ 所以,,当且仅当时等号成立.‎ ‎[答案] 4.  C ‎ ‎[解析] 4.  由已知可得:, 所以,‎ 所以, 选C. ‎ ‎[答案] 5.A ‎[解析] 5.==, 所以=1.‎ 所以,==+=.‎ ‎[答案] 6.B ‎ ‎[解析] 6.  由可得,所以,即,有此可知点在过点且垂直与的直线上,所以③④正确. 选B.‎ ‎[答案] 7.D ‎ ‎[解析] 7. .‎ ‎[答案] 8.C ‎[解析] 8.  若等价于反向共线且,所以存在实数,使得,选C.‎ ‎[答案] 9.C ‎[解析] 9.   因为,,所以四点共线,‎ 以所在的直线为轴,以的中垂线为轴,建立直角坐标系,‎ 设,,则,‎ 因为恒有,所以,‎ 即恒成立,‎ 所以判别式,解得,所以,即点在 的中垂线上,‎ 故.‎ ‎[答案] 10.  B ‎[解析] 10.  根据定义可得,,故①正确;此时可排除选项C、D;故只需判断命题③和④的正确与否. 当向量为不为零的相反向量时,可得,显然的值为正值,故③的说法错误,故选B.‎ ‎[答案] 11.  A ‎[解析] 11.  设向量与的夹角为,因为,所以,‎ 由,所以,‎ 所以,所以.‎ ‎[答案] 12.  B ‎[解析] 12.  过点C作线段AB的垂线,垂足为D,则根据圆的性质可得AD=,,根据平面向量的数量积可得.‎ ‎[答案] 13.  B ‎[解析] 13.  令,因为,由题意可得得,又因为,得. 所以 ‎,当时,有最小值.‎ ‎[答案] 14.  C ‎[解析] 14.  由已知, 是夹解角为的两个单位向量, 所以, ‎ ‎, ‎ ‎=‎ ‎, 又因为故选C.‎ ‎[答案] 15.  C ‎[解析] 15.    ,,为坐标原点,动点,,,,由,即,他表示的可行域为边长为的正方形,如图,围成的区域的面积是.‎ ‎[答案] 16.  B ‎[解析] 16. 是互相垂直的单位向量,设,,,‎ 由,,即,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,,当且仅当时取等号,‎ ‎,故的最小值为.‎ ‎[答案] 17.A ‎[解析] 17.由得:,建立直角坐标系可设,代入化简得:,又表示圆上的点到点的距离,由图像可得最小距离为,故选A.‎ ‎[答案] 18.  B ‎[解析] 18.  ,,即,又,,即,,,‎ ‎,故.‎ ‎[答案] 19.  A ‎[解析] 19.  依题意,,又,,即.‎ ‎[答案] 20.  C ‎[解析] 20.  ,而,‎ ‎,‎ ‎,又,即,‎ 在的角平分线上,由此得是的内心,过作于,为圆心,为半径,作的内切圆,如图,分别切、于、,,‎ ‎,,‎ 在中,,.‎ ‎.‎ ‎[答案] 21.  C ‎[解析] 21.  由图知,函数的周期为,设,则,,又,,解得.‎ ‎[答案] 22.  ‎ ‎[解析] 22.  设,则由题意可得,解得. 所以,又因为,结合平方关系式可得sinθ= .‎ ‎[答案] 23.  3‎ ‎[解析] 23.  可得点O位线段BC的中点,又因点O为△ABC的外接圆的圆心,由此可得△ABC为以BC为斜边的直角三角形,且,根据勾股定理可得,所以,根据投影的定义可知方向上的投影为.‎ ‎[答案] 24.  ‎ ‎[解析] 24.  设外接圆半径为R,则:  可化为:  (*). 易知与的夹角为2∠C,与的夹角为2∠B,与的夹角为0, ||=||=||=R. 则对(*)式左右分别与作数量积,可得:. 即    R2  (cos‎2C-1)+•R2(cos2B-1)=-2mR2. ∴-2sinCcosB+(-2sinBcosC)=-‎2m,∴sinCcosB+sinBcosC=m,即 sin(B+C)=m. 因为sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)且∠A=θ,所以,m=sinA=sinθ.‎ ‎[答案] 25.‎ ‎[解析] 25.  依题意,投影为.‎ ‎[答案] 26.  6‎ ‎[解析] 26.  设动点,因为,,,,‎ 所以,即,‎ 所以,‎ 所以,即为圆上的点到坐标原点的距离的2倍,因为圆心到坐标原点的距离为2,圆的半径为1,‎ 所以的最大值为.,‎ ‎[答案] 27.  [15,35]‎ ‎[解析] 27.  因为,又因为|AB|=2,所以①,又因为,两边同时平方得  ② ①②两式相加得,由①得,由圆的性质可得,所以的取值范围是[15,35].‎ ‎[答案] 28.  ‎ ‎[解析] 28.  向量在向量上的投影为.‎ ‎[答案] 29.  18‎ ‎[解析] 29.  由已知得 ,,‎ ‎,即,‎ 而.‎ ‎[答案] 30.  7‎ ‎[解析] 30.  如图所示,设直线与相交于,由题意知,‎ 令,则由,可得,,‎ 故为等边三角形,‎ 在中,由余弦定理求得,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎[答案] 31.  ‎ ‎[解析] 31.   在直角中,,,为斜边的中点,如图,‎ 过点作,垂足为,则是向量在上的投影,,‎ ‎,,‎ 向量在上的投影为.‎ ‎[答案] 32.  ①③④‎ ‎[解析] 32.  , ,‎ ‎,,‎ ‎,即是的平分线,‎ ‎,在平面上的射影是的外心,‎ ‎,是不等边三角形,‎ 点在平面上的射影恰在直线上不正确,故①错误;‎ ‎,为弧的中点,,‎ 是在平面上的射影,,‎ ‎,故②正确;‎ 由于,则点在圆内,,则为直径,若,则为的角平分线,且经过点,与是不等边三角形矛盾,故③不正确;‎ 若,是的平分线,在内部的概率应该为长度的测度,故④不正确.‎ 故不正确的为 ①③④.‎ ‎[答案] 33.  C ‎[解析] 33.  设向量的夹角为,若,则;‎ 若,则,从而,是的充分必要条件.‎ ‎[答案] 34.查看解析 ‎[解析] 34.    解析  (Ⅰ)由可知,,所以,‎ 所以. (6分)‎ ‎(Ⅱ)由可得,‎ ‎,‎ 即,  ①  (10分)‎ 又,且  ②,由①②可解得,,‎ 所以. (14分)‎ ‎[答案] 35.查看解析 ‎[解析] 35.  (Ⅰ) 因为,所以,‎ 即,‎ 在中,由余弦定理可知,‎ 即,解之得或 由于,所以         (7分)‎ ‎    (Ⅱ) 在中,由正弦定理可知,‎ 又由可知,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以        (12分)‎ ‎[答案] 36.查看解析 ‎[解析] 36.  (Ⅰ)设,,则,,‎ ‎.     (6分)‎ ‎(Ⅱ)由得 ,‎ ‎   ,解得,.  ( 12分)‎ ‎[答案] 37.查看解析 ‎[解析] 37.    解析  (Ⅰ)∵ ,,且.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即,‎ ‎,而,‎ 故.    (6分)‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理,得 , 当且仅当时,取等号.‎ ‎, ,‎ 又, .           (12分)‎ ‎[答案] 38.查看解析 ‎[解析] 38.(1)‎ ‎,‎ 所以,函数的.          (5分)‎ ‎(2),‎ ‎,,‎ ‎,‎
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