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文档介绍
高考数学大一轮复习向量的数量积和运算律向量的应用试题理含2014模拟试题
2015届高考数学大一轮复习 向量的数量积和运算律、向量的应用精品试题 理(含2014模拟试题) 1.(2014重庆一中高三下学期第一次月考,10)(原创)已知分别是的三边上的点,且满足,,,,. 则( ) (A) (B) (C) (D) [解析] 1. 因为=,∴;又因为,可得, 所以DE⊥AC; ,则可得, 所以可得. 2.(2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试,2) 已知垂直,则的夹角是( ) (A)600 (B)900 (C)1350 (D)1200 [解析] 2. 由题意可得, 得, 所以又因为, 得. 3. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试,5) 已知点是的重心,若,,则的最小值为( ) A. B. C. D. 2 [解析] 3. 设中角,所对的边分别为,因为,, 所以,即, 由是的重心,所以, 所以,,当且仅当时等号成立. 4. (2014河北唐山高三第一次模拟考试,11) , 分别是的中线,若,且与的夹角为120°,则( ) [解析] 4. 由已知可得:, 所以, 所以, 选C. 5. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 7) 如图,在矩形ABCD中, BC=2,点E为BC的中点,点F在CD上,的值是( ) A. B. 2 C. 0 D. 1 [解析] 5.==, 所以=1. 所以,==+=. 6. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试,10) 若所在的平面内的点,且. 给出下列说法: ①; ②的最小值一定是; ③点A、在一条直线上; ④向量的方向上的投影必相等. 其中正确的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 [解析] 6. 由可得,所以,即,有此可知点在过点且垂直与的直线上,所以③④正确. 选B. 7. (2014广东汕头普通高考模拟考试试题,3)如图,在中,,则 ( ) A. 1 B. C. 2 D. [解析] 7. . 8. (2014北京东城高三第二学期教学检测,5) 设,是两个非零向量. 则下列命题为真命题的是( ) A. 若||=||-||,则 B. 若,则||=||-|| C. 若||=||-||,则存在实数,使得 D. 若存在实数,使得,则||=||-|| [解析] 8. 若等价于反向共线且,所以存在实数,使得,选C. 9. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题,10) 在所在的平面内,点满足,,且对于任意实数,恒有, 则 ( ) A. B. C. D. [解析] 9. 因为,,所以四点共线, 以所在的直线为轴,以的中垂线为轴,建立直角坐标系, 设,,则, 因为恒有,所以, 即恒成立, 所以判别式,解得,所以,即点在的中垂线上, 故. 10.(2014江西红色六校高三第二次联考理数试题,10)定义空间两个向量的一种运算,则关于空间向量上述运算的以下结论中: ①; ②; ③;④若,则. 恒成立的有( ) A.①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ [解析] 10. 根据定义可得,,故①正确;此时可排除选项C、D;故只需判断命题③和④的正确与否. 当向量为不为零的相反向量时,可得,显然的值为正值,故③的说法错误,故选B. 11. (2014广西桂林中学高三2月月考,6) 若,则向量与的夹角为( ) (A) (B) (C) (D) [解析] 11. 设向量与的夹角为,因为,所以, 由,所以, 所以,所以. 12.(2014湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,8)如图,在半径为R的圆C中,已知弦AB的长为5,则( ) A. B. C. D. [解析] 12. 过点C作线段AB的垂线,垂足为D,则根据圆的性质可得AD=,,根据平面向量的数量积可得. 13.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 7) 已知在△ABC中,,且,则函数的最小值为( ) (A) (B) (C) (D) [解析] 13. 令,因为,由题意可得得,又因为,得. 所以,当时,有最小值. 14.(2014湖北武汉高三2月调研测试,3) 已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,若a=e1+e2,b=-4e1+2e2,则a与b的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° [解析] 14. 由已知, 是夹解角为的两个单位向量, 所以, , = , 又因为故选C. 15. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),5) 已知点,为坐标原点,动点满足,则点所构成的平面区域的面积是( ) A. 12 B. 16 C. 32 D. 64 [解析] 15. ,,为坐标原点,动点,,,,由,即,他表示的可行域为边长为的正方形,如图,围成的区域的面积是. 16. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 10) 已知, 是两个互相垂直的单位向量,且,则对任意的正实数,的最小值是( ) A. 2 B. C. 4 D. [解析] 16. 是互相垂直的单位向量,设,,, 由,,即, , , ,,,当且仅当时取等号, ,故的最小值为. 17. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 10) 已知向量,,满足,,则的最小值为() A. B. C. D. [解析] 17.由得:,建立直角坐标系可设,代入化简得:,又表示圆 上的点到点的距离,由图像可得最小距离为,故选A. 18. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 6) 设,向量,,,且,,则( ) A. B. C. D. 10 [解析] 18. ,,即,又,,即,,, ,故. 19.(2014广州高三调研测试, 3) 已知向量,,,若,则实数的值为( ) A. B. C. D. [解析] 19. 依题意,,又,,即. 20. (2014湖北黄冈高三期末考试) 已知为线段上一点,为直线外一点,为上一点,满足 ,,,且,则的值为( ) A. B. C. D. [解析] 20. ,而, , ,又,即, 在的角平分线上,由此得是的内心,过作于,为圆心,为半径,作的内切圆,如图,分别切、于、,, ,, 在中,,. . 21. (2014湖北黄冈高三期末考试) 函数的部分图象如图所示,若 ,则( ) A. B. C. D. [解析] 21. 由图知,函数的周期为,设,则,,又,,解得. 22.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,15) 设向量a,b的夹角为θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),则sinθ= [解析] 22. 设,则由题意可得,解得. 所以,又因为,结合平方关系式可得sinθ= . 23. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,14) 圆O为△ABC的外接圆,半径为2, [解析] 23. 可得点O位线段BC的中点,又因点O为△ABC的外接圆的圆心,由此可得△ABC为以BC为斜边的直角三角形,且,根据勾股定理可得,所以,根据投影的定义可知方向上的投影为. 24. (2014山西太原高三模拟考试(一),15) 已知O是锐角ABC的外接圆的圆心,且∠A=,若,则实数m= . (用表示) [解析] 24. 设外接圆半径为R,则: 可化为: (*). 易知与的夹角为2∠C,与的夹角为2∠B,与的夹角为0, ||=||=||=R. 则对(*)式左右分别与作数量积,可得:. 即 R2 (cos2C-1)+•R2(cos2B-1)=-2mR2. ∴-2sinCcosB+(-2sinBcosC)=-2m,∴sinCcosB+sinBcosC=m,即 sin(B+C)=m. 因为sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)且∠A=θ,所以,m=sinA=sinθ. 25. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),14) 若向量, 是两个互相垂直的单位向量,则向量在向量方向上的投影为__________. [解析] 25. 依题意,投影为. 26. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,15) 已知, 动点满足, 则的最大值为________. [解析] 26. 设动点,因为,,,, 所以,即, 所以, 所以,即为圆上的点到坐标原点的距离的2倍,因为圆心到坐标原点的距离为2,圆的半径为1, 所以的最大值为., 27.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,14)已知是上一动点, 线段是的一条动直径(是直径的两端点), 则的取值范围是__________________. [解析] 27. 因为,又因为|AB|=2,所以①,又因为,两边同时平方得 ② ①②两式相加得,由①得,由圆的性质可得,所以的取值范围是[15,35]. 28. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测,11) 设向量,,则向量在向量上的投影为 . [解析] 28. 向量在向量上的投影为. 29. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),10) 已知是内的一点,且,,若,和的面积分别为,,,则的最小值是 . [解析] 29. 由已知得 ,, ,即, 而. 30.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 13) 在平面四边形中,已知,,点分别在边上,且,.若向量与的夹角为,则的值为 ▲ . [解析] 30. 如图所示,设直线与相交于,由题意知, 令,则由,可得,, 故为等边三角形, 在中,由余弦定理求得, ,, , 31. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 14) 已知直角中, 为斜边的中点,则向量在上的投影为 . [解析] 31. 在直角中,,,为斜边的中点,如图, 过点作,垂足为,则是向量在上的投影,, ,, 向量在上的投影为. 32. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测,15) 设⊙O为不等边的外接圆,内角,,所对边的长分别为, , ,是所在平面内的一点,且满足(与不重合), 为所在平面外一点,. 有下列命题: ①若,,则点在平面上的射影恰在直线上; ②若,则; ③若,,则; ④若,则在内部的概率为(、分别表示与圆的面积). 其中不正确的命题有 (写出所有不正确命题的序号). [解析] 32. , , ,, ,即是的平分线, ,在平面上的射影是的外心, ,是不等边三角形, 点在平面上的射影恰在直线上不正确,故①错误; ,为弧的中点,, 是在平面上的射影,, ,故②正确; 由于,则点在圆内,,则为直径,若,则为的角平分线,且经过点,与是不等边三角形矛盾,故③不正确; 若,是的平分线,在内部的概率应该为长度的测度,故④不正确. 故不正确的为 ①③④. 33.(2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 2) 设为向量,则是的( ) A . 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也必要条件 [解析] 33. 设向量的夹角为,若,则; 若,则,从而,是的充分必要条件. 34. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 15) 已知向量,. (Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)若,,求的值. [解析] 34. 解析 (Ⅰ)由可知,,所以, 所以. (6分) (Ⅱ)由可得, , 即, ① (10分) 又,且 ②,由①②可解得,, 所以. (14分) 35. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 17) 如图中,已知点在边上,满足,. (Ⅰ)求的长; (Ⅱ)求. [解析] 35. (Ⅰ) 因为,所以, 即, 在中,由余弦定理可知, 即,解之得或 由于,所以 (7分) (Ⅱ) 在中,由正弦定理可知, 又由可知, 所以, 因为, 所以 (12分) 36. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 16) 如图,平面四边形中,,,,,. (Ⅰ); (Ⅱ)设,求、的值. [解析] 36. (Ⅰ)设,,则,, . (6分) (Ⅱ)由得 , ,解得,. ( 12分) 37. (2014兰州高三第一次诊断考试, 17) 已知的三内角、、所对的边分别是,,,向量 ,,且. (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若,求的范围. [解析] 37. 解析 (Ⅰ)∵ ,,且. , , , 即, ,而, 故. (6分) (Ⅱ)由余弦定理,得 , 当且仅当时,取等号. , , 又, . (12分) 38. (2014湖北黄冈高三期末考试)设向量,,,函数 (1)求函数的最小正周期; (2)在锐角中,角、、所对的边分别为、、,,,,求的值. [解析] 38.(1) , 所以,函数的. (5分) (2), ,, , 答案和解析 理数 [答案] 1. D [解析] 1. 因为=,∴;又因为,可得, 所以DE⊥AC; ,则可得, 所以可得. [答案] 2. D [解析] 2. 由题意可得, 得, 所以又因为, 得. [答案] 3. B [解析] 3. 设中角,所对的边分别为,因为,, 所以,即, 由是的重心,所以, 所以,,当且仅当时等号成立. [答案] 4. C [解析] 4. 由已知可得:, 所以, 所以, 选C. [答案] 5.A [解析] 5.==, 所以=1. 所以,==+=. [答案] 6.B [解析] 6. 由可得,所以,即,有此可知点在过点且垂直与的直线上,所以③④正确. 选B. [答案] 7.D [解析] 7. . [答案] 8.C [解析] 8. 若等价于反向共线且,所以存在实数,使得,选C. [答案] 9.C [解析] 9. 因为,,所以四点共线, 以所在的直线为轴,以的中垂线为轴,建立直角坐标系, 设,,则, 因为恒有,所以, 即恒成立, 所以判别式,解得,所以,即点在 的中垂线上, 故. [答案] 10. B [解析] 10. 根据定义可得,,故①正确;此时可排除选项C、D;故只需判断命题③和④的正确与否. 当向量为不为零的相反向量时,可得,显然的值为正值,故③的说法错误,故选B. [答案] 11. A [解析] 11. 设向量与的夹角为,因为,所以, 由,所以, 所以,所以. [答案] 12. B [解析] 12. 过点C作线段AB的垂线,垂足为D,则根据圆的性质可得AD=,,根据平面向量的数量积可得. [答案] 13. B [解析] 13. 令,因为,由题意可得得,又因为,得. 所以 ,当时,有最小值. [答案] 14. C [解析] 14. 由已知, 是夹解角为的两个单位向量, 所以, , = , 又因为故选C. [答案] 15. C [解析] 15. ,,为坐标原点,动点,,,,由,即,他表示的可行域为边长为的正方形,如图,围成的区域的面积是. [答案] 16. B [解析] 16. 是互相垂直的单位向量,设,,, 由,,即, , , ,,,当且仅当时取等号, ,故的最小值为. [答案] 17.A [解析] 17.由得:,建立直角坐标系可设,代入化简得:,又表示圆上的点到点的距离,由图像可得最小距离为,故选A. [答案] 18. B [解析] 18. ,,即,又,,即,,, ,故. [答案] 19. A [解析] 19. 依题意,,又,,即. [答案] 20. C [解析] 20. ,而, , ,又,即, 在的角平分线上,由此得是的内心,过作于,为圆心,为半径,作的内切圆,如图,分别切、于、,, ,, 在中,,. . [答案] 21. C [解析] 21. 由图知,函数的周期为,设,则,,又,,解得. [答案] 22. [解析] 22. 设,则由题意可得,解得. 所以,又因为,结合平方关系式可得sinθ= . [答案] 23. 3 [解析] 23. 可得点O位线段BC的中点,又因点O为△ABC的外接圆的圆心,由此可得△ABC为以BC为斜边的直角三角形,且,根据勾股定理可得,所以,根据投影的定义可知方向上的投影为. [答案] 24. [解析] 24. 设外接圆半径为R,则: 可化为: (*). 易知与的夹角为2∠C,与的夹角为2∠B,与的夹角为0, ||=||=||=R. 则对(*)式左右分别与作数量积,可得:. 即 R2 (cos2C-1)+•R2(cos2B-1)=-2mR2. ∴-2sinCcosB+(-2sinBcosC)=-2m,∴sinCcosB+sinBcosC=m,即 sin(B+C)=m. 因为sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)且∠A=θ,所以,m=sinA=sinθ. [答案] 25. [解析] 25. 依题意,投影为. [答案] 26. 6 [解析] 26. 设动点,因为,,,, 所以,即, 所以, 所以,即为圆上的点到坐标原点的距离的2倍,因为圆心到坐标原点的距离为2,圆的半径为1, 所以的最大值为., [答案] 27. [15,35] [解析] 27. 因为,又因为|AB|=2,所以①,又因为,两边同时平方得 ② ①②两式相加得,由①得,由圆的性质可得,所以的取值范围是[15,35]. [答案] 28. [解析] 28. 向量在向量上的投影为. [答案] 29. 18 [解析] 29. 由已知得 ,, ,即, 而. [答案] 30. 7 [解析] 30. 如图所示,设直线与相交于,由题意知, 令,则由,可得,, 故为等边三角形, 在中,由余弦定理求得, ,, , [答案] 31. [解析] 31. 在直角中,,,为斜边的中点,如图, 过点作,垂足为,则是向量在上的投影,, ,, 向量在上的投影为. [答案] 32. ①③④ [解析] 32. , , ,, ,即是的平分线, ,在平面上的射影是的外心, ,是不等边三角形, 点在平面上的射影恰在直线上不正确,故①错误; ,为弧的中点,, 是在平面上的射影,, ,故②正确; 由于,则点在圆内,,则为直径,若,则为的角平分线,且经过点,与是不等边三角形矛盾,故③不正确; 若,是的平分线,在内部的概率应该为长度的测度,故④不正确. 故不正确的为 ①③④. [答案] 33. C [解析] 33. 设向量的夹角为,若,则; 若,则,从而,是的充分必要条件. [答案] 34.查看解析 [解析] 34. 解析 (Ⅰ)由可知,,所以, 所以. (6分) (Ⅱ)由可得, , 即, ① (10分) 又,且 ②,由①②可解得,, 所以. (14分) [答案] 35.查看解析 [解析] 35. (Ⅰ) 因为,所以, 即, 在中,由余弦定理可知, 即,解之得或 由于,所以 (7分) (Ⅱ) 在中,由正弦定理可知, 又由可知, 所以, 因为, 所以 (12分) [答案] 36.查看解析 [解析] 36. (Ⅰ)设,,则,, . (6分) (Ⅱ)由得 , ,解得,. ( 12分) [答案] 37.查看解析 [解析] 37. 解析 (Ⅰ)∵ ,,且. , , , 即, ,而, 故. (6分) (Ⅱ)由余弦定理,得 , 当且仅当时,取等号. , , 又, . (12分) [答案] 38.查看解析 [解析] 38.(1) , 所以,函数的. (5分) (2), ,, ,查看更多