- 2021-05-14 发布 |
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文档介绍
高考数学考前知识高中数学知识总结回顾
2018 届高考数学指导 你准备好了吧！ 亲爱的高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下问题，您是否有清醒的认识？ 您的老师提醒您： 1．集合中的元素具有无序性和互异性。如集合 隐含条件 ， 集合 不能直接化成 。 2.研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如:{ }与{ }及{ }三集合并 不表示同一集合；再如：“设 A={直线}，B={圆}，问 A∩B 中元素有几个？能回答是一个，两个或没 有吗？”与“A={(x, y)| x + 2y = 3}, B={(x, y)|x 2 + y 2 = 2}, A∩B 中元素有几个？”有无区别？ 过关题 1：设集合 ，集合 N＝ ，则 ___ （答： ） 3 .进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于 数轴和韦恩图进行求解；若 A B= ，则说明集合 A 和集合 B 没公共元素，你注意到两种极端情况了 吗？ 或 ；对于含有 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、和非空真子集的个数分别是 、 和 ，你知道吗？你会用补集法求解吗？ A 是 B 的子集 A∪B=B A∩B=A ，若 ，你可要注意 的情况。 过关题 2：已知集合 A={-1, 2}, B={x| m x + 1 = 0}，若 A∩B=B，则所有实数 m 组成的集合为 . 已知函数 在区间 上至少存在一个实数 ，使 ，求 实数 的取值范围。答： ） 4. 映射的概念了解吗？映射 ：A B 中，你是否注意到了 A 中元素的任意性和 B 中与它对应元素的唯 一性，哪几种对应能够构成映射？（只能是多对一和一对一） 函数呢？映射和函数是何关系呢？ 映射是“‘全部射出’加‘多箭一雕’；映射 ：A B 中，集合 A 中的元素必有象，但集合 B 中的元素 不一定有原象（A 中元素的象有且仅有一个，但 B 中元素的原象可能没有，也可能任意个）；函数是“非 空数集上的映射”，其中“值域是映射中象集 B 的子集” 过关题 3：(1) 集合 A={1, 2, 3}，集合 B={1, 2}，则从集合 A 到集合 B 的映射有 个； （2）：函数的定义域 A={1, 2, 3}，值域 B={1, 2}，则从集合 A 到集合 B 的映射有 个。 5 .（1）求不等式（方程）的解集，或求定义域时，你按要求写成集合或区间的形式了吗？ （2）你会求分式函数的对称中心吗？ 过关题 4：已知函数 的对称中心是(3, -1)，则不等式 f (x) > 0 的解集是 . 6 .求一个函数的解析式，你注明了该函数的定义域了吗？ 7 .四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真 假！复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样，差别在哪呢？充分条件、必要条件和 充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果。 原命题: ;逆命题: ;否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两个命题 是等价的. 如：“ ”是“ ”的 条件。（答：充分非必要条件） 若 且 ;则 p 是 q 的充分非必要条件（或 q 是 p 的必要非充分条件）; 注意命题 的否定与它的否命题的区别: 命题 的否定是 ；否命题是 命题“p 或 q”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且 q”的否定是“┐P 或┐Q” 注意：如 “若 和 都是偶数，则 是偶数”的 否命题是“若 和 不都是偶数，则 是奇数” 否定是“若 和 都是偶数，则 是奇数” 8.绝对值的几何意义是什么？不等式 ， 的解法掌握了吗？ 过关题 7：| x | + | x – 1|cf p 3( 3, )2 − f → f → ( ) 1 a xf x x a −= − − p q⇒ q p⇒ p q¬ ⇒ ¬ q p¬ ⇒ ¬ βα sinsin ≠ βα ≠ p q⇒ q p≠ p q⇒ p q⇒ p q⇒ ¬ p q¬ ⇒ ¬ a b ba + a b ba + a b ba + cbax <+ || cbax >+ || )0( >c | x | – | x – 1| 0 的解集为 ，则 a + b = . 过关题 9：方程 2sin 2 x – sinx + a – 1 = 0 有实数解，则 a 的取值范围是 . 特别提醒：二次方程 的两根即为不等式 解集的端点值，也是二 次函数 的图象与 轴的交点的横坐标。 对二次函数 ，你了解系数 对图象开口方向、在 轴上的截距、对称轴等的影响 吗？ 对函数 若定义域为 R，则 的判别式小于零；若值域为 R， 则 的判别式大于或等于零，你了解其道理吗？ 例如：y = lg(x 2 + 1)的值域为 ，y = lg(x 2 – 1) 的值域为 ，你有点体会吗？ 11.求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数 的单调增区间？再如已知函 数 在区间 上单调增，你会求 的范围吗？ 若函数 的单调增区间为 ，则 的范围是什么？ 若函数 在 上单调递增，则 的范围是什么？ 两题结果为什么不一样呢？ 12.函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定和证明是两回事呀！判断方法：图象法、复合 函数法等。 还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗？（⑴ 比较大小；⑵ 解不等式；⑶ 求参数的范 围。）如已知 ， ， ，求 的范围。 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间是区间不能用集合 或不等式表示。 13.判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性的必要非 充分条件）。 过关题 9：f (x) = a x 2 + b x + 3 a + b 是偶函数，其定义域为[a – 1, 2a]，则 a= , b= 。 14.常见函数的图象作法你掌握了吗？哪三种图象变换法？（平移、对称、伸缩变换） 函数的图象不可能关于 轴对称，（为什么？）如：y 2 = 4x 是函数吗？ 函数图象与 轴的垂线至多一个公共点，但与 轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个； 函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象；如圆； 图象关于 轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数，两图象关于直线 对称的两 函数是一对反函数。 过关题 10：函数 y = 2f (x – 1)的图象可以由函数 y = f (x)的图象经过怎样的变换得到？ 过关题 11：已知函数 y = f (x) (a≤x≤b)，则集合{(x, y)| y = f (x) ,a≤x≤b} ∩{(x, y)| x = 0}中，含有元素的 个数为（ ） A. 0 或 1 B. 0 C. 1 D. 无数个 15. 由 函 数 图 象 怎 么 得 到 函 数 的 图 象 ？ 由 函 数 图 象 怎 么 得 到 函 数 的图象？由函数 图象怎么得到函数 的图象？ 由函数 图象怎么得到函数 的图象？ ⑴ 曲线 关于 轴的对称的曲线 是： ⑵ 曲线 关于 轴的对称的曲线 是： ⑶ 曲线 关于直线 的对称的曲线 是： ⑷ 曲线 关于直线 对称的曲线 是： ⑸ 曲线 关于直线 的对称的曲线 是： 2x 2( 2) 2( 2) 1 0a x a x− + − − < 2a − 2( 2) 2( 2) 1 0a x a x− + − − < 1 1{ | }2 3x x− < < 02 =++ cbxax 02 >++ cbxax )0(< cbxaxy ++= 2 x cbxaxy ++= 2 , ,a b c y 2lg( 2 1)y x ax= − + 2 2 1x ax− + 2 2 1x ax− + 2 2log ( 2 3)y x x= − − 2log ( 2 1)ay x ax= − − [2,3] a 2 2 2y x ax= − + [ )2,+∞ a 2 2 2y x ax= − + x∈ [ )2,+∞ a 3( ) 5sinf x x x= + ( 1,1)x∈ − 2(1 ) (1 ) 0f a f a− + − < a x x y y y x= ( )y f x= ( )y f x= − ( )y f x= ( )y f x= − ( )y f x= ( )y f x= − − ( )y f x= (| |)y f x= : ( , ) 0C f x y = x 1C : ( , ) 0C f x y = y 2C : ( , ) 0C f x y = y x= 3C : ( , ) 0C f x y = y x= − 4C : ( , ) 0C f x y = y x m= + 5C ⑹ 曲线 关于直线 的对称的曲线 是： ⑺ 曲线 关于直线 对称的曲线 是： ⑻ 曲线 关于直线 对称的曲线 是： ⑼ 曲线 关于原点的对称的曲线 是： ⑽ 曲线 关于点 A 对称的曲线 是： 16.函数 的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用基本不等式 求最值的联系是什么？若 ＜0 呢？ 你知道函数 的单调区间吗？（该函数在 或 上单调递增；在 或 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！ 求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值。 17.(1)切记：研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行！一般是先求定义域，后化简，再研究性质。 过关题 13： 的单调递增区间是________(答：（1,2）)。 (2)抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？ 过关题 14：已知 是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T，则 __ （答：0） 18．解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质明确了吗？ 对指数函数 ，底数 与 1 的接近程度确定了其图象与直线 接近程度；对数函数 呢？ 你还记得对数恒等式（ ）和换底公式吗？ 知道： 吗？ 指 数 式 、 对 数 式 ： ， ，， ， ， ， ， ， ， 。 如 的值为________(答： ) 19.你还记得什么叫终边相同的角？若角 与 的终边相同，则 各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦；150角的正弦余弦值还记得吗？ 20.什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如： ； 由三角函数线，我们很容易得到函数 ， 和 的单调区间； 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出它们的单调区间、对 称中心、对称轴及其取得最值时的 值的集合吗？（别忘了 ） 你会用单位圆比较 sinx 与 cosx 的大小吗？当 时，x, sinx, tanx 的大小关系如何？ 过关题 15:函数 与函数 图象在 x∈[-2π,2π]上的交点的个数有 个？ 21．三角函数中，两角 的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？ 中 角是如何确定的？公式的作用太多了，有此体会吗？ 重要公式： ； ．； 如：函数 的单调递增区间为___________（答： : ( , ) 0C f x y = y x m= − + 6C : ( , ) 0C f x y = x m= 7C : ( , ) 0C f x y = y m= 8C : ( , ) 0C f x y = 9C : ( , ) 0C f x y = ( , )a b 10C )0( >+= kx kxy k ],( a b−−∞ ),[ +∞ a b ],0( a b )0,[ a b− ( )2 1 2 log 2y x x= − + )(xf =− )2( Tf xy a= a 1y = logay x= Na Na =log log log m n a a n N Nm = m n mna a= 1m n m n a a − = 0 1a = log 1 0a = log 1a a = lg 2 lg5 1+ = log lne x x= log ( 0, 1, 0)b aa N N b a a N= ⇔ = > ≠ > loga Na N= 2log 81( )2 1 64 α β 2 ,( )k k Zα β π= + ∈ 2sin 2x > 3cos 2 tan 1 θ θ < ≥ siny x= cosy x= tany x= x Zk ∈ (0, )2x π∈ tany x= siny x= α β、 2 2sin cos sin( )a x b x a b x ϕ+ = + + ϕ 2 2cos1sin2 αα −= 2 2cos1cos2 αα += 2sin2cos)2sin2(cossin1 2 θθθθθ ±=±=± 25 5 3f ( x ) sin xcos x cos x= − 5 32 ( x R )+ ∈ ） 巧变角：如 ， ， ， ， 等）， 如（1）已知 ， ，那么 的值是_____（答： ）；（2）已知 为 锐 角 ， ， ， 则 与 的 函 数 关 系 为 ______ （ 答 ： ） （3）若 x = 是函数 y = a sinx – b cosx 的一条对称轴，则函数 y = b sinx – a cosx 的一条对称轴是 A. B. C. D. π （ ） 22.会用五点法画 的草图吗？哪五点？会根据图象求参数 A、 、 的值吗？ 23.同角三角函数的三个基本关系，你记住了吗？三角函数诱导公式的本质是：“奇变偶不变，符号看象限” 函数 的奇偶性是______（答：偶函数） 24.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边 角互化？（用：面积公式，正弦定理，余弦定理，大角对大边等实现转化） 25.你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？（1）角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化； （2）名的变换：切割化弦；（3）次的变换：降幂公式；（4）形的变换：通分、去根式、1 的代换 ）等，这些统称为 1 的代换。 26.在已知三角函数中求一个角时，你（1）注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角 函数值）（2）注意考虑到函数的单调性吗？ 过关题 16： 。 过关题 17: 则 = 。 27.形如 +b， 的最小正周期会求吗？有关周期函数的结论还记得多少？ 周期函数对定义域有什么要求吗？求三角函数周期的几种方法你记得吗？ 28、 +b 与 y=sinx 变换关系:φ正左移负右移；b 正上移负下移; 29.在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？ 过关题 18：已知 ，求 的变化范围。 提示：整体换元，令 = t，然后与 相加、相减，求交集。 30.请记住 与 之间的关系。 过关题 19：求函数 y = sin2x + sinx + cosx 的值域。 31. 常见角的范围 ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是 ， ， ；②直线的倾斜角是 5 12 12[ k ,k ]( k Z ) π ππ π− + ∈ ( ) ( )α α β β α β β= + − = − + 2 ( ) ( )α α β α β= + + − 2 ( ) ( )α β α β α= + − − 2 2 α βα β ++ = ⋅ ( ) ( )2 2 2 α β β αα β+ = − − − 2tan( ) 5 α β+ = 1tan( )4 4 πβ − = tan( )4 πα + 3 22 ,α β sin ,cosx yα β= = 3cos( ) 5 α β+ = − y x 23 4 31 ( 1)5 5 5y x x x= − − + < < 6 π 6 π 3 π 2 π )sin( ϕω += xAy ω ϕ 5 22y sin x π = − 2 21 sin cosα α= + tan sin cos04 2 π π= = = 1sin cos ,8 2 π πα α α α α= < <且 ，则cos - si n 的值为 4 5 10sin ,sin ,5 10 α β α β== 且 , 为锐角, α β+ )sin( ϕω += xAy )tan( ϕω += xAy )sin( ϕω += xAy )sin()sin(sin 1 || Φ+= →Φ+= →= Φ xyxyxy ωω 倍横坐标伸缩到原来的左或右平移 )sin(sinsin ||1 Φ+= →= →= Φ xyxyxy ωω ωω 左或右平移倍横坐标伸缩到原来的 bxAyxAy bA +Φ+= →Φ+= → )sin()sin( || ωω 上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的 2 1cossin =βα αβ cossin αβ cossin sin cosα β α α±( si n cos ) sin cosα α ]2,0( π ]2,0[ π ],0[ π [0, )π 33.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？ 若 是角度， 公式又是什么形式呢？ 过关题: 已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。（答：2 ）， 34.三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？ ⑴ 内角和定理：三角形三内角和为 , , , ⑵ 正弦定理： （R 为三角形外接圆的半径）, 注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解 ⑶ 余弦定理： ， 等，常选用余弦定理 鉴定三角形的类型。 ⑷ 面积公式： ，内切圆半径 r= （5）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大角对大边，大边对大角，你注意到了吗？ ，你会证明吗？ 35．常见的三角换元法： 已知 ，可设 ； 已知 ，可设 ( )； 已知 ，可设 ； 36.重要不等式的指哪几个不等式？若 ，（1） （当且仅当 时取等号） ；（2）a、b、c R， （当且仅当 时，取等号）； （3）若 ，则 （糖水的浓度问题）。 37. 倒 数 法 则 还 记 得 吗 ？ （ 指 ， 常 用 如 下 形 式 ： ， ）。 38.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法及放缩法）（ ） 等号成立的条件是什么？ 39.利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到一正，二定，三相等？ 如：①函数 的最小值 。（答：8） ②若若 ，则 的最小值是______（答： ）； ③正数 满足 ，则 的最小值为______（答： ）； 40.二元函数求最值的三种方法掌握了吗？方法一：转化为一元问题，用消元或换元的方法；方法二：利用 基本不等式；方法三：数形结合法，距离型、截距型、斜率型） 过关题：若正数 a, b 满足 a b = a + b + 3, 则 a + b 的取值范围是 。（答： ） 基本变形：① ； ； 41.不等式的大小比较，你会用特殊值比较吗？ 1| | , 2l r S lrα= = α 2cm π sin sin( )A B C= + cos cos( )A B C=− + sin cos( )2 2 A B C+= 2sin sin sin a b c RA B C = = = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 2 2( ) 12 b c a bc + −= − 1 1 sin2 2 4a abcS ah ab C R = = = cba S ABC ++ ∆2 sin sinA B A B> ⇔ > 222 ayx =+ θθ sin,cos ayax == 122 ≤+ yx θθ sin,cos ryrx == 10 ≤≤ r 12 2 2 2 =+ b y a x θθ sin,cos byax == 0, >ba 2 2 2 2 2 1 1 a b a b ab a b + +≥ ≥ ≥ + ba = ∈ 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + a b c= = 0, 0a b m> > > b b m a a m +< + 1 10,ab a b a b > > ⇒ < 1 10 0a b a b > > ⇒ < < 1 10 0a b a b < < ⇒ > > 2 2 2 ( ) 2 | |2 a ba b ab ++ ≥ ≥ )2 1(42 94 >−−= xxxy 2 1x y+ = 2 4x y+ 2 2 ,x y 2 1x y+ = yx 11 + 3 2 2+ [ )9,+∞ ≥+ ba ≥+ 2)2( ba 过关题：已知 a > b > 0，且 a b = 1，设 ，则 A. P < M < N B. M < P < N C. N < P < M D. P < N < M ( ) 42.不等式解集的规范格式是什么？（一般要写成区间或集合的形式），另外“序轴标根法”解不等式的注 意事项是什么？ 将不等式整理成一边为零的形式，将非零的那边因式分解，要求每个因式中未知量 的最高次数项 的系数均为正值，求各因式的零点，画轴，穿线，注意零点的重数，在写解集时还得考虑解集中是否包 含零点。 43.解分式不等式 应注意什么问题？（在不能肯定分母正负的情况下， 一般不能去分母而是移项通分） 44.解含参数不等式怎样讨论？注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…” 解不等式 （综上，当 时，原不等式的解集是 ； 当 时，原不等式的解集是 或 ； 当 时，原不等式的解集是 或 ） 45.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元 转化） 46.解对数不等式应注意什么问题？（化成同底，利用单调性，底数和真数都大于零） 过关题：解关于 x 的不等式： 。 47.会用不等式 证一些简单问题吗？取等号需满足什么条件的？ 48.不等式恒成立问题有哪几种处理方式？（特别注意一次函数型和二次函数型，还有恒成立理论） 过关题：对任意的 a∈[-1, 1]，函数 f (x) = x 2 + (a – 4) x + 4 – 2a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是 。 过关题：当 P(m, n)为圆 x 2 + (y – 1) 2 = 1 上任意一点时，不等式 m + n + c≥0 恒成立，则 c 的取值范围 是 。 49.等差、等比数列的重要性质你记得吗？ （等差数列中的重要性质：若 ，则 ； 等差数列的通项公式： 型 前 项和： 型 等比数列中的重要性质：若 ，则 用等比数列求前 项和时一定要注意公比 是否为 1？（ 时， ； 时， ） 50.等差数列、等比数列的重要性质： 的数列有什么性质？若 为等差数列， 则 ？ 51.数列通项公式的常见求法： 观察法（通过观察数列前几项与项数之间的关系归纳出第 项 与项数 之间的关系） 公式法（利用等差、等比数列的通项公式或利用 直接写出所求数列的通项公式） 叠加法（适用于递推关系为 型） 连乘法（适用于递推关系为 型） 构造新数列法（如递推关 型） 52.数列求和的常用方法： 公式法：⑴ 等差数列的求和公式（两种形式），⑵ 等比数列的求和公式 2 , log , log , logc c cc P a N b M aba b = = = =+ x )0()( )( ≠> aaxg xf 2 ( )1 ax x a Rax > ∈− 0a = { |x 0}x < 0a > 1{ |x x a > 0}x < 0a < 1{ | 0}x xa < < 0}x < 2 1 4 log ( 2) 0x x− − > || | | || | | | | | |a b a b a b− ≤ ± ≤ + na kn b= + n 2 nS An Bn= + n q 1 1 ( )n na a d a+ −− = 为常数 { }na 2 1{ }{ }n na ka b− +， na 1 1 n n n Sa S S − = − 1 2 n n = ≥ 1 ( )n na a f n+ − = 1 ( )n n a f na + = 1 1; ( )n n n n n na pa q a pa b b+ += + = + 为等差数列或等比数列 ⑶ ， ， ， （了解） 分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再用公式法 求和（如：通项中含 因式，周期数列等等） 倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联， 那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式） 错位相减法：（“差比数列”的求和） 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消 法求和， 分组法求数列的和：如 an=2n+3n 、错位相减法求和：如 an=(2n-1)2n、 裂项法求和：如求和： （答： ）、 倒序相加法求和：如①求证： ； ②已知 ，则 ＝___（答： ） 求通项常法: （1）可利用公式: 如：数列 满足 ，求 （答： ） （2）先猜后证 （3）递推式为 ＝ ＋f(n) (采用累加法)； ＝ ×f(n) (采用累积法)； 如 已 知 数 列 满 足 ， ， 则 =________ （ 答 ： ） （4）构造法形如 、 （ 为常数）的递推数列 如已知 ，求 （答： ）； （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下 3 个公式的合理运用 an＝（an－an-1） +(an-1－an-2)+……＋（a2－a1）＋a1 ； an＝ （6）倒数法形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。 如①已知 ，求 （答： ）； ②已知数列满足 =1， ，求 （答： ）， 52.由 ，求数列通项时注意到 了吗？一般情况是： 53.立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？ ①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法 ②直线与平面: a∥α、a∩α=A (a α) 、a α ③平面与平面:α∥β、α∩β=a 线//线 线//面 面//面，线⊥线 线⊥面 面⊥面。 ( 1)1 2 2 n nn ++ + + = 21 3 5 (2 1)n n+ + + + − = 21 3 5 (2 1) ( 1)n n+ + + + + = + 2 2 2 2 11 2 3 ( 1)(2 1)6n n n n+ + + + = + + 3 3 3 3 2( 1)1 2 3 [ ]2 n nn ++ + + + = n( - 1) 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 n + + + + =+ + + + + + + 2 1 n n + 0 1 23 5 (2 1) ( 1) 2n n n n n nC C C n C n+ + + + + = + 2 2( ) 1 xf x x = + 1 1 1(1) (2) (3) (4) ( ) ( ) ( )2 3 4f f f f f f f+ + + + + + 7 2 1 1 n n n Sa S S − = − 1 2 n n = ≥ { }na 1 22 1 1 1 2 52 2 2 nna a a n+ + + = + na { 1 14, 1 2 , 2nn na n+ == ≥ 1na ＋ na 1na ＋ na { }na 1 1a = nn aa nn ++ =− − 1 1 1 ( 2)n ≥ na 1 2 1na n= + − + 1n na ka b−= + 1 n n na ka b−= + ,k b 1 11, 3 2n na a a −= = + na 12 3 1n na −= − 1 1 2 2n 1n 1n n aa a a a a a － － － ⋅ 1 1 n n n aa ka b − − = + 1 1 1 1, 3 1 n n n aa a a − − = = + na 1 3 2na n = − 1a 1 1n n n na a a a− −− = na 2 1 na n = 1−−= nnn SSa 2≥n 1 1 n n n Sa S S − = − 1 2 n n = ≥ ⊄ ⊂ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 常用定理:①线面平行 ; ; ②线线平行: ; ; ; ③面面平行: ; ; ④线线垂直: ;所成角 900； ⑤线面垂直: ; ; ; ⑥面面垂直：二面角 900; ; 54.⑴ 作二面角的平面角的主要方法是什么？（定义法、垂线法，垂面法） ⑵ 求线面角的关键是什么？（找直线的射影）范围是什么？异面直线所成的角如何求？（异面问题相 交化，即转化到同一平面上去求解），范围是什么？ （3）你能用空间向量求解立体几何题吗？怎样求法向量？ （1）线线关系：若不重合的两直线 AB、CD 的方向向量分别为 ， ，则： 一般关系：设异面 AB 与 CD 所成角为 ，则 。 特殊关系：① AB⊥CD ② AB∥CD ∥ 存在实数 ，使 。 （2）线面关系：若平面 外的直线 AB 的方向向量为，平面 的法向量为 ，则： 一般关系：设直线 AB 与平面 所成的角为 ，则 。 特殊关系：① AB ∥ 存在实数 ，使 。 ② AB∥ 。 （3）面面关系：若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，则： 一般关系：设以 ， 为面的锐（直）二面角的平面角为 ，则 。 设以 ， 为面的钝二面角的平面角为 ，则 α α α // // a a b ba ⇒ ⊄ ⊂ αβ βα //// aa ⇒ ⊂ α α β βα //a a a ⇒ ⊄ ⊥ ⊥ ba b a a // // ⇒ =∩ ⊂ βα β α bab a //⇒ ⊥ ⊥ α α ba b a // // ⇒ =∩ =∩ γβ γα βα bcca ba //// // ⇒ βα ββ αα // //,// , ⇒ =∩ ⊂⊂ ba Oba ba βαβ α //⇒ ⊥ ⊥ a a γαβγ βα //// // ⇒ bab a ⊥⇒ ⊂ ⊥ α α α αα ⊥⇒ ⊥⊥ =∩ ⊂⊂ l blal Oba ba , , β α βα βα ⊥⇒ ⊥⊂ =∩ ⊥ a laa l , βα βα ⊥⇒ ⊥ aa // αα ⊥⇒ ⊥ ba ba// βαα β ⊥⇒ ⊥ ⊂ a a βαα β ⊥⇒ ⊥a a// AB CD [ ]( ) 90,0∈θθ CDAB CDAB CDAB • == ,coscosθ 0=•⇔⊥⇔ CDABCDAB ⇔ AB CD λ CDAB λ= α α n α [ ]( ) 90,0∈θθ nAB nAB nAB • == ,cossinθ ⇔⊥ α AB n ⇔ λ ABn λ= α 0=•⇔⊥⇔ nABnAB α n β m α β θ nm nm nm • == ,coscosθ α β θ cos cos , m n m n m n θ • = − = − 特殊关系：① 。 ② ∥ ∥ 存在实数 ，使 。 （4）点到平面的距离：若 AB 是平面 外的一条线段，B 是 AB 与平面 的交点，平面 的法向量为 。 设点 A 到平面 的距离为 ，则有 等于在 上的射影的绝对值，（其它距离都可以转化为点面距离）即 。 55.（1）有关长方体的性质和结论，你记得吗？ （2）有关正四面体的性质和结论，你记得吗？正方体中有一个正四面体的模型，你知道吗？你能灵活 运用吗？侧棱与底面所成的角的余弦值为 ；侧面与底面所成的二面角的余弦值为 ；正四面体 的内切球半径 r 与外接球的半径 R 之比为 ，它们与正四面体的高 h 之间的关系分别 为 、 。 （3）正三棱锥、正四棱锥的性质，你记得吗？它们的特征直角三角形，你会应用吗？ （4）求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法） （5）求多面体体积的常规方法有哪些？（直接法、等体积法、割补法） 56.球的表面积、柱、锥、球的体积公式都记得吗？ 过关题：一个四面体的所有棱长都是 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 。 57．平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系 三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱 垂直) 顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等) 顶点在底面射影为底面内心; 正三角形四心?内切外接圆半径?; 58.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征 ⑴ 几个概念：零向量、单位向量、与 同方向的单位向量，平行向量，相等向量，相反向量，以及一个向量 在另一向量上的投影（ 在 方向上的投影是 , 为向量 与 的夹角）一定要记住! 过关题：在直角坐标平面上，向量 与 在直线 l 上的射影长度相等，则 l 的斜率 为 . ⑵ 和 0 是有区别的了， 的模是 0，它不是没有方向，而是方向不确定； 可以看成与任意向量平行， 但与任意向量都不垂直。 ⑶ 若 ，则 ，但是由 ，不能得到 或 ，你知道理由吗？ 还有： 时， 成立，但是由 不能得到 ，即消去律不成立。 59.向量中的重要结论记住了吗？如：在三角形 中，点 为边 的中点，则 ；已 知直线 外一点 ，点 在直线 上的充要条件为 。 60 你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗？ 62.向量运算的有关性质你记住了吗？数乘向量，向量的内积，向量的平行，向量的垂直，向量夹角的求法， 两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗？（不等价） 向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向 量是－ 。)、共线向量、相等向量 注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 63、加、减法的平行四边形与三角形法则: ; 64、向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则：① ； 0=•⇔⊥⇔⊥ mnmnβα α ⇔β n ⇔m λ mn λ= α α α n α d d n n nAB nABABd • == ,cos 2 a a b | | cos | | a ba b q ×= q a b (4,1)OA = (2, 3)OB = - 0 0 0 0a = 0a b× = 0a b× = 0a = 0b = a c= a b c b× = × a b c b× = × a c= ABC D AB 1( ) 2 CD CA CB= + AB O C AB (1 )OC tOA t OB= + - a a AB BC AC+ = AB AC CB- = a b a b a b- £ ± £ + a b q ②当 ， 同向时， ＝ ，特别地， ； 当 与 反向时， ＝－ ；当 为锐角时， ＞0，且 不同向， 是 为锐角的 必要非充分条件；当 为钝角时， ＜0，且 不反向， 是 为钝角的必要非充分条件； ③ 。如已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是 ______（答： 或 且 ）； ④向量 b 在 方向上的投影︱b︱cos ＝ ⑤ 和 是平面一组基底,则该平面任一向量 ( 唯一) 特别： ＝ 则 是三点 P、A、B 共线的充要条件 如 （ 1 ） 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 为 坐 标 原 点 ， 已 知 两 点 , , 若 点 满 足 ,其中 且 ,则点 的轨迹是___（答：直线 AB） 65.任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率，直线的斜率公式、点到直线的距离公 式吗？倾斜角α∈[0,π],α=900 斜率不存在;斜率 k=tanα= 两直线平行和垂直①若斜率存在 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 则 l1∥l2 k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2 k1k2=-1 ②若 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0； ③若 A1、A2、B1、B2 都不为零 l1∥l2 ; ④l1∥l2 则化为同 x、y 系数后距离 d= 66.何为直线的方向向量？法向量？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ 如：经过点(6 ,– 2)且方向向量为 e = (3 ,– 2)的直线方程为 。 67.在用点斜式、斜截式求直线方程时，你是否注意到了所设直线是否有斜率 不存在的情况？ 方程： 只能表示过点 斜率存在的直线，而方程： 则能表示 过点 且斜率不为零的直线，具体在什么情况下选选择哪种形式？你清楚吗？ 直线方程:点斜式 y-y1=k(x-x1);斜截式 y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0 两点式: ;截距式: (a≠0;b≠0);求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造 成丢解,直线 Ax+By+C=0 的方向向量为 =(A,-B) 68.方程： 中 的几何意义是啥？ 69.截距是距离吗？“截距相等”意味什么？什么样的直线其方程有截距式？（斜率存在，斜率不为零，且 不过原点） 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零，直线在两轴上的截距相等 直线的斜率为 或直线过 原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点；直线在两轴上的截距绝对值相等 直 线的斜率为 或直线过原点。 平行线系、垂直线系、经过两直线交点的直线系方程你都知道吗？ 过关题：过点(1, 2)且在坐标轴上截距相等的直线方程为 。 70.（1）方程 x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 表示圆的充要条件是什么？二元二次方程表示圆的充要条件是什 么？（2）点和圆的位置关系怎么判断？当点在圆上、圆外时怎么求切线的？当点在圆外时，切线长、 切点弦所在直线的方程，你记得求法吗？ 如：过点(1, 2)总可以作两条直线与圆 x 2 + y 2 +k x + 2y + 5 = 0 相切，则实数 k 的取值范围是 ， 在求解时，你注意到 x 2 + y 2 +k x + 2y + 5 = 0 表示圆的充要条件吗？ a b a · b a b 22 2 ,a a a a a a= • = = a b a · b a b q a · b a b 、 0a b⋅ > q q a · b a b 、 0a b⋅ < q | | | || |a b a b• ≤ ( ,2 )a l l ® = (3 ,2)b l ® = a ® b ® 4 3 λ < − 0λ > 1 3 λ ≠ a q a b a × 1e ® 2e ® 1 1 2 2a e el l ® ® ® = + 1 2,l l OP 1 2OA OBλ λ+ 1 2 1λ λ+ = O (3,1)A ( 1,3)B - C OC ¾¾¾® = 1 2OA OBl l ¾¾¾® ¾¾¾® + 1 2, Rl l Î 1 2 1l l+ = C 2 1 2 1 y y x x - - ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ≠= 22 21 || BA CC + − k 0 0( )y y k x x- = - 0 0( , )x y 0 0( )x x t y y- = - 0 0( , )x y 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x - -= - - 1x y a b + = a ,y kx b x my a= + = + , , ,k b m a Û 1- Û Û 1± 过点 P (2, 3)向圆 (x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 1 引切线，则切点弦方程为 . （3）直线和圆的位置关系利用什么方法判定？（圆心到直线的距离与圆的半径的比较或用代数方法） 直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断？ (4)圆:标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 参数方程: ;直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 (5)若(x0-a)2+(y0-b)2查看更多