高中数学高考总复习复数习题讲解

高中数学高考总复习复数习题讲解

高中数学高考总复习复数习题及详解 一、选择题 ‎1．复数＝(　　)‎ A．i　　　　　　　　　‎ B．－i C．12－13i ‎ D．12＋13i ‎[答案]　A ‎[解析]　＝＝＝i.‎ ‎2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)‎ A．4＋8i ‎ B．8＋2i C．2＋4i ‎ D．4＋i ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝＝2，y＝＝4，‎ ‎∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.‎ ‎3．若复数(m2－‎3m－4)＋(m2－‎5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是(　　)‎ A．－1 ‎ B．4‎ C．－1和4 ‎ D．－1和6‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由m2－‎3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.‎ ‎[点评]　复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．‎ ‎4．(文)已知复数z＝，则·i在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 ‎ B．第二象限 C．第三象限 ‎ D．第四象限 ‎[答案]　B ‎[解析]　z＝，＝＋，·i＝－＋i.实数－，虚部，对应点在第二象限，故选B.‎ ‎(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数(　　)‎ A．是纯虚数 ‎ B．是虚数但不是纯虚数 C．是实数 ‎ D．只能是零 ‎[答案]　C ‎[解析]　解法1：∵z的对应点P在单位圆上，‎ ‎∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋isinθ.‎ 则＝＝ ‎＝2cosθ为实数．‎ 解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)，‎ ‎∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，‎ ‎∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，‎ ‎∴＝z＋＝(a＋bi)＋(a－bi)＝‎2a∈R.‎ ‎5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数是(　　)‎ A．－3＋i ‎ B．－3－i C．3＋i ‎ D．3－i ‎[答案]　A ‎[解析]　(3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.‎ ‎6．已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为(　　)‎ A．－4 ‎ B．4‎ C．－1 ‎ D．1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2‎ ‎＝－4，故选A.‎ ‎7．(文)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 ‎ B．第二象限 C．第三象限 ‎ D．第四象限 ‎[答案]　D ‎[解析]　∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.‎ ‎(理)现定义：eiθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋bi等于(　　)‎ A．cos5θ＋isin5θ ‎ B．cos5θ－isin5θ C．sin5θ＋icos5θ ‎ D．sin5θ－icos5θ ‎[答案]　A ‎[解析]　a＋bi＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i‎2C52cos3θsin2θ＋i‎3C53cos2θsin3θ＋i‎4C54cosθsin4θ＋i‎5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(eiθ)5＝ei(5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.‎ ‎8．(文)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数∈R，则实数x的值为(　　)‎ A．－6 ‎ B．6‎ C. ‎ D．－ ‎[答案]　C ‎[解析]　＝＝ ‎＝＋　i∈R，∴＝0，∴x＝.‎ ‎(理)设z＝1－i(i是虚数单位)，则z2＋＝(　　)‎ A．－1－i ‎ B．－1＋i C．1－i ‎ D．1＋i ‎[答案]　C ‎[解析]　∵z＝1－i，∴z2＝－2i，＝＝1＋i，‎ ‎∴z2＋＝1－i，选C.‎ ‎9．在复平面内，复数对应的点到直线y＝x＋1的距离是(　　)‎ A. ‎ B. C．2 ‎ D．2 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵＝＝1＋i对应点为(1,1)，它到直线x－y＋1＝0距离d＝＝，故选A.‎ ‎10．(文)设复数z满足关系式z＋||＝2＋i，则z等于(　　)‎ A．－＋i ‎ B.－i C.＋i ‎ D．－－i ‎[答案]　C ‎[解析]　由z＝2－||＋i知z的虚部为1，设z＝a＋i(a∈R)，则由条件知a＝2－，∴a＝，故选C.‎ ‎(理)若复数z＝(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则|a＋2i|等于(　　)‎ A．2 ‎ B．2 C．4 ‎ D．8‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　z＝＝＝＋i是纯虚数，∴，∴a＝2，‎ ‎∴|a＋2i|＝|2＋2i|＝2.‎ 二、填空题 ‎11．规定运算＝ad－bc，若＝1－2i，设i为虚数单位，则复数z＝________.‎ ‎[答案]　1－i ‎[解析]　由已知可得＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i.‎ ‎12．若复数z1＝a－i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，且z1·z2为纯虚数，则实数a的值为________．‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　因为z1·z2＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i为纯虚数，所以a＝－1.‎ ‎13．(文)若a是复数z1＝的实部，b是复数z2＝(1－i)3的虚部，则ab等于________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　∵z1＝＝＝＋i，‎ ‎∴a＝.‎ 又z2＝(1－i)3＝1－3i＋3i2－i3＝－2－2i，∴b＝－2.‎ 于是，ab＝－.‎ ‎(理)如果复数(i是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b等于________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　＝·＝－i，‎ 由复数的实数与虚数互为相反数得，＝，‎ 解得b＝－.‎ ‎14．(文)若复数z＝sinα－i(1－cosα)是纯虚数，则α＝________.‎ ‎[答案]　(2k＋1)π　(k∈Z)‎ ‎[解析]　依题意，，即，所以α＝(2k＋1)π　(k∈Z)．‎ ‎[点评]　新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围．‎ ‎(理)设i为虚数单位，复数z＝(12＋5i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，则tanθ的值为________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　z＝(12cosθ－5sinθ)＋(12sinθ＋5cosθ)i∈R，‎ ‎∴12sinθ＋5cosθ＝0，∴tanθ＝－.‎ 三、解答题 ‎15．已知复数z＝＋(a2－‎5a－6)i(a∈R)．‎ 试求实数a分别为什么值时，z分别为：‎ ‎(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．‎ ‎[解析]　(1)当z为实数时，，‎ ‎∴a＝6，∴当a＝6时，z为实数．‎ ‎(2)当z为虚数时，，‎ ‎∴a≠－1且a≠6，‎ 故当a∈R，a≠－1且a≠6时，z为虚数．‎ ‎(3)当z为纯虚数时， ‎∴a＝1，故a＝1时，z为纯虚数．‎ ‎16．求满足＝1且z＋∈R的复数z.‎ ‎[解析]　设z＝a＋bi(a、b∈R)，‎ 由＝1⇒|z＋1|＝|z－1|，‎ 由|(a＋1)＋bi|＝|(a－1)＋bi|，‎ ‎∴(a＋1)2＋b2＝(a－1)2＋b2，得a＝0，‎ ‎∴z＝bi，又由bi＋∈R得，‎ b－＝0⇒b＝±，∴z＝±i.‎ ‎17．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.‎ ‎(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；‎ ‎(2)求点P(a，b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率．‎ ‎[解析]　(1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.‎ 依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率为.即事件“z－3i为实数”的概率为.‎ ‎(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎(1,4)‎ ‎(1,5)‎ ‎(1,6)‎ ‎2‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ ‎(2,4)‎ ‎(2,5)‎ ‎(2,6)‎ ‎3‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,3)‎ ‎(3,4)‎ ‎(3,5)‎ ‎(3,6)‎ ‎4‎ ‎(4,1)‎ ‎(4,2)‎ ‎(4,3)‎ ‎(4,4)‎ ‎(4,5)‎ ‎(4,6)‎ ‎5‎ ‎(5,1)‎ ‎(5,2)‎ ‎(5,3)‎ ‎(5,4)‎ ‎(5,5)‎ ‎(5,6)‎ ‎6‎ ‎(6,1)‎ ‎(6,2)‎ ‎(6,3)‎ ‎(6,4)‎ ‎(6,5)‎ ‎(6,6)‎ 由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．‎ 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．‎ 由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．‎ 所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝＝.‎