北京高考数学理北京卷

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北京高考数学理北京卷

绝密★使用完毕前 ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)‎ ‎ 本试卷共5页,150分.考试时长120分钟. ‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设不等式组表示的平面区域为.在区域内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设.“”是“复数是纯虚数”的( )‎ ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.执行如图所示的程序框图,输出的值为( )‎ ‎ A.2‎ B.4‎ C.8‎ D.16‎ ‎5.如图,,于点,以为直径的圆与交于点,则( )‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎6.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )‎ ‎ A.24 B.‎18 ‎ C.12 D.6‎ ‎7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎8.某棵果树前前的总产量与之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,值为( )‎ ‎ A.5‎ B.7‎ C.9‎ D.11‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9直线(为参数)与曲线(为参数)的交点个数为 .‎ ‎10.已知为等差数列,为其前项和.若,,则 .‎ ‎11.在中,若,,,则 .‎ ‎12.在直角坐标系中,直线过抛物线的焦点,且与该抛物线相交于,两点,其中点 在轴上方,若直线的倾斜角为.则的面积为 .‎ ‎13.已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则的值为 ;‎ ‎ 的最大值为 .‎ ‎14.已知,.若同时满足条件:‎ ‎ ①,或;‎ ‎②,‎ 则的取值范围是 .‎ 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(本小题共13分)已知函数.‎ ‎(1)求的定义域及最小正周期;‎ ‎(2)求的单调递增区间.‎ ‎16.(本小题共14分)‎ ‎ 如图1,在中,,,.,分别是,上的点,且,,将沿折起到的位置,使,如图2. ‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若是的中点,求与平面所成角的大小;‎ ‎(3)线段上是否存在点,使平面与平面垂直?说明理由.‎ ‎17.(本小题共13分)‎ ‎ 近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;‎ ‎(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;‎ ‎(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,其中,.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值.‎ ‎(求:,其中为数据,,…,的平均数)‎ ‎18.(本小题共13分)‎ ‎ 已知函数,.‎ ‎(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求,的值;‎ ‎(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.‎ ‎19.(本小题共14分)‎ 已知曲线 ‎(1)若曲线是焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;‎ ‎(2)设,曲线与轴的交点为(点位于点的上方),直线与曲线交于不同的两点,,直线与直线交于点.求证:三点共线.‎ ‎20.(本小题共13分)‎ 设是由个实数组成的行列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记为所有这样的数表构成的集合.‎ ‎ 对于,记为的第行各数之和,为的第列各数之和;记为,,…,,,,…,中的最小值.‎ ‎(1)对如下数表,求的值;‎ ‎ 1‎ ‎1‎ ‎(2)设数表形如 ‎1‎ ‎1‎ 求的最大值;‎ ‎(3)给定正整数,对于所有的,求的最大值.‎ 答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D D B C A B B C 二、填空题 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎2‎ ‎1;‎ ‎4‎ ‎1;1‎ 三、解答题 ‎15.解:‎ ‎(1)原函数的定义域为,最小正周期为.‎ ‎(2)原函数的单调递增区间为,‎ ‎16. 解:‎ ‎(1),平面,又平面,‎ 又,平面 ‎(2)如图建系,则,,,‎ ‎∴,设平面法向量为 则 ∴ ∴‎ ‎∴又∵∴‎ ‎∴‎ ‎∴与平面所成角的大小 ‎(3)设线段上存在点,设点坐标为,则 则,‎ 设平面法向量为则 ∴‎ ‎∴‎ 假设平面与平面垂直,则,‎ ‎∴,,‎ ‎∵‎ ‎∴不存在线段上存在点,使平面与平面垂直 ‎17.(1)由题意可知:‎ ‎(2)由题意可知:‎ ‎(3)由题意可知:,因此有当,,时,有.‎ ‎18.解:(1)由为公共切点可得:‎ ‎,则,,‎ ‎,则,,‎ ‎①‎ 又,,‎ ‎,即,代入①式可得:.‎ ‎(2),设 则,令,解得:,;‎ ‎,,‎ 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 ‎①若,即时,最大值为;‎ ‎②若,即时,最大值为 ‎③若时,即时,最大值为.‎ 综上所述:‎ 当时,最大值为;当时,最大值为.‎ ‎19.‎ ‎(1)原曲线方程可化简得:‎ 由题意可得:,解得:‎ ‎(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,‎ ‎,解得: 由韦达定理得:①,,②‎ 设,,‎ 方程为:,则,‎ ‎,,‎ 欲证三点共线,只需证,共线 即成立,化简得:‎ 将①②代入易知等式成立,则三点共线得证。‎ ‎20.解:(1)由题意可知,,,,‎ ‎∴‎ ‎(2)先用反证法证明:‎ 若,则,∴‎ 同理可知,∴,由题目所有数和为 即,∴与题目条件矛盾 ‎∴.易知当时,存在 ‎∴的最大值为1‎ ‎(3)的最大值为.‎ 首先构造满足的:‎ ‎,‎ ‎.‎ 经计算知,中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且 ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 下面证明是最大值. 若不然,则存在一个数表,使得.‎ 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于.‎ 设中有列的列和为正,有列的列和为负,由对称性不妨设,则. 另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负.‎ 考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过). 因此 ‎,‎ 故的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾. 因此的最大值为.‎
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