高中数学二项式定理高考复习

高中数学二项式定理高考复习

课题：二项式定理 一、知识要点 ‎1.二项式定理 一般地,对于任意整数,都有,这个公式叫做二项式定理.‎ ‎【注意】⑴等号右边的多项式叫做的二项展开式;‎ ‎ ⑵叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而项的系数与 的系数有关,正负不能确定.‎ ‎⑶公式右边共有项,比二项式的次数大1.‎ ‎⑷各项的次数都等于二项式的幂指数;字母按降幂排列,次数由递减到0,字母按升幂排列,次数由0递增到.‎ ‎⑸二项式定理表示一个恒等式,对于任意的,该等式都成立.通过对取不同的特殊值,可给某些问题的解决带来方便.‎ ‎ 令,则得到一个比较常用的公式: ；‎ ‎ 若令,则得到一个组合数恒等式: ；‎ ‎2.二项展开式的通项 二项展开式的第项叫做二项展开式的通项.‎ ‎【注意】⑴它表示二项式展开的第项,该项的二项式系数是,而不是;‎ ‎ ⑵字母的次数和组合数的上标相同;‎ ‎ ⑶与的次数之和为;‎ ‎ ⑷是常量,是变量;‎ ‎⑸公式中第一个量与第二个量的位置不能颠倒;‎ ‎⑹整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理;‎ ‎⑺它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用.‎ ‎3.二项式系数的性质 一般地, 展开式的二项式系数有以下性质 ‎⑴;⑵;‎ ‎⑶当时, ;当,,即当为偶数时,二项式系数中, 最大;当为奇数时, 二项式系数中, 和（两者相等）最大.‎ ‎⑷；‎ ‎⑸,即二项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和,‎ 二、金典题型 题型一:通项公式的应用 ‎ 求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.‎ ‎【☞例1】已知在的展开式中,第6项为常数项.‎ ‎⑴求;⑵求含的项的系数;⑶求展开式中所有的有理项.‎ 点评:解此类问题可以分两步完成:第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件（,均为非负整数,））;第二,根据所求的指数,再求所求解的项.‎ ‎【☞例2】若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.10 B.20 C.30 D.120‎ 题型二:系数最大值问题 ‎ 在求展开式中系数最大项时,可设第项的系数为最大,则利用,解不等式组即可得出.‎ ‎【☞例3】已知展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.‎ ‎⑴求展开式中二项式系数最大项; ⑵求展开式中系数最大项.‎ 点评:应注意区分项的系数和二项式系数两个概念.在求项的系数和时,常采用赋值法,求项的系数时,用来求,而二项式系数能直接写出.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1. 的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.‎ 题型三:赋值法的应用 ‎ 对形如、的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法, 只需令即可;对的式子求其展开式各项系数之和,只需令即可.‎ ‎【☞例4】已知.‎ ‎ ⑴求;⑵;⑶;⑷.‎ ‎【变式训练】‎ ‎2.对于的展开式,求⑴求各项系数之和;⑵奇数项系数之和;⑶偶数项系数之和.‎ 三、基础落实 ‎1.二项式展开式中,的系数为（ ）A.5 B.10 C.20 D.40‎ ‎2.如果的展开式中含有非零常数项,则正整数可能是（ ）A.6 B.8 C.9 D.10‎ ‎3.已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于（ ）A.15 B.-15 C.20 D.-20‎ ‎4.若展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.-540 B.-162 C.162 D.540‎ ‎5.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（ ）A.-7 B.7 C.-28 D.28‎ ‎6.在的二项展开式中,若常数项为60,则等于（ ） A.3 B.6 C.9 D12‎ ‎7. 的展开式中的系数为15.则的值为 .‎ ‎8.若,则的展开式中的常数项是 .（用数字作答）‎ ‎9.已知的展开式中,的系数为,则常数的值为 .‎ ‎10.展开式中,所有项的系数之和为 ;展开式中的系数为 .‎ 四、课堂小结与作业 ‎1.“各项的二项式系数”是指,而“某项的系数”是指这一项的所有的系数;只有当字母的系数为1时,某项的二项式系数与某项的系数才是相等的.‎ ‎2.二项式系数之和为;各项系数之和是每项的所有系数之和.‎ ‎3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一.‎ ‎4.注意表示的是二项式展开式中的第项,而非第项,此式为二次展开式的通项.‎ ‎【作业】见复印件