2004江苏高考数学历年真题及答案
2004 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题(5 分×12=60 分)
1．设集合 {1,2,3,4}P ， 2,Q x x x R ，则 P Q 等于 （ ）
A．{1，2} B． {3，4}
C． {1} D． {-2，-1，0，1，2}
2．函数 22cos 1y x ( x R )的最小正周期为 （ ）
A．
2
π B． π C． π2 D． π4
3．从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，
则不同的选法共有 （ ）
A．140 种 B．120 种 C．35 种 D．34 种
4．一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4cm，则该球的体积是
（ ）
A． 3
3
π100 cm B． 3
3
π208 cm
C． 3
3
π500 cm D． 3
3
π3416 cm
5．若双曲线
2 2
2 18
x y
b
的一条准线与抛物线 xy 82 的准线重合，则双曲线的离心率为
（ ）
A． 2 B． 22 C． 4 D． 24
6．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一天各自课外
阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这 50 名学生这一天
平均每人的课外阅读时间为 （ ）
A．0.6 小时 B．0.9 小时 C．1.0 小时 D．1.5 小时
7． 4(2 )x x 的展开式中 3x 的系数是 （ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
0.5
人数(人)
时间(小时)
20
10
5
0 1.0 1.5 2.0
15
8．若函数 log ( )( 0, 1)ay x b a a 的图象过两点 ( 1,0) 和 (0,1) ，则 （ ）
A．a=2，b=2 B．a= 2 ，b=2 C．a=2，b=1 D．a= 2 ，b= 2
9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数 1，2，3，4，5，6 的正方体玩具）
先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点向上的概率是 （ ）
A． 5
216 B． 25
216 C． 31
216 D． 91
216
10．函数 3( ) 3 1f x x x 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）
A．1，-1 B．1，-17 C．3，-17 D．9，-19
11．设 1k ， ( ) ( 1)f x k x ( x R ) . 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 ( )y f x 的图象
与 x 轴交于 A 点，它的反函数 1( )y f x 的图象与 y 轴交于 B 点，并且这两个函数的
图象交于 P 点. 已知四边形 OAPB 的面积是 3，则 k 等于
（ ）
A．3 B． 3
2 C． 4
3 D． 6
5
12．设函数 ( ) ( )1
xf x x Rx
，区间 M=[a，b](a
0，函数 ]2,2[),( ttmy 的图像是开口向上的抛物线的一段，由
]2,2[)(01 在知 tmat 上单调递增。∴ 2)2()( amag
（2）当 a=0 时，m(t)=t， ]2,2[t ， ∴ 2)( ag
（3）当 a<0 时，函数 y=m(t)， ]2,2[t 的图像是开口向下的抛物线的一段。
若 .2)2()( ,2
2],2,0(1 magaat 则即
若 .2
1)1()( ],2
1,2
2(],2,2(1
aaamagaat 则即
若 .2)2()(),0,2
1(),,2(1 amagaat 则即
综上有
2
22
2
1
2
2,2
1
2
1,2
)(
a
aaa
aa
ag
（Ⅲ）解法一：情形 1：当 .21)1(,2)(,2
11,2
aagagaa 此时时
由 212
a
解得 2,2
21 aa 与 矛盾。
情形 2：当 ,22 时 a 2
11
2
2
a
，此时 2)( ag ，
2,22
12,2
1)1( aaa
a
a
aag 与解得由 矛盾。
情形 3：当
2
212,-2
22
aa 时 ，此时 )1(2)( agag
所以
2
22 a 。
情形 4：当 21,-22
1
2
2
aa 时 ，此时
aaag 2
1)(
2
2,2
222
1,2)1( aaaaag 与解得由 矛盾。
情形 5：当 21,02
1
aa 时 ，此时 2)1(,2)(
agaag
由
2
1,2222 aaa 与解得 矛盾。
情形 6：当 a>0 时， 01
a
，此时 21)1(,2)(
aagaag
由 10,1212 aaaaa 知由解得
综上知，满足 )1()( agag 的所有实数 a 为： 12
22 aa 或
解法二：当 ,2
1时a 22
32)( aag
当 ]1,2
2(2
1),2
2,2
1[,2
1
2
2
aaa 时 ，所以 ,2
1
aa
2)2
1()(22
1)(
aaaaag 。因此，当 ,2
2 时a 2)( ag
当 01,0
aa 时 ，由 1212)1()( aaaagag 解得知
当 ,0时a 2)1(2)(,111,11
agagaaaa 或从而或因此
要使 )1()( agag ，必须有 .2
22,2
21,2
2 aaa 即
此 时 )1(2)( agag 。 综 上 知 ， 满 足 )1()( agag 的 所 有 实 数 a 为 ：
12
22 aa 或
（21）证明：必要性. 设 }{ na 是公差为 d1 的等差数列，则
0)()()()( 112312311 ddaaaaaaaabb nnnnnnnnnn
所以 ,3,2,1(1 nbb nn ）成立.
又 )(3)(2)( 231211 nnnnnnnn aaaaaacc
1111 632 dddd （常数）（n=1，2，3，…），所以数列 }{ nc 为等差
数列.
充分性，设数列 }{ nc 是公差 d2 的等差数列，且 1bbn （n=1，2，3，…）.
证法一：
①－②得 )(3)(2)( 423122 nnnnnnnn aaaaaacc
,32 21 nnn bbb ，
22112 2)()( dcccccc nnnnnn
221 232 dbbb nnn ， ③
从而有 .232 2321 dbbb nnn ④
④－③得 .0)(3)(2)( 23121 nnnnnn bbbbbb ⑤
0,0,0 23121 nnnnnn bbbbbb ，
∴由⑤得 ).,3,2,1(01 nbb nn
由此 不妨设 323 ),,3,2,1( daandb nnn 则 （常数）.
由此 3121 32432 daaaaac nnnnnn ，
从而 313211 524324 daadaac nnnnn ，
两式相减得 311 2)(2 daaca nnnn ，
因此 ),3,2,1)((2
1)(2
1
32311 ndddccaa nnnn 常数 ，
所以数列 }{ na 是等差数列.
证法二：令 由,1 nnn aaA ,3121 nnnnnn aaaabb 知
从而 ).,3,2,1(, 2231 nAAaaaa nnnnnn 即
由 321121 32,32 nnnnnnnn aaacaaac
得 )(3)(2)( 231211 nnnnnnnn aaaaaacc ，即
221 32 dAAA nnn . ⑥
由此得 2432 32 dAAA nnn . ⑦
⑥－⑦得 0)(3)(2)( 42312 nnnnnn AAAAAA . ⑧
因为 0,0,0 42312 nnnnnn AAAAAA ，
所以由⑧得 ).,3,2,1(02 nAA nn
于是由⑥得， 2211 3224 dAAAAA nnnnn ⑨
从而 .2442 2211 dAAAA nnnn ⑩
由⑨和⑩得 ,,4224 111 nnnnnn AAAAAA 故 即
),,3,2,1(112 naaaa nnnn
所以数列 }{ na 是等差数列.
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学
参考公式：
n 次独立重复试验恰有 k 次发生的概率为： ( ) (1 )k k n k
n nP k C p p
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰．
有一项．．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为
2
的是
A． xy = sin
2
B．y=sin2x C． cos
4
xy D．y=cos4x
2．已知全集 U=Z，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x︱x2=x｝，则 A∩CUB 为
A．｛-1，2｝ B．｛-1，0｝ C．｛0，1｝ D．｛1，2｝
3．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x－
2y=0，则它的离心率为
A． 5 B． 5
2
C． 3 D．2
4．已知两条直线 ,m n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：
① // ,m n m n ② // , , //m n m n
③ // , // //m n m n ④ // , // ,m n m n
其中正确命题的序号是
A．①、③ B．②、④ C．①、④ D．②、③
5．函数 ( ) sin 3 cos ( [ ,0])f x x x x 的单调递增区间是
A． 5[ , ]
6
B． 5[ , ]
6 6
C．[ ,0]
3
D．[ ,0]
6
6．设函数 f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线 x=1 对称，且当 x≥1 时，f（x）=3x
－1，则有
A． 1 3 2( ) ( ) ( )
3 2 3
f f f B． 2 3 1( ) ( ) ( )
3 2 3
f f f
C． 2 1 3( ) ( ) ( )
3 3 2
f f f D． 3 2 1( ) ( ) ( )
2 3 3
f f f
7．若对于任意实数 x，有 x3=a0+a1（x－2）+a2（x－2）2+a3（x－2）3，则 a2 的值为
A．3 B．6 C．9 D．12
8．设 2( ) lg( )
1
f x a
x
是奇函数，则使 f（x）<0 的 x 的取值范围是
A．（-1，0） B．（0，1） C．（-∞，0） D．（-∞，0）∪（1，+∞）
9．已知二次函数 f（x）=ax2+bx+c 的导数为 f′（x），f′（0）>0，对于任意实数 x 都有 f
（x）≥0，则 (1)
'(0)
f
f
的最小值为
A． 3 B． 5
2
C．2 D． 3
2
10．在平面直角坐标系 xOy，已知平面区域 A=｛（x，y）︱x+y≤1 且 x≥0，y≥0｝，则平面
区域 {( , ) | ( , ) }B x y x y x y A 的面积为
A．2 B．1 C． 1
2
D． 1
4
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。不需要写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
11．若 1 3cos( ) ,cos( )
5 5
，.则 tana·tanβ= .
12．某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A，B，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，
学校规定每位同学选修 4 门，共有 种不同选修方案。（用数值作答）
13．已知函数 f（x）=x3－12x+8 在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为 M，m，则 M－
m= ▲ .
14．正三棱锥 P－ABC 高为 2，侧棱与底面所成角为 45°，则点 A 到侧面 PBC 的距离是
15．在平面直角坐标系 xOY 中，已知△ABC 顶点 A（-4，0）和 C（4，0），顶点 B 在椭圆
2 2
1
25 16
x y 上，则 sin sin
sin
A C
B
。
16．某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t=0
时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，将 A，B 两点的距离 d（cm）表示成 t（s）的函数，
则 d= ，其中 t∈[0，60]。
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）
某气象站天气预报的准确率为 80%，计算（结果保留到小数点后面第 2 位）
（1）5 次预报中恰有 2 次准确的概率；（4 分）
（2）5 次预报中至少有 2 次准确的概率；（4 分）
（3）5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率；（4 分）
18．（本小题满分 12 分）如图，已知 ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1
上，点 F 在 CC1 上，且 AE=FC1=1，
（1）求证：E，B，F，D1 四点共面；（4 分）
（2）若点 G 在 BC 上， 2
3
BG ，点 M 在 BB1 上，GM BF ，垂足为 H，求证：EM 面
BCC1B1；（4 分）
（3）用 表示截面 EBFD1 和面 BCC1B1 所成锐二面角大小，求 tan 。（4 分）
19．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C（0，c）任作一直线，与抛物
线 y=x2 相交于 AB 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线 :l y c 交于 P，
Q。
（1）若 2OA OB
，求 c 的值；（5 分）
（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5 分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4 分）
20．（本小题满分 16 分）
已知｛an｝是等差数列，｛bn｝是公比为 q 的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记 Sn 为数列
｛bn｝的前 n 项和。
（1）若 bk=am（m，k 是大于 2 的正整数），求证：Sk-1=（m－1）a1；（4 分）
（2）若 b3=ai（i 是某个正整数），求证：q 是整数，且数列｛bn｝中每一项都是数列｛an｝
中的项；（8 分）
（3）是否存在这样的正数 q，使等比数列｛bn｝中有三项成等差数列？若存在，写出一
个 q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4 分）
21．（本小题满分 16 分）
已知 a，b，c，d 是不全为零的实数，函数 2( )f x bx cx d ，
3 2( )g x ax bx cx d ，方程 f（x）=0 有实根，且 f（x）=0 的实数根都是 g（f
（x））=0 的根，反之，g（f（x））=0 的实数根都是 f（x）=0 的根。
（1）求 d 的值；（3 分）
（2）若 a=0，求 c 的取值范围；（6 分）
（3）若 a=1，f（1）=0，求 c 的取值范围。（7 分）
参考答案
1．D 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A 9．C 10．B
11． 1
2
12．75 13．32 14． 6 5
5
15． 5
4
16．100 sin
60
t
17．解：（1）5 次预报中恰有 2 次准确的概率为
5 22 2 3
5 52 1 0.8 10 0.8 0.2 0.05.P C
（2）5 次预报中至少有 2 次准确的概率为
5 5
5 0 5 16 1 1
5 5
1 0 1
1 1 0.8 0.8 1 0.8
1 0.00032 0.0064 0.99.
P P
C C
（3）“5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确”的概率为
18．解法一：（1）如图：在 DD1 上取点 N，使 DN=1，连结 EN，则 AE=DN=1，CF=ND1=2
因为 AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形 ADNE、CFD1N 都为平行四边形。
从而 EN AD，FD1∥CN。
又因为 AD BC，所以 EN BC，故四边形 BCNE 是平行四边形，由此推知 CN∥BE，
从而 FD1∥BE。
（2）如图，GM⊥BF，又 BM⊥BC，所以∠BCM=∠CFB，BM=BC·tan∠CFB=BG·∠
CFB=BC· 2 3 1.
3 2
BC
CF
因为 AE BM，所以 ABME 为平行四边形，从而 AB∥EM
又 AB⊥平面 BCC1B1，所以 EM⊥平面 BCC1B1
（3）如图，连结 EH
因为 MH⊥BF，EM⊥BF，所以 BF⊥平面 EMH，得 EH⊥BF
于是∠EHM 是所求的二面角的平面角，即∠EHM=0
因为∠MBH=∠CFB，所以
MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB
2 2 2 2
3 3
1 ,
133 2
tan 13
BC
BM
BC CF
EM
MH
解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则 13, 0,1 , 0, 3, 2 , 3, 3, 3BE BF BD
所以 1BD BE BF
故 BD BE BF
1、 、 共面
又它们有公共点 B，
所以 E、B、F、D1 四点共面。
（2）如图，设 M（0，0，z）则 2
0, ,
3
CM z
而 0,3, 2BF
，由题设得
2 3 2 0
3
GM BF z
，得 z=1
因为 M（0，0，1），E（3，0，1），有 ME
=（3，0，0）
又 1 0,0,3BB
， 0,3,0BC
，所以 1 0, 0ME BB ME BC
，从而 ME⊥BB1，ME
⊥BC
故 ME⊥BB1，平面 BCC1B1
（3）设向量 , ,3BP x y
⊥截面 EBFD1，于是 ,BP BE BP BF
而 3,0,1 , 0,3, 2BE BF
，得 3 3 0, 3 6 0BP BE x BP BF y
，解得 x=-1，
y=-2，所以 1, 2,3 .BP
又 3,0,0BA
⊥平面 BCC1B1，所以 BP
和 BA
的夹角等于θ或л-θ（θ为锐角）
于是
1cos
14
BP BA
BP BA
故 tan 13
19．（1）设直线 AB 的方程为 y=kx+c，将该方程代入 y=x2 得 x2－kx－c=0
令 A（a，a2），B（b，b2），则 ab=﹣c
因为 2 2 2 2OA OB ab a b c c
，解得 c=2，或 c=﹣1（舍去）故 c=2
（2）由题意知 ,
2
a bQ c
，直线 AQ 的斜率为
2 2
2
2 2
AQ
a c a abk aa b a ba
又 r=x2 的导数为 r′=2x，所以点 A 处切线的斜率为 2a
因此，AQ 为该抛物线的切线
（3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设 Q（x0，﹣c）若 AQ 为该抛物线的切线，则 kAQ=2a
又直线 AQ 的斜率为
2 2
0 0
AQ
a c a abk
a x a x
，所以
0
2a ab a
a x
得 2ax0=a2+ab，因 a≠0，有 0 2
a bx
20．解：设{ }na 的公差为 d ，由 1 1 2 2 1,a b a b a ，知 0, 1d q ， 1 1d a q （ 1 0a ）
（1）因为 k mb a ，所以 1
1 1 11 1ka q a m a q ，
1 1 1 1 2 1kq m q m m q ，
所以
1
1 1
1 1
1 1 1
11
k
k
a q a m m q
S m aq q
（2） 2
3 1 1 1, 1 1ib a q a a i a q ，由 3 ib a ，
所以 2 21 1 1 , 1 2 0,q i q q i q i 解得， 1q 或 2q i ，但
1q ，所以 2q i ，因为i 是正整数，所以 2i 是整数，即 q 是整数，设数列{ }nb 中任
意一项为
1
1
n
nb a q n N ，设数列{ }na 中的某一项 ma m N = 1 11 1a m a q
现在只要证明存在正整数 m ，使得 n mb a ，即在方程 1
1 1 11 1na q a m a q
中 m 有正整数解即可，
1
1 2 211 1 1 , 1 11
n
n nqq m q m q q qq
，
所以： 2 22 nm q q q ，若 1i ，则 1q ，那么 2 1 1 1, 2 2 2n nb b a b b a ，
当 3i 时，因为 1 1 2 2,a b a b ，只要考虑 3n 的情况，因为 3 ib a ，所以 3i ，因此 q
是正整数，所以 m 是正整数，因此数列{ }nb 中任意一项为 1
1
n
nb a q n N 与数列{ }na
的第 2 22 nq q q 项相等，从而结论成立。
（3）设数列{ }nb 中有三项 , , , , ,m n pb b b m n p m n p N 成等差数列，则有
2 1 1 1
1 1 1 ,n m pa q a q a q 设 , , ,n m x p n y x y N ，所以 2 1 y
x qq
，
令 1, 2x y ， 则 3 2 1 0,q q 21 1 0q q q ， 因 为 1q ， 所 以
2 1 0q q ，所以 5 1
2q 舍去负值 ，即存在 5 1
2q 使得 { }nb 中有三项
1 3, ,m m mb b b m N
成等差数列。
21．解（1）设 0x 是 0f x 的根，那么 0 0f x ，则 0x 是 ( ( )) 0g f x 的根，则
0 0,g f x 即 0 0g ，所以 0d 。
（ 2 ） 因 为 0a ， 所 以 2 2,f x bx cx g x bx cx ， 则
( ( ))g f x f x bf x c
= 2 2 2bx cx b x bcx c =0 的根也是 0f x x bx c 的根。
（a）若 0b ，则 0c ，此时 0f x 的根为 0，而 ( ( )) 0g f x 的根也是 0，所以
0c ，
（b）若 0b ，当 0c 时， 0f x 的根为 0，而 ( ( )) 0g f x 的根也是 0，当 0c
时，
0f x 的 根 为 0 和 c
b
， 而 0bf x c 的 根 不 可 能 为 0 和 c
b
， 所 以
0bf x c 必无实数根，所以 2 24 0,bc b c 所以 2 4 0,0 4c c c ，从而
0 4c
所以当 0b 时， 0c ；当 0b 时， 0 4c 。
（3） 1, (1) 0a f ，所以 0b c ，即 0f x 的根为 0 和 1，
所以 22 2cx cx c cx cx c =0 必无实数根，
（a）当 0c 时， t = 2cx cx =
21
2 4 4
c cc x
，即函数 2h t t ct c 在
4
ct ， 0h t 恒 成 立 ， 又
2 2
2
2 4
c ch t t ct c t c
， 所 以
min 04
ch t h
，即
2 2
0,16 4
c c c 所以 160 3c ；
（b）当 0c 时， t = 2cx cx =
21
2 4 4
c cc x
，即函数 2h t t ct c 在
4
ct ， 0h t 恒 成 立 ， 又
2 2
2
2 4
c ch t t ct c t c
， 所 以
min 02
ch t h
，
2
4
cc 0 ，而 0c ，所以
2
4
cc 0 ，所以 c 不可能小于 0，
（c） 0,c 则 0,b 这时 0f x 的根为一切实数，而 0g f x ，所以 0,c 符
合要求。所以 160 3c
2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1． )6cos()( xxf 最小正周期为
5
，其中 0 ，则
2．一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率
3． ),(1
1 Rbabiai
i
表示为 的形式，则 ba =
4． 73)1( 2 xxxA ，则集合 A Z 中有 个元素
5． ba
, 的夹角为 120 ， 1, 3a b ，则 5a b
6．在平面直角坐标系 xoy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域，
E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入 E 中的概率
7．某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现
随机地选择 50 位老人做调查，下表是 50 位老人日睡眠时间频率
分布表：
序号
（i）
分组
睡眠时间
组中值
（Gi）
频数
（人数）
频率
（Fi）
1 [4，5） 4.5 6 0.12
2 [5，6） 5.5 10 0.20
3 [6，7） 6.5 20 0.40
4 [7，8） 7.5 10 0.20
5 [8，9] 8.5 4 0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的 S
的值为 ．
8．直线 bxy
2
1 是曲线 ln ( 0)y x x 的一条切线，则实数 b
的值为
9．在平面直角坐标系中，设三角形 ABC 的顶点分别为 )0,(),0,(),,0( cCbBaA ，点 P（0，
p）在线段 AO 上（异于端点），设 pcba ,,, 均为非零实数，直线 CPBP, 分别交 ABAC, 于
点 FE, ，一同学已正确算的OE 的方程： 01111
yapxcb
，请你求OF 的方程：
( ) 011
yapx
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
开始
S 0
输入 Gi，Fi
i 1
S S＋Gi·Fi
i≥5
i i＋1
N
Y
输出 S
结束
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律，第 n 行（ 3n ）从左向右的第 3 个数为
11．
2
*, , , 2 3 0, yx y z R x y z xz
的最小值为
12．在平面直角坐标系中，椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的焦距为 2，以 O 为圆心，a 为半
径的圆，过点
0,
2
c
a 作圆的两切线互相垂直，则离心率 e =
13．若 BCACAB 2,2 ，则 ABCS 的最大值
14． 13)( 3 xaxxf 对于 1,1x 总有 0)( xf 成立，则 a =
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（14 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终
边分别与单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为
5
52,10
2
（1）求 )tan( 的值； （2）求 2 的值。
16．（14 分）在四面体 ABCD 中， BDADCDCB , ，且 E、F 分别是 AB、BD 的中点，
求证：（1）直线 EF//面 ACD；（2）面 EFC⊥面 BCD
17．（14 分）某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知
AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），
且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP，设排
污管道的总长为 ykm。
B
C A
F
D
E
x
y
O
A
B
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将 y 表示成θ的函数关系式；②设 OP=x(km)，将 y 表示成 x 的函
数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度
最短。
18．（16 分）设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 2( ) 2 ( )f x x x b x R 的图像与两
坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C。求：（1）求实数 b 的取值范围；（2）求圆
C 的方程
（3）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论。
19．（16 分）（1）设 naaa ,......, 21 是各项均不为零的等差数列（ 4n ），且公差 0d ，若将
此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当 4n 时，求
d
a1 的数值；
②求 n的所有可能值；
（2）求证：对于一个给定的正整数 )4( nn ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
nbbb ,......, 21 ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。
20. （ 16 分 ） 若 1 2
1 2( ) 3 , ( ) 2 3x p x pf x f x ， x R ， 1 2,p p 为 常 数 ， 且
)()(),(
)()(),()(
212
211
xfxfxf
xfxfxfxf
B
CD
A
O
P
（1）求 )()( 1 xfxf 对所有实数 x 成立的充要条件（用 21, pp 表示）；（2）设 ba, 为两实数，
ba 且 ),(, 21 bapp 若 )()( bfaf ，求证： )(xf 在区间 ba, 上的单调增区间的长度
和为
2
ab （闭区间 nm, 的长度定义为 mn ）
附加题
21．（选做题）从 A，B，C，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分．
A．选修 4—1 几何证明选讲
如图，设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E，∠BAC 的平分线与 BC 交于
点 D．求证： 2ED EB EC ．
B．选修 4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 2 24 1x y 在矩阵 A= 2 0
0 1 对应的变换作用下得到曲
线 F，求 F 的方程．
C．选修 4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( )P x y， 是椭圆
2
2 13
x y 上的一个动点，求 S x y 的最
大值．
D．选修 4—5 不等式证明选讲
设 a，b，c 为正实数，求证： 3 3 3
1 1 1 2 3abca b c
+ ≥ ．
22．记动点 P 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1-ABCD A B C D 的对角线 1BD 上一点，记 1
1
D P
D B
．当
APC 为钝角时，求 的取值范围．
B C ED
A
23．请先阅读：在等式 2cos2 2cos 1x x （ xR ）的两边求导，得：
2(cos2 ) (2cos 1) x x ，由求导法则，得 ( sin 2 ) 2 4cos ( sin ) x x x ，化简得等
式： sin 2 2cos sinx x x ．
（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）n＝ 0 1 2 2C C C C n n
n n n nx x x
（ xR ，正整数 2n≥ ），证明： 1[(1 ) 1]nn x ＝ 1
1
C
n
k k
n
k
k x
．
（2）对于正整数 3n≥ ，求证：（i）
1
( 1) C
n
k k
n
k
k
＝0；（ii） 2
1
( 1) C
n
k k
n
k
k
＝0；（iii）
1
1
1 2 1C1 1
nn
k
n
k k n
．
参考答案
一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1. cos 6f x x
的最小正周期为
5
，其中 0 ，则 = ▲ ．
【解析】本小题考查三角函数的周期公式. 2 105T
【答案】10
2．一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 ▲ ．
【解析】本小题考查古典概型．基本事件共 6×6 个，点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共
3 个，故 3 1
6 6 12P
【答案】 1
12
3.1
1
i
i
表示为 a bi ,a b R ，则 a b = ▲ ．
【解析】本小题考查复数的除法运算．∵ 211
1 2
ii ii
，∴ a ＝0，b ＝1，因此 1a b
【答案】1
4.A= 2
1 3 7x x x ，则 A Z 的元素的个数 ▲ ．
【 解 析 】 本 小 题 考 查 集 合 的 运 算 和 解 一 元 二 次 不 等 式 ． 由 2
1 3 7x x 得
2 5 8 0x x ,∵Δ＜0，∴集合 A 为 ，因此 A Z 的元素不存在．
【答案】0
5. a
，b
的夹角为120 ， 1a ， 3b 则 5a b ▲ ．
【解析】本小题考查向量的线性运算． 22 2 2
5 5 25 10a b a b a a b b
= 2 2125 1 10 1 3 3 492
， 5a b
7
【答案】7
6.在平面直角坐标系 xoy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域，
E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入 E 中的概率 ▲ ．
【解析】本小题考查古典概型．如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界），
区域 E 表示单位圆及其内部，因此．
21
4 4 16P
【答案】
16
7.算法与统计的题目
8.直线 1
2y x b 是曲线 ln 0y x x 的一条切线，则实数 b＝ ▲ ．
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ' 1y x
，令 1 1
2x
得 2x ，故切点
（2，ln2），代入直线方程，得，所以 b＝ln2－1．
【答案】ln2－1
9 在平面直角坐标系中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点 P（0，p）
在线段 AO 上（异于端点），设 a,b,c, p 均为非零实数，直线 BP,CP 分别交 AC , AB 于点
E ,F ，一同学已正确算的 OE 的方程： 1 1 1 1 0x yc b p a
，请你求 OF 的方程：
（ ▲ ） 1 1 0x yp a
.
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填 1 1
c b
．事实上，由截距
式可得直线 AB： 1x y
b a
，直线 CP： 1x y
c p
，两式相减得 1 1 1 1 0x yb c p a
，
显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的
方程．
【答案】 1 1
b c
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第 n 行（n ≥3）从左向右的第 3 个数为 ▲ ．
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前 n－1 行共有正整数 1＋2＋…＋（n
－1）个，即
2
2
n n 个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第
2
2
n n ＋3 个，即为
2 6
2
n n ．
【答案】
2 6
2
n n
11.已知 , ,x y z R ， 2 3 0x y z ，则
2y
xz
的最小值 ▲ ．
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由 2 3 0x y z 得 3
2
x zy ，代入
2y
xz
得
2 29 6 6 6 34 4
x z xz xz xz
xz xz
，当且仅当 x ＝3 z 时取“＝”．
【答案】3
12.在平面直角坐标系中，椭圆
2 2
2 2
x y
a b
1( a b 0)的焦距为 2，以 O 为圆心，a 为半径
的圆，过点
2
,0a
c
作圆的两切线互相垂直，则离心率 e = ▲ ． ? ?
【解析】设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以△OAP 是等腰直角三角
形，故
2
2a ac
，解得 2
2
ce a
．
【答案】 2
2
13．若 AB=2, AC= 2 BC ，则 ABCS 的最大值 ▲ ． ?
【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设 BC＝ x ，则 AC＝ 2x ，
根据面积公式得 ABCS = 21 sin 1 cos2 AB BC B x B ，根据余弦定理得
2 2 2 2 24 2cos 2 4
AB BC AC x xB AB BC x
24
4
x
x
，代入上式得
ABCS =
2 22 128 1241 4 16
xxx x
由三角形三边关系有 2 2
2 2
x x
x x
解得 2 2 2 2 2 2x ，
故当 2 2x 时取得 ABCS 最大值 2 2
【答案】 2 2
14. 3 3 1f x ax x 对于 1,1x 总有 f x ≥0 成立，则 a = ▲ ．
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若 x＝0，则不论 a 取何值， f x ≥0 显然成
立；当 x＞0 即 1,1x 时， 3 3 1f x ax x ≥0 可化为， 2 3
3 1a x x
设 2 3
3 1g x x x
，则 '
4
3 1 2xg x x
， 所以 g x 在区间 10, 2
上单调递增，在区
间 1 ,12
上单调递减，因此 max
1 42g x g
，从而 a ≥4；
当 x＜0 即 1,0 时， 3 3 1f x ax x ≥0 可化为 a 2 3
3 1
x x
， '
4
3 1 2xg x x
0
g x 在区间 1,0 上单调递增，因此 ma 1 4ng x g ，从而 a ≤4，综上 a ＝4
【答案】4
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与
单位圆相交于 A,B 两点，已知 A,B 的横坐标分别为 2 2 5,10 5
．
（Ⅰ）求 tan( )的值；
（Ⅱ）求 2 的值．
【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．
由条件的 2 2 5cos ,cos10 5
，因为 , 为锐角，所以sin = 7 2 5,sin10 5
因此 1tan 7,tan 2
（Ⅰ）tan( )= tan tan 31 tan tan
（Ⅱ） 2
2tan 4tan 2 1 tan 3
，所以 tan tan 2tan 2 11 tan tan 2
∵ , 为锐角，∴ 30 2 2
，∴ 2 = 3
4
16．在四面体 ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且 E ,F 分别是 AB,BD 的中点，
求证：（Ⅰ）直线 EF ∥面 ACD ；
（Ⅱ）面 EFC⊥面 BCD ．
【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．
（Ⅰ）∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点，
∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，
∵EF 面 ACD ，AD 面 ACD ，∴直线 EF∥面 ACD ．
（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F 是 BD 的中点，∴CF⊥BD.
又 EF CF=F，∴BD⊥面 EFC．∵BD 面 BCD，∴面 EFC⊥面 BCD ．
17．某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km,
CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且 A,B 与
等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP ，设排污管道的总长
为 y km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO= (rad)，将 y 表示成 的函数关系式；
②设 OP x (km) ，将 y 表示成 x x 的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定
污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO= (rad) ，则 10
cos cos
AQOA , 故
10
cosOB ，又 OP＝10 10tan 10－10ta ，
所以 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP ，
所求函数关系式为 20 10sin 10cosy
0 4
②若 OP= x (km) ，则 OQ＝10－ x ，所以 OA =OB= 2 2 210 10 20 200x x x
所求函数关系式为 22 20 200 0 10y x x x x
（Ⅱ）选择函数模型①， '
2 2
10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1
cos cos
siny
令 'y 0 得 sin 1
2
，因为 0 4
，所以 =
6
，
当 0, 6
时， ' 0y ， y 是 的减函数；当 ,6 4
时， ' 0y ， y 是 的增函
数，所以当 =
6
时， min 10 10 3y 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边
10 3
3
km 处。
18．设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 2 2f x x x b x R 的图象与两坐标轴
C
B
P
O
A
D
有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C．求：
（Ⅰ）求实数 b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆 C 的方程；
（Ⅲ）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论．
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令 x ＝0，得抛物线与 y 轴交点是（0，b）；
令 2 2 0f x x x b ，由题意 b≠0 且Δ＞0，解得 b＜1 且 b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为 2x 2 0y Dx Ey F
令 y ＝0 得 2 0x Dx F 这与 2 2x x b ＝0 是同一个方程，故 D＝2，F＝b ．
令 x ＝0 得 2y Ey ＝0，此方程有一个根为 b，代入得出 E＝―b―1．
所以圆 C 的方程为 2 2 2 ( 1) 0x y x b y b .
（Ⅲ）圆 C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆 C 的方程，得左边＝0 2 ＋1 2 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边
＝0，
所以圆 C 必过定点（0，1）．
同理可证圆 C 必过定点（－2，1）．
19.（Ⅰ）设 1 2, , , na a a 是各项均不为零的等差数列（ 4n ），且公差 0d ，若将此数
列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当 n =4 时，求 1a
d
的数值；②求 n 的所有可能值；
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数 n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
1 2, , , nb b b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．
（Ⅰ）①当 n＝4 时， 1 2 3 4, , ,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成
等比数列，则推出 d＝0．
若删去 2a ，则有 2
3 1 4 ,a a a 即 2
1 1 12 3a d a a d
化简得 2
1 4a d d ＝0，因为 d ≠0，所以 1a
d =4 ；
若删去 3a ，则有 2
1 4a a a ，即 2
1 1 1 3a d a a d ，故得 1a
d =1．
综上 1a
d =1 或－4．
②当 n＝5 时， 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项．
若删去 2a ，则有 1 5a a ＝ 3 4a a ，即 1 1 1 14 2 3a a d a d a d ．故得 1a
d =6 ；
若删去 3a ，则 1 5a a ＝ 2 4a a ，即 1 1 1 14 3a a d a d a d ．
化简得 3 2d ＝0，因为 d≠0，所以也不能删去 3a ；
若删去 4a ，则有 1 5a a ＝ 2 3a ag ，即 ( ) ( ) ( )1 1 1 14 2a a d a d a d+ = + +g g ．故得 1a
d = 2 ．
当 n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列 1a ， 2a ， 3a ，…， 2na ， 1na ， na
中，
由于不能删去首项或末项，若删去 2a ，则必有 1 na a ＝ 3 2na a ，这与 d≠0 矛盾；同样若删
去 2na 也有 1 na a ＝ 3 2na a ，这与 d≠0 矛盾；若删去 3a ，…， 2na 中任意一个，则必有
1 na a ＝ 2 1na a ，这与 d≠0 矛盾．
综上所述，n∈{4，5}．
（Ⅱ）略
20.若 1
1 3 x pf x ， 2
2 2 3 x pf x ， 1 2, ,x R p p 为常数，
且
1 1 2
2 1 2
,
,
f x f x f xf x f x f x f x
（Ⅰ）求 1f x f x 对所有实数成立的充要条件（用 1 2,p p 表示）；
（Ⅱ）设 ,a b 为两实数， a b 且 1 2,p p ,a b ,若 f a f b
求证： f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和为
2
b a （闭区间 ,m n 的长度定义为
n m ）．
【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．
（Ⅰ） 1f x f x 恒成立 1 2f x f x 1 23 2 3x p x p 1 2 3log 23 3x p x p
1 2 3 2x p x p log （*）
因为 1 2 1 2 1 2x p x p x p x p p p
所以，故只需 1 2p p 3 2log （*）恒成立
综上所述， 1f x f x 对所有实数成立的充要条件是： 1 2p p 3 2log
（Ⅱ）1°如果 1 2p p 3 2log ，则的图象关于直线 1x p 对称．因为 f a f b ，所以
区间 ,a b 关于直线 1x p 对称．
因为减区间为 1,a p ，增区间为 1,p b ，所以单调增区间的长度和为
2
b a
2°如果 1 2p p 3 2log .
（1）当 1 2p p 3 2log 时.
1
1
1
1
1
3 , ,
3 , ,
x p
p x
x p bf x x a p
，
2 3
2 3
log 2
2
2 log 2
2
3 , ,
3 , ,
x p
p x
x p bf x x a p
当 1,x p b ，
2 1 3log 21 0
2
3 3 1,p pf x
f x
因 为 1 20, 0f x f x ， 所 以
1 2f x f x ，
故 1f x f x = 13x p
当 2,x a p ，
1 2 3log 21 0
2
3 3 1,p pf x
f x
因 为 1 20, 0f x f x ， 所 以
1 2f x f x
故 2f x f x = 2 3log 23p x
因为 f a f b ，所以 2 31 log 23 3 p ab p ，所以 1 2 3log 2,b p p a 即
1 2 3log 2a b p p
当 2 1,x p p 时，令 1 2f x f x ，则 2 31 log 23 3x pp x ，所以 1 2 3log 2
2
p px ，
当 1 2 3
2
log 2, 2
p px p
时， 1 2f x f x ，所以 2f x f x = 2 3log 23x p
1 2 3
1
log 2 ,2
p px p
时， 1 2f x f x ，所以 1f x f x = 13p x
f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和 1 2 3
1 2
log 2
2
p pb p p
= 1 2 3log 2
2 2 2
p p a b b ab b
（2）当 2 1p p 3 2log 时.
1
1
1
1
1
3 , ,
3 , ,
x p
p x
x p bf x x a p
，
2 3
2 3
log 2
2
2 log 2
2
3 , ,
3 , ,
x p
p x
x p bf x x a p
当 2 ,x p b ，
2 1 3log 21 0
2
3 3 1,p pf x
f x
因 为 1 20, 0f x f x ， 所 以
1 2f x f x ，
故 2f x f x = 2 3log 23x p
当 1,x a p ，
1 2 3log 21 0
2
3 3 1,p pf x
f x
因为 1 20, 0f x f x ，所以 1 2f x f x
故 1f x f x = 13p x
因为 f a f b ，所以 2 31 log 23 3b pp a ，所以 1 2 3log 2a b p p
当 1 2,x p p 时，令 1 2f x f x ，则 2 31 log 23 3 p xx p ，所以 1 2 3log 2
2
p px ，
当 1 2 3
1
log 2, 2
p px p
时， 1 2f x f x ，所以 1f x f x = 13x p
1 2 3
1
log 2 ,2
p px p
时， 1 2f x f x ，所以 2f x f x = 2 3log 23p x
f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和 1 2 3
2 1
log 2
2
p pb p p
= 1 2 3log 2
2 2 2
p p a b b ab b
综上得 f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和为
2
b a
21：从 A，B，C，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分
A．选修 4—1 几何证明选讲
如图，设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E，∠BAC 的平分线与 BC 交于
点 D．求证： 2ED EB EC ．
证明：如图，因为 AE 是圆的切线，
所以， ABC CAE ,
又因为 AD 是 BAC 的平分线，
所以 BAD CAD
从而 ABC BAD CAE CAD
因为 ADE ABC BAD ,
DAE CAD CAE
B C ED
A
所以 ADE DAE ,故 EA ED .
因为 EA 是圆的切线，所以由切割线定理知,
2EA EC EB ,
而 EA ED ,所以 2ED EC EB
B．选修 4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 2 24 1x y 在矩阵 2 0
0 1 对应的变换作用下得到曲线 F，
求 F 的方程．
解：设 0 0( , )P x y 是椭圆上任意一点，点 0 0( , )P x y 在矩阵 A 对应的变换下变为点
' ' '
0 0( , )P x y 则有
'
0 0
'
00
2 0 0 1
x x
yy
，即
'
0 0
'
0 0
2x x
y y
，所以
'
0
0
'
0 0
2
xx
y y
又因为点 P 在椭圆上，故 2 2
0 04 1x y ，从而 ' 2 ' 2
0 0( ) ( ) 1x y
所以，曲线 F 的方程是 2 2 1x y
C．选修 4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( )P x y， 是椭圆
2
2 13
x y 上的一个动点，求 S x y 的最
大值．
解： 因椭圆
2
2 13
x y 的参数方程为 3 cos (
sin
x
y
为参数）
故可设动点 P 的坐标为 ( 3 cos ,sin ），其中 0 2 .
因此 3 13 cos sin 2( cos sin ) 2sin( )2 2 3S x y
所以。当
6
是， S 取最大值 2
D．选修 4—5 不等式证明选讲
设 a，b，c 为正实数，求证： 3 3 3
1 1 1 2 3a b c
+abc≥ ．
证明：因为 , ,a b c 为正实数，由平均不等式可得 3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 13a b c a b c
即 3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
所以 3 3 3
1 1 1 3abc abca b c abc
，
而 3 32 2 3abc abcabc abc
所以 3 3 3
1 1 1 2 3a b c
+abc≥
22．【必做题】记动点 P 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1-ABCD A B C D 的对角线 1BD 上一点，记
1
1
D P
D B
．当 APC 为钝角时，求 的取值范围．
解：由题设可知，以 DA
、 DC
、 1DD
为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ，则有
(1,0,0)A , (1,1,0)B , (0,1,0)C , (0,0,1)D
由 1 (1,1, 1)D B ，得 1 1 ( , , )D P D B ，所以
1 1 ( , , ) (1,0, 1) (1 , , 1)PA PD D A
1 1 ( , , ) (0,1, 1) ( ,1 , 1)PC PD D C
显然 APC 不是平角，所以 APC 为钝角等价于
cos cos , 0PA PCAPC PA PC
PA PC
，则等价于 0PA PC
即 2(1 )( ) ( )(1 ) ( 1) ( 1)(3 1) 0 ，得 1 13
因此， 的取值范围是 1( ,1)3
23．【必做题】．请先阅读：
在等式 2cos2 2cos 1x x （ xR ）的两边求导，得： 2(cos2 ) (2cos 1) x x ，
由求导法则，得 ( sin 2 ) 2 4cos ( sin ) x x x ，化简得等式：sin 2 2cos sinx x x ．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 0 1 2 2(1+x) =C C C Cn n n
n n n nx x x
（ xR ，正整数 2n≥ ），证明： 1 1
2
[(1 ) 1] C
n
n k k
n
k
n x k x
．
（2）对于正整数 3n≥ ，求证：
（i）
1
( 1) C 0
n
k k
n
k
k
； （ii） 2
1
( 1) C 0
n
k k
n
k
k
； （iii）
1
1
1 2 1C1 1
nn
k
n
k k n
．
证明：（1）在等式 0 1 2 2(1+x) =C C C Cn n n
n n n nx x x 两边对 x 求导得
1 1 2 1 2 1(1 ) 2 ( 1)n n n n n
n n n nn x C C x n C x nC x
移项得 1 1
2
[(1 ) 1]
n
n k k
n
k
n x kC x
（*）
（2）（i）在（*）式中，令 1x ，整理得 1
1
( 1) 0
n
k k
n
k
kC
所以
1
( 1) 0
n
k k
n
k
kC
（ii）由（1）知 1 1 2 1 2 1(1 ) 2 ( 1) , 3n n n n n
n n n nn x C C x n C x nC x n
两边对 x 求导，得 2 2 3 2( 1)(1 ) 2 3 2 ( 1)n n n
n n nn n x C C x n n C x
在上式中，令 1x
2 3 2 20 2 3 2 ( 1) ( 1) ( 1) n
n n nC C n n C
即 2
2
( 1) ( 1) 0
n
k k
n
k
k k C
，
亦即 2
2
( 1) ( ) 0
n
k k
n
k
k k C
（1）
又由（i）知
1
( 1) 0
n
k k
n
k
kC
（2）
由（1）+（2）得 2
1
( 1) C 0
n
k k
n
k
k
（ iii ） 将 等 式 0 1 2 2(1+x) =C C C Cn n n
n n n nx x x 两 边 在 [0,1] 上 对 x 积 分
1 1 0 1 2 2
0 0
(1 ) (C C C C )n n n
n n n nx dx x x x dx
由微积分基本定理，得 1 1 1 1
0 0
0
1 1(1 ) ( )1 1
n
n k k
n
k
x C xn k
所以
1
0
1 2 1
1 1
nn
k
n
k
Ck n
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据 1 2, , , nx x x 的方差
2 2
1 1
1 1( ) ,
n n
i i
i i
s x x x xn n
其中
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置
上.
1.若复数 1 24 29 , 6 9z i z i ，其中i 是虚数单位，则复数 1 2( )z z i 的实部为 ★ .
2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ，| | 2,| | 3 a b ，则向量 a 和向量 b 的数量积
a b ★ .
3.函数
3 2( ) 15 33 6f x x x x 的单调减区间为 ★ .
4. 函 数 sin( )( , ,y A x A 为 常 数 ，
0, 0)A 在闭区间[ ,0] 上的图象如图所示，
则 ★ .
5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，
2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则
它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 ★ .
1
1 2
3
3
O x
y
6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，
投中的次数如下表：
学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s ★ .
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W ★ .
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面
积比为 1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比
为 1：2，则它们的体积比为 ★ .
9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 点 P 在 曲 线
3: 10 3C y x x 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在
点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 ★ .
10.已知
5 1
2a
，函数 ( ) xf x a ，若实数 ,m n 满足
( ) ( )f m f n ，则 ,m n 的大小关系为 ★ .
11. 已 知 集 合 2| log 2A x x ， ( , )B a ， 若
A B 则实数 a 的取值范围是 ( , )c ，其中 c ★ .
12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；
开始
0S
1T
2S T S
10S
2T T
W S T
输出W
结束
Y
N
（2）若 外一条直线l 与 内的一条直线平行，则l 和 平行；
（3）设 和 相交于直线l ，若 内有一条直线垂直于l ，则 和 垂直；
（4）直线l 与 垂直的充分必要条件是l 与 内的两条直线垂直.
上面命题中，真命题的序号 ★ （写出所有真命题的序号）.
13．如图，在平面直角坐标系 xoy 中， 1 2 1 2, , ,A A B B 为椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的
四个顶点，F 为其右焦点，直线 1 2A B 与直线 1B F 相交于点 T，线段OT 与椭圆的交点 M
恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ★ .
14．设 na 是公比为 q 的等比数列， | | 1q ，令
1( 1,2, )n nb a n 若数列 nb 有连续四项在
集合 53, 23,19,37,82 中，则 6q ★ .
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15．（本小题满分 14 分）
设向量 (4cos ,sin ), (sin ,4cos ), (cos , 4sin ) a b c
（1）若 a 与 2b c 垂直，求 tan( ) 的值；
（2）求| |b c 的最大值;
（3）若 tan tan 16 ，求证： a ∥ b .
16．（本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， E,F 分别是 1 1A B,AC 的中点，点 D 在 1 1B C 上，
x
y
A1
B2
A2O
T
M
1 1A D B C
求证：（1） EF ∥ ABC平面
（2） 1 1 1A FD BB C C平面 平面
17．（本小题满分 14 分）
设 na 是公差不为零的等差数列， nS 为其前 n 项和，满足
2 2 2 2
2 3 4 5 7 7a a a a ,S
（1）求数列 na 的通项公式及前 n 项和 nS ；
（2）试求所有的正整数 m ，使得
1
2
m m
m
a a
a
为数列 na 中的项.
18．（本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆
2 2
1 :( 3) ( 1) 4C x y 和圆
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
D
2 2
2 :( 4) ( 5) 4C x y
（1）若直线l 过点 (4,0)A ，且被圆 1C 截得的弦长为 2 3 ，求
直线l 的方程；
（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂的
直线 1 2l l和 ，它们分别与圆 1C 和圆 2C 相交，且直线 1l 被圆 1C 截
得的弦长与直线 2l 被圆 2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的
点 P 的坐标.
19.(本小题满分 16 分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如果他卖出该产品的单价为 m
元，则他的满意度为
m
m a ；如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为
n
n a .
如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1h 和 2h ，则他对这两种交易的综合满
意度为 1 2h h .
现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品
的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 Am 元和 Bm 元，甲买进 A 与
卖出 B 的综合满意度为 h甲 ，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙
求 h甲 和 h乙关于 Am 、 Bm 的表达式；当
3
5A Bm m
时，求证： h甲 = h乙 ；
x
y
O 1
1.
.
设
3
5A Bm m
，当 Am 、 Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综
合满意度为多少？
记(2)中最大的综合满意度为 0h ，试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值，使得 0h h甲 和
0h h乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
求 h甲 和 h乙关于 Am 、 Bm 的表达式；当
3
5A Bm m
时，求证： h甲 = h乙 ；
设
3
5A Bm m
，当 Am 、 Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综
合满意度为多少？
记(2)中最大的综合满意度为 0h ，试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值，使得 0h h甲 和
0h h乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
20．(本小题满分 16 分)
设 a 为实数，函数
2( ) 2 ( ) | |f x x x a x a .
若 (0) 1f ，求 a 的取值范围；
求 ( )f x 的最小值；
设函数 ( ) ( ), ( , )h x f x x a ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 ( ) 1h x 的解集.
参考答案
一、填空题
1.【答案】 20
2.【答案】3
【解析】
32 3 32
a b
。
3. 【答案】 ( 1,11)
【解析】
2( ) 3 30 33 3( 11)( 1)f x x x x x ，由 ( 11)( 1) 0x x 得单调
减区间为 ( 1,11) 。
4.【答案】3
【解析】
3
2T
，
2
3T
，所以 3 ，
5.【答案】0.2
6.【答案】
2
5
7.【答案】22
8.【答案】1：8
9.【答案】 ( 2,15)
10.【答案】 m n
11.【答案】4
【解析】由 2log 2x 得 0 4x ， (0,4]A ；由 A B 知 4a ，所以c 4。
12.【答案】（1）（2）
13．【答案】 2 7 5e
【解析】用 , ,a b c 表示交点 T，得出 M 坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.
14．【答案】 9
【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减 1，观察即可得解.
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15．
【解析】由 a 与 2b c 垂直， ( 2 ) 2 0 a b c a b a c ，
即 4sin( ) 8cos( ) 0 ， tan( ) 2 ；
(sin cos ,4cos 4sin ) b c
2| |b c
2 2sin 2sin cos cos 2 216cos 32cos sin 16sin
17 30sin cos
17 15sin2 ，
最大值为 32，所以| |b c 的最大值为 4 2 。
由 tan tan 16 得sin sin 16cos cos ，
即 4cos 4cos sin sin 0 ，
所以 a ∥ b .
16．
【解析】证明：（1）因为 E,F 分别是 1 1A B,AC 的中点，所以 EF // BC ，又 EF 面ABC ，
BC 面ABC ，所以 EF ∥ ABC平面 ；
（ 2 ） 因 为 直 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C ， 所 以 1 1 1 1BB A BC 面 ， 1 1BB A D ， 又
1 1A D B C ， 所 以 1 1 1A D BC C 面B ， 又 1 1AD AFD 面 ， 所 以
1 1 1A FD BB C C平面 平面 。
17．
解析：（1）设公差为 d ，则
2 2 2 2
2 5 4 3a a a a ，
由性质得 4 3 4 33 ( ) ( )d a a d a a ，
因为 0d ，
所以 4 3 0a a ，
即 12 5 0a d ，
又由 7 7S 得 1
7 67 72a d
，
解得 1 5a ，
2d
所以 na 的通项公式为 2 7na n ，前 n 项和
2 6nS n n 。
（2）
1
2
2 7 2 5
2 3
m m
m
a a ( m )( m )
a ( m )
，令 2 3m t ，
1
2
4 2m m
m
a a (t )(t )
a t
8 6t t
，
因为t 是奇数，所以 t 可取的值为 1 ，
当 1t ， 2m 时，
8 6 3t t
， 2 5 7 3 ，是数列 na 中的项；
1t ， 1m 时，
8 6 15t t
，数列 na 中的最小项是 5 ，不符合。
所以满足条件的正整数 2m 。
18．.
【解析】(1) 0y 或
7 ( 4)24y x
，
(2)P 在以 C1C2 的中垂线上，且与 C1、C2 等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点 P 坐
标为
3 13( , )2 2
或
5 1( , )2 2
。
19.
【解析】(1)
= , = ,12 5 3 20
A B A B
A B A B
m m m mh hm m m m
乙甲 ( [3,12], [5,20])A Bm m
当
3
5A Bm m
时，
2
3
5= ,3 5 ( 20)( 5)125
B
B B
B B B
B
m m mh m m mm
甲
2
3
5= ,3 20 ( 5)( 20)35
B
B B
B B B
B
m m mh m m mm
乙
显然 =h h乙甲
(2)当
3
5A Bm m
时，
2
2
1 1= ,20 5 1 1( 20)( 5) (1 )(1 ) 100( ) 25 1
B
B B
B B B B
mh m m
m m m m
甲
由
1 1 1[5,20] [ , ]20 5B
B
m m
得
，
故当
1 1
20Bm
即 20, 12B Am m 时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为
10
5
20．
【解析】（1）若 (0) 1f ，则
2
0
| | 1 1
1
a
a a a
a
（2）当 x a 时，
2 2( ) 3 2 ,f x x ax a
2
2min
( ), 0 2 , 0
( ) 2( ), 0 , 03 3
f a a a a
f x a af a a
当 x a 时，
2 2( ) 2 ,f x x ax a
2
min 2
( ), 0 2 , 0( ) ( ), 0 2 , 0
f a a a af x f a a a a
综上
2
2min
2 , 0
( ) 2 , 03
a a
f x a a
(3) ( , )x a 时， ( ) 1h x 得 2 23 2 1 0x ax a ，
2 2 24 12( 1) 12 8a a a
当
6 6
2 2a a 或
时， 0, ( , )x a ；
当
6 6
2 2a
时， 0, 得
2 23 2 3 2( )( ) 03 3
a a a ax x
x a
1）
2 6( , )2 2a
时， ( , )x a
2）
2 2[ , ]2 2a
时，
23 2[ , )3
a ax
3）
6 2( , ]2 2a
时，
2 23 2 3 2( , ] [ , )3 3
a a a ax a
2010 江苏省高考试题
参考公式：
锥体的体积公式： ShV 3
1锥体 ，其中 S 是锥体的底面面积， h 是高.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．
置上．．.
1. 设集合 3,1,1A ， 4,2 2 aaB ， 3 BA ，则实数 a 的值为 ▲ .
2. 设复数 z 满足 iiz 46)32( （其中i 为虚数单位），则 z 的模为 ▲ .
3. 盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的
概率是 ▲ .
4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100
根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要
指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图
如图所示，则其抽样的 100 根中，有 ▲ 根在
棉花纤维的长度小于 20mm.
5. 设函数 ))(()( Rxaeexxf xx 是偶函数，则实数
a= ▲ .
6. 平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1124
22
yx 上一点 M，点 M 的横坐标
是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是 ▲ .
7. 右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是 ▲ .
8. 函数 )0(2 xxy 的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐
标为 ak+1,k 为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5= ▲ .
9. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 422 yx 上有且仅有四个点
到 直 线 0512 cyx 的 距 离 为 1 ， 则 实 数 c 的 取 值 范 围 是
▲ .
10. 定义在区间
20 , 上的函数 xy cos6 的图像与 xy tan5 的图像的交点为 P，过点 P
作 PP1 ⊥ x 轴 于 点 P1 ， 直 线 PP1 与 xsin 的 图 像 交 于 点 P2, 则 线 段 P1P2 的 长 为
▲ .
11. 已 知 函 数
2 1, 0( )
1, 0
x xf x
x
, 则 满 足 不 等 式 2(1 ) (2 )f x f x 的 x 的 范 围 是
▲ .
12. 设实数 yx, 满足 94,83
2
2
y
xxy ，则 4
3
y
x 的最大值是 ▲ .
13. 在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c， 6cosb a Ca b
，则 tan tan
tan tan
C C
A B
=
▲ .
14. 将边长为 m1 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
2(S 梯形的周长）
梯形的面积 ,则 S 的最小值是 ▲ .
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15.（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).
（1）求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数 t 满足( OCtAB )·OC =0，求 t 的值.
16. （本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠
BCD=900.
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点 A 到平面 PBC 的距离.
17. （本小题满分 14 分）
某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高
度 mh 4 ，仰角 ∠ABE= ，∠ADE= .
（1）该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出 H 的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m ），
使 与 之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125 m ，试问 d 为
多少时， - 最大？
18. （本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆 159
22
yx 的左右顶点为 A,B，右顶点为
F，设过点T （ mt, ）的直线 TBTA, 与椭圆分别交于点 M ),( 11 yx ， ),( 22 yxN ，其中
0m , 0,0 21 yy .
（1）设动点 P 满足 422 PBPF ,求点 P 的轨迹；
（2）设
3
1,2 21 xx ，求点T 的坐标；
（3）设 9t ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点.
（其坐标与 m 无关）
19.（本小题满分 16 分）
设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 3122 aaa ，数列 nS 是公差
为 d 的等差数列.
（1）求数列 na 的通项公式（用 dn, 表示）
（ 2 ） 设 c 为 实 数 ， 对 满 足 nmknm 且3 的 任 意 正 整 数 knm ,, ， 不 等 式
knm cSSS 都成立，求证： c 的最大值为
2
9 .
20.（本小题满分 16 分）
设 )(xf 是定义在区间 ),1( 上的函数，其导函数为 )(' xf .如果存在实数 a 和函数
)(xh ，其中 )(xh 对任意的 ),1( x 都有 )(xh >0，使得 )1)(()(' 2 axxxhxf ，
则称函数 )(xf 具有性质 )(aP .
（1）设函数 )(xf )1(1
2)(
xx
bxh ，其中b 为实数
（ⅰ）求证：函数 )(xf 具有性质 )(bP ；
（ⅱ）求函数 )(xf 的单调区间；
（ 2 ） 已 知 函 数 )(xg 具 有 性 质 )2(P ， 给 定
为实数，设mxxxx ,),,1(, 2121 21 )1( xmmx ，
21)1( mxxm ，且 1,1 ，若| )()( gg |<| )()( 21 xgxg |,求 m 的
取值范围.
参考答案
2011 年江苏省高考数学试卷
一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）
1．（5 分）（2011•江苏）已知集合 A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则 A∩B= _________ ．
2．（5 分）（2011•江苏）函数 f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是 _________ ．
3．（5 分）（2011•江苏）设复数 z 满足 i（z+1）=﹣3+2i（i 为虚数单位），则 z 的实部是
_________ ．
4．（5 分）（2011•江苏）根据如图所示的伪代码，当输入 a，b 分别为 2，3 时，最后输出的
m 的值为 _________ ．
5．（5 分）（2011•江苏）从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另
一个的两倍的概率是 _________ ．
6．（5 分）（2011•江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该
组数据的方差 s2= _________ ．
7．（5 分）（2011•江苏）已知 ，则 的值为 _________ ．
8．（5 分）（2011•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数
的图象交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是 _________ ．
9．（5 分）（2011•江苏）函数 f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的
部分图象如图所示，则 f（0）= _________ ．
10．（5 分）（2011•江苏）已知 ， 是夹角为 的两个单位向量， = ﹣2 ，
=k + ，若 • =0，则实数 k 的值为 _________ ．
11．（5 分）（2011•江苏）已知实数 a≠0，函数 ，若 f（1﹣a）=f
（1+a），则 a 的值为 _________ ．
12．（5 分）（2011•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f（x）=ex（x＞0）的图
象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设
线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 _________ ．
13．（5 分）（2011•江苏）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中 a1，a3，a5，a7 成公比为 q 的等比数列，
a2，a4，a6 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是 _________ ．
14．（5 分）（2011•江苏）设集合 ，
B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y
∈
R}，若 A∩B≠
∅
，则实数 m 的取值范围是
_________ ．
二、解答题（共 9 小题，满分 120 分）
15．（14 分）（2011•江苏）在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c
（1）若 ，求 A 的值；
（2）若 ，求 sinC 的值．
16．（14 分）（2011•江苏）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB=AD，
∠BAD=60°，E、F 分别是 AP、AD 的中点求证：
（1）直线 EF∥平面 PCD；
（2）平面 BEF⊥平面 PAD．
17．（14 分）（2011•江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方
形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，
C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上，是
被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm2）最大，试问 x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积 V（cm3）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与
底面边长的比值．
18．（16 分）（2011•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，M、N 分别是椭圆 的
顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P，A 两点，其中点 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，
垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k
（1）若直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；
（2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；
（3）对任意 k＞0，求证：PA⊥PB．
19．（16 分）（2011•江苏）已知 a，b 是实数，函数 f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）
和 g'（x）是 f（x），g（x）的导函数，若 f'（x）g'（x）≥0 在区间 I 上恒成立，则称 f（x）
和 g（x）在区间 I 上单调性一致
（1）设 a＞0，若函数 f（x）和 g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数 b 的取值
范围；
（2）设 a＜0，且 a≠b，若函数 f（x）和 g（x）在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，
求|a﹣b|的最大值．
20．（16 分）（2011•江苏）设 M 为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项 a1=1，前 n 项和
为 Sn，已知对任意整数 k
∈
M，当整数 n＞k 时，Sn+k+Sn﹣k=2（Sn+Sk）都成立
（1）设 M={1}，a2=2，求 a5 的值；
（2）设 M={3，4}，求数列{an}的通项公式．
21．（10 分）（2011•江苏）A．选修 4﹣1：几何证明选讲
如图，圆 O1 与圆 O2 内切于点 A，其半径分别为 r1 与 r2（r1＞r2 ）．圆 O1 的弦 AB 交圆 O2
于点 C （ O1 不在 AB 上）．求证：AB：AC 为定值．
B．选修 4﹣2：矩阵与变换
已知矩阵 ，向量 ．求向量 ，使得 A2 = ．
C．选修 4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 （φ为参数）的右焦点，且与直线
（t 为参数）平行的直线的普通方程．
D．选修 4﹣5：不等式选讲（本小题满分 10 分）
解不等式：x+|2x﹣1|＜3．
22．（10 分）（2011•江苏） 如图，在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2，AB=1，点 N
是 BC 的中点，点 M 在 CC1 上．设二面角 A1﹣DN﹣M 的大小为θ（1）当θ=90° 时，求 AM
的长；
（2）当 时，求 CM 的长．
23．（10 分）（2011•江苏）设整数 n≥4，P（a，b） 是平面直角坐标系 xOy 中的点，其中 a，
b
∈
{1，2，3，…，n}，a＞b．
（1）记 An 为满足 a﹣b=3 的点 P 的个数，求 An；
（2）记 Bn 为满足 是整数的点 P 的个数，求 Bn．
2011 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）
1．（5 分）（2011•江苏）已知集合 A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则 A∩B= {﹣1，
2} ．
考点：交集及其运算．4664233
专题：计算题．
分析：根据已知中集合 A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，根据集合交集运算法则我们易
给出 A∩B
解答：解：∵集合 A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，
∴A∩B={﹣1，2}
故答案为：{﹣1，2}
点评：本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可
得到答案．
2．（5 分）（2011•江苏）函数 f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是 （﹣ ，+∞） ．
考点：对数函数的单调性与特殊点．4664233
专题：计算题．
分析：要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减”的
原则，即可求出函数的单调区间．
解答：解：要使函数的解析有有意义
则 2x+1＞0
故函数的定义域为（﹣ ，+∞）
由于内函数 u=2x+1 为增函数，外函数 y=log5u 也为增函数
故函数 f（x）=log5（2x+1）在区间（﹣ ，+∞）单调递增
故函数 f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是 （﹣ ，+∞）
故答案为：（﹣ ，+∞）
点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中本题易忽略定义域，造成答案
为 R 的错解．
3．（5 分）（2011•江苏）设复数 z 满足 i（z+1）=﹣3+2i（i 为虚数单位），则 z 的实部是
1 ．
考点：复数代数形式的混合运算． 4664233
专题：计算题．
分析：复数方程两边同乘 i，化简后移项可得复数 z，然后求出它的实部．
解答：解：因为 i（z+1）=﹣3+2i，所以 i•i（z+1）=﹣3i+2i•i，
所以 z+1=3i+2，z=1+3i 它的实部为：1；
故答案为：1
点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．
4．（5 分）（2011•江苏）根据如图所示的伪代码，当输入 a，b 分别为 2，3 时，最后输出的
m 的值为 3 ．
考点：伪代码． 4664233
专题：图表型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用
是计算分段函数 m= 的值，代入 a=2，b=3，即可得到答案．
解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数 m= 的值，
∵a=2＜b=3，
∴m=3
故答案为：3
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序
填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变
量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不
能准确理解流程图的含义而导致错误．
5．（5 分）（2011•江苏）从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另
一个的两倍的概率是 ．
考点：古典概型及其概率计算公式．4664233
专题：计算题．
分析：根据题意，首先用列举法列举从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数的全部情
况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型
的公式，计算可得答案．
解答：解：从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共 6 种情况；
其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；
则其概率为 = ；
故答案为： ．
点评：本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．
6．（5 分）（2011•江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该
组数据的方差 s2= 3.2 ．
考点：极差、方差与标准差． 4664233
专题：计算题．
分析：首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数，再利用求方差的公式，代入数据求
出这组数据的方差，得到结果．
解答：解：∵收到信件数分别是 10，6，8，5，6，
∴收到信件数的平均数是 =7，
∴该组数据的方差是 ，
故答案为：3.2
点评：本题考查求一组数据的方差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，
平均数，方差分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．
7．（5 分）（2011•江苏）已知 ，则 的值为 ．
考点：二倍角的正切；两角和与差的正切函数． 4664233
专题：计算题；方程思想．
分析：先利用两角和的正切公式求得 tanx 的值，从而求得 tan2x，即可求得 ．
解答：解：∵ ，
∴ =2，
解得 tanx= ；
∴tan2x= = =
∴ = =
故答案为
点评：本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式，体现了方程思想，是个基础题．
8．（5 分）（2011•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数
的图象交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是 4 ．
考点：两点间距离公式的应用．4664233
专题：计算题．
分析：由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是 1 时，直线与函数图形
的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之
间的距离公式得到结果．
解答：解：由题意知当过原点的直线的斜率是 1 时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，
而 y=x 与 y= 的两个交点的坐标是（ ， ）（﹣ ，﹣ ），
∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|= = =4，
故答案为：4
点评：本题考查反比例函数的图形的特点，考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法，考查
两点之间的距离公式，是一个综合题目．
9．（5 分）（2011•江苏）函数 f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的
部分图象如图所示，则 f（0）= ．
考点：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 4664233
专题：计算题；数形结合．
分析：根据已知的函数图象，我们根据函数图象过（ ，0），（ ，﹣ ）点，我们易结
合 A＞0，w＞0 求出满足条件的 A、ω、φ的值，进而求出满足条件的函数 f（x）的
解析式，将 x=0 代入即可得到 f（0）的值．
解答：解：由的图象可得函数的周期 T 满足
=
解得 T=π=
又∵ω＞0，故ω=2
又∵函数图象的最低点为（ ，﹣ ）点
故 A=
且 sin（2× +φ）=﹣
即 +φ=
故φ=
∴f（x）= sin（2x+ ）
∴f（0）= sin =
故答案为：
点评：本题考查的知识点是函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中利用已知函数的图象求
出满足条件的 A、ω、φ的值，是解答本题的关键．
10．（5 分）（2011•江苏）已知 ， 是夹角为 的两个单位向量， = ﹣2 ，
=k + ，若 • =0，则实数 k 的值为 ．
考点：平面向量数量积的运算．4664233
专题：计算题．
分析：利用向量的数量积公式求出 ；利用向量的运算律求出 ，列出方程求出 k．
解答：解：∵ 是夹角为 的两个单位向量
∴
∴
=
=
∵
∴
解得
故答案为：
点评：本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律、考查向量模的平方等于向量的平方．
11．（5 分）（2011•江苏）已知实数 a≠0，函数 ，若 f（1﹣a）=f
（1+a），则 a 的值为 ．
考点：函数的值；分段函数的应用．4664233
专题：计算题．
分析：对 a 分类讨论判断出 1﹣a，1+a 在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出
a．
解答：解：当 a＞0 时，1﹣a＜1，1+a＞1
∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a 解得 a= 舍去
当 a＜0 时，1﹣a＞1，1+a＜1
∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a 解得 a=
故答案为
点评：本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．
12．（5 分）（2011•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f（x）=ex（x＞0）的图
象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设
线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 4664233
专题：计算题．
分析：先设切点坐标为（m，em），然后根据导数的几何意义求出函数 f（x）在 x=m 处的导
数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点 M 的纵坐标，同理可求出点 N
的纵坐标，将 t 用 m 表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．
解答：解：设切点坐标为（m，em）
∴该图象在点 P 处的切线 l 的方程为 y﹣em=em（x﹣m）
令 x=0，解得 y=（1﹣m）em
过点 P 作 l 的垂线的切线方程为 y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）
令 x=0，解得 y=em+me﹣m
∴线段 MN 的中点的纵坐标为 t= [（2﹣m）em+me﹣m
]
t'= [﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m
]
，令 t'=0 解得：m=1
当 m
∈
（0，1）时，t'＞0，当 m
∈
（1，+∞）时，t'＜0
∴当 m=1 时 t 取最大值
故答案为：
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问
题，属于中档题．
13．（5 分）（2011•江苏）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中 a1，a3，a5，a7 成公比为 q 的等比数列，
a2，a4，a6 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是 ．
考点：等差数列与等比数列的综合．4664233
专题：计算题；压轴题．
分析：利用等差数列的通项公式将 a6 用 a2 表示，求出 a6 的最小值进一步求出 a7 的最小值，
利用等比数列的通项求出公比的范围．
解答：解：方法 1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6 成公差为 1 的等差数列，
∴a6=a2+2≥3，
∴a6 的最小值为 3，
∴a7 的最小值也为 3，
此时 a1=1 且 a1，a3，a5，a7 成公比为 q 的等比数列，必有 q＞0，
∴a7=a1q3≥3，
∴q3≥3，q≥ ，
方法 2：
由题意知 1=a1≤a2≤…≤a7；中 a1，a3，a5，a7 成公比为 q 的等比数列，a2，a4，a6 成公
差为 1 的等差数列，得 ，所以 ，
即 q3﹣2≥1，所以 q3≥3，解得 q≥ ，
故 q 的最小值是： ．
故答案为： ．
点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前 n 项和公式列出方程组，
解方程组求解．即基本量法．
14．（5 分）（2011•江苏）设集合 ，
B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y
∈
R}，若 A∩B≠
∅
，则实数 m 的取值范围是 [ ，
2+
]
．
考点：直线与圆的位置关系． 4664233
专题：计算题；压轴题．
分析：根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进
而联立不等式组求得 m 的范围．
解答：解：依题意可知集合 A 表示一系列圆内点的集合，集合 B 表示出一系列直线的集合，
要使两集合不为空集，需直线与圆有交点，由 可得 m≤0 或 m≥
当 m≤0 时，有| |＞﹣m 且| |＞﹣m；
则有 ﹣ m＞﹣m， ﹣ m＞﹣m，
又由 m≤0，则 2＞2m+1，可得 A∩B=
∅
，
当 m≥ 时，有| |≤m 或| |≤m，
解可得：2﹣ ≤m≤2+ ，1﹣ ≤m≤1+ ，
又由 m≥ ，则 m 的范围是[ ，2+
]
；
综合可得 m 的范围是[ ，2+
]
；
故答案为[ ，2+
]
．
点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．一般是利用数形结合的方法，通过圆心到直线
的距离来判断．
二、解答题（共 9 小题，满分 120 分）
15．（14 分）（2011•江苏）在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c
（1）若 ，求 A 的值；
（2）若 ，求 sinC 的值．
考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数． 4664233
专题：计算题．
分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，求出 tanA，然后求出 A 的值即可．
（2）利用余弦定理以及 b=3c，求出 a 与 c 的关系式，利用正弦定理求出 sinC 的值．
解答：解：（1）因为 ，
所以 sinA= ，
所以 tanA= ，
所以 A=60°
（2）由
及 a2=b2+c2﹣2bccosA
得 a2=b2﹣c2
故△ABC 是直角三角形且 B=
所以 sinC=cosA=
点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，
考查计算能力，常考题型．
16．（14 分）（2011•江苏）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB=AD，
∠BAD=60°，E、F 分别是 AP、AD 的中点求证：
（1）直线 EF∥平面 PCD；
（2）平面 BEF⊥平面 PAD．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 4664233
专题：证明题．
分析：（1）要证直线 EF∥平面 PCD，只需证明 EF∥PD，EF 不在平面 PCD 中，PD
⊂
平面
PCD 即可．
（2）连接 BD，证明 BF⊥AD．说明平面 PAD∩平面 ABCD=AD，推出 BF⊥平面 PAD；
然后证明平面 BEF⊥平面 PAD．
解答：证明：（1）在△PAD 中，因为 E，F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EF∥PD．
又因为 EF 不在平面 PCD 中，PD
⊂
平面 PCD
所以直线 EF∥平面 PCD．
（2）连接 BD．因为 AB=AD，∠BAD=60°．
所以△ABD 为正三角形．因为 F 是 AD 的中点，所以 BF⊥AD．
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，BF
⊂
平面 ABCD，
平面 PAD∩平面 ABCD=AD，所以 BF⊥平面 PAD．
又因为 BF
⊂
平面 EBF，所以平面 BEF⊥平面 PAD．
点评：本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象
能力，逻辑推理能力，常考题型．
17．（14 分）（2011•江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方
形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，
C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上，是
被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm2）最大，试问 x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积 V（cm3）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与
底面边长的比值．
考点：函数模型的选择与应用．4664233
专题：应用题．
分析：（1）可设包装盒的高为 h（cm），底面边长为 a（cm），写出 a，h 与 x 的关系式，并
注明 x 的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积 S 关于 x 的函数解析式，
最后求出何时它取得最大值即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积 V 关于 x 的函数解析式，最后利用导数知识求
出何时它取得的最大值即可．
解答：解：设包装盒的高为 h（cm），底面边长为 a（cm），则 a= x，h= （30﹣x），0
＜x＜30．
（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，
∴当 x=15 时，S 取最大值．
（2）V=a2h=2 （﹣x3+30x2），V′=6 x（20﹣x），
由 V′=0 得 x=20，
当 x
∈
（0，20）时，V′＞0；当 x
∈
（20，30）时，V′＜0；
∴当 x=20 时，包装盒容积 V（cm3）最大，
此时， ．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是 ．
点评：考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间
想象能力、数学建模能力．属于基础题．
18．（16 分）（2011•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，M、N 分别是椭圆 的
顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P，A 两点，其中点 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，
垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k
（1）若直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；
（2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；
（3）对任意 k＞0，求证：PA⊥PB．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．4664233
专题：计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．
分析：（1）由题设写出点 M，N 的坐标，求出线段 MN 中点坐标，根据线 PA 过原点和斜
率公式，即可求出 k 的值；
（2）写出直线 PA 的方程，代入椭圆，求出点 P，A 的坐标，求出直线 AB 的方程，
根据点到直线的距离公式，即可求得点 P 到直线 AB 的距离 d；
（3）要证 PA⊥PB，只需证直线 PB 与直线 PA 的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们
的斜率，即证的结果．
解答：解：（1）由题设知，a=2，b= ，
故 M（﹣2，0），N（0，﹣ ），所以线段 MN 中点坐标为（﹣1，﹣ ）．
由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过原点，
所以 k= ．
（2）直线 PA 的方程为 y=2x，代入椭圆方程得 ，解得 x=± ，
因此 P（ ， ），A（﹣ ，﹣ ）
于是 C（ ，0），直线 AC 的斜率为 1，故直线 AB 的方程为 x﹣y﹣ =0．
因此，d= ．
（3）设 P（x1，y1），B（x2，y2），则 x1＞0，x2＞0，x1≠x2，
A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．
设直线 PB，AB 的斜率分别为 k1，k2．
因为 C 在直线 AB 上，所以 k2= ，
从而 kk1+1=2k1k2+1=2• =
= = ．
因此 kk1=﹣1，所以 PA⊥PB．
点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及
直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、
推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
19．（16 分）（2011•江苏）已知 a，b 是实数，函数 f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）
和 g'（x）是 f（x），g（x）的导函数，若 f'（x）g'（x）≥0 在区间 I 上恒成立，则称 f（x）
和 g（x）在区间 I 上单调性一致
（1）设 a＞0，若函数 f（x）和 g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数 b 的取值
范围；
（2）设 a＜0，且 a≠b，若函数 f（x）和 g（x）在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，
求|a﹣b|的最大值．
考点：利用导数研究函数的单调性．4664233
专题：计算题．
分析：（1）先求出函数 f（x）和 g（x）的导函数，再利用函数 f（x）和 g（x）在区间[﹣1，
+∞）上单调性一致即 f'（x）g'（x）≥0 在[﹣1，+∞）上恒成立，以及 3x2+a＞0，来
求实数 b 的取值范围；
（2）先求出 f'（x）=0 的根以及 g'（x）=0 的根，再分别求出两个函数的单调区间，
综合在一起看何时函数 f（x）和 g（x）在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，进
而求得|a﹣b|的最大值．
解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．
（1）由题得 f'（x）g'（x）≥0 在[﹣1，+∞）上恒成立．因为 a＞0，故 3x2+a＞0，
进而 2x+b≥0，即 b≥﹣2x 在[﹣1，+∞）上恒成立，所以 b≥2．
故实数 b 的取值范围是[2，+∞）
（2）令 f'（x）=0，得 x= ．
若 b＞0，由 a＜0 得 0
∈
（a，b）．又因为 f'（0）g'（0）=ab＜0，
所以函数 f（x）和 g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．
因此 b≤0．
现设 b≤0，当 x
∈
（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；
当 x
∈
（﹣∝，﹣ ）时，f'（x）＞0．
因此，当 x
∈
（﹣∝，﹣ ）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得 a≥﹣ 且 b≥
﹣ ，
从而﹣ ≤a＜0，于是﹣ ＜b＜0，因此|a﹣b|≤ ，且当 a=﹣ ，b=0 时等号成立，
又当 a=﹣ ，b=0 时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣ ），从而当 x
∈
（﹣ ，0）时 f'（x）
g'（x）＞0．
故函数 f（x）和 g（x）在（﹣ ，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为 ．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于 0 时原函
数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减．
20．（16 分）（2011•江苏）设 M 为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项 a1=1，前 n 项和
为 Sn，已知对任意整数 k
∈
M，当整数 n＞k 时，Sn+k+Sn﹣k=2（Sn+Sk）都成立
（1）设 M={1}，a2=2，求 a5 的值；
（2）设 M={3，4}，求数列{an}的通项公式．
考点：数列递推式；数列与函数的综合．4664233
专题：综合题．
分析：（1）由集合 M 的元素只有一个 1，得到 k=1，所以当 n 大于 1 即 n 大于等于 2 时，
Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+S1）都成立，变形后，利用 Sn+1﹣Sn=an+1，及 a1=1 化简，得到当 n
大于等于 2 时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第 2 项的值和确定出的等差
写出等差数列的通项公式，因为 5 大于 2，所以把 n=5 代入通项公式即可求出第 5 项
的值；
（2）当 n 大于 k 时，根据题意可得 Sn+k+Sn﹣k=2（Sn+Sk），记作①，把 n 换为 n+1，
得到一个关系式记作②，②﹣①后，移项变形后，又 k 等于 3 或 4 得到当 n 大于等
于 8 时此数列每隔 3 项或 4 项成等差数列，即 an﹣6，an﹣3，an，an+3，an+6 成等差数列，
根据等差数列的性质得到一个关系式，记作（*），且 an﹣6，an﹣2，an+2，an+6 也成等差
数列，又根据等差数列的性质得到另外一个关系式，等量代换得到 an+2﹣an=an﹣an﹣2，
得到当 n 大于等于 9 时，每隔两项成等差数列，设出等差数列的四项，根据等差数列
的性质化简变形，设 d=an﹣an﹣1，从而得到当 n 大于等于 2 小于等于 8 时，n+6 大于
等于 8，把 n+6 代入（*）中，得到一个关系式，同时把 n+7 也代入（*）得到另外一
个关系式，两者相减后根据设出的 d=an﹣an﹣1，经过计算后，得到 n 大于等于 2 时，
d=an﹣an﹣1 都成立，从而把 k=3 和 k=4 代入到已知的等式中，化简后得到 d 与前 3 项
的和及 d 与前 4 项和的关系式，两关系式相减即可表示出第 4 项的值，根据 d=an﹣an
﹣1，同理表示出第 3 项，第 2 项及第 1 项，得到此数列为等差数列，由首项等于 1 即
可求出 d 的值，根据首项和等差写出数列的通项公式即可．
解答：解：（1）由 M={1}，根据题意可知 k=1，所以 n≥2 时，Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+S1），
即（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）=2S1，又 a1=1，
则 an+1﹣an=2a1=2，又 a2=2，
所以数列{an}除去首项后，是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，
故当 n≥2 时，an=a2+2（n﹣2）=2n﹣2，
所以 a5=8；
（2）根据题意可知当 k
∈
M={3，4}，
且 n＞k 时，Sn+k+Sn﹣k=2（Sn+Sk）①，且 Sn+1+k+Sn+1﹣k=2（Sn+1+Sk）②，
②﹣①得：（Sn+1+k﹣Sn+k）+（Sn+1﹣k﹣Sn﹣k）=2（Sn+1﹣Sn），
即 an+1+k+an+1﹣k=2an+1，可化为：an+1+k﹣an+1=an+1﹣an+1﹣k
所以 n≥8 时，an﹣6，an﹣3，an，an+3，an+6 成等差数列，且 an﹣6，an﹣2，an+2，an+6 也成
等差数列，
从而当 n≥8 时，2an=an﹣3+an+3=an﹣6+an+6，（*）且 an﹣2+an+2=an﹣6+an+6，
所以当 n≥8 时，2an=an﹣2+an+2，即 an+2﹣an=an﹣an﹣2，
于是得到当 n≥9 时，an﹣3，an﹣1，an+1，an+3 成等差数列，从而 an﹣3+an+3=an﹣1+an+1，
由（*）式可知：2an=an﹣1+an+1，即 an+1﹣an=an﹣an﹣1，
当 n≥9 时，设 d=an﹣an﹣1，
则当 2≤n≤8 时，得到 n+6≥8，从而由（*）可知，2an+6=an+an+12，得到 2an+7=an+1+an+13，
两式相减得：2（an+7﹣an+6）=an+1﹣an+（an+13﹣an+12），
则 an+1﹣an=2d﹣d=d，
因此，an﹣an﹣1=d 对任意 n≥2 都成立，
又由 Sn+k+Sn﹣k﹣2Sn=2Sk，可化为：（Sn+k﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣k）=2Sk，
当 k=3 时，（Sn+3﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣3）=9d=2S3；同理当 k=4 时，得到 16d=2S4，
两式相减得：2（S4﹣S3）=2a4=16d﹣9d=7d，解得 a4= d，
因为 a4﹣a3=d，解得 a3= d，同理 a2= d，a1= ，
则数列{an}为等差数列，由 a1=1 可知 d=2，
所以数列{an}的通项公式为 an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
点评：此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值，掌握确定数列为等差数列的方法，会
根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式，是一道中档题．
21．（10 分）（2011•江苏）A．选修 4﹣1：几何证明选讲
如图，圆 O1 与圆 O2 内切于点 A，其半径分别为 r1 与 r2（r1＞r2 ）．圆 O1 的弦 AB 交圆 O2
于点 C （ O1 不在 AB 上）．求证：AB：AC 为定值．
B．选修 4﹣2：矩阵与变换
已知矩阵 ，向量 ．求向量 ，使得 A2 = ．
C．选修 4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 （φ为参数）的右焦点，且与直线
（t 为参数）平行的直线的普通方程．
D．选修 4﹣5：不等式选讲（本小题满分 10 分）
解不等式：x+|2x﹣1|＜3．
考点：椭圆的参数方程． 4664233
专题：数形结合；转化思想．
分析：A、如图，利用 EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r1：2r2，证出结论．
B、设向量 = ，由 A2 = ，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得 x 和 y 的
值，从而求得向量 ．
C、把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通
方程，求出斜率，用点斜式
求得所求直线的方程．
D、原不等式可化为 ，或 ，分别解出这两个不等
式组的解集，
再把解集取并集．
解答：解：A、如图：连接 AO1 并延长，交两圆于 D，E，则 O2 在 AD 上，根据直径对的圆
周角等于 90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，
∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r1：2r2=r1：r2 为定值．
B、A2= = ，设向量 = ，由 A2 = 可得
= ，∴ ，解得 x=﹣1，y=2，
∴向量 = ．
C、椭圆 （φ为参数）的普通方程为 + =1，右焦点为（4，0），
直线 （t 为参数） 即 x﹣2 y+2=0，斜率等于 ，故所求的直线方程为
y﹣0= （x﹣4），即 x﹣2 y﹣4=0．
D、原不等式可化为 ，或 ，
解得 ≤x＜ ，或﹣2＜x＜ ，故不等式的解集为 {x|﹣2＜x＜ }．
点评：本题考查圆与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，矩阵的运算法则，绝对值
不等式的解法．
22．（10 分）（2011•江苏） 如图，在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2，AB=1，点 N
是 BC 的中点，点 M 在 CC1 上．设二面角 A1﹣DN﹣M 的大小为θ（1）当θ=90° 时，求 AM
的长；
（2）当 时，求 CM 的长．
考点：向量在几何中的应用． 4664233
专题：综合题；压轴题；转化思想．
分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设 CM=t（0≤t≤2），通过 ，
求出平面 DMN 的法向量为 ， ， 求出平面 A1DN
的法向量为 ，推出 （1）利用θ=90°求出 M 的坐标，然后求出 AM
的长．
（2）利用 cos = 以及 ，求出 CM 的长．
解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设 CM=t（0≤t≤2），则各点的坐标为
A（1，0，0），A1（1，0，2），
N（ ，1，0），M（0，1，t）；
所以 =（ ，1，0）. =（1，0，2）， =（0，1，t）
设平面 DMN 的法向量为 =（x1，y1，z1），则 ， ，
即 x1+2y1=0，y1+tz1=0，令 z1=1，则 y1=﹣t，x1=2t 所以 =（2t，﹣t，1），
设平面 A1DN 的法向量为 =（x2，y2，z2），则 ， ，
即 x2+2z2=0，x2+2y2=0，令 z2=1 则 y2=1，x2=﹣2 所以 =（﹣2，1，1），
（1）因为θ=90°，所以 解得 t= 从而 M（0，1， ），
所以 AM=
（2）因为 ， 所以，
cos = =
因为 =θ或π﹣θ，所以 = 解得 t=0 或 t=
根据图形和（1）的结论，可知 t= ，从而 CM 的长为 ．
点评：本题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向
量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．
23．（10 分）（2011•江苏）设整数 n≥4，P（a，b） 是平面直角坐标系 xOy 中的点，其中 a，
b
∈
{1，2，3，…，n}，a＞b．
（1）记 An 为满足 a﹣b=3 的点 P 的个数，求 An；
（2）记 Bn 为满足 是整数的点 P 的个数，求 Bn．
考点：数列递推式． 4664233
专题：综合题；压轴题；转化思想．
分析：（1）An 为满足 a﹣b=3 的点 P 的个数，显然 P（a，b）的坐标的差值，与 An 中元
素个数有关，直接写出 An 的表达式即可．
（2）设 k 为正整数，记 fn（k）为满足题设条件以及 a﹣b=3k 的点 P 的个数，讨论 fn
（k）≥1 的情形，推出 fn（k）=n﹣3k，根据 k 的范围 ，说明 n﹣1 是 3 的
倍数和余数，
然后求出 Bn．
解答：解：（1）点 P 的坐标中，满足条件：1≤b=a﹣3≤n﹣3，所以 An=n﹣3；
（2）设 k 为正整数，记 fn（k）为满足题设条件以及 a﹣b=3k 的点 P 的个数，只要讨
论 fn（k）≥1 的情形，由 1≤b=a﹣3k≤n﹣3k，
知 fn（k）=n﹣3k 且 ，设 n﹣1=3m+r，其中 m
∈
N+，r
∈
{0，1，2}，则 k≤m，
所以
Bn= = =mn﹣ =
将 m= 代入上式，化简得 Bn=
所以 Bn=
2012 年全国普通高等院校招生考试·江苏省
数学试题
(必答题 1～20+理科附加题 21～23)
【数学 I (必答题)：时间 120 分钟，满分 160 分】
一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，满分 70 分。
1. 已知集合 A={1,2,4}，B={2,4,6}，则 A B=________
2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3：3：4，现用分层抽样的方法从该校
高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取_____名学生；
3. 设 a，b R，a+bi=11－7i
1－2i
(i 为虚数单位)，则 a+b 的值为_______；
4. 如 图 是 一 个 算 法 的 流 程 图 ， 则 输 出 的 k 的 值 是 ________ ；
N
开始
k←1
k2－5k+4>0 k←k+1
输出 k
结束 4 题图
Y
5. 函数 f(x)= 1－2log6x的定义域为_________；
6. 现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，－3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中
随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是________；
7. 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB=AD=3cm,AA1=2cm，
则四棱锥 A－BB1D1D 的体积为___________cm3；
7题图
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x2
m
－ y2
m2+4=1 的离心率为 5，则 m 的值为_______；
9. 如图，在矩形ABCD中，AB= 2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→ ·AF→= 2，
则AE→ ·BF→的值是________；
10. 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1,1]上，f(x)=
ax+1，－1 x<0
bx+2
x+1
， 0 x 1，其
中 a,b R；若 f(1
2)=f(3
2)，则 a+3b 的值为________；
11. 设 为锐角，若 cos( +
6
)=4
5
，则 sin(2 +
12
)的值为___________；
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y2－8x+15=0，若直线 y=kx－2 上至少存
在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是________；
13. 已知函数 f(x)=x2+ax+b (a,b R)的值域为[0,+ )，若关于 x 的不等式 f(x)0)表示的曲线上，
其中 k 与发射方向有关；炮弹射程是指炮弹落地点的横坐标。
⑴求炮的最大射程；
⑵设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不
超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。
18. (本小题满分 16 分)
若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 y=f(x)的极值点。已知 a，b
是实数，1 和－1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点。
⑴求 a 和 b 的值；
⑵设函数 g(x)的导函数 g (x)=f(x)+2，求 g(x)的极值点；
⑶设 h(x)=f(f(x))－c，其中 c [－2,2]，求函数 y=h(x)的零点个数；
19. (本小题满分 16 分)
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x2
a2+y2
b2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)，
F2(c,0)；已知点(1,e)和(e, 3
2 )都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率。
⑴求椭圆的方程；
⑵设 A，B 椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF2 与直线 BF1 平行，AF2 与 BF1 交于
点 P；
①若 AF1－BF2= 6
2
，求直线 AF1 的斜率；
②求证：PF1+PF2 是定值；
20. (本小题满分 16 分)
已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=an+bn
a2n+2n
，n N*；
⑴设 bn+1=1+bn
an
，n N*，求证：数列 (bn
an
)2 是等差数列；
⑵设 bn+1= 2·bn
an
，n N*，且{an}是等比数列，求 a1 和 b1 的值；
【数学 II(附加题)】
21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中选作两题。
A．[选修 4－1：几何证明选讲](本小题满分 10 分)
如图，AB 是圆 O 的直径，D，E 为圆 O 上位于 AB
异侧的两点，连结 BD 并延长至点 C，使 BD=DC，
连结 AC，AE，DE。
求证： E= C；
B
A
O
21－A题图
E
D
C
B．[选修 4－2：矩阵与变换](本小题满分 10 分)
已知矩阵 A 的逆矩阵 A－1=
－1
4
3
4
1
2
－1
2
，求矩阵 A 的特征值；
C．[选修 4－4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P( 2,
4
)，圆心为直线 sin( －
3
)=－ 3
2
与极轴的交点，
求圆 C 的极坐标方程；
D．[选修 4－5：不等式选讲](本小题满分 10 分)
已知实数 x，y 满足：|x+y|<1
3
，|2x－y|<1
6
；求证：|y|< 5
18
；
【必做题】22，23 为必答题，每题 10 分，满分 20 分。
22. (本小题满分 10 分)
设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两棱相交时， =0；
当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两棱异面时， =1；
⑴求概率 P( =0)；
⑵求 的分布列，并求其数学期望 E( )；
23. (本小题满分 10 分)
设集合 Pn={1,2,…,n}，n N*；记 f(n)为同时满足下列条件的集合 A 的个数：
①APn；②若 x A，则 2x A；③若 x ∁Pn
A，则 2x ∁Pn
A；
⑴求 f(4)；
⑵求 f(n)的解析式(用 n 表示)；
参考答案
一、填空题
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
2
1
3 14
答
案
{1,2,4,
6}
1
5 8 5 (0, 6] 3
5 6 2 2
－
10
17 2
50
4
3 9 [e,7
]
简析
1. 略
2. 略
3. a+bi=11－7i
1－2i
=(11－7i)(1+2i)
(1－2i)(1+2i)
=25+15i
5 =5+3i a+b=5+3=8
4. 略
5. 由题意，有 1－2log6x 0，即 log6x 1
2
，所以，00，b2=m2+4，所以，c2=a2+b2=m+m2+4=m2+m+4>0；
由离心率 e=c
a= 5， c2=5a2，所以，m2+m+4=5m, m2－4m+4=0 m=2；
9. 建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算，可推得结果为 2；
10. 由周期性知有 f(1
2)=f(－1
2)，又 f(－1)=f(－1+2)=f(1)，联立解得 a=2，b=－4，
故 a+3b=－10
11. 由题意知，cos(2 +
3
)=2cos2( +
6
)－1= 7
25>0，故 sin(2 +
3
)= 1－cos22 =24
25
，
故 sin(2 +
12
)=sin[(2 +
3
)－
4
]=17 2
50
12. 考虑圆心在直线上的圆与已知圆相切情况，转而求已知圆圆心到直线距离为 2 时的 k 值，
从而得所求最大值为4
3
13. 由定义域和值域知，x=－a
2
时，fmin(x)=4b－a2
4
=0，即 4b－a2=0，
故 f(x)=x2+ax+a2
4=(x+a
2)2，由 f(x)0
y>0
，
线性规划求b
a=y
x
的最大最小，得所求为[e,7]；
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
参考公式：
样本数据 1 2, , , nx x x 的方差 2 2
1
1 ( )
n
i
i
s x xn
，其中
1
1 n
i
i
x xn
。
棱锥的体积公式： 1
3V Sh ，其中 S 是锥体的底面积，h 为高。
棱柱的体积公式：V Sh ，其中 S 是柱体的底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．
位置上．．．。
1、函数 3sin(2 )4y x 的最小正周期为 ▲ 。
2、设 2(2 )z i (i 为虚数单位)，则复数 z 的模为 ▲ 。
3、双曲线
2 2
116 9
x y 的两条渐近线的方程为 ▲ 。
4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。
5、右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 ▲ 。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环），结
果如下：
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
7、现有某类病毒记作为 m nX Y ，其中正整数 , ( 7, 9)m n m n 可以任意选
取，则 ,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。
8、如图，在三棱柱 A1B1C1 -ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、AA1 的中
点，设三棱锥 F-ADE 的体积为 1V ，三棱柱 A1B1C1 -ABC 的体积为 2V ，则 1V ：
2V = ▲ 。
运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
9、抛物线 2y x 在 1x 处的切线与坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部与边界)。
若点 P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则 2x y 的取值范围是 ▲ 。
10、设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，且 1 2,2 3AD AB BE BC 。若
1 2DE AB AC
( 1 、 2 均为实数)，则 1 + 2 的值为 ▲ 。
11、已知 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数。当 0x 时， 2( ) 4f x x x ，则不等式 ( )f x x
的解集用区间表示为 ▲ 。
12、在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C 的方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
，右焦点为 F，右
准线为 l ，短轴的一个端点为 B。设原点到直线 BF 的距离为 1d ，F 到 l 的距离为 2d 。若
2 16d d ，则椭圆 C 的离心率为 ▲ 。
13、在平面直角坐标系 xoy 中，设定点 A(a,a)，P 是函数 1 ( 0)y xx
图象上的一动点。若
点 P、A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为= ▲ 。
14、在正项等比数列 na 中， 5 6 7
1 , 32a a a ，则满足 1 2 1 2n na a a a a a 的
最大正整数 n 的值为 ▲ 。
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说
明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分 14 分）
已知向量 (cos ,sin ), (cos ,sin ),0a b 。
（1）若| | 2a b ，求证： a b ；
（2）设 (0,1)c ，若 a b c ，求 , 的值。
16、（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 S-ABC 中，平面 SAB 平面 SBC, BCAB ，AS=AB。过 A 作
SBAF ，垂足为 F，点 E、G 分别为线段 SA、SC 的中点。
求证：（1）平面 EFG//平面 ABC；
（2） BC SA 。
17、（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 A(0,3)，直线 42: xyl ，设圆 C 的半径为 1，圆心
在直线l 上。
（1）若圆心 C 也在直线 1 xy 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；
（2）若圆 C 上存在点 M，使 MA=2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。
18、（本小题满分 16 分）
如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C，
另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C。
现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 米/分钟。在甲出发 2 分钟
后，乙从 A 乘坐缆车到 B，在 B 处停留 1 分钟后，再从 B 匀速步行到 C。假设缆车速度为
130 米 / 分 钟 ， 山 路 AC 的 长 为 1260 米 ， 经 测 量 ，
12 3cos ,cos13 5A C 。
（1）求索道 AB 的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步
行的速度应控制在什么范围内？
19、（本小题满分 16 分）
设 }a { n 是 首 项 为 a 、 公 差 为 d 的 等 差 数 列 )0( d ， nS 为 其 前 n 项 和 。 记
2 ,n
n
nSb n Nn c
，其中 c 为实数。
（1）若 c=0，且 421 ,, bbb 成等比数列，证明： ),(2 NknSnS knk
（2）若 }b { n 为等差数列，证明：c=0。
20、（本小题满分 16 分）
设函数 axexgaxxxf x )(,ln)( ，其中 a 为实数。
（1）若 )(xf 在 ),1( 上是单调减函数，且 )(xg 在 ),1( 上有最小值，求 a 的取值范围；
（2）若 )(xg 在 ),1( 上是单调增函数，试求 )(xf 的零点个数，并证明你的结论。
21．[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若
多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修 4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分 10 分）
如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、C，AC 经过圆心 O，且 BC=2OC。
求证：AC=2AD。
B．[选修 4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
已知矩阵 1 0 1 2,0 2 0 6A B
，求矩阵 1A B ．
C．[选修 4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，直线l 的参数方程为 1
2
x t
y t
（t 为参数），曲线 C 的参数方程为
22tan
2tan
x
y
（ 为参数）。试求直线l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。
D．[选修 4 - 5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知 a ≥b ＞0，求证： 3 32a b ≥ 2 22ab a b 。
【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
如图，在直三棱柱 1 1 1A B C ABC 中，AB⊥AC，AB=AC=2， 1A A =4，点 D 是 BC 的中
点。
（1）求异面直线 1A B 与 1C D 所成角的余弦值；
（2）求平面 1ADC 与平面 1ABA 所成二面角的正弦值。
23．（本小题满分 10 分）
设数列 na ：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…， 1 1( 1) , ( 1)
k
k kk k
个
，…
即 当 ( )2 2n k N （k-1）k （k+1）k 时 ， 1( 1)k
na k 。 记
1 2n nS a a a ( )n N 。
对于l N ，定义集合 lP =﹛ n | nS 为 na 的整数倍， ,n N 且 1≤ n ≤l }
(1)求 11P 中元素个数；
(2)求集合 2000P 中元素个数。
参考答案
1．【答案】π
【解析】T＝|2π
ω |＝|2π
2 |＝π．
2．【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝ ＝5．
3．【答案】 xy 4
3
【解析】令： 0916
22
yx ，得 xxy 4
3
16
9 2
．
4．【答案】8
【解析】23＝8．
5．【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为： 905
9288919089 x ．
方差为： 25
)9092()9088()9091()9090()9089( 22222
2 S ．
7．
【答案】
63
20
【解析】m 取到奇数的有 1，3，5，7 共 4 种情况；n 取到奇数的有 1，3，5，7，9 共 5 种
情况，则 nm， 都取到奇数的概率为
63
20
97
54
．
8．
【答案】1：24
【解析】三棱锥 ADEF 与三棱锥 ABCA 1 的相似比为 1：2，故体积之比为
1：8．又因三棱锥 ABCA 1 与三棱柱 ABCCBA 111 的体积之比为 1：3．所
以，三棱锥 ADEF 与三棱柱 ABCCBA 111 的体积之比为 1：24．
9．
【答案】[—2，1
2 ]
【解析】抛物线 2xy 在 1x 处的切线易得为 y＝2x—1，令 z＝ yx 2 ，y＝—1
2 x＋z
2
．
A
B
C
1A
D
E
F
1B
1C
y
x
l
B
FO
c
b a
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(1
2
，0)时，zmax＝1
2
．
y
xO
y＝2x—1
y＝—1
2 x
10．
【答案】1
2
【解析】 )(3
2
2
1
3
2
2
1 ACBAABBCABBEDBDE
ACABACAB 213
2
6
1
所以，
6
1
1 ，
3
2
2 ， 21 1
2
．
11．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出 xxxf 4)( 2 ( 0x )的图像，如下图所示。由于 )(xf 是定义在 R 上的奇
函数，利用奇函数图像关于原点对称做出 x＜0 的图像。不等式 xxf )( ，表示函数 y＝ )(xf
的图像在 y＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
x
y
y＝x
y＝x2—4 x
P(5,5)
Q(﹣5, ﹣5)
12． 【答案】
3
3
【解析】如图，l：x＝
c
a 2
， 2d ＝
c
a 2
－c＝
c
b 2
，由
等面积得： 1d ＝
a
bc 。若 12 6dd ，则
c
b 2
＝ 6 a
bc ，整理得： 066 22 baba ，
两边同除以： 2a ，得： 066
2
a
b
a
b ，解之得：
a
b ＝
3
6 ，所以，离心率为：
3
31e
2
a
b ．
13．
【答案】1 或 10
【解析】
14．
【答案】12
【解析】设正项等比数列 }{ na 首项为 a1，公比为 q，则：
3)1(
2
1
51
41
qqa
qa ，得：a1＝ 1
32
，
q＝2，an＝26－n．记 521 2
12
n
nn aaaT ， 2
)1(
21 2
nn
nn aaa
． nnT ，
则 2
)1(
5 22
12 nnn
， 化 简 得 ： 5
2
11
2
1 2
212
nnn ， 当 52
11
2
1 2 nnn 时 ，
122
12113 n ．当 n＝12 时， 1212 T ，当 n＝13 时， 1313 T ，故 nmax＝12．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，
所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，
所以， ba ．
（2）
�1sinsin
�0coscos
，①2＋②2 得：cos(α－β)＝－1
2
．
所以，α－β＝
3
2 ，α＝
3
2 ＋β，
带入②得：sin(
3
2 ＋β)＋sinβ＝
2
3 cosβ＋1
2 sinβ＝sin(
3
＋β)＝1，
所以，
3
＋β＝
2
．
所以，α＝
6
5 ，β＝
6
．
16．
证：（1）因为 SA＝AB 且 AF⊥SB，
所以 F 为 SB 的中点．
又 E，G 分别为 SA，SC 的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC．
又 AB∩AC＝A，AB 面 SBC，AC 面 ABC，
所以，平面 //EFG 平面 ABC ．
（2）因为平面 SAB⊥平面 SBC，平面 SAB∩平面 SBC＝BC，
AF 平面 ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面 SBC．
又 BC 平面 SBC，
所以，AF⊥BC．
又 AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面 SAB．
又 SA 平面 SAB，
所以， SABC ．
17． 解：（1）联立：
42
1
xy
xy ，得圆心为：C(3，2)．
设切线为： 3 kxy ，
d＝ 1
1
|233|
2
r
k
k ，得：
4
30 kork ．
故所求切线为： 34
30 xyory ．
（2）设点 M(x，y)，由 MOMA 2 ，知： 2222 2)3( yxyx ，
化简得： 4)1( 22 yx ，
即：点 M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D．
又因为点 M 在圆C 上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中 22 )32( aaCD ．
解之得：0≤a≤12
5
．
A
B
C
S
G
F
E
x
y
A l
O
C
B
A
D
M
N
18．
解：（1）如图作 BD⊥CA 于点 D，
设 BD＝20k，则 DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由 AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发 x 分钟后到达点 M，
此时甲到达 N 点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
其中 0≤x≤8，当 x＝35
37 (min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到 C 用时：1260
50
＝126
5 (min)．
若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时：126
5
＋3＝141
5 (min)，在 BC 上用时：86
5 (min) ．
此时乙的速度最小，且为：500÷86
5
＝1250
43 m/min．
若乙等甲 3 分钟，则乙到 C 用时：126
5
－3＝111
5 (min)，在 BC 上用时：56
5 (min) ．
此时乙的速度最大，且为：500÷56
5
＝625
14 m/min．
故乙步行的速度应控制在[1250
43
，625
14 ]范围内．
19．
证：（1）若 0c ，则 dnaan )1( ，
2
]2)1[( adnnSn
，
2
2)1( adnbn
．
当 421 bbb ，， 成等比数列， 41
2
2 bbb ，
即：
2
3
2
2 daada ，得： add 22 ，又 0d ，故 ad 2 ．
由此： anSn
2 ， aknankSnk
222)( ， aknSn k
222 ．
故： knk SnS 2 （ *, Nnk ）．
（2）
cn
adnn
cn
nSb n
n
2
2
2
2
2)1(
，
cn
adncadncadnn
2
2
2
2)1(
2
2)1(
2
2)1(
cn
adncadn
2
2
2)1(
2
2)1( ． (※)
若 }{ nb 是等差数列，则 BnAnbn 型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有： 02
2)1(
2
cn
adnc
，即 02
2)1( adnc ，而
2
2)1( adn ≠0，
故 0c ．
经检验，当 0c 时 }{ nb 是等差数列．
20．
解：（1） axxf 1)( ≤0 在 ),1( 上恒成立，则 a ≥
x
1 ， )1( ，x ．
故： a ≥1．
axg x e)( ，
若 1≤ a ≤e，则 axg x e)( ≥0 在 ),1( 上恒成立，
此时， axexg x )( 在 ),1( 上是单调增函数，无最小值，不合；
若 a ＞e，则 axexg x )( 在 )ln1( a， 上是单调减函数，在 )(ln ，a 上是单调
增函数， )ln()(min agxg ，满足．
故 a 的取值范围为： a ＞e．
（2） axg x e)( ≥0 在 ),1( 上恒成立，则 a ≤ex，
故： a ≤1
e
．
)0(11)( xx
axaxxf ．
(ⅰ)若 0＜ a ≤1
e
，令 )(xf ＞0 得增区间为(0，1
a )；
令 )(xf ＜0 得减区间为(1
a
，﹢∞)．
当 x→0 时，f(x)→﹣∞；当 x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
当 x＝1
a
时，f(1
a )＝﹣lna－1≥0，当且仅当 a ＝1
e
时取等号．
故：当 a ＝1
e
时，f(x)有 1 个零点；当 0＜ a ＜1
e
时，f(x)有 2 个零点．
(ⅱ)若 a＝0，则 f(x)＝﹣lnx，易得 f(x)有 1 个零点．
(ⅲ)若 a＜0，则 01)( axxf 在 )0( ， 上恒成立，
即： axxxf ln)( 在 )0( ， 上是单调增函数，
当 x→0 时，f(x)→﹣∞；当 x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．
此时，f(x)有 1 个零点．
综上所述：当 a ＝1
e
或 a＜0 时，f(x)有 1 个零点；当 0＜ a ＜1
e
时，f(x)有 2 个零点．
2014 年江苏省普通高等学校招生全国统一考试数学
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1. 已知集合 A={ 4,3,1,2 }， }3,2,1{B ，则 BA ▲ .
2. 已知复数 2)i25( z (i 为虚数单位),则 z 的实部为 ▲ .
3. 右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 ▲ .
4. 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是
▲ .
5. 已知函数 xy cos 与 )2sin( xy (0≤ ),它们的图象有一个横坐标为
3
的交点,则 的值是 ▲ .
6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在
抽测的 60 株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm.
7. 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 }{ na
中, ,12 a 468 2aaa ,则 6a 的值是 ▲ .
8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为 1S ， 2S ，体积分
别为 1V ， 2V ，若它们的侧面积相等，且
4
9
2
1
S
S ，
则
2
1
V
V 的值是 ▲ .
9. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 032 yx 被圆
4)1()2( 22 yx 截得的弦长为 ▲ .
10. 已知函数 ,1)( 2 mxxxf 若对于任意 ]1,[ mmx ,都有 0)( xf 成立,则实数 m 的取
值范围是 ▲ .
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线
x
baxy 2 (a，b 为常数) 过点 )5,2( P ，且该曲线在
点 P 处的切线与直线 0327 yx 平行，则 ba 的值是 ▲ .
开始
0n
1 nn
202 n
输出 n
结束
（第 3 题）
N
Y
组距
频率
10080 90 110 120 130
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
底部周长/cm
（第 6 题）
12. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 8AB ， 5AD ，
PDCP 3 ， 2 BPAP ，则 ADAB 的值是 ▲ .
13. 已 知 )(xf 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 , 当 )3,0[x
时, |2
12|)( 2 xxxf .若函数 axfy )( 在区间 ]4,3[ 上有
10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 ▲ .
14. 若△ ABC 的内角满足 CBA sin2sin2sin ,则 Ccos 的最小值是 ▲ .
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，学科网解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题满分 14 分)
已知 ),2( , 5
5sin .
(1)求 )4sin( 的值；
(2)求 )26
5cos( 的值.
16.(本小题满分 14 分)
如 图 ， 在 三 棱 锥 ABCP 中 ， D ， E ， F 分 别 为 棱 ABACPC ,, 的 中 点 . 已 知
ACPA , ,6PA
.5,8 DFBC
求证: (1)直线 //PA 平面 DEF ；
(2)平面 BDE 平面 ABC .
A B
D CP
（第 12 题）
17.(本小题满分 14 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 21, FF 分别是椭圆 )0(12
3
2
2
ba
b
y
a
x 的左、右焦点，
顶点 B 的坐标为 ),0( b ，连结 2BF 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于
另一点 C，连结 CF1 .
(1)若点 C 的坐标为 )3
1,3
4( ,且 22 BF ,求椭圆的方程；
(2)若 ,1 ABCF 求椭圆离心率 e 的值.
18.(本小题满分 16 分)
如图,为了保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划
要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆.
且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量，点 A 位于点 O 正
北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), 3
4tan BCO 。
(1)求新桥 BC 的长；
(2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大？
170 m
60 m
东
北
O
A
B
M
C
（第 18 题）
F1 F2O x
y
B
C
A
(第 17 题)
19.(本小题满分 16 分)
已知函数 xxxf ee)( ,其中 e 是自然对数的底数.
(1)证明: )(xf 是 R 上的偶函数；
(2)若关于 x 的不等式 )(xmf ≤ 1e mx 在 ),0( 上恒成立，学科网求实数 m 的取值范
围；
(3)已知正数 a 满足：存在 ),1[0 x ，使得 )3()( 0
3
00 xxaxf 成立.试比较 1e a 与 1ea
的大小，并证明你的结论.
20.(本小题满分 16 分)
设数列 }{ na 的前 n 项和为 nS .若对任意正整数 n ，学科网总存在正整数 m ，使得 mn aS ，
则称 }{ na 是“H 数列”.
(1)若数列 }{ na 的前 n 项和 n
nS 2 ( n N ),证明: }{ na 是“H 数列”;
(2)设 }{ na 是等差数列,其首项 11 a ,公差 0d .若 }{ na 是“H 数列”,求 d 的值；
(3)证明：对任意的等差数列 }{ na ，总存在两个“H 数列” }{ nb 和 }{ nc ，使得 nnn cba
( n N )成立.
参考答案
一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上）．
1.【答案】{ 1,3}
【解析】由题意得 { 1,3}A B ．
2.【答案】21
【解析】由题意 2 2(5 2 ) 25 2 5 2 (2 ) 21 20z i i i i ，其实部为 21．
【考点】复数的概念．
3.【答案】5
【解析】本题实质上就是求不等式 2 20n 的最小整数解．2 20n 整数解为 5n ，因此输
出的 5n
【考点】程序框图．
4.【答案】 1
3
【解析】从1,2,3,6 这 4 个数中任取 2 个数共有 2
4 6C 种取法，其中乘积为 6 的有1,6 和 2,3
两种取法，因此所求概率为 2 1
6 3P ．
【考点】古典概型．
5.【答案】
6
【解析】由题意 cos sin(2 )3 3
，即 2 1sin( )3 2
， 2 ( 1)3 6
kk ，
( )k Z ，因为 0 ，所以
6
．
【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．
6.【答案】24
【 解 析 】 由 题 意 在 抽 测 的 60 株 树 木 中 ， 底 部 周 长 小 于 100cm 的 株 数 为
(0.015 0.025) 10 60 24 ．
【考点】频率分布直方图．
7.【答案】4
【解析】设公比为 q ，因为 2 1a ，则由 8 6 42a a a 得 6 4 22q q a ， 4 2 2 0q q ，
解得 2 2q ，所以 4
6 2 4a a q ．
【考点】等比数列的通项公式．
8.【答案】 3
2
【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为 1 1r h、 ， 2 2r h、 ，则 1 1 2 22 2rh r h ， 1 2
2 1
h r
h r
，
又
2
1 1
2
2 2
9
4
S r
S r
，所以 1
2
3
2
r
r
，则
2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 1 2
3
2
V r h r h r r r
V r h r h r r r
．
【考点】圆柱的侧面积与体积．
9.【答案】 2 55
5
【 解 析 】 圆 2 2( 2) ( 1) 4x y 的 圆 心 为 (2, 1)C ， 半 径 为 2r ， 点 C 到 直 线
2 3 0x y 的 距 离 为
2 2
2 2 ( 1) 3 3
51 2
d
， 所 求 弦 长 为
2 2 9 2 552 2 4 5 5l r d ．
【考点】直线与圆相交的弦长问题．
10.【答案】 2( ,0)2
【解析】据题意
2 2
2
( ) 1 0,
( 1) ( 1) ( 1) 1 0,
f m m m
f m m m m
解得 2 02 m ．
【考点】二次函数的性质．
11.【答案】 2
【解析】曲线 2 by ax x
过点 (2, 5)P ，则 4 52
ba ①，又 2' 2 by ax x
，所以
74 4 2
ba ②，由①②解得 1,
1,
a
b
所以 b=-2，a+b=-3．
【考点】导数与切线斜率．
12.【答案】22
【 解 析 】 由 题 意 ， 1
4AP AD DP AD AB ，
3 3
4 4BP BC CP BC CD AD AB ，
所以 1 3( ) ( )4 4AP BP AD AB AD AB 2 21 3
2 16AD AD AB AB ，
即 1 32 25 642 16AD AB ，解得 22AD AB ．
【考点】向量的线性运算与数量积．
13.【答案】 1(0, )2
【解析】作出函数 2 1( ) 2 , [0,3)2f x x x x 的图象，可见 1(0) 2f ，当 1x 时，
1( ) 2f x 极大 ， 7(3) 2f ，方程 ( ) 0f x a 在 [ 3,4]x 上有 10 个零点，即函数 ( )y f x
和图象与直线 y a 在[ 3,4] 上有 10 个交点，由于函数 ( )f x 的周期为 3，因此直线 y a 与
函数 2 1( ) 2 , [0,3)2f x x x x 的应该是 4 个交点，则有 1(0, )2a ．
【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．
14.【答案】 6 2
4
【 解 析 】 由 已 知 sin 2 sin 2sinA B C 及 正 弦 定 理 可 得 2 2a b c ，
2 2 2
2 2 2
2( )2cos 2 2
a ba ba b cC ab ab
2 23 2 2 2 2 6 2 2 6 2
8 8 4
a b ab ab ab
ab ab
，当且仅当 2 23 2a b 即 2
3
a
b
时
等号成立，所以 cosC 的最小值为 6 2
4
．
【考点】正弦定理与余弦定理．
二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
15.
【答案】（1） 10
10
；（2） 3 3 4
10
．
【解析】（1）由题意 25 2 5cos 1 ( )5 5
，
所以 2 2 5 2 5 10sin( ) sin cos cos sin ( )4 4 4 2 5 2 5 10
．
（2）由（1）得 4sin 2 2sin cos 5
， 2 3cos2 2cos 1 5
，
所以 5 5 5 3 3 1 4 3 3 4cos( 2 ) cos cos2 sin sin 2 ( )6 6 6 2 5 2 5 10
．
【考点】同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．
16.
【解析】（1）由于 ,D E 分别是 ,PC AC 的中点，则有 //PA DE ，又 PA DEF 平面 ，
DE DEF 平面 ，所以 //PA DEF平面 ．
（2）由（1） //PA DE ，又 PA AC ，所以 PE AC ，又 F 是 AB 中点，所以
1 32DE PA ， 1 42EF BC ， 又 5DF ， 所 以 2 2 2DE EF DF ， 所 以
DE EF ， ,EF AC 是 平 面 ABC 内 两 条 相 交 直 线 ， 所 以 DE ABC 平面 ， 又
DE 平面 BDE ，所以平面 BDE 平面 ABC ．
【考点】线面平行与面面垂直．
17.【解析】（1）由题意， 2 ( ,0)F c ， (0, )B b ， 2 2
2 2BF b c a ，又 4 1( , )3 3C ，
∴
2 2
2
4 1( ) ( )3 3 12 b
，解得 1b ．∴椭圆方程为
2
2 12
x y ．
（2）直线 2BF 方程为 1x y
c b
，与椭圆方程
2 2
2 2 1x y
a b
联立方程组，解得 A 点坐标为
2 3
2 2 2 2
2( , )a c b
a c a c
，则C 点坐标为
2 3
2 2 2 2
2( , )a c b
a c a c
，
1
3
32 2
2 2 3
2 2
2 2F C
b
ba ck a c a c cca c
，
又 AB
bk c
， 由 1FC AB 得
3
2 3 ( ) 12
b b
a c c c
， 即 4 2 2 42b a c c ， ∴
2 2 2 2 2 4( ) 2a c a c c ，化简得 1
2
ce a
．
【考点】（1）椭圆标准方程；（2）椭圆离心率．
18.【解析】（1）如图，以 ,OC OA为 ,x y 轴建立直角坐标系，则 (170,0)C ， (0,60)A ，由
题意 4
3BCk ，直线 BC 方程为 4 ( 170)3y x ．又 1 3
4AB
BC
k k
，故直线 AB 方程
为 3 604y x ， 由
4 ( 170)3
3 604
y x
y x
， 解 得 80
120
x
y
， 即 (80,120)B ， 所 以
2 2(80 170) 120 150BC ( )m ；
（2）设OM t ，即 (0, )M t (0 60)t ，由（1）直线 BC 的一般方程为 4 3 680 0x y ，
圆 M 的半径为 3 680
5
tr
，由题意要求 80,
(60 ) 80,
r t
r t
，由于 0 60t ，因此
3 680
5
tr
680 3 31365 5
t t ，∴
3136 80,5
3136 (60 ) 80,5
t t
t t
∴10 35t ，所以当
10t 时， r 取得最大值130m ，此时圆面积最大．
【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离．
19.【解析】（1）证明：函数 ( )f x 定义域为 R ，∵ ( ) ( )x xf x e e f x ，∴ ( )f x 是偶
函数．
（2）由 ( ) 1xmf x e m 得 ( ( ) 1) 1xm f x e ，由于当 0x 时， 1xe ，因此
( ) 2x xf x e e ，即 ( ) 1 1 0f x ，所以 1 1
( ) 1 1
x x
x x
e em f x e e
2
1
1
x
x x
e
e e
，
令 2
1
1
x
x x
ey e e
，设 1 xt e ，则 0t ，
21 (1 ) 1 1t t ty t t
，∵ 0t ，∴ 1 2t t
（ 1t 时等号成立），即 1 2 1 3y
， 1 03 y ，所以 1
3m ．
（3）由题意，不等式 3( ) ( 3 )f x a x x 在 [1, ) 上有解，由 3( ) ( 3 )f x a x x 得
3 3 0x xax ax e e ，记 3( ) 3 x xh x ax ax e e ， 2'( ) 3 ( 1) x xh x a x e e ，
显然 '(1) 0h ，当 1x 时， '( ) 0h x （因为 0a ），故函数 ( )h x 在[1, ) 上增函数，
( ) (1)h x h最小 ，于是 ( ) 0h x 在 [1, ) 上有解，等价于 1(1) 3 0h a a e e
，即
1 1( ) 12a e e
． 考 察 函 数 ( ) ( 1)ln ( 1),( 1)g x e x x x ， 1'( ) 1eg x x
， 当
1x e 时， '( ) 0g x ，当1 1x e 时， '( ) 0g x ，当 1x e 时 '( ) 0g x ，即 ( )g x
在[1, 1]e 上是增函数，在 ( 1, )e 上是减函数，又 (1) 0g ， ( ) 0g e ， 1 1( ) 12 e e
，
所以当 1 1( )2 e x ee
时， ( ) 0g x ，即 ( 1)ln 1e x x ， 1 1e xx e ，当 x e 时，
( ) 0g x ，，即 ( 1)ln 1e x x ， 1 1e xx e ，因此当 1 1( )2 e a ee
时， 1 1a ee a ，
当 a e 时， 1 1a ee a ，当 a e 时， 1 1a ee a ．
【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调
性，比较大小．
20.【解析】（1）首先 1 1 2a S ，当 2n 时， 1 1
1 2 2 2n n n
n n na S S
，所以
1
2, 1,
2 , 2,n n
n
a
n
，所以对任意的 *n N ， 2n
nS 是数列{ }na 中的 1n 项，因此数列{ }na
是“ H 数列”．
（2）由题意 1 ( 1)na n d ， ( 1)
2n
n nS n d ，数列{ }na 是“ H 数列”，则存在 *k N ，
使 ( 1) 1 ( 1)2
n nn d k d ， 1 ( 1) 12
n n nk d
，由于 ( 1) *2
n n N ，又 *k N ，
则 1n Zd
对一切正整数 n 都成立，所以 1d ．
（3）首先，若 nd bn （b 是常数），则数列{ }nd 前 n 项和为 ( 1)
2n
n nS b 是数列{ }nd 中
的第 ( 1)
2
n n 项，因此{ }nd 是“ H 数列”，对任意的等差数列{ }na ， 1 ( 1)na a n d （ d
是公差），设 1nb na ， 1( )( 1)nc d a n ，则 n n na b c ，而数列{ }nb ，{ }nc 都是“ H
数列”，证毕．
【考点】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法．
