2004江苏高考数学历年真题及答案

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2004江苏高考数学历年真题及答案

2004 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(5 分×12=60 分) 1.设集合 {1,2,3,4}P  ,  2,Q x x x R   ,则 P Q 等于 ( ) A.{1,2} B. {3,4} C. {1} D. {-2,-1,0,1,2} 2.函数 22cos 1y x  ( x R )的最小正周期为 ( ) A. 2 π B. π C. π2 D. π4 3.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有 ( ) A.140 种 B.120 种 C.35 种 D.34 种 4.一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是 ( ) A. 3 3 π100 cm B. 3 3 π208 cm C. 3 3 π500 cm D. 3 3 π3416 cm 5.若双曲线 2 2 2 18 x y b   的一条准线与抛物线 xy 82  的准线重合,则双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 22 C. 4 D. 24 6.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课外 阅读所用时间的数据,结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这 50 名学生这一天 平均每人的课外阅读时间为 ( ) A.0.6 小时 B.0.9 小时 C.1.0 小时 D.1.5 小时 7. 4(2 )x x 的展开式中 3x 的系数是 ( ) A.6 B.12 C.24 D.48 0.5 人数(人) 时间(小时) 20 10 5 0 1.0 1.5 2.0 15 8.若函数 log ( )( 0, 1)ay x b a a    的图象过两点 ( 1,0) 和 (0,1) ,则 ( ) A.a=2,b=2 B.a= 2 ,b=2 C.a=2,b=1 D.a= 2 ,b= 2 9.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具) 先后抛掷 3 次,至少出现一次 6 点向上的概率是 ( ) A. 5 216 B. 25 216 C. 31 216 D. 91 216 10.函数 3( ) 3 1f x x x   在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 ( ) A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19 11.设 1k  , ( ) ( 1)f x k x  ( x R ) . 在平面直角坐标系 xOy 中,函数 ( )y f x 的图象 与 x 轴交于 A 点,它的反函数 1( )y f x 的图象与 y 轴交于 B 点,并且这两个函数的 图象交于 P 点. 已知四边形 OAPB 的面积是 3,则 k 等于 ( ) A.3 B. 3 2 C. 4 3 D. 6 5 12.设函数 ( ) ( )1 xf x x Rx    ,区间 M=[a,b](a0,函数 ]2,2[),(  ttmy 的图像是开口向上的抛物线的一段,由 ]2,2[)(01 在知 tmat  上单调递增。∴ 2)2()(  amag (2)当 a=0 时,m(t)=t, ]2,2[t , ∴ 2)( ag (3)当 a<0 时,函数 y=m(t), ]2,2[t 的图像是开口向下的抛物线的一段。 若 .2)2()( ,2 2],2,0(1  magaat 则即 若 .2 1)1()( ],2 1,2 2(],2,2(1 aaamagaat  则即 若 .2)2()(),0,2 1(),,2(1  amagaat 则即 综上有              2 22 2 1 2 2,2 1 2 1,2 )( a aaa aa ag (Ⅲ)解法一:情形 1:当 .21)1(,2)(,2 11,2  aagagaa 此时时 由 212  a 解得 2,2 21  aa 与 矛盾。 情形 2:当 ,22 时 a 2 11 2 2  a ,此时 2)( ag , 2,22 12,2 1)1(  aaa a a aag 与解得由 矛盾。 情形 3:当 2 212,-2 22  aa 时 ,此时 )1(2)( agag  所以 2 22  a 。 情形 4:当 21,-22 1 2 2  aa 时 ,此时 aaag 2 1)(  2 2,2 222 1,2)1(  aaaaag 与解得由 矛盾。 情形 5:当 21,02 1  aa 时 ,此时 2)1(,2)(  agaag 由 2 1,2222  aaa 与解得 矛盾。 情形 6:当 a>0 时, 01  a ,此时 21)1(,2)(  aagaag 由 10,1212  aaaaa 知由解得 综上知,满足 )1()( agag  的所有实数 a 为: 12 22  aa 或 解法二:当 ,2 1时a 22 32)(  aag 当 ]1,2 2(2 1),2 2,2 1[,2 1 2 2  aaa 时 ,所以 ,2 1 aa  2)2 1()(22 1)(  aaaaag 。因此,当 ,2 2 时a 2)( ag 当 01,0  aa 时 ,由 1212)1()(  aaaagag 解得知 当 ,0时a 2)1(2)(,111,11  agagaaaa 或从而或因此 要使 )1()( agag  ,必须有 .2 22,2 21,2 2  aaa 即 此 时 )1(2)( agag  。 综 上 知 , 满 足 )1()( agag  的 所 有 实 数 a 为 : 12 22  aa 或 (21)证明:必要性. 设 }{ na 是公差为 d1 的等差数列,则 0)()()()( 112312311   ddaaaaaaaabb nnnnnnnnnn 所以 ,3,2,1(1   nbb nn )成立. 又 )(3)(2)( 231211   nnnnnnnn aaaaaacc 1111 632 dddd  (常数)(n=1,2,3,…),所以数列 }{ nc 为等差 数列. 充分性,设数列 }{ nc 是公差 d2 的等差数列,且 1bbn  (n=1,2,3,…). 证法一: ①-②得 )(3)(2)( 423122   nnnnnnnn aaaaaacc ,32 21   nnn bbb , 22112 2)()( dcccccc nnnnnn   221 232 dbbb nnn   , ③ 从而有 .232 2321 dbbb nnn   ④ ④-③得 .0)(3)(2)( 23121   nnnnnn bbbbbb ⑤ 0,0,0 23121   nnnnnn bbbbbb , ∴由⑤得 ).,3,2,1(01  nbb nn 由此 不妨设 323 ),,3,2,1( daandb nnn  则 (常数). 由此 3121 32432 daaaaac nnnnnn   , 从而 313211 524324 daadaac nnnnn   , 两式相减得 311 2)(2 daaca nnnn   , 因此 ),3,2,1)((2 1)(2 1 32311   ndddccaa nnnn 常数 , 所以数列 }{ na 是等差数列. 证法二:令 由,1 nnn aaA   ,3121   nnnnnn aaaabb 知 从而 ).,3,2,1(, 2231   nAAaaaa nnnnnn 即 由 321121 32,32   nnnnnnnn aaacaaac 得 )(3)(2)( 231211   nnnnnnnn aaaaaacc ,即 221 32 dAAA nnn   . ⑥ 由此得 2432 32 dAAA nnn   . ⑦ ⑥-⑦得 0)(3)(2)( 42312   nnnnnn AAAAAA . ⑧ 因为 0,0,0 42312   nnnnnn AAAAAA , 所以由⑧得 ).,3,2,1(02   nAA nn 于是由⑥得, 2211 3224 dAAAAA nnnnn   ⑨ 从而 .2442 2211 dAAAA nnnn   ⑩ 由⑨和⑩得 ,,4224 111 nnnnnn AAAAAA   故 即 ),,3,2,1(112   naaaa nnnn 所以数列 }{ na 是等差数列. 2007 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数 学 参考公式: n 次独立重复试验恰有 k 次发生的概率为: ( ) (1 )k k n k n nP k C p p   一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,恰. 有一项...是符合题目要求的。 1.下列函数中,周期为 2  的是 A. xy = sin 2 B.y=sin2x C. cos 4 xy  D.y=cos4x 2.已知全集 U=Z,A={-1,0,1,2},B={x︱x2=x},则 A∩CUB 为 A.{-1,2} B.{-1,0} C.{0,1} D.{1,2} 3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x- 2y=0,则它的离心率为 A. 5 B. 5 2 C. 3 D.2 4.已知两条直线 ,m n ,两个平面α,β,给出下面四个命题: ① // ,m n m n    ② // , , //m n m n      ③ // , // //m n m n  ④ // , // ,m n m n      其中正确命题的序号是 A.①、③ B.②、④ C.①、④ D.②、③ 5.函数 ( ) sin 3 cos ( [ ,0])f x x x x     的单调递增区间是 A. 5[ , ] 6   B. 5[ , ] 6 6    C.[ ,0] 3  D.[ ,0] 6  6.设函数 f(x)定义在实数集上,它的图像关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x -1,则有 A. 1 3 2( ) ( ) ( ) 3 2 3 f f f  B. 2 3 1( ) ( ) ( ) 3 2 3 f f f  C. 2 1 3( ) ( ) ( ) 3 3 2 f f f  D. 3 2 1( ) ( ) ( ) 2 3 3 f f f  7.若对于任意实数 x,有 x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则 a2 的值为 A.3 B.6 C.9 D.12 8.设 2( ) lg( ) 1 f x a x    是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是 A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 9.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 x 都有 f (x)≥0,则 (1) '(0) f f 的最小值为 A. 3 B. 5 2 C.2 D. 3 2 10.在平面直角坐标系 xOy,已知平面区域 A={(x,y)︱x+y≤1 且 x≥0,y≥0},则平面 区域 {( , ) | ( , ) }B x y x y x y A    的面积为 A.2 B.1 C. 1 2 D. 1 4 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。不需要写出解答过程,请把答案直 接填写在答题卡相应位置上........。 11.若 1 3cos( ) ,cos( ) 5 5        ,.则 tana·tanβ= . 12.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门由于上课时间相同,至多选一门, 学校规定每位同学选修 4 门,共有 种不同选修方案。(用数值作答) 13.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M- m= ▲ . 14.正三棱锥 P-ABC 高为 2,侧棱与底面所成角为 45°,则点 A 到侧面 PBC 的距离是 15.在平面直角坐标系 xOY 中,已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆 2 2 1 25 16 x y  上,则 sin sin sin A C B   。 16.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A,B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数, 则 d= ,其中 t∈[0,60]。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后面第 2 位) (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率;(4 分) (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率;(4 分) (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率;(4 分) 18.(本小题满分 12 分)如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE=FC1=1, (1)求证:E,B,F,D1 四点共面;(4 分) (2)若点 G 在 BC 上, 2 3 BG  ,点 M 在 BB1 上,GM BF ,垂足为 H,求证:EM  面 BCC1B1;(4 分) (3)用 表示截面 EBFD1 和面 BCC1B1 所成锐二面角大小,求 tan 。(4 分) 19.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点 C(0,c)任作一直线,与抛物 线 y=x2 相交于 AB 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 :l y c  交于 P, Q。 (1)若 2OA OB    ,求 c 的值;(5 分) (2)若 P 为线段 AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线;(5 分) (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(4 分) 20.(本小题满分 16 分) 已知{an}是等差数列,{bn}是公比为 q 的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1,记 Sn 为数列 {bn}的前 n 项和。 (1)若 bk=am(m,k 是大于 2 的正整数),求证:Sk-1=(m-1)a1;(4 分) (2)若 b3=ai(i 是某个正整数),求证:q 是整数,且数列{bn}中每一项都是数列{an} 中的项;(8 分) (3)是否存在这样的正数 q,使等比数列{bn}中有三项成等差数列?若存在,写出一 个 q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;(4 分) 21.(本小题满分 16 分) 已知 a,b,c,d 是不全为零的实数,函数 2( )f x bx cx d   , 3 2( )g x ax bx cx d    ,方程 f(x)=0 有实根,且 f(x)=0 的实数根都是 g(f (x))=0 的根,反之,g(f(x))=0 的实数根都是 f(x)=0 的根。 (1)求 d 的值;(3 分) (2)若 a=0,求 c 的取值范围;(6 分) (3)若 a=1,f(1)=0,求 c 的取值范围。(7 分) 参考答案 1.D 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.B 8.A 9.C 10.B 11. 1 2 12.75 13.32 14. 6 5 5 15. 5 4 16.100 sin 60 t 17.解:(1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率为    5 22 2 3 5 52 1 0.8 10 0.8 0.2 0.05.P C        (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率为         5 5 5 0 5 16 1 1 5 5 1 0 1 1 1 0.8 0.8 1 0.8 1 0.00032 0.0064 0.99. P P C C                (3)“5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确”的概率为 18.解法一:(1)如图:在 DD1 上取点 N,使 DN=1,连结 EN,则 AE=DN=1,CF=ND1=2 因为 AE∥DN,ND1∥CF,所以四边形 ADNE、CFD1N 都为平行四边形。 从而 EN AD,FD1∥CN。 又因为 AD BC,所以 EN BC,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此推知 CN∥BE, 从而 FD1∥BE。 (2)如图,GM⊥BF,又 BM⊥BC,所以∠BCM=∠CFB,BM=BC·tan∠CFB=BG·∠ CFB=BC· 2 3 1. 3 2 BC CF   因为 AE BM,所以 ABME 为平行四边形,从而 AB∥EM 又 AB⊥平面 BCC1B1,所以 EM⊥平面 BCC1B1 (3)如图,连结 EH 因为 MH⊥BF,EM⊥BF,所以 BF⊥平面 EMH,得 EH⊥BF 于是∠EHM 是所求的二面角的平面角,即∠EHM=0 因为∠MBH=∠CFB,所以 MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB 2 2 2 2 3 3 1 , 133 2 tan 13 BC BM BC CF EM MH           解法二:(1)建立如图所示的坐标系,则      13, 0,1 , 0, 3, 2 , 3, 3, 3BE BF BD      所以 1BD BE BF     故 BD BE BF    1、 、 共面 又它们有公共点 B, 所以 E、B、F、D1 四点共面。 (2)如图,设 M(0,0,z)则  2 0, , 3 CM z   而  0,3, 2BF   ,由题设得 2 3 2 0 3 GM BF z       ,得 z=1 因为 M(0,0,1),E(3,0,1),有 ME  =(3,0,0) 又  1 0,0,3BB   ,  0,3,0BC   ,所以 1 0, 0ME BB ME BC       ,从而 ME⊥BB1,ME ⊥BC 故 ME⊥BB1,平面 BCC1B1 (3)设向量  , ,3BP x y  ⊥截面 EBFD1,于是 ,BP BE BP BF      而    3,0,1 , 0,3, 2BE BF    ,得 3 3 0, 3 6 0BP BE x BP BF y           ,解得 x=-1, y=-2,所以  1, 2,3 .BP     又  3,0,0BA   ⊥平面 BCC1B1,所以 BP  和 BA  的夹角等于θ或л-θ(θ为锐角) 于是 1cos 14 BP BA BP BA        故 tan 13  19.(1)设直线 AB 的方程为 y=kx+c,将该方程代入 y=x2 得 x2-kx-c=0 令 A(a,a2),B(b,b2),则 ab=﹣c 因为 2 2 2 2OA OB ab a b c c       ,解得 c=2,或 c=﹣1(舍去)故 c=2 (2)由题意知 , 2 a bQ c      ,直线 AQ 的斜率为 2 2 2 2 2 AQ a c a abk aa b a ba      又 r=x2 的导数为 r′=2x,所以点 A 处切线的斜率为 2a 因此,AQ 为该抛物线的切线 (3)(2)的逆命题成立,证明如下: 设 Q(x0,﹣c)若 AQ 为该抛物线的切线,则 kAQ=2a 又直线 AQ 的斜率为 2 2 0 0 AQ a c a abk a x a x      ,所以 0 2a ab a a x    得 2ax0=a2+ab,因 a≠0,有 0 2 a bx  20.解:设{ }na 的公差为 d ,由 1 1 2 2 1,a b a b a   ,知 0, 1d q  ,  1 1d a q  ( 1 0a  ) (1)因为 k mb a ,所以    1 1 1 11 1ka q a m a q     ,     1 1 1 1 2 1kq m q m m q         , 所以        1 1 1 1 1 1 1 1 11 k k a q a m m q S m aq q           (2)    2 3 1 1 1, 1 1ib a q a a i a q     ,由 3 ib a , 所以       2 21 1 1 , 1 2 0,q i q q i q i         解得, 1q  或 2q i  ,但 1q  ,所以 2q i  ,因为i 是正整数,所以 2i  是整数,即 q 是整数,设数列{ }nb 中任 意一项为  1 1 n nb a q n N   ,设数列{ }na 中的某一项 ma  m N  =    1 11 1a m a q   现在只要证明存在正整数 m ,使得 n mb a ,即在方程    1 1 1 11 1na q a m a q     中 m 有正整数解即可,    1 1 2 211 1 1 , 1 11 n n nqq m q m q q qq              , 所以: 2 22 nm q q q      ,若 1i  ,则 1q   ,那么 2 1 1 1, 2 2 2n nb b a b b a     , 当 3i  时,因为 1 1 2 2,a b a b  ,只要考虑 3n  的情况,因为 3 ib a ,所以 3i  ,因此 q 是正整数,所以 m 是正整数,因此数列{ }nb 中任意一项为  1 1 n nb a q n N   与数列{ }na 的第 2 22 nq q q    项相等,从而结论成立。 (3)设数列{ }nb 中有三项  , , , , ,m n pb b b m n p m n p N    成等差数列,则有 2 1 1 1 1 1 1 ,n m pa q a q a q    设  , , ,n m x p n y x y N      ,所以 2 1 y x qq   , 令 1, 2x y  , 则 3 2 1 0,q q     21 1 0q q q    , 因 为 1q  , 所 以 2 1 0q q   ,所以  5 1 2q  舍去负值 ,即存在 5 1 2q  使得 { }nb 中有三项  1 3, ,m m mb b b m N     成等差数列。 21.解(1)设 0x 是   0f x  的根,那么  0 0f x  ,则 0x 是 ( ( )) 0g f x  的根,则  0 0,g f x    即  0 0g  ,所以 0d  。 ( 2 ) 因 为 0a  , 所 以    2 2,f x bx cx g x bx cx    , 则    ( ( ))g f x f x bf x c    =  2 2 2bx cx b x bcx c   =0 的根也是     0f x x bx c   的根。 (a)若 0b  ,则 0c  ,此时   0f x  的根为 0,而 ( ( )) 0g f x  的根也是 0,所以 0c  , (b)若 0b  ,当 0c  时,   0f x  的根为 0,而 ( ( )) 0g f x  的根也是 0,当 0c  时,   0f x  的 根 为 0 和 c b  , 而   0bf x c  的 根 不 可 能 为 0 和 c b  , 所 以   0bf x c  必无实数根,所以  2 24 0,bc b c    所以 2 4 0,0 4c c c    ,从而 0 4c  所以当 0b  时, 0c  ;当 0b  时, 0 4c  。 (3) 1, (1) 0a f  ,所以 0b c  ,即   0f x  的根为 0 和 1, 所以   22 2cx cx c cx cx c      =0 必无实数根, (a)当 0c  时, t = 2cx cx  = 21 2 4 4 c cc x       ,即函数   2h t t ct c   在 4 ct  ,   0h t  恒 成 立 , 又   2 2 2 2 4 c ch t t ct c t c          , 所 以  min 04 ch t h     ,即 2 2 0,16 4 c c c   所以 160 3c  ; (b)当 0c  时, t = 2cx cx  = 21 2 4 4 c cc x       ,即函数   2h t t ct c   在 4 ct  ,   0h t  恒 成 立 , 又   2 2 2 2 4 c ch t t ct c t c          , 所 以  min 02 ch t h     , 2 4 cc  0 ,而 0c  ,所以 2 4 cc  0 ,所以 c 不可能小于 0, (c) 0,c  则 0,b  这时   0f x  的根为一切实数,而   0g f x    ,所以 0,c  符 合要求。所以 160 3c  2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. )6cos()(   xxf 最小正周期为 5  ,其中 0 ,则  2.一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率 3. ),(1 1 Rbabiai i   表示为 的形式,则 ba  = 4.  73)1( 2  xxxA ,则集合 A Z 中有 个元素 5. ba , 的夹角为 120 , 1, 3a b   ,则 5a b   6.在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率 7.某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间(单位:h),现 随机地选择 50 位老人做调查,下表是 50 位老人日睡眠时间频率 分布表: 序号 (i) 分组 睡眠时间 组中值 (Gi) 频数 (人数) 频率 (Fi) 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.20 3 [6,7) 6.5 20 0.40 4 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9] 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则输出的 S 的值为 . 8.直线 bxy  2 1 是曲线 ln ( 0)y x x  的一条切线,则实数 b 的值为 9.在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 )0,(),0,(),,0( cCbBaA ,点 P(0, p)在线段 AO 上(异于端点),设 pcba ,,, 均为非零实数,直线 CPBP, 分别交 ABAC, 于 点 FE, ,一同学已正确算的OE 的方程: 01111             yapxcb ,请你求OF 的方程: ( ) 011        yapx 10.将全体正整数排成一个三角形数阵: 开始 S 0 输入 Gi,Fi i 1 S S+Gi·Fi i≥5 i i+1 N Y 输出 S 结束 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律,第 n 行( 3n )从左向右的第 3 个数为 11. 2 *, , , 2 3 0, yx y z R x y z xz     的最小值为 12.在平面直角坐标系中,椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的焦距为 2,以 O 为圆心,a 为半 径的圆,过点       0, 2 c a 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = 13.若 BCACAB 2,2  ,则 ABCS 的最大值 14. 13)( 3  xaxxf 对于  1,1x 总有 0)( xf 成立,则 a = 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(14 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 , ,它们的终 边分别与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为 5 52,10 2 (1)求 )tan(   的值; (2)求  2 的值。 16.(14 分)在四面体 ABCD 中, BDADCDCB  , ,且 E、F 分别是 AB、BD 的中点, 求证:(1)直线 EF//面 ACD;(2)面 EFC⊥面 BCD 17.(14 分)某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界), 且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排 污管道的总长为 ykm。 B C A F D E x y O A B (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad),将 y 表示成θ的函数关系式;②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函 数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短。 18.(16 分)设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 2( ) 2 ( )f x x x b x R    的图像与两 坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C。求:(1)求实数 b 的取值范围;(2)求圆 C 的方程 (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论。 19.(16 分)(1)设 naaa ,......, 21 是各项均不为零的等差数列( 4n ),且公差 0d ,若将 此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 4n 时,求 d a1 的数值; ②求 n的所有可能值; (2)求证:对于一个给定的正整数 )4( nn ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列 nbbb ,......, 21 ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。 20. ( 16 分 ) 若 1 2 1 2( ) 3 , ( ) 2 3x p x pf x f x    , x R , 1 2,p p 为 常 数 , 且      )()(),( )()(),()( 212 211 xfxfxf xfxfxfxf B CD A O P (1)求 )()( 1 xfxf  对所有实数 x 成立的充要条件(用 21, pp 表示);(2)设 ba, 为两实数, ba  且 ),(, 21 bapp  若 )()( bfaf  ,求证: )(xf 在区间 ba, 上的单调增区间的长度 和为 2 ab  (闭区间 nm, 的长度定义为 mn  ) 附加题 21.(选做题)从 A,B,C,D 四个中选做 2 个,每题 10 分,共 20 分. A.选修 4—1 几何证明选讲 如图,设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E,∠BAC 的平分线与 BC 交于 点 D.求证: 2ED EB EC  . B.选修 4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 2 24 1x y  在矩阵 A= 2 0 0 1 对应的变换作用下得到曲 线 F,求 F 的方程. C.选修 4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系 xOy 中,点 ( )P x y, 是椭圆 2 2 13 x y  上的一个动点,求 S x y  的最 大值. D.选修 4—5 不等式证明选讲 设 a,b,c 为正实数,求证: 3 3 3 1 1 1 2 3abca b c   + ≥ . 22.记动点 P 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1-ABCD A B C D 的对角线 1BD 上一点,记 1 1 D P D B  .当 APC 为钝角时,求  的取值范围. B C ED A 23.请先阅读:在等式 2cos2 2cos 1x x  ( xR )的两边求导,得: 2(cos2 ) (2cos 1) x x   ,由求导法则,得 ( sin 2 ) 2 4cos ( sin ) x x x    ,化简得等 式: sin 2 2cos sinx x x  . (1)利用上题的想法(或其他方法),试由等式(1+x)n= 0 1 2 2C C C C n n n n n nx x x    ( xR ,正整数 2n≥ ),证明: 1[(1 ) 1]nn x   = 1 1 C n k k n k k x    . (2)对于正整数 3n≥ ,求证:(i) 1 ( 1) C n k k n k k   =0;(ii) 2 1 ( 1) C n k k n k k   =0;(iii) 1 1 1 2 1C1 1 nn k n k k n     . 参考答案 一、填空题:本大题共 1 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.   cos 6f x x      的最小正周期为 5  ,其中 0  ,则 = ▲ . 【解析】本小题考查三角函数的周期公式. 2 105T       【答案】10 2.一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率 ▲ . 【解析】本小题考查古典概型.基本事件共 6×6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个,故 3 1 6 6 12P   【答案】 1 12 3.1 1 i i   表示为 a bi  ,a b R ,则 a b  = ▲ . 【解析】本小题考查复数的除法运算.∵  211 1 2 ii ii    ,∴ a =0,b =1,因此 1a b  【答案】1 4.A=   2 1 3 7x x x   ,则 A  Z 的元素的个数 ▲ . 【 解 析 】 本 小 题 考 查 集 合 的 运 算 和 解 一 元 二 次 不 等 式 . 由   2 1 3 7x x   得 2 5 8 0x x   ,∵Δ<0,∴集合 A 为 ,因此 A  Z 的元素不存在. 【答案】0 5. a  ,b  的夹角为120 , 1a  , 3b  则 5a b   ▲ . 【解析】本小题考查向量的线性运算.  22 2 2 5 5 25 10a b a b a a b b              = 2 2125 1 10 1 3 3 492            , 5a b   7 【答案】7 6.在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率 ▲ . 【解析】本小题考查古典概型.如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界), 区域 E 表示单位圆及其内部,因此. 21 4 4 16P    【答案】 16  7.算法与统计的题目 8.直线 1 2y x b  是曲线  ln 0y x x  的一条切线,则实数 b= ▲ . 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法. ' 1y x  ,令 1 1 2x  得 2x  ,故切点 (2,ln2),代入直线方程,得,所以 b=ln2-1. 【答案】ln2-1 9 在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ,点 P(0,p) 在线段 AO 上(异于端点),设 a,b,c, p 均为非零实数,直线 BP,CP 分别交 AC , AB 于点 E ,F ,一同学已正确算的 OE 的方程: 1 1 1 1 0x yc b p a            ,请你求 OF 的方程: ( ▲ ) 1 1 0x yp a       . 【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想填 1 1 c b  .事实上,由截距 式可得直线 AB: 1x y b a   ,直线 CP: 1x y c p   ,两式相减得 1 1 1 1 0x yb c p a            , 显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此方程,故为所求直线 OF 的 方程. 【答案】 1 1 b c  10.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 ▲ . 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前 n-1 行共有正整数 1+2+…+(n -1)个,即 2 2 n n 个,因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 2 2 n n +3 个,即为 2 6 2 n n  . 【答案】 2 6 2 n n  11.已知 , ,x y z R , 2 3 0x y z   ,则 2y xz 的最小值 ▲ . 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用.由 2 3 0x y z   得 3 2 x zy  ,代入 2y xz 得 2 29 6 6 6 34 4 x z xz xz xz xz xz     ,当且仅当 x =3 z 时取“=”. 【答案】3 12.在平面直角坐标系中,椭圆 2 2 2 2 x y a b   1( a b  0)的焦距为 2,以 O 为圆心,a 为半径 的圆,过点 2 ,0a c      作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ▲ . ? ? 【解析】设切线 PA、PB 互相垂直,又半径 OA 垂直于 PA,所以△OAP 是等腰直角三角 形,故 2 2a ac  ,解得 2 2 ce a   . 【答案】 2 2 13.若 AB=2, AC= 2 BC ,则 ABCS 的最大值 ▲ . ? 【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设 BC= x ,则 AC= 2x , 根据面积公式得 ABCS = 21 sin 1 cos2 AB BC B x B  ,根据余弦定理得 2 2 2 2 24 2cos 2 4 AB BC AC x xB AB BC x       24 4 x x  ,代入上式得 ABCS =  2 22 128 1241 4 16 xxx x       由三角形三边关系有 2 2 2 2 x x x x      解得 2 2 2 2 2 2x    , 故当 2 2x  时取得 ABCS 最大值 2 2 【答案】 2 2 14.   3 3 1f x ax x   对于  1,1x  总有  f x ≥0 成立,则 a = ▲ . 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值,  f x ≥0 显然成 立;当 x>0 即  1,1x  时,   3 3 1f x ax x   ≥0 可化为, 2 3 3 1a x x   设   2 3 3 1g x x x   ,则    ' 4 3 1 2xg x x  , 所以  g x 在区间 10, 2      上单调递增,在区 间 1 ,12      上单调递减,因此  max 1 42g x g      ,从而 a ≥4; 当 x<0 即 1,0 时,   3 3 1f x ax x   ≥0 可化为 a  2 3 3 1 x x  ,    ' 4 3 1 2xg x x  0  g x 在区间 1,0 上单调递增,因此    ma 1 4ng x g   ,从而 a ≤4,综上 a =4 【答案】4 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ,  ,它们的终边分别与 单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 2 2 5,10 5 . (Ⅰ)求 tan(  )的值; (Ⅱ)求 2  的值. 【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式. 由条件的 2 2 5cos ,cos10 5    ,因为 ,  为锐角,所以sin = 7 2 5,sin10 5   因此 1tan 7,tan 2    (Ⅰ)tan(  )= tan tan 31 tan tan        (Ⅱ) 2 2tan 4tan 2 1 tan 3    ,所以   tan tan 2tan 2 11 tan tan 2          ∵ ,  为锐角,∴ 30 2 2     ,∴ 2  = 3 4  16.在四面体 ABCD 中,CB= CD, AD⊥BD,且 E ,F 分别是 AB,BD 的中点, 求证:(Ⅰ)直线 EF ∥面 ACD ; (Ⅱ)面 EFC⊥面 BCD . 【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定. (Ⅰ)∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF  面 ACD ,AD  面 ACD ,∴直线 EF∥面 ACD . (Ⅱ)∵ AD⊥BD ,EF∥AD,∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD. 又 EF  CF=F,∴BD⊥面 EFC.∵BD  面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD . 17.某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km, CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界),且 A,B 与 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP ,设排污管道的总长 为 y km. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= (rad),将 y 表示成 的函数关系式; ②设 OP x (km) ,将 y 表示成 x x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定 污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短. 【解析】本小题主要考查函数最值的应用. (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= (rad) ,则 10 cos cos AQOA    , 故 10 cosOB  ,又 OP=10 10tan 10-10ta , 所以 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP         , 所求函数关系式为 20 10sin 10cosy     0 4      ②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=  2 2 210 10 20 200x x x     所求函数关系式为  22 20 200 0 10y x x x x      (Ⅱ)选择函数模型①,     ' 2 2 10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1 cos cos siny              令 'y  0 得 sin 1 2   ,因为 0 4   ,所以 = 6  , 当 0, 6      时, ' 0y  , y 是 的减函数;当 ,6 4       时, ' 0y  , y 是 的增函 数,所以当 = 6  时, min 10 10 3y   。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边 10 3 3 km 处。 18.设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数    2 2f x x x b x R    的图象与两坐标轴 C B P O A D 有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法. (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b); 令   2 2 0f x x x b    ,由题意 b≠0 且Δ>0,解得 b<1 且 b≠0. (Ⅱ)设所求圆的一般方程为 2x 2 0y Dx Ey F     令 y =0 得 2 0x Dx F   这与 2 2x x b  =0 是同一个方程,故 D=2,F=b . 令 x =0 得 2y Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1. 所以圆 C 的方程为 2 2 2 ( 1) 0x y x b y b      . (Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1). 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边=0 2 +1 2 +2×0-(b+1)+b=0,右边 =0, 所以圆 C 必过定点(0,1). 同理可证圆 C 必过定点(-2,1). 19.(Ⅰ)设 1 2, , , na a a 是各项均不为零的等差数列( 4n  ),且公差 0d  ,若将此数 列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 n =4 时,求 1a d 的数值;②求 n 的所有可能值; (Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数 n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列 1 2, , , nb b b ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列. 【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用. (Ⅰ)①当 n=4 时, 1 2 3 4, , ,a a a a 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成 等比数列,则推出 d=0. 若删去 2a ,则有 2 3 1 4 ,a a a  即   2 1 1 12 3a d a a d   化简得 2 1 4a d d =0,因为 d ≠0,所以 1a d =4 ; 若删去 3a ,则有 2 1 4a a a  ,即   2 1 1 1 3a d a a d   ,故得 1a d =1. 综上 1a d =1 或-4. ②当 n=5 时, 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项. 若删去 2a ,则有 1 5a a = 3 4a a ,即      1 1 1 14 2 3a a d a d a d     .故得 1a d =6 ; 若删去 3a ,则 1 5a a = 2 4a a ,即      1 1 1 14 3a a d a d a d     . 化简得 3 2d =0,因为 d≠0,所以也不能删去 3a ; 若删去 4a ,则有 1 5a a = 2 3a ag ,即 ( ) ( ) ( )1 1 1 14 2a a d a d a d+ = + +g g .故得 1a d = 2 . 当 n≥6 时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列 1a , 2a , 3a ,…, 2na  , 1na  , na 中, 由于不能删去首项或末项,若删去 2a ,则必有 1 na a = 3 2na a  ,这与 d≠0 矛盾;同样若删 去 2na  也有 1 na a = 3 2na a  ,这与 d≠0 矛盾;若删去 3a ,…, 2na  中任意一个,则必有 1 na a = 2 1na a  ,这与 d≠0 矛盾. 综上所述,n∈{4,5}. (Ⅱ)略 20.若   1 1 3 x pf x  ,   2 2 2 3 x pf x   , 1 2, ,x R p p 为常数, 且               1 1 2 2 1 2 , , f x f x f xf x f x f x f x    (Ⅰ)求    1f x f x 对所有实数成立的充要条件(用 1 2,p p 表示); (Ⅱ)设 ,a b 为两实数, a b 且 1 2,p p  ,a b ,若    f a f b 求证:  f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和为 2 b a (闭区间 ,m n 的长度定义为 n m ). 【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用. (Ⅰ)    1f x f x 恒成立     1 2f x f x  1 23 2 3x p x p    1 2 3log 23 3x p x p     1 2 3 2x p x p log    (*) 因为    1 2 1 2 1 2x p x p x p x p p p         所以,故只需 1 2p p 3 2log (*)恒成立 综上所述,    1f x f x 对所有实数成立的充要条件是: 1 2p p 3 2log (Ⅱ)1°如果 1 2p p 3 2log ,则的图象关于直线 1x p 对称.因为    f a f b ,所以 区间 ,a b 关于直线 1x p 对称. 因为减区间为 1,a p ,增区间为 1,p b ,所以单调增区间的长度和为 2 b a 2°如果 1 2p p 3 2log . (1)当 1 2p p 3 2log 时.       1 1 1 1 1 3 , , 3 , , x p p x x p bf x x a p       ,       2 3 2 3 log 2 2 2 log 2 2 3 , , 3 , , x p p x x p bf x x a p         当  1,x p b ,     2 1 3log 21 0 2 3 3 1,p pf x f x     因 为    1 20, 0f x f x  , 所 以    1 2f x f x , 故    1f x f x = 13x p 当  2,x a p ,     1 2 3log 21 0 2 3 3 1,p pf x f x     因 为    1 20, 0f x f x  , 所 以    1 2f x f x 故    2f x f x = 2 3log 23p x  因为    f a f b ,所以 2 31 log 23 3 p ab p    ,所以 1 2 3log 2,b p p a    即 1 2 3log 2a b p p    当  2 1,x p p 时,令    1 2f x f x ,则 2 31 log 23 3x pp x    ,所以 1 2 3log 2 2 p px   , 当 1 2 3 2 log 2, 2 p px p       时,    1 2f x f x ,所以    2f x f x = 2 3log 23x p  1 2 3 1 log 2 ,2 p px p      时,    1 2f x f x ,所以    1f x f x = 13p x  f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和 1 2 3 1 2 log 2 2 p pb p p    = 1 2 3log 2 2 2 2 p p a b b ab b       (2)当 2 1p p 3 2log 时.       1 1 1 1 1 3 , , 3 , , x p p x x p bf x x a p       ,       2 3 2 3 log 2 2 2 log 2 2 3 , , 3 , , x p p x x p bf x x a p         当  2 ,x p b ,     2 1 3log 21 0 2 3 3 1,p pf x f x     因 为    1 20, 0f x f x  , 所 以    1 2f x f x , 故    2f x f x = 2 3log 23x p  当  1,x a p ,     1 2 3log 21 0 2 3 3 1,p pf x f x     因为    1 20, 0f x f x  ,所以    1 2f x f x 故    1f x f x = 13p x 因为    f a f b ,所以 2 31 log 23 3b pp a    ,所以 1 2 3log 2a b p p    当  1 2,x p p 时,令    1 2f x f x ,则 2 31 log 23 3 p xx p    ,所以 1 2 3log 2 2 p px   , 当 1 2 3 1 log 2, 2 p px p       时,    1 2f x f x ,所以    1f x f x = 13x p 1 2 3 1 log 2 ,2 p px p      时,    1 2f x f x ,所以    2f x f x = 2 3log 23p x   f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和 1 2 3 2 1 log 2 2 p pb p p    = 1 2 3log 2 2 2 2 p p a b b ab b       综上得  f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和为 2 b a 21:从 A,B,C,D 四个中选做 2 个,每题 10 分,共 20 分 A.选修 4—1 几何证明选讲 如图,设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E,∠BAC 的平分线与 BC 交于 点 D.求证: 2ED EB EC  . 证明:如图,因为 AE 是圆的切线, 所以, ABC CAE   , 又因为 AD 是 BAC 的平分线, 所以 BAD CAD   从而 ABC BAD CAE CAD       因为 ADE ABC BAD     , DAE CAD CAE     B C ED A 所以 ADE DAE   ,故 EA ED . 因为 EA 是圆的切线,所以由切割线定理知, 2EA EC EB  , 而 EA ED ,所以 2ED EC EB  B.选修 4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 2 24 1x y  在矩阵 2 0 0 1 对应的变换作用下得到曲线 F, 求 F 的方程. 解:设 0 0( , )P x y 是椭圆上任意一点,点 0 0( , )P x y 在矩阵 A 对应的变换下变为点 ' ' ' 0 0( , )P x y 则有 ' 0 0 ' 00 2 0 0 1 x x yy                ,即 ' 0 0 ' 0 0 2x x y y    ,所以 ' 0 0 ' 0 0 2 xx y y     又因为点 P 在椭圆上,故 2 2 0 04 1x y  ,从而 ' 2 ' 2 0 0( ) ( ) 1x y  所以,曲线 F 的方程是 2 2 1x y  C.选修 4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系 xOy 中,点 ( )P x y, 是椭圆 2 2 13 x y  上的一个动点,求 S x y  的最 大值. 解: 因椭圆 2 2 13 x y  的参数方程为 3 cos ( sin x y       为参数) 故可设动点 P 的坐标为 ( 3 cos ,sin ),其中 0 2   . 因此 3 13 cos sin 2( cos sin ) 2sin( )2 2 3S x y             所以。当 6   是, S 取最大值 2 D.选修 4—5 不等式证明选讲 设 a,b,c 为正实数,求证: 3 3 3 1 1 1 2 3a b c   +abc≥ . 证明:因为 , ,a b c 为正实数,由平均不等式可得 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 13a b c a b c      即 3 3 3 1 1 1 3 a b c abc    所以 3 3 3 1 1 1 3abc abca b c abc      , 而 3 32 2 3abc abcabc abc    所以 3 3 3 1 1 1 2 3a b c   +abc≥ 22.【必做题】记动点 P 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1-ABCD A B C D 的对角线 1BD 上一点,记 1 1 D P D B  .当 APC 为钝角时,求  的取值范围. 解:由题设可知,以 DA  、 DC  、 1DD  为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ,则有 (1,0,0)A , (1,1,0)B , (0,1,0)C , (0,0,1)D 由 1 (1,1, 1)D B   ,得 1 1 ( , , )D P D B       ,所以 1 1 ( , , ) (1,0, 1) (1 , , 1)PA PD D A                   1 1 ( , , ) (0,1, 1) ( ,1 , 1)PC PD D C                   显然 APC 不是平角,所以 APC 为钝角等价于 cos cos , 0PA PCAPC PA PC PA PC            ,则等价于 0PA PC    即 2(1 )( ) ( )(1 ) ( 1) ( 1)(3 1) 0                 ,得 1 13   因此,  的取值范围是 1( ,1)3 23.【必做题】.请先阅读: 在等式 2cos2 2cos 1x x  ( xR )的两边求导,得: 2(cos2 ) (2cos 1) x x   , 由求导法则,得 ( sin 2 ) 2 4cos ( sin ) x x x    ,化简得等式:sin 2 2cos sinx x x  . (1)利用上题的想法(或其他方法),结合等式 0 1 2 2(1+x) =C C C Cn n n n n n nx x x    ( xR ,正整数 2n≥ ),证明: 1 1 2 [(1 ) 1] C n n k k n k n x k x       . (2)对于正整数 3n≥ ,求证: (i) 1 ( 1) C 0 n k k n k k    ; (ii) 2 1 ( 1) C 0 n k k n k k    ; (iii) 1 1 1 2 1C1 1 nn k n k k n     . 证明:(1)在等式 0 1 2 2(1+x) =C C C Cn n n n n n nx x x    两边对 x 求导得 1 1 2 1 2 1(1 ) 2 ( 1)n n n n n n n n nn x C C x n C x nC x          移项得 1 1 2 [(1 ) 1] n n k k n k n x kC x       (*) (2)(i)在(*)式中,令 1x   ,整理得 1 1 ( 1) 0 n k k n k kC    所以 1 ( 1) 0 n k k n k kC    (ii)由(1)知 1 1 2 1 2 1(1 ) 2 ( 1) , 3n n n n n n n n nn x C C x n C x nC x n           两边对 x 求导,得 2 2 3 2( 1)(1 ) 2 3 2 ( 1)n n n n n nn n x C C x n n C x         在上式中,令 1x   2 3 2 20 2 3 2 ( 1) ( 1) ( 1) n n n nC C n n C         即 2 2 ( 1) ( 1) 0 n k k n k k k C      , 亦即 2 2 ( 1) ( ) 0 n k k n k k k C     (1) 又由(i)知 1 ( 1) 0 n k k n k kC    (2) 由(1)+(2)得 2 1 ( 1) C 0 n k k n k k    ( iii ) 将 等 式 0 1 2 2(1+x) =C C C Cn n n n n n nx x x    两 边 在 [0,1] 上 对 x 积 分 1 1 0 1 2 2 0 0 (1 ) (C C C C )n n n n n n nx dx x x x dx        由微积分基本定理,得 1 1 1 1 0 0 0 1 1(1 ) ( )1 1 n n k k n k x C xn k       所以 1 0 1 2 1 1 1 nn k n k Ck n     2009 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 参考公式: 样本数据 1 2, , , nx x x 的方差 2 2 1 1 1 1( ) , n n i i i i s x x x xn n     其中 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.若复数 1 24 29 , 6 9z i z i    ,其中i 是虚数单位,则复数 1 2( )z z i 的实部为 ★ . 2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ,| | 2,| | 3 a b ,则向量 a 和向量 b 的数量积 a b ★ . 3.函数 3 2( ) 15 33 6f x x x x    的单调减区间为 ★ . 4. 函 数 sin( )( , ,y A x A     为 常 数 , 0, 0)A   在闭区间[ ,0] 上的图象如图所示, 则  ★ . 5.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5, 2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则 它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 ★ . 1 1 2 3  3  O x y 6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次, 投中的次数如下表: 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s  ★ . 7.右图是一个算法的流程图,最后输出的W  ★ . 8.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面 积比为 1:4,类似地,在空间,若两个正四面体的棱长的比 为 1:2,则它们的体积比为 ★ . 9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 点 P 在 曲 线 3: 10 3C y x x   上,且在第二象限内,已知曲线 C 在 点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 ★ . 10.已知 5 1 2a  ,函数 ( ) xf x a ,若实数 ,m n 满足 ( ) ( )f m f n ,则 ,m n 的大小关系为 ★ . 11. 已 知 集 合  2| log 2A x x  , ( , )B a  , 若 A B 则实数 a 的取值范围是 ( , )c  ,其中 c  ★ . 12.设 和  为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 内的两条相交直线分别平行于  内的两条直线,则 平行于  ; 开始 0S  1T  2S T S  10S  2T T  W S T  输出W 结束 Y N (2)若 外一条直线l 与 内的一条直线平行,则l 和 平行; (3)设 和  相交于直线l ,若 内有一条直线垂直于l ,则 和  垂直; (4)直线l 与 垂直的充分必要条件是l 与 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号 ★ (写出所有真命题的序号). 13.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, 1 2 1 2, , ,A A B B 为椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的 四个顶点,F 为其右焦点,直线 1 2A B 与直线 1B F 相交于点 T,线段OT 与椭圆的交点 M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为 ★ . 14.设  na 是公比为 q 的等比数列, | | 1q  ,令 1( 1,2, )n nb a n    若数列  nb 有连续四项在 集合 53, 23,19,37,82  中,则 6q  ★ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 设向量 (4cos ,sin ), (sin ,4cos ), (cos , 4sin )        a b c (1)若 a 与 2b c 垂直,求 tan( )  的值; (2)求| |b c 的最大值; (3)若 tan tan 16   ,求证: a ∥ b . 16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, E,F 分别是 1 1A B,AC 的中点,点 D 在 1 1B C 上, x y A1 B2 A2O T M 1 1A D B C 求证:(1) EF ∥ ABC平面 (2) 1 1 1A FD BB C C平面 平面 17.(本小题满分 14 分) 设 na 是公差不为零的等差数列, nS 为其前 n 项和,满足 2 2 2 2 2 3 4 5 7 7a a a a ,S    (1)求数列 na 的通项公式及前 n 项和 nS ; (2)试求所有的正整数 m ,使得 1 2 m m m a a a   为数列 na 中的项. 18.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 2 2 1 :( 3) ( 1) 4C x y    和圆 A B C A1 B1 C1 E F D 2 2 2 :( 4) ( 5) 4C x y    (1)若直线l 过点 (4,0)A ,且被圆 1C 截得的弦长为 2 3 ,求 直线l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂的 直线 1 2l l和 ,它们分别与圆 1C 和圆 2C 相交,且直线 1l 被圆 1C 截 得的弦长与直线 2l 被圆 2C 截得的弦长相等,试求所有满足条件的 点 P 的坐标. 19.(本小题满分 16 分) 按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的单价为 m 元,则他的满意度为 m m a ;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为 n n a . 如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1h 和 2h ,则他对这两种交易的综合满 意度为 1 2h h . 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、B 两种产品 的单件成本分别为 3 元和 20 元,设产品 A、B 的单价分别为 Am 元和 Bm 元,甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为 h甲 ,乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙 求 h甲 和 h乙关于 Am 、 Bm 的表达式;当 3 5A Bm m 时,求证: h甲 = h乙 ; x y O 1 1. . 设 3 5A Bm m ,当 Am 、 Bm 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综 合满意度为多少? 记(2)中最大的综合满意度为 0h ,试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值,使得 0h h甲 和 0h h乙 同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。 求 h甲 和 h乙关于 Am 、 Bm 的表达式;当 3 5A Bm m 时,求证: h甲 = h乙 ; 设 3 5A Bm m ,当 Am 、 Bm 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综 合满意度为多少? 记(2)中最大的综合满意度为 0h ,试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值,使得 0h h甲 和 0h h乙 同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。 20.(本小题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 2( ) 2 ( ) | |f x x x a x a    . 若 (0) 1f  ,求 a 的取值范围; 求 ( )f x 的最小值; 设函数 ( ) ( ), ( , )h x f x x a   ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 ( ) 1h x  的解集. 参考答案 一、填空题 1.【答案】 20 2.【答案】3 【解析】 32 3 32    a b 。 3. 【答案】 ( 1,11) 【解析】 2( ) 3 30 33 3( 11)( 1)f x x x x x       ,由 ( 11)( 1) 0x x   得单调 减区间为 ( 1,11) 。 4.【答案】3 【解析】 3 2T  , 2 3T  ,所以 3  , 5.【答案】0.2 6.【答案】 2 5 7.【答案】22 8.【答案】1:8 9.【答案】 ( 2,15) 10.【答案】 m n 11.【答案】4 【解析】由 2log 2x  得 0 4x  , (0,4]A  ;由 A B 知 4a  ,所以c  4。 12.【答案】(1)(2) 13.【答案】 2 7 5e   【解析】用 , ,a b c 表示交点 T,得出 M 坐标,代入椭圆方程即可转化解得离心率. 14.【答案】 9 【解析】将各数按照绝对值从小到大排列,各数减 1,观察即可得解. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15. 【解析】由 a 与 2b c 垂直, ( 2 ) 2 0      a b c a b a c , 即 4sin( ) 8cos( ) 0       , tan( ) 2   ; (sin cos ,4cos 4sin )      b c 2| |b c 2 2sin 2sin cos cos       2 216cos 32cos sin 16sin     17 30sin cos   17 15sin2  , 最大值为 32,所以| |b c 的最大值为 4 2 。 由 tan tan 16   得sin sin 16cos cos    , 即 4cos 4cos sin sin 0      , 所以 a ∥ b . 16. 【解析】证明:(1)因为 E,F 分别是 1 1A B,AC 的中点,所以 EF // BC ,又 EF  面ABC , BC  面ABC ,所以 EF ∥ ABC平面 ; ( 2 ) 因 为 直 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C , 所 以 1 1 1 1BB A BC 面 , 1 1BB A D , 又 1 1A D B C , 所 以 1 1 1A D BC C 面B , 又 1 1AD AFD 面 , 所 以 1 1 1A FD BB C C平面 平面 。 17. 解析:(1)设公差为 d ,则 2 2 2 2 2 5 4 3a a a a   , 由性质得 4 3 4 33 ( ) ( )d a a d a a    , 因为 0d  , 所以 4 3 0a a  , 即 12 5 0a d  , 又由 7 7S  得 1 7 67 72a d  , 解得 1 5a   , 2d  所以 na 的通项公式为 2 7na n  ,前 n 项和 2 6nS n n  。 (2) 1 2 2 7 2 5 2 3 m m m a a ( m )( m ) a ( m )      ,令 2 3m t  , 1 2 4 2m m m a a (t )(t ) a t     8 6t t    , 因为t 是奇数,所以 t 可取的值为 1 , 当 1t  , 2m  时, 8 6 3t t    , 2 5 7 3   ,是数列 na 中的项; 1t   , 1m  时, 8 6 15t t     ,数列 na 中的最小项是 5 ,不符合。 所以满足条件的正整数 2m  。 18.. 【解析】(1) 0y  或 7 ( 4)24y x   , (2)P 在以 C1C2 的中垂线上,且与 C1、C2 等腰直角三角形,利用几何关系计算可得点 P 坐 标为 3 13( , )2 2  或 5 1( , )2 2  。 19. 【解析】(1) = , = ,12 5 3 20 A B A B A B A B m m m mh hm m m m     乙甲 ( [3,12], [5,20])A Bm m  当 3 5A Bm m 时, 2 3 5= ,3 5 ( 20)( 5)125 B B B B B B B m m mh m m mm     甲 2 3 5= ,3 20 ( 5)( 20)35 B B B B B B B m m mh m m mm     乙 显然 =h h乙甲 (2)当 3 5A Bm m 时, 2 2 1 1= ,20 5 1 1( 20)( 5) (1 )(1 ) 100( ) 25 1 B B B B B B B mh m m m m m m        甲 由 1 1 1[5,20] [ , ]20 5B B m m  得 , 故当 1 1 20Bm  即 20, 12B Am m  时,甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 20. 【解析】(1)若 (0) 1f  ,则 2 0 | | 1 1 1 a a a a a        (2)当 x a 时, 2 2( ) 3 2 ,f x x ax a   2 2min ( ), 0 2 , 0 ( ) 2( ), 0 , 03 3 f a a a a f x a af a a         当 x a 时, 2 2( ) 2 ,f x x ax a   2 min 2 ( ), 0 2 , 0( ) ( ), 0 2 , 0 f a a a af x f a a a a          综上 2 2min 2 , 0 ( ) 2 , 03 a a f x a a     (3) ( , )x a  时, ( ) 1h x  得 2 23 2 1 0x ax a    , 2 2 24 12( 1) 12 8a a a      当 6 6 2 2a a  或 时, 0, ( , )x a    ; 当 6 6 2 2a   时, 0,  得 2 23 2 3 2( )( ) 03 3 a a a ax x x a           1) 2 6( , )2 2a 时, ( , )x a  2) 2 2[ , ]2 2a  时, 23 2[ , )3 a ax    3) 6 2( , ]2 2a   时, 2 23 2 3 2( , ] [ , )3 3 a a a ax a      2010 江苏省高考试题 参考公式: 锥体的体积公式: ShV 3 1锥体 ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位....... 置上... 1. 设集合  3,1,1A ,  4,2 2  aaB ,  3 BA ,则实数 a 的值为 ▲ . 2. 设复数 z 满足 iiz 46)32(  (其中i 为虚数单位),则 z 的模为 ▲ . 3. 盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的 概率是 ▲ . 4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要 指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图 如图所示,则其抽样的 100 根中,有 ▲ 根在 棉花纤维的长度小于 20mm. 5. 设函数 ))(()( Rxaeexxf xx   是偶函数,则实数 a= ▲ . 6. 平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 1124 22  yx 上一点 M,点 M 的横坐标 是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是 ▲ . 7. 右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 ▲ . 8. 函数 )0(2  xxy 的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐 标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5= ▲ . 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 422  yx 上有且仅有四个点 到 直 线 0512  cyx 的 距 离 为 1 , 则 实 数 c 的 取 值 范 围 是 ▲ . 10. 定义在区间      20 , 上的函数 xy cos6 的图像与 xy tan5 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1 ⊥ x 轴 于 点 P1 , 直 线 PP1 与 xsin 的 图 像 交 于 点 P2, 则 线 段 P1P2 的 长 为 ▲ . 11. 已 知 函 数 2 1, 0( ) 1, 0 x xf x x      , 则 满 足 不 等 式 2(1 ) (2 )f x f x  的 x 的 范 围 是 ▲ . 12. 设实数 yx, 满足 94,83 2 2  y xxy ,则 4 3 y x 的最大值是 ▲ . 13. 在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 6cosb a Ca b   ,则 tan tan tan tan C C A B  = ▲ . 14. 将边长为 m1 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 2(S  梯形的周长) 梯形的面积 ,则 S 的最小值是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( OCtAB  )·OC =0,求 t 的值. 16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠ BCD=900. (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. 17. (本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m ),如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高 度 mh 4 ,仰角 ∠ABE= ,∠ADE=  . (1)该小组已经测得一组 、  的值,tan =1.24,tan  =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m ), 使 与  之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125 m ,试问 d 为 多少时, -  最大? 18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆 159 22  yx 的左右顶点为 A,B,右顶点为 F,设过点T ( mt, )的直线 TBTA, 与椭圆分别交于点 M ),( 11 yx , ),( 22 yxN ,其中 0m , 0,0 21  yy . (1)设动点 P 满足 422  PBPF ,求点 P 的轨迹; (2)设 3 1,2 21  xx ,求点T 的坐标; (3)设 9t ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点. (其坐标与 m 无关) 19.(本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知 3122 aaa  ,数列 nS 是公差 为 d 的等差数列. (1)求数列 na 的通项公式(用 dn, 表示) ( 2 ) 设 c 为 实 数 , 对 满 足 nmknm  且3 的 任 意 正 整 数 knm ,, , 不 等 式 knm cSSS  都成立,求证: c 的最大值为 2 9 . 20.(本小题满分 16 分) 设 )(xf 是定义在区间 ),1(  上的函数,其导函数为 )(' xf .如果存在实数 a 和函数 )(xh ,其中 )(xh 对任意的 ),1( x 都有 )(xh >0,使得 )1)(()(' 2  axxxhxf , 则称函数 )(xf 具有性质 )(aP . (1)设函数 )(xf )1(1 2)(   xx bxh ,其中b 为实数 (ⅰ)求证:函数 )(xf 具有性质 )(bP ; (ⅱ)求函数 )(xf 的单调区间; ( 2 ) 已 知 函 数 )(xg 具 有 性 质 )2(P , 给 定 为实数,设mxxxx ,),,1(, 2121  21 )1( xmmx  , 21)1( mxxm  ,且 1,1   ,若| )()(  gg  |<| )()( 21 xgxg  |,求 m 的 取值范围. 参考答案 2011 年江苏省高考数学试卷 一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.(5 分)(2011•江苏)已知集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2},则 A∩B= _________ . 2.(5 分)(2011•江苏)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 _________ . 3.(5 分)(2011•江苏)设复数 z 满足 i(z+1)=﹣3+2i(i 为虚数单位),则 z 的实部是 _________ . 4.(5 分)(2011•江苏)根据如图所示的伪代码,当输入 a,b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值为 _________ . 5.(5 分)(2011•江苏)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另 一个的两倍的概率是 _________ . 6.(5 分)(2011•江苏)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该 组数据的方差 s2= _________ . 7.(5 分)(2011•江苏)已知 ,则 的值为 _________ . 8.(5 分)(2011•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是 _________ . 9.(5 分)(2011•江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+ϕ),(A,ω,ϕ是常数,A>0,ω>0)的 部分图象如图所示,则 f(0)= _________ . 10.(5 分)(2011•江苏)已知 , 是夹角为 的两个单位向量, = ﹣2 , =k + ,若 • =0,则实数 k 的值为 _________ . 11.(5 分)(2011•江苏)已知实数 a≠0,函数 ,若 f(1﹣a)=f (1+a),则 a 的值为 _________ . 12.(5 分)(2011•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=ex(x>0)的图 象上的动点,该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设 线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是 _________ . 13.(5 分)(2011•江苏)设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列, a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 _________ . 14.(5 分)(2011•江苏)设集合 , B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y ∈ R},若 A∩B≠ ∅ ,则实数 m 的取值范围是 _________ . 二、解答题(共 9 小题,满分 120 分) 15.(14 分)(2011•江苏)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c (1)若 ,求 A 的值; (2)若 ,求 sinC 的值. 16.(14 分)(2011•江苏)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD, ∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 17.(14 分)(2011•江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方 形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B, C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是 被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm). (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值. 18.(16 分)(2011•江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 的 顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB. 19.(16 分)(2011•江苏)已知 a,b 是实数,函数 f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f'(x) 和 g'(x)是 f(x),g(x)的导函数,若 f'(x)g'(x)≥0 在区间 I 上恒成立,则称 f(x) 和 g(x)在区间 I 上单调性一致 (1)设 a>0,若函数 f(x)和 g(x)在区间[﹣1,+∞)上单调性一致,求实数 b 的取值 范围; (2)设 a<0,且 a≠b,若函数 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致, 求|a﹣b|的最大值. 20.(16 分)(2011•江苏)设 M 为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 为 Sn,已知对任意整数 k ∈ M,当整数 n>k 时,Sn+k+Sn﹣k=2(Sn+Sk)都成立 (1)设 M={1},a2=2,求 a5 的值; (2)设 M={3,4},求数列{an}的通项公式. 21.(10 分)(2011•江苏)A.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2 ).圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C ( O1 不在 AB 上).求证:AB:AC 为定值. B.选修 4﹣2:矩阵与变换 已知矩阵 ,向量 .求向量 ,使得 A2 = . C.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 (φ为参数)的右焦点,且与直线 (t 为参数)平行的直线的普通方程. D.选修 4﹣5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 解不等式:x+|2x﹣1|<3. 22.(10 分)(2011•江苏) 如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,点 N 是 BC 的中点,点 M 在 CC1 上.设二面角 A1﹣DN﹣M 的大小为θ(1)当θ=90° 时,求 AM 的长; (2)当 时,求 CM 的长. 23.(10 分)(2011•江苏)设整数 n≥4,P(a,b) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,其中 a, b ∈ {1,2,3,…,n},a>b. (1)记 An 为满足 a﹣b=3 的点 P 的个数,求 An; (2)记 Bn 为满足 是整数的点 P 的个数,求 Bn. 2011 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.(5 分)(2011•江苏)已知集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2},则 A∩B= {﹣1, 2} . 考点:交集及其运算.4664233 专题:计算题. 分析:根据已知中集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2},根据集合交集运算法则我们易 给出 A∩B 解答:解:∵集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2}, ∴A∩B={﹣1,2} 故答案为:{﹣1,2} 点评:本题考查的知识点是集合交集及其运算,这是一道简单题,利用交集运算的定义即可 得到答案. 2.(5 分)(2011•江苏)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 (﹣ ,+∞) . 考点:对数函数的单调性与特殊点.4664233 专题:计算题. 分析:要求函数的单调区间,我们要先求出函数的定义域,然后根据复合函数“同增异减”的 原则,即可求出函数的单调区间. 解答:解:要使函数的解析有有意义 则 2x+1>0 故函数的定义域为(﹣ ,+∞) 由于内函数 u=2x+1 为增函数,外函数 y=log5u 也为增函数 故函数 f(x)=log5(2x+1)在区间(﹣ ,+∞)单调递增 故函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 (﹣ ,+∞) 故答案为:(﹣ ,+∞) 点评:本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点,其中本题易忽略定义域,造成答案 为 R 的错解. 3.(5 分)(2011•江苏)设复数 z 满足 i(z+1)=﹣3+2i(i 为虚数单位),则 z 的实部是 1 . 考点:复数代数形式的混合运算. 4664233 专题:计算题. 分析:复数方程两边同乘 i,化简后移项可得复数 z,然后求出它的实部. 解答:解:因为 i(z+1)=﹣3+2i,所以 i•i(z+1)=﹣3i+2i•i, 所以 z+1=3i+2,z=1+3i 它的实部为:1; 故答案为:1 点评:本题是基础题,考查复数代数形式的混合运算,考查计算能力,常考题型. 4.(5 分)(2011•江苏)根据如图所示的伪代码,当输入 a,b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值为 3 . 考点:伪代码. 4664233 专题:图表型. 分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用 是计算分段函数 m= 的值,代入 a=2,b=3,即可得到答案. 解答:解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算分段函数 m= 的值, ∵a=2<b=3, ∴m=3 故答案为:3 点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序 填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变 量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不 能准确理解流程图的含义而导致错误. 5.(5 分)(2011•江苏)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另 一个的两倍的概率是 . 考点:古典概型及其概率计算公式.4664233 专题:计算题. 分析:根据题意,首先用列举法列举从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数的全部情 况,可得其情况数目,进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目,由古典概型 的公式,计算可得答案. 解答:解:从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数, 有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共 6 种情况; 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种,即(1,2),(2,4); 则其概率为 = ; 故答案为: . 点评:本题考查古典概型的计算,解本题时,用列举法,注意按一定的顺序,做到不重不漏. 6.(5 分)(2011•江苏)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该 组数据的方差 s2= 3.2 . 考点:极差、方差与标准差. 4664233 专题:计算题. 分析:首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数,再利用求方差的公式,代入数据求 出这组数据的方差,得到结果. 解答:解:∵收到信件数分别是 10,6,8,5,6, ∴收到信件数的平均数是 =7, ∴该组数据的方差是 , 故答案为:3.2 点评:本题考查求一组数据的方差,对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数, 平均数,方差分别表示一组数据的特征,这样的问题可以出现在选择题或填空题. 7.(5 分)(2011•江苏)已知 ,则 的值为 . 考点:二倍角的正切;两角和与差的正切函数. 4664233 专题:计算题;方程思想. 分析:先利用两角和的正切公式求得 tanx 的值,从而求得 tan2x,即可求得 . 解答:解:∵ , ∴ =2, 解得 tanx= ; ∴tan2x= = = ∴ = = 故答案为 点评:本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式,体现了方程思想,是个基础题. 8.(5 分)(2011•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是 4 . 考点:两点间距离公式的应用.4664233 专题:计算题. 分析:由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是 1 时,直线与函数图形 的交点之间的距离最短,写出直线的方程,求出直线与函数的交点坐标,利用两点之 间的距离公式得到结果. 解答:解:由题意知当过原点的直线的斜率是 1 时,直线与函数图形的交点之间的距离最短, 而 y=x 与 y= 的两个交点的坐标是( , )(﹣ ,﹣ ), ∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|= = =4, 故答案为:4 点评:本题考查反比例函数的图形的特点,考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法,考查 两点之间的距离公式,是一个综合题目. 9.(5 分)(2011•江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+ϕ),(A,ω,ϕ是常数,A>0,ω>0)的 部分图象如图所示,则 f(0)= . 考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 4664233 专题:计算题;数形结合. 分析:根据已知的函数图象,我们根据函数图象过( ,0),( ,﹣ )点,我们易结 合 A>0,w>0 求出满足条件的 A、ω、φ的值,进而求出满足条件的函数 f(x)的 解析式,将 x=0 代入即可得到 f(0)的值. 解答:解:由的图象可得函数的周期 T 满足 = 解得 T=π= 又∵ω>0,故ω=2 又∵函数图象的最低点为( ,﹣ )点 故 A= 且 sin(2× +φ)=﹣ 即 +φ= 故φ= ∴f(x)= sin(2x+ ) ∴f(0)= sin = 故答案为: 点评:本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,其中利用已知函数的图象求 出满足条件的 A、ω、φ的值,是解答本题的关键. 10.(5 分)(2011•江苏)已知 , 是夹角为 的两个单位向量, = ﹣2 , =k + ,若 • =0,则实数 k 的值为 . 考点:平面向量数量积的运算.4664233 专题:计算题. 分析:利用向量的数量积公式求出 ;利用向量的运算律求出 ,列出方程求出 k. 解答:解:∵ 是夹角为 的两个单位向量 ∴ ∴ = = ∵ ∴ 解得 故答案为: 点评:本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律、考查向量模的平方等于向量的平方. 11.(5 分)(2011•江苏)已知实数 a≠0,函数 ,若 f(1﹣a)=f (1+a),则 a 的值为 . 考点:函数的值;分段函数的应用.4664233 专题:计算题. 分析:对 a 分类讨论判断出 1﹣a,1+a 在分段函数的哪一段,代入求出函数值;解方程求出 a. 解答:解:当 a>0 时,1﹣a<1,1+a>1 ∴2(1﹣a)+a=﹣1﹣a﹣2a 解得 a= 舍去 当 a<0 时,1﹣a>1,1+a<1 ∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a 解得 a= 故答案为 点评:本题考查分段函数的函数值的求法:关键是判断出自变量所在的范围. 12.(5 分)(2011•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=ex(x>0)的图 象上的动点,该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设 线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 4664233 专题:计算题. 分析:先设切点坐标为(m,em),然后根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=m 处的导 数,从而求出切线的斜率,求出切线方程,从而求出点 M 的纵坐标,同理可求出点 N 的纵坐标,将 t 用 m 表示出来,最后借助导数的方法求出函数的最大值即可. 解答:解:设切点坐标为(m,em) ∴该图象在点 P 处的切线 l 的方程为 y﹣em=em(x﹣m) 令 x=0,解得 y=(1﹣m)em 过点 P 作 l 的垂线的切线方程为 y﹣em=﹣e﹣m(x﹣m) 令 x=0,解得 y=em+me﹣m ∴线段 MN 的中点的纵坐标为 t= [(2﹣m)em+me﹣m ] t'= [﹣em+(2﹣m)em+e﹣m﹣me﹣m ] ,令 t'=0 解得:m=1 当 m ∈ (0,1)时,t'>0,当 m ∈ (1,+∞)时,t'<0 ∴当 m=1 时 t 取最大值 故答案为: 点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数研究函数的最值问 题,属于中档题. 13.(5 分)(2011•江苏)设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列, a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 . 考点:等差数列与等比数列的综合.4664233 专题:计算题;压轴题. 分析:利用等差数列的通项公式将 a6 用 a2 表示,求出 a6 的最小值进一步求出 a7 的最小值, 利用等比数列的通项求出公比的范围. 解答:解:方法 1:∵1=a1≤a2≤…≤a7; a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列, ∴a6=a2+2≥3, ∴a6 的最小值为 3, ∴a7 的最小值也为 3, 此时 a1=1 且 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,必有 q>0, ∴a7=a1q3≥3, ∴q3≥3,q≥ , 方法 2: 由题意知 1=a1≤a2≤…≤a7;中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,a6 成公 差为 1 的等差数列,得 ,所以 , 即 q3﹣2≥1,所以 q3≥3,解得 q≥ , 故 q 的最小值是: . 故答案为: . 点评:解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前 n 项和公式列出方程组, 解方程组求解.即基本量法. 14.(5 分)(2011•江苏)设集合 , B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y ∈ R},若 A∩B≠ ∅ ,则实数 m 的取值范围是 [ , 2+ ] . 考点:直线与圆的位置关系. 4664233 专题:计算题;压轴题. 分析:根据题意可把问题转换为圆与直线有交点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,进 而联立不等式组求得 m 的范围. 解答:解:依题意可知集合 A 表示一系列圆内点的集合,集合 B 表示出一系列直线的集合, 要使两集合不为空集,需直线与圆有交点,由 可得 m≤0 或 m≥ 当 m≤0 时,有| |>﹣m 且| |>﹣m; 则有 ﹣ m>﹣m, ﹣ m>﹣m, 又由 m≤0,则 2>2m+1,可得 A∩B= ∅ , 当 m≥ 时,有| |≤m 或| |≤m, 解可得:2﹣ ≤m≤2+ ,1﹣ ≤m≤1+ , 又由 m≥ ,则 m 的范围是[ ,2+ ] ; 综合可得 m 的范围是[ ,2+ ] ; 故答案为[ ,2+ ] . 点评:本题主要考查了直线与圆的位置关系.一般是利用数形结合的方法,通过圆心到直线 的距离来判断. 二、解答题(共 9 小题,满分 120 分) 15.(14 分)(2011•江苏)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c (1)若 ,求 A 的值; (2)若 ,求 sinC 的值. 考点:正弦定理;两角和与差的正弦函数. 4664233 专题:计算题. 分析:(1)利用两角和的正弦函数化简,求出 tanA,然后求出 A 的值即可. (2)利用余弦定理以及 b=3c,求出 a 与 c 的关系式,利用正弦定理求出 sinC 的值. 解答:解:(1)因为 , 所以 sinA= , 所以 tanA= , 所以 A=60° (2)由 及 a2=b2+c2﹣2bccosA 得 a2=b2﹣c2 故△ABC 是直角三角形且 B= 所以 sinC=cosA= 点评:本题是基础题,考查正弦定理的应用,两角和的正弦函数的应用,余弦定理的应用, 考查计算能力,常考题型. 16.(14 分)(2011•江苏)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD, ∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 4664233 专题:证明题. 分析:(1)要证直线 EF∥平面 PCD,只需证明 EF∥PD,EF 不在平面 PCD 中,PD ⊂ 平面 PCD 即可. (2)连接 BD,证明 BF⊥AD.说明平面 PAD∩平面 ABCD=AD,推出 BF⊥平面 PAD; 然后证明平面 BEF⊥平面 PAD. 解答:证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF 不在平面 PCD 中,PD ⊂ 平面 PCD 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°. 所以△ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF ⊂ 平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF ⊂ 平面 EBF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 点评:本题是中档题,考查直线与平面平行,平面与平面的垂直的证明方法,考查空间想象 能力,逻辑推理能力,常考题型. 17.(14 分)(2011•江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方 形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B, C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是 被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm). (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值. 考点:函数模型的选择与应用.4664233 专题:应用题. 分析:(1)可设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm),写出 a,h 与 x 的关系式,并 注明 x 的取值范围.再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积 S 关于 x 的函数解析式, 最后求出何时它取得最大值即可; (2)利用体积公式表示出包装盒容积 V 关于 x 的函数解析式,最后利用导数知识求 出何时它取得的最大值即可. 解答:解:设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm),则 a= x,h= (30﹣x),0 <x<30. (1)S=4ah=8x(30﹣x)=﹣8(x﹣15)2+1800, ∴当 x=15 时,S 取最大值. (2)V=a2h=2 (﹣x3+30x2),V′=6 x(20﹣x), 由 V′=0 得 x=20, 当 x ∈ (0,20)时,V′>0;当 x ∈ (20,30)时,V′<0; ∴当 x=20 时,包装盒容积 V(cm3)最大, 此时, . 即此时包装盒的高与底面边长的比值是 . 点评:考查函数模型的选择与应用,考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、空间 想象能力、数学建模能力.属于基础题. 18.(16 分)(2011•江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 的 顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题.4664233 专题:计算题;证明题;压轴题;数形结合;分类讨论;转化思想. 分析:(1)由题设写出点 M,N 的坐标,求出线段 MN 中点坐标,根据线 PA 过原点和斜 率公式,即可求出 k 的值; (2)写出直线 PA 的方程,代入椭圆,求出点 P,A 的坐标,求出直线 AB 的方程, 根据点到直线的距离公式,即可求得点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)要证 PA⊥PB,只需证直线 PB 与直线 PA 的斜率之积为﹣1,根据题意求出它们 的斜率,即证的结果. 解答:解:(1)由题设知,a=2,b= , 故 M(﹣2,0),N(0,﹣ ),所以线段 MN 中点坐标为(﹣1,﹣ ). 由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过原点, 所以 k= . (2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 ,解得 x=± , 因此 P( , ),A(﹣ ,﹣ ) 于是 C( ,0),直线 AC 的斜率为 1,故直线 AB 的方程为 x﹣y﹣ =0. 因此,d= . (3)设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2, A(﹣x1,﹣y1),C(x1,0). 设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2. 因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= , 从而 kk1+1=2k1k2+1=2• = = = . 因此 kk1=﹣1,所以 PA⊥PB. 点评:此题是个难题.考查椭圆的标准方程和简单的几何性质,以及直线斜率的求法,以及 直线与椭圆的位置关系,体现了方程的思想和数形结合思想,同时也考查了学生观察、 推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力. 19.(16 分)(2011•江苏)已知 a,b 是实数,函数 f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f'(x) 和 g'(x)是 f(x),g(x)的导函数,若 f'(x)g'(x)≥0 在区间 I 上恒成立,则称 f(x) 和 g(x)在区间 I 上单调性一致 (1)设 a>0,若函数 f(x)和 g(x)在区间[﹣1,+∞)上单调性一致,求实数 b 的取值 范围; (2)设 a<0,且 a≠b,若函数 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致, 求|a﹣b|的最大值. 考点:利用导数研究函数的单调性.4664233 专题:计算题. 分析:(1)先求出函数 f(x)和 g(x)的导函数,再利用函数 f(x)和 g(x)在区间[﹣1, +∞)上单调性一致即 f'(x)g'(x)≥0 在[﹣1,+∞)上恒成立,以及 3x2+a>0,来 求实数 b 的取值范围; (2)先求出 f'(x)=0 的根以及 g'(x)=0 的根,再分别求出两个函数的单调区间, 综合在一起看何时函数 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,进 而求得|a﹣b|的最大值. 解答:解:f'(x)=3x2+a,g'(x)=2x+b. (1)由题得 f'(x)g'(x)≥0 在[﹣1,+∞)上恒成立.因为 a>0,故 3x2+a>0, 进而 2x+b≥0,即 b≥﹣2x 在[﹣1,+∞)上恒成立,所以 b≥2. 故实数 b 的取值范围是[2,+∞) (2)令 f'(x)=0,得 x= . 若 b>0,由 a<0 得 0 ∈ (a,b).又因为 f'(0)g'(0)=ab<0, 所以函数 f(x)和 g(x)在(a,b)上不是单调性一致的. 因此 b≤0. 现设 b≤0,当 x ∈ (﹣∞,0)时,g'(x)<0; 当 x ∈ (﹣∝,﹣ )时,f'(x)>0. 因此,当 x ∈ (﹣∝,﹣ )时,f'(x)g'(x)<0.故由题设得 a≥﹣ 且 b≥ ﹣ , 从而﹣ ≤a<0,于是﹣ <b<0,因此|a﹣b|≤ ,且当 a=﹣ ,b=0 时等号成立, 又当 a=﹣ ,b=0 时,f'(x)g'(x)=6x(x2﹣ ),从而当 x ∈ (﹣ ,0)时 f'(x) g'(x)>0. 故函数 f(x)和 g(x)在(﹣ ,0)上单调性一致,因此|a﹣b|的最大值为 . 点评:本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于 0 时原函 数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 20.(16 分)(2011•江苏)设 M 为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 为 Sn,已知对任意整数 k ∈ M,当整数 n>k 时,Sn+k+Sn﹣k=2(Sn+Sk)都成立 (1)设 M={1},a2=2,求 a5 的值; (2)设 M={3,4},求数列{an}的通项公式. 考点:数列递推式;数列与函数的综合.4664233 专题:综合题. 分析:(1)由集合 M 的元素只有一个 1,得到 k=1,所以当 n 大于 1 即 n 大于等于 2 时, Sn+1+Sn﹣1=2(Sn+S1)都成立,变形后,利用 Sn+1﹣Sn=an+1,及 a1=1 化简,得到当 n 大于等于 2 时,此数列除去首项后为一个等差数列,根据第 2 项的值和确定出的等差 写出等差数列的通项公式,因为 5 大于 2,所以把 n=5 代入通项公式即可求出第 5 项 的值; (2)当 n 大于 k 时,根据题意可得 Sn+k+Sn﹣k=2(Sn+Sk),记作①,把 n 换为 n+1, 得到一个关系式记作②,②﹣①后,移项变形后,又 k 等于 3 或 4 得到当 n 大于等 于 8 时此数列每隔 3 项或 4 项成等差数列,即 an﹣6,an﹣3,an,an+3,an+6 成等差数列, 根据等差数列的性质得到一个关系式,记作(*),且 an﹣6,an﹣2,an+2,an+6 也成等差 数列,又根据等差数列的性质得到另外一个关系式,等量代换得到 an+2﹣an=an﹣an﹣2, 得到当 n 大于等于 9 时,每隔两项成等差数列,设出等差数列的四项,根据等差数列 的性质化简变形,设 d=an﹣an﹣1,从而得到当 n 大于等于 2 小于等于 8 时,n+6 大于 等于 8,把 n+6 代入(*)中,得到一个关系式,同时把 n+7 也代入(*)得到另外一 个关系式,两者相减后根据设出的 d=an﹣an﹣1,经过计算后,得到 n 大于等于 2 时, d=an﹣an﹣1 都成立,从而把 k=3 和 k=4 代入到已知的等式中,化简后得到 d 与前 3 项 的和及 d 与前 4 项和的关系式,两关系式相减即可表示出第 4 项的值,根据 d=an﹣an ﹣1,同理表示出第 3 项,第 2 项及第 1 项,得到此数列为等差数列,由首项等于 1 即 可求出 d 的值,根据首项和等差写出数列的通项公式即可. 解答:解:(1)由 M={1},根据题意可知 k=1,所以 n≥2 时,Sn+1+Sn﹣1=2(Sn+S1), 即(Sn+1﹣Sn)﹣(Sn﹣Sn﹣1)=2S1,又 a1=1, 则 an+1﹣an=2a1=2,又 a2=2, 所以数列{an}除去首项后,是以 2 为首项,2 为公差的等差数列, 故当 n≥2 时,an=a2+2(n﹣2)=2n﹣2, 所以 a5=8; (2)根据题意可知当 k ∈ M={3,4}, 且 n>k 时,Sn+k+Sn﹣k=2(Sn+Sk)①,且 Sn+1+k+Sn+1﹣k=2(Sn+1+Sk)②, ②﹣①得:(Sn+1+k﹣Sn+k)+(Sn+1﹣k﹣Sn﹣k)=2(Sn+1﹣Sn), 即 an+1+k+an+1﹣k=2an+1,可化为:an+1+k﹣an+1=an+1﹣an+1﹣k 所以 n≥8 时,an﹣6,an﹣3,an,an+3,an+6 成等差数列,且 an﹣6,an﹣2,an+2,an+6 也成 等差数列, 从而当 n≥8 时,2an=an﹣3+an+3=an﹣6+an+6,(*)且 an﹣2+an+2=an﹣6+an+6, 所以当 n≥8 时,2an=an﹣2+an+2,即 an+2﹣an=an﹣an﹣2, 于是得到当 n≥9 时,an﹣3,an﹣1,an+1,an+3 成等差数列,从而 an﹣3+an+3=an﹣1+an+1, 由(*)式可知:2an=an﹣1+an+1,即 an+1﹣an=an﹣an﹣1, 当 n≥9 时,设 d=an﹣an﹣1, 则当 2≤n≤8 时,得到 n+6≥8,从而由(*)可知,2an+6=an+an+12,得到 2an+7=an+1+an+13, 两式相减得:2(an+7﹣an+6)=an+1﹣an+(an+13﹣an+12), 则 an+1﹣an=2d﹣d=d, 因此,an﹣an﹣1=d 对任意 n≥2 都成立, 又由 Sn+k+Sn﹣k﹣2Sn=2Sk,可化为:(Sn+k﹣Sn)﹣(Sn﹣Sn﹣k)=2Sk, 当 k=3 时,(Sn+3﹣Sn)﹣(Sn﹣Sn﹣3)=9d=2S3;同理当 k=4 时,得到 16d=2S4, 两式相减得:2(S4﹣S3)=2a4=16d﹣9d=7d,解得 a4= d, 因为 a4﹣a3=d,解得 a3= d,同理 a2= d,a1= , 则数列{an}为等差数列,由 a1=1 可知 d=2, 所以数列{an}的通项公式为 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1. 点评:此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值,掌握确定数列为等差数列的方法,会 根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式,是一道中档题. 21.(10 分)(2011•江苏)A.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2 ).圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C ( O1 不在 AB 上).求证:AB:AC 为定值. B.选修 4﹣2:矩阵与变换 已知矩阵 ,向量 .求向量 ,使得 A2 = . C.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 (φ为参数)的右焦点,且与直线 (t 为参数)平行的直线的普通方程. D.选修 4﹣5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 解不等式:x+|2x﹣1|<3. 考点:椭圆的参数方程. 4664233 专题:数形结合;转化思想. 分析:A、如图,利用 EC∥DB,AB:AC=AD:AE=2r1:2r2,证出结论. B、设向量 = ,由 A2 = ,利用矩阵的运算法则,用待定系数法可得 x 和 y 的 值,从而求得向量 . C、把椭圆的参数方程化为普通方程,求出右焦点的坐标,把直线参数方程化为普通 方程,求出斜率,用点斜式 求得所求直线的方程. D、原不等式可化为 ,或 ,分别解出这两个不等 式组的解集, 再把解集取并集. 解答:解:A、如图:连接 AO1 并延长,交两圆于 D,E,则 O2 在 AD 上,根据直径对的圆 周角等于 90°可得,∠ACE=∠ABD=90°, ∴EC∥DB,∴AB:AC=AD:AE=2r1:2r2=r1:r2 为定值. B、A2= = ,设向量 = ,由 A2 = 可得 = ,∴ ,解得 x=﹣1,y=2, ∴向量 = . C、椭圆 (φ为参数)的普通方程为 + =1,右焦点为(4,0), 直线 (t 为参数) 即 x﹣2 y+2=0,斜率等于 ,故所求的直线方程为 y﹣0= (x﹣4),即 x﹣2 y﹣4=0. D、原不等式可化为 ,或 , 解得 ≤x< ,或﹣2<x< ,故不等式的解集为 {x|﹣2<x< }. 点评:本题考查圆与圆的位置关系,参数方程与普通方程的互化,矩阵的运算法则,绝对值 不等式的解法. 22.(10 分)(2011•江苏) 如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,点 N 是 BC 的中点,点 M 在 CC1 上.设二面角 A1﹣DN﹣M 的大小为θ(1)当θ=90° 时,求 AM 的长; (2)当 时,求 CM 的长. 考点:向量在几何中的应用. 4664233 专题:综合题;压轴题;转化思想. 分析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,D﹣xyz,设 CM=t(0≤t≤2),通过 , 求出平面 DMN 的法向量为 , , 求出平面 A1DN 的法向量为 ,推出 (1)利用θ=90°求出 M 的坐标,然后求出 AM 的长. (2)利用 cos = 以及 ,求出 CM 的长. 解答:解:建立如图所示的空间直角坐标系,D﹣xyz,设 CM=t(0≤t≤2),则各点的坐标为 A(1,0,0),A1(1,0,2), N( ,1,0),M(0,1,t); 所以 =( ,1,0). =(1,0,2), =(0,1,t) 设平面 DMN 的法向量为 =(x1,y1,z1),则 , , 即 x1+2y1=0,y1+tz1=0,令 z1=1,则 y1=﹣t,x1=2t 所以 =(2t,﹣t,1), 设平面 A1DN 的法向量为 =(x2,y2,z2),则 , , 即 x2+2z2=0,x2+2y2=0,令 z2=1 则 y2=1,x2=﹣2 所以 =(﹣2,1,1), (1)因为θ=90°,所以 解得 t= 从而 M(0,1, ), 所以 AM= (2)因为 , 所以, cos = = 因为 =θ或π﹣θ,所以 = 解得 t=0 或 t= 根据图形和(1)的结论,可知 t= ,从而 CM 的长为 . 点评:本题是中档题,考查直线与平面,直线与直线的位置关系,考查转化思想的应用,向 量法解答立体几何问题,方便简洁,但是注意向量的夹角,计算数据的准确性. 23.(10 分)(2011•江苏)设整数 n≥4,P(a,b) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,其中 a, b ∈ {1,2,3,…,n},a>b. (1)记 An 为满足 a﹣b=3 的点 P 的个数,求 An; (2)记 Bn 为满足 是整数的点 P 的个数,求 Bn. 考点:数列递推式. 4664233 专题:综合题;压轴题;转化思想. 分析:(1)An 为满足 a﹣b=3 的点 P 的个数,显然 P(a,b)的坐标的差值,与 An 中元 素个数有关,直接写出 An 的表达式即可. (2)设 k 为正整数,记 fn(k)为满足题设条件以及 a﹣b=3k 的点 P 的个数,讨论 fn (k)≥1 的情形,推出 fn(k)=n﹣3k,根据 k 的范围 ,说明 n﹣1 是 3 的 倍数和余数, 然后求出 Bn. 解答:解:(1)点 P 的坐标中,满足条件:1≤b=a﹣3≤n﹣3,所以 An=n﹣3; (2)设 k 为正整数,记 fn(k)为满足题设条件以及 a﹣b=3k 的点 P 的个数,只要讨 论 fn(k)≥1 的情形,由 1≤b=a﹣3k≤n﹣3k, 知 fn(k)=n﹣3k 且 ,设 n﹣1=3m+r,其中 m ∈ N+,r ∈ {0,1,2},则 k≤m, 所以 Bn= = =mn﹣ = 将 m= 代入上式,化简得 Bn= 所以 Bn= 2012 年全国普通高等院校招生考试·江苏省 数学试题 (必答题 1~20+理科附加题 21~23) 【数学 I (必答题):时间 120 分钟,满分 160 分】 一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,满分 70 分。 1. 已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A B=________ 2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取_____名学生; 3. 设 a,b R,a+bi=11-7i 1-2i (i 为虚数单位),则 a+b 的值为_______; 4. 如 图 是 一 个 算 法 的 流 程 图 , 则 输 出 的 k 的 值 是 ________ ; N 开始 k←1 k2-5k+4>0 k←k+1 输出 k 结束 4 题图 Y 5. 函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为_________; 6. 现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中 随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是________; 7. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm, 则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为___________cm3; 7题图 D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线x2 m - y2 m2+4=1 的离心率为 5,则 m 的值为_______; 9. 如图,在矩形ABCD中,AB= 2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB→ ·AF→= 2, 则AE→ ·BF→的值是________; 10. 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= ax+1,-1 x<0 bx+2 x+1 , 0 x 1,其 中 a,b R;若 f(1 2)=f(3 2),则 a+3b 的值为________; 11. 设 为锐角,若 cos( + 6 )=4 5 ,则 sin(2 + 12 )的值为___________; 12. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________; 13. 已知函数 f(x)=x2+ax+b (a,b R)的值域为[0,+ ),若关于 x 的不等式 f(x)0)表示的曲线上, 其中 k 与发射方向有关;炮弹射程是指炮弹落地点的横坐标。 ⑴求炮的最大射程; ⑵设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不 超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由。 18. (本小题满分 16 分) 若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f(x)的极值点。已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点。 ⑴求 a 和 b 的值; ⑵设函数 g(x)的导函数 g (x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点; ⑶设 h(x)=f(f(x))-c,其中 c [-2,2],求函数 y=h(x)的零点个数; 19. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆x2 a2+y2 b2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0), F2(c,0);已知点(1,e)和(e, 3 2 )都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率。 ⑴求椭圆的方程; ⑵设 A,B 椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF2 与直线 BF1 平行,AF2 与 BF1 交于 点 P; ①若 AF1-BF2= 6 2 ,求直线 AF1 的斜率; ②求证:PF1+PF2 是定值; 20. (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an+1=an+bn a2n+2n ,n N*; ⑴设 bn+1=1+bn an ,n N*,求证:数列 (bn an )2 是等差数列; ⑵设 bn+1= 2·bn an ,n N*,且{an}是等比数列,求 a1 和 b1 的值; 【数学 II(附加题)】 21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中选作两题。 A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C,使 BD=DC, 连结 AC,AE,DE。 求证: E= C; B A O 21-A题图 E D C B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 A 的逆矩阵 A-1= -1 4 3 4 1 2 -1 2 ,求矩阵 A 的特征值; C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P( 2, 4 ),圆心为直线 sin( - 3 )=- 3 2 与极轴的交点, 求圆 C 的极坐标方程; D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知实数 x,y 满足:|x+y|<1 3 ,|2x-y|<1 6 ;求证:|y|< 5 18 ; 【必做题】22,23 为必答题,每题 10 分,满分 20 分。 22. (本小题满分 10 分) 设 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两棱相交时, =0; 当两条棱平行时, 的值为两条棱之间的距离;当两棱异面时, =1; ⑴求概率 P( =0); ⑵求 的分布列,并求其数学期望 E( ); 23. (本小题满分 10 分) 设集合 Pn={1,2,…,n},n N*;记 f(n)为同时满足下列条件的集合 A 的个数: ①APn;②若 x A,则 2x A;③若 x ∁Pn A,则 2x ∁Pn A; ⑴求 f(4); ⑵求 f(n)的解析式(用 n 表示); 参考答案 一、填空题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 1 3 14 答 案 {1,2,4, 6} 1 5 8 5 (0, 6] 3 5 6 2 2 - 10 17 2 50 4 3 9 [e,7 ] 简析 1. 略 2. 略 3. a+bi=11-7i 1-2i =(11-7i)(1+2i) (1-2i)(1+2i) =25+15i 5 =5+3i a+b=5+3=8 4. 略 5. 由题意,有 1-2log6x 0,即 log6x 1 2 ,所以,00,b2=m2+4,所以,c2=a2+b2=m+m2+4=m2+m+4>0; 由离心率 e=c a= 5, c2=5a2,所以,m2+m+4=5m, m2-4m+4=0 m=2; 9. 建立平面直角坐标系,利用向量坐标运算,可推得结果为 2; 10. 由周期性知有 f(1 2)=f(-1 2),又 f(-1)=f(-1+2)=f(1),联立解得 a=2,b=-4, 故 a+3b=-10 11. 由题意知,cos(2 + 3 )=2cos2( + 6 )-1= 7 25>0,故 sin(2 + 3 )= 1-cos22 =24 25 , 故 sin(2 + 12 )=sin[(2 + 3 )- 4 ]=17 2 50 12. 考虑圆心在直线上的圆与已知圆相切情况,转而求已知圆圆心到直线距离为 2 时的 k 值, 从而得所求最大值为4 3 13. 由定义域和值域知,x=-a 2 时,fmin(x)=4b-a2 4 =0,即 4b-a2=0, 故 f(x)=x2+ax+a2 4=(x+a 2)2,由 f(x)0 y>0 , 线性规划求b a=y x 的最大最小,得所求为[e,7]; 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 参考公式: 样本数据 1 2, , , nx x x 的方差 2 2 1 1 ( ) n i i s x xn    ,其中 1 1 n i i x xn    。 棱锥的体积公式: 1 3V Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 为高。 棱柱的体积公式:V Sh ,其中 S 是柱体的底面积,h 为高。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡的相应...... 位置上...。 1、函数 3sin(2 )4y x   的最小正周期为 ▲ 。 2、设 2(2 )z i  (i 为虚数单位),则复数 z 的模为 ▲ 。 3、双曲线 2 2 116 9 x y  的两条渐近线的方程为 ▲ 。 4、集合{-1,0,1}共有 ▲ 个子集。 5、右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是 ▲ 。 6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结 果如下: 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。 7、现有某类病毒记作为 m nX Y ,其中正整数 , ( 7, 9)m n m n  可以任意选 取,则 ,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。 8、如图,在三棱柱 A1B1C1 -ABC 中,D、E、F 分别为 AB、AC、AA1 的中 点,设三棱锥 F-ADE 的体积为 1V ,三棱柱 A1B1C1 -ABC 的体积为 2V ,则 1V : 2V = ▲ 。 运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 9、抛物线 2y x 在 1x  处的切线与坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部与边界)。 若点 P(x,y)是区域 D 内的任意一点,则 2x y 的取值范围是 ▲ 。 10、设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点,且 1 2,2 3AD AB BE BC  。若 1 2DE AB AC     ( 1 、 2 均为实数),则 1 + 2 的值为 ▲ 。 11、已知 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数。当 0x  时, 2( ) 4f x x x  ,则不等式 ( )f x x 的解集用区间表示为 ▲ 。 12、在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ,右焦点为 F,右 准线为 l ,短轴的一个端点为 B。设原点到直线 BF 的距离为 1d ,F 到 l 的距离为 2d 。若 2 16d d ,则椭圆 C 的离心率为 ▲ 。 13、在平面直角坐标系 xoy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 1 ( 0)y xx   图象上的一动点。若 点 P、A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为= ▲ 。 14、在正项等比数列 na 中, 5 6 7 1 , 32a a a   ,则满足 1 2 1 2n na a a a a a     的 最大正整数 n 的值为 ▲ 。 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说 明、证明或演算步骤. 15、(本小题满分 14 分) 已知向量 (cos ,sin ), (cos ,sin ),0a b            。 (1)若| | 2a b   ,求证: a b  ; (2)设 (0,1)c  ,若 a b c    ,求 , 的值。 16、(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB 平面 SBC, BCAB  ,AS=AB。过 A 作 SBAF  ,垂足为 F,点 E、G 分别为线段 SA、SC 的中点。 求证:(1)平面 EFG//平面 ABC; (2) BC SA 。 17、(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(0,3),直线 42:  xyl ,设圆 C 的半径为 1,圆心 在直线l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 1 xy 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。 18、(本小题满分 16 分) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C, 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C。 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 米/分钟。在甲出发 2 分钟 后,乙从 A 乘坐缆车到 B,在 B 处停留 1 分钟后,再从 B 匀速步行到 C。假设缆车速度为 130 米 / 分 钟 , 山 路 AC 的 长 为 1260 米 , 经 测 量 , 12 3cos ,cos13 5A C  。 (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步 行的速度应控制在什么范围内? 19、(本小题满分 16 分) 设 }a { n 是 首 项 为 a 、 公 差 为 d 的 等 差 数 列 )0( d , nS 为 其 前 n 项 和 。 记 2 ,n n nSb n Nn c   ,其中 c 为实数。 (1)若 c=0,且 421 ,, bbb 成等比数列,证明: ),(2  NknSnS knk (2)若 }b { n 为等差数列,证明:c=0。 20、(本小题满分 16 分) 设函数 axexgaxxxf x  )(,ln)( ,其中 a 为实数。 (1)若 )(xf 在 ),1(  上是单调减函数,且 )(xg 在 ),1(  上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 )(xg 在 ),1(  上是单调增函数,试求 )(xf 的零点个数,并证明你的结论。 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题.......,.并在相应的答题区域内作答.............若 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、C,AC 经过圆心 O,且 BC=2OC。 求证:AC=2AD。 B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 1 0 1 2,0 2 0 6A B            ,求矩阵 1A B . C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,直线l 的参数方程为 1 2 x t y t     (t 为参数),曲线 C 的参数方程为 22tan 2tan x y       ( 为参数)。试求直线l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。 D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 a ≥b >0,求证: 3 32a b ≥ 2 22ab a b 。 【必做题】第22 题、第23 题,每题10 分,共计20 分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 1 1 1A B C ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2, 1A A =4,点 D 是 BC 的中 点。 (1)求异面直线 1A B 与 1C D 所成角的余弦值; (2)求平面 1ADC 与平面 1ABA 所成二面角的正弦值。 23.(本小题满分 10 分) 设数列 na :1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…, 1 1( 1) , ( 1) k k kk k     个 ,… 即 当 ( )2 2n k N   (k-1)k (k+1)k 时 , 1( 1)k na k  。 记 1 2n nS a a a    ( )n N  。 对于l N  ,定义集合 lP =﹛ n | nS 为 na 的整数倍, ,n N  且 1≤ n ≤l } (1)求 11P 中元素个数; (2)求集合 2000P 中元素个数。 参考答案 1.【答案】π 【解析】T=|2π ω |=|2π 2 |=π. 2.【答案】5 【解析】z=3-4i,i2=-1,| z |= =5. 3.【答案】 xy 4 3 【解析】令: 0916 22  yx ,得 xxy 4 3 16 9 2  . 4.【答案】8 【解析】23=8. 5.【答案】3 【解析】n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4. 6.【答案】2 【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为: 905 9288919089 x . 方差为: 25 )9092()9088()9091()9090()9089( 22222 2 S . 7. 【答案】 63 20 【解析】m 取到奇数的有 1,3,5,7 共 4 种情况;n 取到奇数的有 1,3,5,7,9 共 5 种 情况,则 nm, 都取到奇数的概率为 63 20 97 54   . 8. 【答案】1:24 【解析】三棱锥 ADEF  与三棱锥 ABCA 1 的相似比为 1:2,故体积之比为 1:8.又因三棱锥 ABCA 1 与三棱柱 ABCCBA 111 的体积之比为 1:3.所 以,三棱锥 ADEF  与三棱柱 ABCCBA 111 的体积之比为 1:24. 9. 【答案】[—2,1 2 ] 【解析】抛物线 2xy  在 1x 处的切线易得为 y=2x—1,令 z= yx 2 ,y=—1 2 x+z 2 . A B C 1A D E F 1B 1C y x l B FO c b a 画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,zmin=—2,过点(1 2 ,0)时,zmax=1 2 . y xO y=2x—1 y=—1 2 x 10. 【答案】1 2 【解析】 )(3 2 2 1 3 2 2 1 ACBAABBCABBEDBDE  ACABACAB 213 2 6 1   所以, 6 1 1  , 3 2 2  ,  21  1 2 . 11. 【答案】(﹣5,0) ∪(5,﹢∞) 【解析】做出 xxxf 4)( 2  ( 0x )的图像,如下图所示。由于 )(xf 是定义在 R 上的奇 函数,利用奇函数图像关于原点对称做出 x<0 的图像。不等式 xxf )( ,表示函数 y= )(xf 的图像在 y=x 的上方,观察图像易得:解集为(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)。 x y y=x y=x2—4 x P(5,5) Q(﹣5, ﹣5) 12. 【答案】 3 3 【解析】如图,l:x= c a 2 , 2d = c a 2 -c= c b 2 ,由 等面积得: 1d = a bc 。若 12 6dd  ,则 c b 2 = 6 a bc ,整理得: 066 22  baba , 两边同除以: 2a ,得: 066 2          a b a b ,解之得: a b = 3 6 ,所以,离心率为: 3 31e 2      a b . 13. 【答案】1 或 10 【解析】 14. 【答案】12 【解析】设正项等比数列 }{ na 首项为 a1,公比为 q,则:      3)1( 2 1 51 41 qqa qa ,得:a1= 1 32 , q=2,an=26-n.记 521 2 12  n nn aaaT  , 2 )1( 21 2 nn nn aaa    . nnT  , 则 2 )1( 5 22 12 nnn   , 化 简 得 : 5 2 11 2 1 2 212   nnn , 当 52 11 2 1 2  nnn 时 , 122 12113 n .当 n=12 时, 1212 T ,当 n=13 时, 1313 T ,故 nmax=12. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解:(1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ), |a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2, 所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0, 所以, ba  . (2)      �1sinsin �0coscos   ,①2+②2 得:cos(α-β)=-1 2 . 所以,α-β=  3 2 ,α=  3 2 +β, 带入②得:sin(  3 2 +β)+sinβ= 2 3 cosβ+1 2 sinβ=sin( 3  +β)=1, 所以, 3  +β= 2  . 所以,α= 6 5 ,β= 6  . 16. 证:(1)因为 SA=AB 且 AF⊥SB, 所以 F 为 SB 的中点. 又 E,G 分别为 SA,SC 的中点, 所以,EF∥AB,EG∥AC. 又 AB∩AC=A,AB  面 SBC,AC  面 ABC, 所以,平面 //EFG 平面 ABC . (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=BC, AF  平面 ASB,AF⊥SB. 所以,AF⊥平面 SBC. 又 BC  平面 SBC, 所以,AF⊥BC. 又 AB⊥BC,AF∩AB=A, 所以,BC⊥平面 SAB. 又 SA  平面 SAB, 所以, SABC  . 17. 解:(1)联立:      42 1 xy xy ,得圆心为:C(3,2). 设切线为: 3 kxy , d= 1 1 |233| 2    r k k ,得: 4 30  kork . 故所求切线为: 34 30  xyory . (2)设点 M(x,y),由 MOMA 2 ,知: 2222 2)3( yxyx  , 化简得: 4)1( 22  yx , 即:点 M 的轨迹为以(0,1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D. 又因为点 M 在圆C 上,故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切. 故:1≤|CD|≤3,其中 22 )32(  aaCD . 解之得:0≤a≤12 5 . A B C S G F E x y A l O C B A D M N 18. 解:(1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k, AB=52k,由 AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中 0≤x≤8,当 x=35 37 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时:1260 50 =126 5 (min). 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时:126 5 +3=141 5 (min),在 BC 上用时:86 5 (min) . 此时乙的速度最小,且为:500÷86 5 =1250 43 m/min. 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时:126 5 -3=111 5 (min),在 BC 上用时:56 5 (min) . 此时乙的速度最大,且为:500÷56 5 =625 14 m/min. 故乙步行的速度应控制在[1250 43 ,625 14 ]范围内. 19. 证:(1)若 0c ,则 dnaan )1(  , 2 ]2)1[( adnnSn  , 2 2)1( adnbn  . 当 421 bbb ,, 成等比数列, 41 2 2 bbb  , 即:            2 3 2 2 daada ,得: add 22  ,又 0d ,故 ad 2 . 由此: anSn 2 , aknankSnk 222)(  , aknSn k 222  . 故: knk SnS 2 ( *, Nnk  ). (2) cn adnn cn nSb n n      2 2 2 2 2)1( , cn adncadncadnn    2 2 2 2)1( 2 2)1( 2 2)1( cn adncadn    2 2 2)1( 2 2)1( . (※) 若 }{ nb 是等差数列,则 BnAnbn  型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂, 故有: 02 2)1( 2    cn adnc ,即 02 2)1(  adnc ,而 2 2)1( adn  ≠0, 故 0c . 经检验,当 0c 时 }{ nb 是等差数列. 20. 解:(1) axxf  1)( ≤0 在 ),1(  上恒成立,则 a ≥ x 1 , )1(  ,x . 故: a ≥1. axg x  e)( , 若 1≤ a ≤e,则 axg x  e)( ≥0 在 ),1(  上恒成立, 此时, axexg x )( 在 ),1(  上是单调增函数,无最小值,不合; 若 a >e,则 axexg x )( 在 )ln1( a, 上是单调减函数,在 )(ln ,a 上是单调 增函数, )ln()(min agxg  ,满足. 故 a 的取值范围为: a >e. (2) axg x  e)( ≥0 在 ),1(  上恒成立,则 a ≤ex, 故: a ≤1 e . )0(11)(  xx axaxxf . (ⅰ)若 0< a ≤1 e ,令 )(xf  >0 得增区间为(0,1 a ); 令 )(xf  <0 得减区间为(1 a ,﹢∞). 当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x→﹢∞时,f(x)→﹣∞; 当 x=1 a 时,f(1 a )=﹣lna-1≥0,当且仅当 a =1 e 时取等号. 故:当 a =1 e 时,f(x)有 1 个零点;当 0< a <1 e 时,f(x)有 2 个零点. (ⅱ)若 a=0,则 f(x)=﹣lnx,易得 f(x)有 1 个零点. (ⅲ)若 a<0,则 01)(  axxf 在 )0( , 上恒成立, 即: axxxf  ln)( 在 )0( , 上是单调增函数, 当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x→﹢∞时,f(x)→﹢∞. 此时,f(x)有 1 个零点. 综上所述:当 a =1 e 或 a<0 时,f(x)有 1 个零点;当 0< a <1 e 时,f(x)有 2 个零点. 2014 年江苏省普通高等学校招生全国统一考试数学 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1. 已知集合 A={ 4,3,1,2  }, }3,2,1{B ,则 BA  ▲ . 2. 已知复数 2)i25( z (i 为虚数单位),则 z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 ▲ . 4. 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ▲ . 5. 已知函数 xy cos 与 )2sin(  xy (0≤   ),它们的图象有一个横坐标为 3  的交点,则 的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在 抽测的 60 株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm. 7. 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 }{ na 中, ,12 a 468 2aaa  ,则 6a 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为 1S , 2S ,体积分 别为 1V , 2V ,若它们的侧面积相等,且 4 9 2 1  S S , 则 2 1 V V 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 032  yx 被圆 4)1()2( 22  yx 截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数 ,1)( 2  mxxxf 若对于任意 ]1,[  mmx ,都有 0)( xf 成立,则实数 m 的取 值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 x baxy  2 (a,b 为常数) 过点 )5,2( P ,且该曲线在 点 P 处的切线与直线 0327  yx 平行,则 ba  的值是 ▲ . 开始 0n 1 nn 202 n 输出 n 结束 (第 3 题) N Y 组距 频率 10080 90 110 120 130 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm (第 6 题) 12. 如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 8AB , 5AD , PDCP 3 , 2 BPAP ,则 ADAB  的值是 ▲ . 13. 已 知 )(xf 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 , 当 )3,0[x 时, |2 12|)( 2  xxxf .若函数 axfy  )( 在区间 ]4,3[ 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14. 若△ ABC 的内角满足 CBA sin2sin2sin  ,则 Ccos 的最小值是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域.......内作答,学科网解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知 ),2(   , 5 5sin  . (1)求 )4sin(   的值; (2)求 )26 5cos(   的值. 16.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 ABCP  中 , D , E , F 分 别 为 棱 ABACPC ,, 的 中 点 . 已 知 ACPA  , ,6PA .5,8  DFBC 求证: (1)直线 //PA 平面 DEF ; (2)平面 BDE 平面 ABC . A B D CP (第 12 题) 17.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 21, FF 分别是椭圆 )0(12 3 2 2  ba b y a x 的左、右焦点, 顶点 B 的坐标为 ),0( b ,连结 2BF 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于 另一点 C,连结 CF1 . (1)若点 C 的坐标为 )3 1,3 4( ,且 22 BF ,求椭圆的方程; (2)若 ,1 ABCF  求椭圆离心率 e 的值. 18.(本小题满分 16 分) 如图,为了保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划 要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆. 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量,点 A 位于点 O 正 北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), 3 4tan BCO 。 (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 170 m 60 m 东 北 O A B M C (第 18 题) F1 F2O x y B C A (第 17 题) 19.(本小题满分 16 分) 已知函数 xxxf  ee)( ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: )(xf 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 )(xmf ≤ 1e  mx 在 ),0(  上恒成立,学科网求实数 m 的取值范 围; (3)已知正数 a 满足:存在 ),1[0 x ,使得 )3()( 0 3 00 xxaxf  成立.试比较 1e a 与 1ea 的大小,并证明你的结论. 20.(本小题满分 16 分) 设数列 }{ na 的前 n 项和为 nS .若对任意正整数 n ,学科网总存在正整数 m ,使得 mn aS  , 则称 }{ na 是“H 数列”. (1)若数列 }{ na 的前 n 项和 n nS 2 ( n N  ),证明: }{ na 是“H 数列”; (2)设 }{ na 是等差数列,其首项 11 a ,公差 0d .若 }{ na 是“H 数列”,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列 }{ na ,总存在两个“H 数列” }{ nb 和 }{ nc ,使得 nnn cba  ( n N  )成立. 参考答案 一、填空题(每题 5 分,满分 70 分,将答案填在答题纸上). 1.【答案】{ 1,3} 【解析】由题意得 { 1,3}A B   . 2.【答案】21 【解析】由题意 2 2(5 2 ) 25 2 5 2 (2 ) 21 20z i i i i         ,其实部为 21. 【考点】复数的概念. 3.【答案】5 【解析】本题实质上就是求不等式 2 20n  的最小整数解.2 20n  整数解为 5n  ,因此输 出的 5n  【考点】程序框图. 4.【答案】 1 3 【解析】从1,2,3,6 这 4 个数中任取 2 个数共有 2 4 6C  种取法,其中乘积为 6 的有1,6 和 2,3 两种取法,因此所求概率为 2 1 6 3P   . 【考点】古典概型. 5.【答案】 6  【解析】由题意 cos sin(2 )3 3      ,即 2 1sin( )3 2    , 2 ( 1)3 6 kk       , ( )k Z ,因为 0    ,所以 6   . 【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角. 6.【答案】24 【 解 析 】 由 题 意 在 抽 测 的 60 株 树 木 中 , 底 部 周 长 小 于 100cm 的 株 数 为 (0.015 0.025) 10 60 24    . 【考点】频率分布直方图. 7.【答案】4 【解析】设公比为 q ,因为 2 1a  ,则由 8 6 42a a a  得 6 4 22q q a  , 4 2 2 0q q   , 解得 2 2q  ,所以 4 6 2 4a a q  . 【考点】等比数列的通项公式. 8.【答案】 3 2 【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为 1 1r h、 , 2 2r h、 ,则 1 1 2 22 2rh r h  , 1 2 2 1 h r h r  , 又 2 1 1 2 2 2 9 4 S r S r    ,所以 1 2 3 2 r r  ,则 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 V r h r h r r r V r h r h r r r         . 【考点】圆柱的侧面积与体积. 9.【答案】 2 55 5 【 解 析 】 圆 2 2( 2) ( 1) 4x y    的 圆 心 为 (2, 1)C  , 半 径 为 2r  , 点 C 到 直 线 2 3 0x y   的 距 离 为 2 2 2 2 ( 1) 3 3 51 2 d       , 所 求 弦 长 为 2 2 9 2 552 2 4 5 5l r d     . 【考点】直线与圆相交的弦长问题. 10.【答案】 2( ,0)2  【解析】据题意 2 2 2 ( ) 1 0, ( 1) ( 1) ( 1) 1 0, f m m m f m m m m             解得 2 02 m   . 【考点】二次函数的性质. 11.【答案】 2 【解析】曲线 2 by ax x   过点 (2, 5)P  ,则 4 52 ba    ①,又 2' 2 by ax x   ,所以 74 4 2 ba    ②,由①②解得 1, 1, a b      所以 b=-2,a+b=-3. 【考点】导数与切线斜率. 12.【答案】22 【 解 析 】 由 题 意 , 1 4AP AD DP AD AB        , 3 3 4 4BP BC CP BC CD AD AB            , 所以 1 3( ) ( )4 4AP BP AD AB AD AB          2 21 3 2 16AD AD AB AB       , 即 1 32 25 642 16AD AB      ,解得 22AD AB   . 【考点】向量的线性运算与数量积. 13.【答案】 1(0, )2 【解析】作出函数 2 1( ) 2 , [0,3)2f x x x x    的图象,可见 1(0) 2f  ,当 1x  时, 1( ) 2f x 极大 , 7(3) 2f  ,方程 ( ) 0f x a  在 [ 3,4]x  上有 10 个零点,即函数 ( )y f x 和图象与直线 y a 在[ 3,4] 上有 10 个交点,由于函数 ( )f x 的周期为 3,因此直线 y a 与 函数 2 1( ) 2 , [0,3)2f x x x x    的应该是 4 个交点,则有 1(0, )2a . 【考点】函数的零点,周期函数的性质,函数图象的交点问题. 14.【答案】 6 2 4  【 解 析 】 由 已 知 sin 2 sin 2sinA B C  及 正 弦 定 理 可 得 2 2a b c  , 2 2 2 2 2 2 2( )2cos 2 2 a ba ba b cC ab ab     2 23 2 2 2 2 6 2 2 6 2 8 8 4 a b ab ab ab ab ab       ,当且仅当 2 23 2a b 即 2 3 a b  时 等号成立,所以 cosC 的最小值为 6 2 4  . 【考点】正弦定理与余弦定理. 二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 15. 【答案】(1) 10 10  ;(2) 3 3 4 10  . 【解析】(1)由题意 25 2 5cos 1 ( )5 5       , 所以 2 2 5 2 5 10sin( ) sin cos cos sin ( )4 4 4 2 5 2 5 10               . (2)由(1)得 4sin 2 2sin cos 5      , 2 3cos2 2cos 1 5     , 所以 5 5 5 3 3 1 4 3 3 4cos( 2 ) cos cos2 sin sin 2 ( )6 6 6 2 5 2 5 10                 . 【考点】同角三角函数的关系,二倍角公式,两角和与差的正弦、余弦公式. 16. 【解析】(1)由于 ,D E 分别是 ,PC AC 的中点,则有 //PA DE ,又 PA DEF 平面 , DE DEF 平面 ,所以 //PA DEF平面 . (2)由(1) //PA DE ,又 PA AC ,所以 PE AC ,又 F 是 AB 中点,所以 1 32DE PA  , 1 42EF BC  , 又 5DF  , 所 以 2 2 2DE EF DF  , 所 以 DE EF , ,EF AC 是 平 面 ABC 内 两 条 相 交 直 线 , 所 以 DE ABC 平面 , 又 DE  平面 BDE ,所以平面 BDE  平面 ABC . 【考点】线面平行与面面垂直. 17.【解析】(1)由题意, 2 ( ,0)F c , (0, )B b , 2 2 2 2BF b c a    ,又 4 1( , )3 3C , ∴ 2 2 2 4 1( ) ( )3 3 12 b   ,解得 1b  .∴椭圆方程为 2 2 12 x y  . (2)直线 2BF 方程为 1x y c b   ,与椭圆方程 2 2 2 2 1x y a b   联立方程组,解得 A 点坐标为 2 3 2 2 2 2 2( , )a c b a c a c   ,则C 点坐标为 2 3 2 2 2 2 2( , )a c b a c a c  , 1 3 32 2 2 2 3 2 2 2 2F C b ba ck a c a c cca c    , 又 AB bk c   , 由 1FC AB 得 3 2 3 ( ) 12 b b a c c c     , 即 4 2 2 42b a c c  , ∴ 2 2 2 2 2 4( ) 2a c a c c   ,化简得 1 2 ce a   . 【考点】(1)椭圆标准方程;(2)椭圆离心率. 18.【解析】(1)如图,以 ,OC OA为 ,x y 轴建立直角坐标系,则 (170,0)C , (0,60)A ,由 题意 4 3BCk   ,直线 BC 方程为 4 ( 170)3y x   .又 1 3 4AB BC k k    ,故直线 AB 方程 为 3 604y x  , 由 4 ( 170)3 3 604 y x y x        , 解 得 80 120 x y    , 即 (80,120)B , 所 以 2 2(80 170) 120 150BC     ( )m ; (2)设OM t ,即 (0, )M t (0 60)t  ,由(1)直线 BC 的一般方程为 4 3 680 0x y   , 圆 M 的半径为 3 680 5 tr  ,由题意要求 80, (60 ) 80, r t r t       ,由于 0 60t  ,因此 3 680 5 tr  680 3 31365 5 t t   ,∴ 3136 80,5 3136 (60 ) 80,5 t t t t          ∴10 35t  ,所以当 10t  时, r 取得最大值130m ,此时圆面积最大. 【考点】解析几何的应用,直线方程,直线交点坐标,两点间的距离,点到直线的距离. 19.【解析】(1)证明:函数 ( )f x 定义域为 R ,∵ ( ) ( )x xf x e e f x    ,∴ ( )f x 是偶 函数. (2)由 ( ) 1xmf x e m   得 ( ( ) 1) 1xm f x e   ,由于当 0x  时, 1xe  ,因此 ( ) 2x xf x e e   ,即 ( ) 1 1 0f x    ,所以 1 1 ( ) 1 1 x x x x e em f x e e         2 1 1 x x x e e e    , 令 2 1 1 x x x ey e e    ,设 1 xt e  ,则 0t  , 21 (1 ) 1 1t t ty t t      ,∵ 0t  ,∴ 1 2t t    ( 1t   时等号成立),即 1 2 1 3y      , 1 03 y   ,所以 1 3m   . (3)由题意,不等式 3( ) ( 3 )f x a x x   在 [1, ) 上有解,由 3( ) ( 3 )f x a x x   得 3 3 0x xax ax e e    ,记 3( ) 3 x xh x ax ax e e     , 2'( ) 3 ( 1) x xh x a x e e     , 显然 '(1) 0h  ,当 1x  时, '( ) 0h x  (因为 0a  ),故函数 ( )h x 在[1, ) 上增函数, ( ) (1)h x h最小 ,于是 ( ) 0h x  在 [1, ) 上有解,等价于 1(1) 3 0h a a e e      ,即 1 1( ) 12a e e    . 考 察 函 数 ( ) ( 1)ln ( 1),( 1)g x e x x x     , 1'( ) 1eg x x   , 当 1x e  时, '( ) 0g x  ,当1 1x e   时, '( ) 0g x  ,当 1x e  时 '( ) 0g x  ,即 ( )g x 在[1, 1]e  上是增函数,在 ( 1, )e   上是减函数,又 (1) 0g  , ( ) 0g e  , 1 1( ) 12 e e   , 所以当 1 1( )2 e x ee    时, ( ) 0g x  ,即 ( 1)ln 1e x x   , 1 1e xx e  ,当 x e 时, ( ) 0g x  ,,即 ( 1)ln 1e x x   , 1 1e xx e  ,因此当 1 1( )2 e a ee    时, 1 1a ee a  , 当 a e 时, 1 1a ee a  ,当 a e 时, 1 1a ee a  . 【考点】(1)偶函数的判断;(2)不等式恒成立问题与函数的交汇;(3)导数与函数的单调 性,比较大小. 20.【解析】(1)首先 1 1 2a S  ,当 2n  时, 1 1 1 2 2 2n n n n n na S S        ,所以 1 2, 1, 2 , 2,n n n a n    ,所以对任意的 *n N , 2n nS  是数列{ }na 中的 1n  项,因此数列{ }na 是“ H 数列”. (2)由题意 1 ( 1)na n d   , ( 1) 2n n nS n d  ,数列{ }na 是“ H 数列”,则存在 *k N , 使 ( 1) 1 ( 1)2 n nn d k d    , 1 ( 1) 12 n n nk d     ,由于 ( 1) *2 n n N  ,又 *k N , 则 1n Zd   对一切正整数 n 都成立,所以 1d   . (3)首先,若 nd bn (b 是常数),则数列{ }nd 前 n 项和为 ( 1) 2n n nS b 是数列{ }nd 中 的第 ( 1) 2 n n  项,因此{ }nd 是“ H 数列”,对任意的等差数列{ }na , 1 ( 1)na a n d   ( d 是公差),设 1nb na , 1( )( 1)nc d a n   ,则 n n na b c  ,而数列{ }nb ,{ }nc 都是“ H 数列”,证毕. 【考点】(1)新定义与数列的项,(2)数列的项与整数的整除;(3)构造法.
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