高考数学总复习63等比数列但因为测试新人教B版

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高考数学总复习63等比数列但因为测试新人教B版

2013 年高考数学总复习 6-3 等比数列但因为测试 新人教 B 版 1.(2011·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示{an}的前 n 项的和, 若 a1=3,a2a4=144,则 S5 的值是( ) A.69 2 B.69 C.93 D.189 [答案] C [解析] 由 a2a4=a23=144 得 a3=12(a3=-12 舍去), 又 a1=3,各项均为正数,则 q=2. 所以 S5=a1 1-q5 1-q =3× 1-32 1-2 =93. 2.(2011·潍坊一中期末、湖南湘西联考)各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2,1 2a3,a1 成等差数列,则a3+a4 a4+a5 的值为( ) A.1- 5 2 B. 5+1 2 C. 5-1 2 D. 5+1 2 或 5-1 2 [答案] B [解析] ∵a2,1 2a3,a1 成等差数列, ∴a3=a2+a1, ∵{an}是公比为 q 的等比数列,∴a1q2=a1q+a1, ∴q2-q-1=0,∵q>0,∴q= 5-1 2 . ∴a3+a4 a4+a5 =1 q = 5+1 2 . 3.(文)(2011·青岛一模)在等比数列{an}中,若 a2=9,a5=243,则数列{an}的前 4 项和 为( ) A.81 B.120 C.168 D.192 [答案] B [解析] 设等比数列{an}的公比为 q,根据题意及等比数列的性质可知:a5 a2 =27=q3,所 以 q=3,所以 a1=a2 q =3,所以 S4=3 1-34 1-3 =120. (理)(2011·吉林长春模拟)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3 =S6,则数列{1 an }的前 5 项和为( ) A.85 32 B.31 16 C.15 8 D.85 2 [答案] B [解析] ∵9S3=S6,∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6, ∴8=q3,∴q=2, ∴an=2n-1,∴1 an =(1 2)n-1, ∴{1 an }的前 5 项和为 1- 1 2 5 1-1 2 =31 16 ,故选 B. 4.(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1、S3、S2 成等差数 列,则{an}的公比等于( ) A.1 B.1 2 C.-1 2 D.1+ 5 2 [答案] C [解析] 2S3=S1+S2,即 2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q, 得 q=-1 2 ,故选 C. 5.(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则数列{an}的奇数项 的前 n 项和为( ) A.2n+1-1 3 B.2n+1-2 3 C.22n-1 3 D.22n-2 3 [答案] C [解析] 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1. ∴an=2n-1(n∈N*), 则数列{an}的奇数项的前 n 项和为1-22n 1-22 =22n-1 3 ,故选 C. (理)(2011·泉州市质检)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7 +a8=2,Sn=15,则项数 n 为( ) A.12 B.14 C.15 D.16 [答案] D [解析] a5+a6+a7+a8 a1+a2+a3+a4 =q4=2,由 a1+a2+a3+a4=1. 得 a1(1+q+q2+q3)=1, 即 a1·1-q4 1-q =1,∴a1=q-1, 又 Sn=15,即a1 1-qn 1-q =15, ∴qn=16, 又∵q4=2,∴n=16.故选 D. 6.(2011·安徽皖南八校联考)设{an}是公比为 q 的等比数列,令 bn=an+1(n=1,2,…), 若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 q 等于( ) A.-4 3 B.-3 2 C.-2 3 或- 3 2 D.-3 4 或-4 3 [答案] C [解析] 集合{-53,-23,19,37,82}中的各元素减去 1 得到集合{-54,-24,18,36,81}, 其中-24,36,-54,81 或 81,-54,36,-24 成等比数列, ∴q=-3 2 或-2 3. 7.已知 f(x)是一次函数,若 f(3)=5,且 f(1)、f(2)、f(5)成等比数列,则 f(1)+f(2)+… +f(100)的值是________. [答案] 10000 [解析] 设 f(x)=kx+b,f(3)=3k+b=5,由 f(1)、f(2)、f(5)成等比数列得(2k+b)2=(k +b)·(5k+b),可得 k=2,b=-1.∴f(n)=2n-1, 则 f(1)+f(2)+…+f(100)=100×1+100×99 2 ×2=10000. 8.(文)(2010·安徽皖西四校联考)在公差不为零的等差数列{an}中,a1、a3、a7 依次成等 比数列,前 7 项和为 35,则数列{an}的通项 an=________. [答案] n+1 [解析] 设等差数列首项 a1,公差 d,则 ∵a1、a3、a7 成等比,∴a23=a1a7, ∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d, 又 S7=7a1+7×6 2 d=35d=35, ∴d=1,∴a1=2,∴an=n+1. (理)(2010·浙江金华)如果一个 n 位的非零整数 a1a2…an 的各个数位上的数字 a1,a2,…, an 或适当调整次序后能组成一个等比数列,则称这个非零整数 a1a2…an 为 n 位“等比数”.如 124,913,333 等都是三位“等比数”.那么三位“等比数”共有________个.(用数字作答) [答案] 27 [解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类: (1)111,222,…,999;(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有 9 个;第(2)类“等比数”有 3×6 =18 个;因此,满足条件的三位“等比数”共有 27 个. 9.(2011·锦州模拟)在等比数列{an}中,若公比 q>1,且 a2a8=6,a4+a6=5,则a5 a7 = ________. [答案] 2 3 [解析] ∵a2a8=6,∴a4a6=6, 又∵a4+a6=5,且 q>1,∴a4=2,a6=3, ∴a5 a7 =a4 a6 =2 3. 10.(文)(2011·大纲全国文,17)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3= 30,求 an 和 Sn. [解析] 设{an}的公比为 q,由已知有: a1q=6 6a1+a1q2=30 .解得 a1=3 q=2 或 a1=2 q=3 (1)当 a1=3,q=2 时,an=a1·qn-1=3×2n-1 Sn=a1 1-qn 1-q =3× 1-2n 1-2 =3×(2n-1) (2)当 a1=2,q=3 时,an=a1·qn-1=2×3n-1 Sn=a1 1-qn 1-q =2× 1-3n 1-3 =3n-1. 综上,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或 an=2×3n-1,Sn=3n-1. (理)(2011·山东临沂一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2=2(1 a1 +1 a2 ),a3 +a4=32(1 a3 +1 a4 ). (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=a2n+log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q,则 an=a1qn-1, 由已知得 a1+a1q=2(1 a1 + 1 a1q), a1q2+a1q3=32( 1 a1q2 + 1 a1q3). 化简得 a21q q+1 =2 q+1 , a21q5 q+1 =32 q+1 , 即 a21q=2, a21q5=32. 又∵a1>0,q>0,解得 a1=1, q=2. ∴an=2n-1. (2)由(1)知 bn=a2n+log2an=4n-1+(n-1), ∴Tn=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n-1) =4n-1 4-1 +n n-1 2 =4n-1 3 +n n-1 2 . 11.(文)(2011·辽宁六校模考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式 子中数值不能确定的是( ) A.a5 a3 B.S5 S3 C.an+1 an D.Sn+1 Sn [答案] D [解析] 数列{an}为等比数列,由 8a2+a5=0,知 8a2+a2q3=0,因为 a2≠0,所以 q=- 2,a5 a3 =q2=4;S5 S3 =1-q5 1-q3 =11 3 ;an+1 an =q=-2;Sn+1 Sn =1-qn+1 1-qn ,其值与 n 有关,故选 D. (理)(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列,其最小角的正弦 值为( ) A. 5-1 2 B.1 2 C. 5-1 4 D. 5+1 4 [答案] A [解析] 设三内角 A0,∴a c = 5-1 2 =sinA,故选 A. [点评] 在△ABC 中,由正弦定理 a=2RsinA、b=2RsinB 可知,a0,∴数列{an}是公比等于 3 的等比数列, ∴a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35, ∴log1 3 (a5+a7+a9)=-log335=-5. (理)已知等比数列{an}的公比 q>0,其前 n 项的和为 Sn,则 S4a5 与 S5a4 的大小关系是( ) A.S4a5S5a4 C.S4a5=S5a4 D.不确定 [答案] A [解析] (1)当 q=1 时,S4a5-S5a4=4a21-5a21=-a21<0. (2)当 q≠1 且 q>0 时, S4a5-S5a4= a21 1-q(q4-q8-q3+q8)= a21q3 1-q(q-1) =-a21q3<0. [点评] 作差,依据前 n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法, 应注意对公比分类讨论,请再做下题: 已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前 n 项和为 Sn,试比较S3 a3 与S5 a5 的大小. [解析] 当 q=1 时,S3 a3 =3,S5 a5 =5,所以S3 a3 0 且 q≠1 时, S3 a3 -S5 a5 = a1 1-q3 a1q2 1-q - a1 1-q5 a1q4 1-q =q2 1-q3 - 1-q5 q4 1-q =-q-1 q4 <0, 所以有S3 a3 Tn,则数列{an}的公比 q 的取值范围是( ) A.01 C.q> 2 D.1Tn,且 Tn>0,所以 q2=Sn Tn >1.因为 an>0 对任意 n∈N*都成 立,所以 q>0,因此公比 q 的取值范围是 q>1. (理)(2011·榆林模拟)在等比数列{an}中,an>0(n∈N+),公比 q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8 =25,又 a3 与 a5 的等比中项为 2,bn=log2an,数列{bn }的前 n 项和为 Sn,则当S1 1 +S2 2 +… +Sn n 最大时,n 的值等于( ) A.8 B.9 C.8 或 9 D.17 [答案] C [解析] ∵a1a5+2a3a5+a2a8=25, ∴a23+2a3a5+a25=25, 又 an>0,∴a3+a5=5, 又 q∈(0,1),∴a3>a5, ∵a3a5=4,∴a3=4,a5=1, ∴q=1 2 ,a1=16,an=16×(1 2)n-1=25-n, bn=log2an=5-n,bn+1-bn=-1, ∴{bn}是以 b1=4 为首项,-1 为公差的等差数列, ∴Sn=n 9-n 2 ,∴Sn n =9-n 2 , ∴当 n≤8 时,Sn n >0;当 n=9 时,Sn n =0;当 n>9 时,Sn n <0, ∴当 n=8 或 9 时,S1 1 +S2 2 +…+Sn n 最大. 14.(2011·新课标全国文,17)已知等比数列{an}中,a1=1 3 ,公比 q=1 3. (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn=1-an 2 ; (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. [解析] (1)因为 an=1 3× 1 3 n-1= 1 3n , Sn= 1 3 1- 1 3n 1-1 3 = 1- 1 3n 2 , 所以 Sn=1-an 2 . (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an =-(1+2+…+n) =-n n+1 2 . 所以{bn}的通项公式为 bn=-n n+1 2 . 15.(文)(2011·山东淄博一模)设{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项 和.已知 S3=7,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=lna3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)设数列{an}的公比为 q(q>1), 由已知,得 a1+a2+a3=7, a1+3 + a3+4 2 =3a2, 即 a1+a2+a3=7, a1-6a2+a3=-7, a1 1+q+q2 =7, a1 1-6q+q2 =-7, 解得 a1=1, q=2. 故数列{an}的通项为 an=2n-1 (2)由(1)得 a3n+1=23n,∴bn=lna3n+1=ln23n=3nln2, 又 bn+1-bn=3ln2, ∴{bn}是以 b1=3ln2 为首项,以 3ln2 为公差的等差数列. ∴Tn=b1+b2+…+bn =n b1+bn 2 =n 3ln2+3nln2 2 =3n n+1 ln2 2 即 Tn=3n n+1 2 ln2. (理)(2011·安 庆模拟)已知数列{an}中,a1=1 2 ,点(n,2an+1-an)在直线 y=x 上,其中 n= 1,2,3…. (1)令 bn=an+1-an-1,求证数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项. [解析] (1)由已知得 2an+1=an+n,又 a1=1 2 , ∴a2=3 4 ,b1=a2-a1-1=3 4 -1 2 -1=-3 4 , 又∵bn=an+1-an-1,∴bn+1=an+2-an+1-1, ∴bn+1 bn =an+2-an+1-1 an+1-an-1 = an+1+ n+1 2 -an+n 2 -1 an+1-an-1 = an+1-an-1 2 an+1-an-1 =1 2. ∴{bn}是以-3 4 为首项,以1 2 为公比的等比数列. (2)由(1)知,bn=-3 4×(1 2)n-1=-3×(1 2)n+1 ∴an+1-an=1-3×(1 2)n+1, ∴a2-a1=1-3×(1 2)2 a3-a2=1-3×(1 2)3 …… an-an-1=1-3×(1 2)n 各式相加得 an=n-1-3×[(1 2)2+(1 2)3+…+(1 2)n]+1 2 =n-1 2 -3× 1 4×[1- 1 2 n-1] 1-1 2 = 3 2n +n-2. 1.(2010·常德市检测)已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足 Sn=2n-1(n∈N*),则数列{a2n} 的前 n 项的和为( ) A.4n-1 B.1 3(4n-1) C.4 3(4n-1) D.(2n-1)2 [答案] B [解析] n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1, 又 a1=S1=21-1=1 也满足,∴an=2n-1(n∈N*). 设 bn=a2n,则 bn=(2n-1)2=4n-1, ∴数列{bn}是首项 b1=1,公比为 4 的等比数列,故{bn}的前 n 项和 Tn=1× 4n-1 4-1 = 1 3(4n-1). 2.(2010·宁波市模拟)等比数列的首项为 1,项数是偶数,所有的奇数项之和为 85,所 有的偶数项之和为 170,则这个等比数列的项数为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 [答案] C [解析] 由题意知,85q=170,∴q=2, ∴85+170=1×2n-1 2-1 ,∴n=8. 3.(2011·山东济南模拟)已知各项不为 0 的等差数列{an},满足 2a3-a27+2a11=0,数列{bn} 是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8 等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16 [答案] D [解析] 由题意可知,a27=2(a3+a11)=4a7. ∵a7≠0,∴a7=4,∴b6b8=b27=a27=16. 4.已知 a、b、c 成等比数列,如果 a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列,则a x +c y =________. [答案] 2 [解析] 由条件知 x=a+b 2 ,y=b+c 2 ,c=bq,a=b q , ∴a x +c y = 2a a+b + 2c b+c = 2b q b q +b + 2bq b+bq = 2 1+q + 2q 1+q =2. 5.已知{an}是首项为 a1、公比 q(q≠1)为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn,且有 5S2 =4S4,设 bn=q+Sn. (1)求 q 的值; (2)数列{bn}能否是等比数列?若是,求出 a1 的值;若不是,请说明理由. [解析] (1)由题意知 5S2=4S4, S2=a1 1-q2 1-q ,S4=a1 1-q4 1-q , ∴5(1-q2)=4(1-q4),又 q>0,∴q=1 2. (2)∵Sn=a1 1-qn 1-q =2a1-a1 1 2 n-1, 于是 bn=q+Sn=1 2 +2a1-a1 1 2 n-1, 若{bn}是等比数列,则1 2 +2a1=0, ∴a1=-1 4.此时,bn= 1 2 n+1. ∵bn+1 bn = 1 2 n+2 1 2 n+1 =1 2 ,∴数列{bn}是等比数列. 所以存在实数 a1=-1 4 ,使数列{bn}为等比数列. 6.(2010·福建龙岩一模)已知数列{an}和{bn},数列{an}的 前 n 项和记为 Sn.若点(n,Sn) 在函数 y=-x2+4x 的图象上,点(n,bn)在函数 y=2x 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)由已知得 Sn=-n2+4n, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2n+5, 又当 n=1 时,a1=S1=3,符合上式.∴an=-2n+5. (2)由已知得 bn=2n,anbn=(-2n+5)2n. Tn=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)×2n, 2Tn=3×22+1×23+…+(-2n+7)×2n+(-2n+5)×2n+1, 两式相减可得 Tn=-6+(23+24+…+2n+1)+( -2n+5)×2n+1 =23 1-2n-1 1-2 +(-2n+5)×2n+1-6 =(7-2n)×2n+1-14.
查看更多