高考总复习高中数学高考总复习抛物线习题及详解

高考总复习高中数学高考总复习抛物线习题及详解

高中数学圆锥曲线——抛物线 一、选择题 1．(2016·湖北黄冈)若抛物线 y2＝2px 的焦点与椭圆x2 6＋y2 2＝1 的右焦点重合，则 p 的值为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 [答案]　D [解析]　椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝ a2－b2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p 2＝2，∴p＝4. 2．已知点 M 是抛物线 y2＝2px(p>0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与 y 轴的关 系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情形都有可能 [答案]　B [解析]　如图，由 MF 的中点 A 作准线 l 的垂线 AE，交直线 l 于点 E，交 y 轴于点 B；由点 M 作准线 l 的垂线 MD， 垂足为 D，交 y 轴于点 C， 则 MD＝MF，ON＝OF， ∴AB＝OF＋CM 2 ＝ON＋CM 2 ＝DM 2 ＝MF 2 ， ∴这个圆与 y 轴相切． 3．(2016·山东文)已知抛物线 y 2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中 点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 [答案]　B [解析]　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段 AB 的中点(x1＋x2 2 ，y1＋y2 2 )，∴y1＋y2 2 ＝2，∵A、B 在抛物线 y2＝2px 上， ∴Error! ①－②得 y12－y22＝2p(x1－x2)， ∴kAB＝y1－y2 x1－x2＝ 2p y1＋y2＝p 2，∵kAB＝1，∴，p＝2 ∴抛物线方程为 y2＝4x，∴准线方程为：x＝－1，故选 B. 4．双曲线x2 9－y2 4＝1 的渐近线上一点 A 到双曲线的右焦点 F 的距离等于 2，抛物线 y2＝2px(p>0)过点 A，则该抛 物线的方程为(　　) A．y2＝9x B．y2＝4x C．y2＝4 13 13 x D．y2＝2 13 13 x [答案]　C [解析]　∵双曲线x2 9－y2 4＝1 的渐近线方程为 y＝±2 3x，F 点坐标为( 13，0)，设 A 点坐标为(x，y)，则 y＝±2 3x， 由|AF|＝2⇒ (x－ 13)2＋(2 3x )2＝2⇒x＝ 9 13 ，y＝± 6 13 ，代入 y2＝2px 得 p＝2 13 13 ，所以抛物线方程为 y2＝ 4 13 13 x，所以选 C. 5．已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小 值为(　　) A. 17 2 B．3 C. 5 D.9 2 [答案]　A [解析]　记抛物线 y2＝2x 的焦点为 F(1 2，0 )，准线是 l，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离，因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P 到点(0,2) 的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 与点(0,2)的距离，因此 所求的最小值等于 (1 2 )2＋22＝ 17 2 ，选 A. 6．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 M，若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 31，则点 A 的坐标为(　　) A．(2,2 2) B．(2，－2 2) C．(2，± 2) D．(2，±2 2) [答案]　D [解析]　如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点) 的面积之比为 3∶1， ∴S △ AMF S △ AOF＝ 1 2 × |AF| × |AM| × sin∠MAF 1 2 × |OF| × |AF| × sin(π－∠MAF) ＝3， ∴|AM|＝3，设 A(y02 4 ，y0)，∴y02 4 ＋1＝3， 解得 y0＝±2 2，∴y02 4 ＝2， ∴点 A 的坐标是(2，±2 2)，故选 D. 7．(2016·河北许昌调研)过点 P(－3,1)且方向向量为 a＝(2，－5)的光线经直线 y＝－2 反射后通过抛物线 y 2＝ mx，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝－2x B．y2＝－3 2x C．y2＝4x D．y2＝－4x [答案]　D [解析]　设过 P(－3,1)，方向向量为 a＝(2，－5)的直线上任一点 Q(x，y)，则PQ → ∥a，∴x＋3 2 ＝y－1 －5 ，∴5x＋2y ＋13＝0，此直线关于直线 y＝－2 对称的直线方程为 5x＋2(－4－y)＋13＝0，即 5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线 y2 ＝mx 的焦点 F(m 4，0 )，∴m＝－4，故选 D. 8．已知 mn≠0，则方程是 mx2＋ny2＝1 与 mx＋ny2＝0 在同一坐标系内的图形可能是(　　) [答案]　A [解析]　若 mn>0，则 mx2＋ny2＝1 应为椭圆，y2＝－m nx 应开口向左，故排除 C、D；∴mn<0，此时抛物线 y2＝－ m nx 应开口向右，排除 B，选 A. 9．(2016·山东聊城模考)已知 A、B 为抛物线 C：y2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线 C 的焦点，若FA → ＝－4FB → ， 则直线 AB 的斜率为(　　) A．±2 3 B．±3 2 C．±3 4 D．±4 3 [答案]　D [解析]　∵FA → ＝－4FB → ，∴|FA → |＝4|FB → |，设|BF|＝t，则|AF|＝4t，∴|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF|－|BF|＝3t，又|AB|＝ |AF|＋|BF|＝5t，∴|AM|＝4t， ∴tan∠ABM＝4 3，由对称性可知，这样的直线 AB 有两条，其斜率为±4 3. 10．已知抛物线 C 的方程为 x2＝1 2y，过点 A(0，－4)和点 B(t,0)的直线与抛物线 C 没有公共点，则实数 t 的取值 范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.(－∞，－ 2 2 )∪( 2 2 ，＋∞) C．(－∞，－2 2)∪(2 2，＋∞) D．(－∞，－2 2)∪( 2，＋∞) [答案]　B [解析]　由题意知方程组Error!无实数解 由②得 y＝4x t －4，代入①整理得， 2x2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16 t2 －32<0， ∴t> 2 2 或 t<－ 2 2 ，故选 B. [点评]　可用数形结合法求解，设过点 A(0，－4)与抛物线 x2＝1 2y 相切的直线与抛物线切点为 M(x0，y0)， 则切线方程为 y－y0＝4x0(x－x0)， ∵过 A 点，∴－4－2x02＝4x0(0－x0)， ∴x0＝± 2，∴y0＝4， ∴切线方程为 y－4＝±4 2x－8， 令 y＝0 得 x＝± 2 2 ，即 t＝± 2 2 ， 由图形易知直线与抛物线无公共点时，t<－ 2 2 或 t> 2 2 . 二、填空题 11．已知点 A(2,0)、B(4,0)，动点 P 在抛物线 y 2＝－4x 上运动，则 AP → ·BP → 取得最小值时的点 P 的坐标是 ______． [答案]　(0,0) [解析]　设 P(－y2 4 ，y)，则AP → ＝(－y2 4－2，y)，BP → ＝(－y2 4－4，y)，AP → ·BP → ＝(－y2 4－2)(－y2 4－4)＋y2＝y4 16＋5 2y2 ＋8≥8，当且仅当 y＝0 时取等号，此时点 P 的坐标为(0,0)． 12．(文)(2016·泰安市模拟)如图，过抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l，交抛物线于 A、B 两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________． [答案]　y2＝3x [解析]　设抛物线准线为 l，作 AA1⊥l，BB1⊥l，FQ⊥l，垂足分别为 A1、B1、Q，作 BM⊥AA1 垂足为 M，BM 交 FQ 于 N，则由条件易知∠ABM＝30°，设|BF|＝t，则|NF|＝t 2，|MA|＝t＋3 2 ，∵|AM|＝|QN|，∴3－t＋3 2 ＝p－t 2，∴p ＝3 2，∴抛物线方程为 y2＝3x. (理)(2016·泰安质检)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A、B、C，若|BC| ＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________． [答案]　y2＝3x [解析]　解法 1：过 A、B 作准线垂线，垂足分别为 A1，B1，则|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝ 2|BB1|，∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3， ∴p＝1 2|CF|＝3 2，∴抛物线方程为 y2＝3x. 解法 2：由抛物线定义，|BF|等于 B 到准线的距离，由|BC|＝2|BF|得∠BCB1＝30°，又|AF|＝3， 从而 A (p 2＋3 2，3 3 2 )在抛物线上，代入抛物线方程 y2＝2px，解得 p＝3 2. 点评：还可以由|BC|＝2|BF|得出∠BCB1＝30°，从而求得 A 点的横坐标为|OF|＋1 2|AF|＝p 2＋3 2或 3－p 2，∴p 2＋3 2＝3 －p 2，∴p＝3 2. 13．已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A、B 两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB| 的比值等于________． [答案]　3＋2 2 [解析]　分别由 A 和 B 向准线作垂线，垂足分别为 A1，B1，则由条件知， Error!，解得Error!， ∴|AA1| |BB1|＝3＋2 2，即|FA| |FB|＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线 y2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则 p＝________. [答案]　2 [解析]　设弦两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则Error!，两式相减得，y1－y2 x1－x2＝ 2p y1＋y2＝2， ∵y1＋y2＝2，∴p＝2. (理)(2016·衡水市模考)设抛物线 x 2＝12y 的焦点为 F，经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，又知 点 P 恰为 AB 的中点，则|AF|＋|BF|＝________. [答案]　8 [解析]　过 A、B、P 作准线的垂线 AA1、BB1 与 PP1，垂足 A1、B1、P1，则|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|PP1|＝2[1 －(－3)]＝8. 三、解答题 15．(文)若椭圆 C 1：x2 4＋y2 b2＝1(00)的焦点在椭圆 C 1 的顶点 上． (1)求抛物线 C2 的方程； (2)若过 M(－1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点，又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1、l2，当 l1⊥l2 时，求直 线 l 的方程． [解析]　(1)已知椭圆的长半轴长为 a＝2，半焦距 c＝ 4－b2， 由离心率 e＝c a＝ 4－b2 2 ＝ 3 2 得，b2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p＝2，抛物线的方程为 x2＝4y. (2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零，则可设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)， ∵y＝1 4x2，∴y′＝1 2x， ∴切线 l1，l2 的斜率分别为 1 2x1，1 2x2， 当 l1⊥l2 时，1 2x1·1 2x2＝－1，即 x1·x2＝－4， 由Error!得：x2－4kx－4k＝0， 由 Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得 k<－1 或 k>0. 又 x1·x2＝－4k＝－4，得 k＝1. ∴直线 l 的方程为 x－y＋1＝0. (理)在△ABC 中，CA → ⊥CB → ，OA → ＝(0，－2)，点 M 在 y 轴上且AM → ＝1 2(AB → ＋CD → )，点 C 在 x 轴上移动． (1)求 B 点的轨迹 E 的方程； (2)过点 F (0，－1 4)的直线 l 交轨迹 E 于 H、E 两点，(H 在 F、G 之间)，若FH → ＝1 2HG → ，求直线 l 的方程． [解析]　(1)设 B(x，y)，C(x0,0)，M(0，y0)，x0≠0， ∵CA → ⊥CB → ，∴∠ACB＝π 2， ∴2 x0· y0 －x0＝－1，于是 x02＝2y0① M 在 y 轴上且AM → ＝1 2(AB → ＋AC → )， 所以 M 是 BC 的中点，可得 Error!，∴Error! 把②③代入①，得 y＝x2(x≠0)， 所以，点 B 的轨迹 E 的方程为 y＝x2(x≠0)． (2)点 F(0，－1 4)，设满足条件的直线 l 方程为： y＝kx－1 4，H(x1，y1)，G(x2，y2)， 由Error!消去 y 得，x2－kx＋1 4＝0. Δ＝k2－1>0⇒k2>1， ∵FH → ＝1 2HG → ，即(x1，y1＋1 4)＝1 2(x2－x1，y2－y1)， ∴x1＝1 2x2－1 2x1⇒3x1＝x2. ∵x1＋x2＝k，x1x2＝1 4，∴k＝±2 3 3 ， 故满足条件的直线有两条，方程为：8x＋4 3y＋ 3＝0 和 8x－4 3y－ 3＝0. 16．(文)已知 P(x，y)为平面上的动点且 x≥0，若 P 到 y 轴的距离比到点(1,0)的距离小 1. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设过点 M(m,0)的直线交曲线 C 于 A、B 两点，问是否存在这样的实数 m，使得以线段 AB 为直径的圆恒过原 点． [解析]　(1)由题意得： (x－1)2＋y2－x＝1，化简得：y2＝4x　(x≥0)． ∴点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)． (2)设直线 AB 为 y＝k(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!，得 ky2－4y－4km＝0， ∴y1＋y2＝4 k，y1·y2＝－4m.∴x1·x2＝m2， ∵以线段 AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0. 即 m2－4m＝0⇒m＝0 或 4.当 k 不存在时，m＝0 或 4. ∴存在 m＝0 或 4，使得以线段 AB 为直径的圆恒过原点． [点评]　(1)点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1，即点 P 到定点 F(1,0)的距离与到定直线 l：x＝－1 的 距离相等．∴P 点轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p＝2，∴方程为 y2＝4x. (理)已知抛物线 y2＝4x，过点(0，－2)的直线交抛物线于 A、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA → ·OB → ＝4，求直线 AB 的方程． (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点(n,0)，求 n 的取值范围． [解析]　(1)设直线 AB 的方程为 y＝kx－2　(k≠0)，代入 y2＝4x 中得，k2x2－(4k＋4)x＋4＝0① 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝4k＋4 k2 ，x1x2＝4 k2. y1y2＝(kx1－2)·(kx2－2)＝k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝－8 k. ∵OA → ·OB → ＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝4 k2－8 k＝4，∴k2＋2k－1＝0，解得 k＝－1± 2. 又由方程①的判别式 Δ＝(4k＋4)2－16k2＝32k＋16>0 得 k>－1 2，∴k＝－1＋ 2， ∴直线 AB 的方程为( 2－1)x－y－2＝0. (2)设线段 AB 的中点的坐标为(x0，y0)，则由(1)知 x0＝x1＋x2 2 ＝2k＋2 k2 ，y0＝kx0－2＝2 k， ∴线段 AB 的垂直平分线的方程是 y－2 k＝－1 k(x－2k＋2 k2 ). 令 y＝0，得 n＝2＋2k＋2 k2 ＝2 k2＋2 k＋2 ＝2(1 k＋1 2 )2＋3 2. 又由 k>－1 2且 k≠0 得1 k<－2，或1 k>0， ∴n>2(0＋1 2 )2＋3 2＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)． 17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点 K(－1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (1)证明：点 F 在直线 BD 上； (2)设FA → ·FB → ＝8 9，求△BDK 的内切圆 M 的方程． [解析]　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l 的方程为 x＝my－1(m≠0) (1)将 x＝my－1(m≠0)代入 y2＝4x 并整理得 y2－4my＋4＝0，从而 y1＋y2＝4m，y1y2＝4① 直线 BD 的方程为 y－y2＝y2＋y1 x2－x1(x－x2) 即 y－y2＝ 4 y2－y1(x－y22 4 ) 令 y＝0，得 x＝y1y2 4 ＝1，所以点 F(1,0)在直线 BD 上． (2)由(1)知， x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2， x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1 因为FA → ＝(x1－1，y1)，FB → ＝(x2－1，y2)，FA → ·FB → ＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2， 故 8－4m2＝8 9，解得 m＝±4 3， 直线 l 的方程为 3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0. 从而 y2－y1＝± (4m)2－4 × 4＝±4 3 7， 故 4 y2－y1＝± 3 7 因而直线 BD 的方程为 3x＋ 7y－3＝0,3x－ 7y－3＝0. 因为 KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心 M(t,0)，(－1

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