2020高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第2讲 函数与方程学案
第2讲 函数与方程
[考情考向分析] 求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现．
热点一 函数的零点
1．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
例1 (1)已知f(x)＝＋x－，则y＝f(x)的零点个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 令＋x－＝0，化简得2|x|＝2－x2，画出y1＝2|x|，y2＝2－x2的图象，由图可知，图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点．
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(2)关于x的方程(x2－2x)2e2x－(t＋1)(x2－2x)ex－4＝0(t∈R)的不等实根的个数为( )
A．1 B．3 C．5 D．1或5
答案 B
解析 设f(x)＝(x2－2x)ex，则f′(x)＝(x＋)(x－)ex，所以函数f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→0，f(－)＝(2＋2)
f(0)＝0，f()＝(2－2)当x→＋∞，f(x)→＋∞，由此画出函数y＝f(x)的草图，如图所示．
关于x的方程(x2－2x)2e2x－(t＋1)(x2－2x)ex－4＝0，
令u＝f(x)，则u2－(t＋1)u－4＝0，Δ＝(t＋1)2＋16>0，故有两个不同的解u1，u2，
又u1u2＝f(－)f()＝－4，
所以不等实根的个数为3.
思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有
(1)函数零点大致存在区间的确定．
(2)零点个数的确定．
(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．
解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．
跟踪演练1 (1)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
答案 B
解析 由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x)的周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象，
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图中，g(3)＝3－log23>1＝f(3)，
g(5)＝3－log25<1＝f(5)，
可得有两个交点，所以选B.
(2)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 A
解析 画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．
热点二 函数的零点与参数的范围
解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
例2 (1)(2018·浙江省重点中学联考)已知a∈R，函数f(x)＝若存在三个互不相等的实数x1，x2，x3，使得＝＝＝－e成立，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)
解析 ＝＝＝－e成立，等价于方程f(x)＝－ex有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－ex有三个不同的交点，易知直线y＝－ex与y＝e－x的图象相切，已有一个交点，只需直线y＝－ex与曲线y＝a＋(x>0)有两个不同的交点即可，由－ex＝a＋，得ex2＋ax＋1＝0，∴Δ＝a2－4e>0，解得a>2或a<－2，又方程的两个根之和为正数，故－>0，∴a<0.综上所述，a<－2.
(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 C
解析 令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
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若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
故选C.
思维升华 (1)方程f(x)＝g(x)根的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数．
(2)关于x的方程f(x)－m＝0有解，m的范围就是函数y＝f(x)的值域．
跟踪演练2 (1)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1)∪(1,2) D．(－∞，1)
答案 A
解析 ∵函数f(x)＝(a∈R)在R上有两个零点，且x＝是函数f(x)的一个零点，
∴方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解，
再根据当x∈(－∞，0]时，0<2x≤20＝1，可得0
0时，f(x)＝，则f′(x)＝(x>0)，
故f(1)＝为f(x)在(0，＋∞)上的最大值．
设t＝f(x)，t2－(m＋1)t＋1－m＝0 有两个根t1，t2，
由图可知，对应两个x值的t值只有一个，
故可设t1对应一个x值，t2对应3个x值．
情况为或
当属于第一种情况时，将0代入方程得m＝1，
此时二次方程t2－(m＋1)t＋1－m＝0的根是确定的，一个为0，一个为2>，不符合第一种情况的要求；
当属于第二种情况时，
即0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________．
答案 ∪
解析 f(x)＝＋sin ωx－
＝(sin ωx－cos ωx)＝sin.
因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，
所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.
当x∈(π，2π)时，ωx－∈，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，
则ωπ－1时，0<<1，如图②，
要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，
只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，
解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
3．(2017·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________．
答案 8
解析 由于f(x)∈[0,1)，则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，当x∈Q，且x∉Z时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质．若lg x∈Q，则由lg x∈(0,1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质．因此＝，
则10n＝m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾．因此lg x∉Q，因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点，画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x∉D部分，且x
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＝1处(lg x)′＝＝<1，则在x＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.
押题预测
1．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
押题依据 函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法．
答案 B
解析 令2sin πx－x＋1＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h(1)＝g(1)，h>g，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.
2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,1) B．[0,2]
C．(－2,2] D．[－1,2)
押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想．
答案 D
解析 g(x)＝f(x)－2x＝要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)＝0恰有三个不同的实数根，
所以或
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所以g(x)＝0的三个不同的实数根为x＝2(x>a)，
x＝－1(x≤a)，x＝－2(x≤a)．
再借助数轴，可得－1≤a<2.
所以实数a的取值范围是[－1,2)，故选D.
3．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且当0≤x≤2时，f(x)＝min{－x2＋2x,2－x}，若方程f(x)－mx＝0恰有两个实根，则m的取值范围是( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
押题依据 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，先研究特殊位置，结合函数的性质，利用数形结合法，构建关于参数的不等式(组)求解．
答案 C
解析 当0≤x<1时，－x2＋2x<2－x，当1≤x≤2时，－x2＋2x≥2－x，所以f(x)＝又因为f(x)是偶函数，且是以4为周期的周期函数，作出函数f(x)的图象(图略)，直线y＝mx与y＝－x2＋2x的图象相切时，m＝2，直线y＝mx经过点(3,1)时，与函数f(x)的图象有三个交点，此时m＝，故x≥0时，要使方程f(x)－mx＝0恰有两个实根，则0，f ＝－>0，f ＝－<0，f f <0，
所以函数f(x)在区间内必有零点，故选B.
2．(2018·绍兴市柯桥区模拟)已知x0是函数f(x)＝e－x＋的零点，若x1∈(0，x0)，x2∈(x0,2)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
答案 C
解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠2}，又e－x>0，且x<2时，<0，故f(x)的零点x0∈(－∞，2)，求导得f′(x)＝－e－x－<0，则函数f(x)在区间(－∞，2)，(2，＋∞)上单调递减，由0f(x0)>f(x2)，即f(x1)>0，f(x2)<0，故选C.
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故f(0)＝0.
由于f ·f(2)<0，
而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故当x>0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，
当x<0时，也有1个零点．故一共有3个零点．
4．已知函数f(x)＝x2＋2x－(x<0)与g(x)＝x2＋log2(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－) B．(－∞，)
C. D.
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答案 B
解析 f(x)＝x2＋2x－(x<0)，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2＋2－x－(x>0)，
所以f(x)关于y轴对称的函数为h(x)＝f(－x)＝x2＋2－x－(x>0)，
由题意得x2＋2－x－＝x2＋log2(x＋a)在x>0时有解，作出函数的图象如图所示，
当a≤0时，函数y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意，
若a>0，若两函数在(0，＋∞)上有交点，则log2a<，
解得00)，最多有1个解，
即有x＝≥π，解得00，y单调递增，
则ymin＝1－ln＝1＋ln 2>0，
则当x∈(0，＋∞)时，恒有2x－ln x>0，
令g′(x)＝0，得x＝1或x＝e，
且x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
则g(x)的极小值为g(1)＝1，
g(x)的极大值为g(e)＝－，
当x→0时，g(x)→＋∞，
当x→＋∞时，g(x)→1.
结合函数图象(图略)可得，
当10时，由对称性知，
x2＋x3＝2,0
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