推荐模块3热点题型二数列的证明和求数列通项公式奇招制胜高考数学理热点题型全突破Wor

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www.ks5u.com 热点题型二 数列的证明和求数列通项公式 数列的通项公式在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。‎ ‎【基础知识整合】‎ 一、等差（等比）数列的证明常用方法：‎ ‎1.定义法 判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义；在等比数列中一样有：①时，有（常数）；②时，有（常数）．‎ ‎2.中项法 是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法 二、求数列通项公式的常用方法：‎ ‎1. 公式法、利用 ‎2. 求差（商）法：类似于 “ ， ”等条件时，使用求差（商）法求解；‎ ‎3. 累加法：类似于“”的条件时，使用累加法求解 ‎……‎ 以上式子左右分别相加，得 所以得到 ‎4. 累乘法：类似于“”的条件时，使用累乘法求解；‎ ‎5. 倒数法：类似于“”的条件时，使用倒数法求解 如：，求 ‎ 由已知得：，∴‎ ‎∴为等差数列，，公差为，∴，∴‎ ‎6. 构造法：‎ 比如：‎ 可转化为等比数列，设 令，∴，∴是首项为，k为公比的等比数列 ‎∴， ‎ 类型一 等差（等比）数列的证明 ‎【典例1】 【2016年高考新课标Ⅲ（17）】‎ 已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（1）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎【答案】（I） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）首先利用公式，得到数列的递推公式，即可得到是等比数列及的通项公式； ‎ 考点：数列的通项与前项和的关系，等比数列的定义、通项公式及前项和.‎ ‎【典例2】 正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列．‎ ‎【证明】依题意，，且，‎ ‎．．‎ 由此可得．即．‎ 数列为等差数列．‎ ‎【思路点拨】‎ 本题依据条件得到与的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决．通过挖掘的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．‎ ‎【变式训练】‎ ‎ 在数列中，．‎ ‎（Ⅰ）证明数列成等比数列，并求的通项公式；‎ ‎【解析】（Ⅰ）由条件得，又时，，‎ 故数列构成首项为1，公比为的等比数列．从而，即．‎ 类型二、 求数列的通项公式 ‎（1）形如：，求 ‎【典例3】 【2016年高考山东理（18）】 已知数列 的前n项和，是等差数列，且 ‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎【答案】（I）‎ ‎【解析】‎ 考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；‎ ‎【解题技巧】‎ 对于此类问题，解题方法总结如下：‎ 第一步 利用满足条件，写出当时，的表达式；‎ 第二步 利用，求出或者转化为的递推公式的形式；‎ 第三步 根据求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据和的递推公式求出.‎ ‎（2）形如：或，求 ‎【典例4】 【2017浙江省温州市高三月考试题】在数列{}中，＝1，＝ (n≥2)，则数列{}的通项公式是__________.‎ ‎【答案】＝.‎ ‎【解析】∵＝ (n≥2)，∴＝，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得＝a1···…·＝＝.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴＝.‎ ‎【解题技巧】‎ 对于此类问题，解题方法总结如下：‎ 第一步 将递推公式写成；‎ ‎ 第二步 依次写出，并将它们累加起来；‎ ‎ 第三步 得到的值，解出；‎ ‎ 第四步 检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.‎ ‎（3）形如：或，求 ‎【典例5】 在数列{}中，＝2，＝＋，则数列{}的通项公式是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得an＋1－an＝＝－， ‎ an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎【解题技巧】‎ 对于此类问题，解题方法总结如下：‎ 第一步 将递推公式写成；‎ ‎ 第二步 依次写出，并将它们累加起来；‎ ‎ 第三步 得到的值，解出；‎ ‎ 第四步 检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.‎ ‎【变式训练1】‎ 已知数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A.‎ 考点：本题主要考查数列的通项公式.‎ ‎【变式训练2】‎ 已知数列{}中，=1，（n，则数列{}的通项公式为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：,‎ 即．故C正确． ‎ 考点：1累乘法求通项公式；2等差数列的前项和．‎ ‎ ‎