高考数学一轮复习31 数列的概念

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高考数学一轮复习31 数列的概念

第三章 数列 ‎●网络体系总览 ‎●考点目标定位 ‎1.知识要求:(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义;了解递推公式是给出一种数列的表示方法,并能写出数列的前n项.(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解决简单的问题.(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解决简单的问题.‎ ‎2.能力要求:培养观察能力、化归能力和解决实际应用问题的能力.‎ ‎●复习方略指南 本章在历年高考中占有较大的比重,约占10%~12%,特别是2002年共计26分,占17%,2003年共计21分,占14%,2004年26分,占17%.考题类型既有选择题,也有填空题和解答题,既有容易题,也有中档题,更有难题.由于等差数列和等比数列在内容上是平行的,所以在复习时要应用对比去认识、理解、掌握数列知识.‎ 纵观近几年的高考试题,可发现如下规律:‎ ‎1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难度易、中、难三类皆有.‎ ‎2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.‎ ‎3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时要注意灵活应用.‎ ‎4.解答题的难度有逐年增大的趋势.‎ 因此复习中应注意:‎ ‎1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.‎ ‎2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算.‎ ‎3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意q ‎=1和q≠1两种情况等等.‎ ‎4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如an与Sn的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳.‎ ‎5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键.‎ ‎6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果.‎ ‎ ‎ ‎3.1 数列的概念 ‎●知识梳理 ‎1.数列:按一定次序排列的一列数叫做数列.‎ ‎(1)数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中an是数列的第n项.‎ ‎(2)可视数列为特殊函数,它的定义域是正自然数集的子集(必须连续),因此研究数列可联系函数的相关知识,如数列的表示法(列表法、图象法、公式法等)、数列的分类(有限和无穷、有界无界、单调或摆动等).应注意用函数的观点分析问题.‎ ‎2.通项公式 如果数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达,那么这个公式就叫做数列的通项公式,可以记为an=f(n).‎ 并非每一个数列都可以写出通项公式,有些数列的通项公式也并非是唯一的.‎ ‎3.数列的前n项和 数列{an}的前n项之和,叫做数列的前n项和,常用Sn表示.‎ Sn与通项an的基本关系是:‎ an= ‎ Sn=a1+a2+…+an.‎ ‎4.数列的分类 ‎(1)按项分类 有穷数列:项数有限;无穷数列:项数无限.‎ ‎(2)按an的增减性分类 递增数列:对于任何n∈N*,均有an+1>an;‎ 递减数列:对于任何n∈N*,均有an+1<an;‎ 摆动数列:例如:-1,1,-1,1,…;‎ 常数数列:例如:6,6,6,6,…;‎ 有界数列:存在正数M使|an|≤M,n∈N*;‎ 无界数列:对于任何正数M,总有项an使得|an|>M.‎ ‎5.递推是认识数列的重要手段,递推公式是确定数列的一种方式,根据数列的递推关系写出数列.‎ ‎●点击双基 ‎1.数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5等于 A. B. C. D. ‎ 解析一:令n=2、3、4、5,分别求出a3=,a5=,∴a3+a5=.‎ 解析二:当n≥2时,a1·a2·a3·…·an=n2.‎ 当n≥3时,a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2.‎ 两式相除an=()2,‎ ‎∴a3=,a5=.∴a3+a5=.‎ 答案:A ‎2.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+(n≥3),则a5等于 A. B. C.4 D.5‎ 解析:令n=3,4,5,求a5即可.‎ 答案:A ‎3.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足关系式Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,…,12),按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是 A.5、6月 B.6、7月 C.7、8月 D.8、9月 解法一:由Sn解出an=(-n2+15n-9),再解不等式(-n2+15n-9)>1.5,得6<n<9.‎ 解法二:将选项中的月份代入计算验证.‎ 答案:C ‎4.已知an=,且数列{an}共有100项,则此数列中最大项为第____________项,最小项为第___________________项.‎ 解析:an==1+,又44<<45,->0,故第45项最大,第44项最小.‎ 答案:45 44‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】 在数列{an}中,a1=1,an+1=,求an.‎ 剖析:将递推关系式变形,观察其规律.‎ 解:原式可化为-=n,∴-=1,-=2,-=3,…,‎ ‎-=n-1.‎ 相加得-=1+2+…+(n-1),‎ ‎∴an=.‎ 评析:求数列通项公式,特别是由递推公式给出数列时,除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差(等比)数列.对于数列递推公式不要升温,只要能根据递推公式写出数列的前几项,由此来猜测归纳其构成规律.‎ ‎【例2】 有一数列{an},a1=a,由递推公式an+1=,写出这个数列的前4项,并根据前4项观察规律,写出该数列的一个通项公式.‎ 剖析:可根据递推公式写出数列的前4项,然后分析每一项与该项的序号之间的关系,归纳概括出an与n之间的一般规律,从而作出猜想,写出满足前4项的该数列的一个通项公式.‎ 解:∵a1=a,an+1=,∴a2=,a3===,‎ a4===.‎ 观察规律:an=形式,其中x与n的关系可由n=1,2,3,4得出x=2n-1.而y比x小1,‎ ‎∴an=.‎ 评述:从特殊的事例,通过分析、归纳、抽象总结出一般规律,再进行科学地证明,这是创新意识的具体体现,这种探索问题的方法,在解数列的有关问题中经常用到,应引起足够的重视.‎ 思考讨论 请同学总结解探索性问题的一般思路.‎ ‎【例3】 已知数列{an}的通项公式an=cn+,且a2=,a4=,求a10.‎ 剖析:要求a10,只需求出c、d即可.‎ 解:由题意知 解得∴an=n+.∴a10=×10+=.‎ 评述:在解题过程中渗透了函数与方程的思想.‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.若数列{an}前8项的值各异,且an+8=an对任意的n∈N*都成立,则下列数列中,能取遍数列{an}前8项值的数列是 A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1}‎ 解析:由已知得数列以8为周期,当k分别取1,2,3,4,5,6,7,8时,a3k+1分别与数列中的第4项,第7项,第2项,第5项,第8项,第3项,第6项,第1项相等,故{a3k+1}能取遍前8项.‎ 答案:B ‎2.设an=-n2+10n+11,则数列{an}从首项到第______________项的和最大.‎ A.10 B‎.11 ‎ C.10或11 D.12‎ 解析:an=-n2+10n+11是关于n的二项函数,它是抛物线f(x)=-x2+10x+11上的一些离散的点,从图象可看出前10项都是正数,第11项是0,所以前10项或前11项的和最大.‎ 另解: 由-n2+10n+11≥0得-1≤n≤11,‎ 又n∈N*,∴0<n≤11.∴前10项为正,第11项为0.‎ 答案:C ‎3.设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,写出此数列的前三项:______________,______________,______________.‎ 解析:由题意得=,由此公式分别令n=1,n=2,n=3可依次解出前三项.‎ 答案:2 6 10‎ ‎4.(2004年春季上海,8)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有___________________个点.‎ 解析:观察图中五个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个图中个数为(n-1)×n+1=n2-n+1.‎ 答案:n2-n+1‎ ‎5.已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1,求数列{an}的通项公式.‎ 解:由已知Sn+1=2n-1,得Sn=2n+1-1,故当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,故an= ‎ ‎6.已知在正项数列{an}中,Sn表示前n项和且2=an+1,求an.‎ 解:由已知2=an+1,得当n=1时,a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入已知有2=‎ Sn-Sn-1+1,即Sn-1=(-1)2.又an>0,故=-1或= 1-(舍),即-=1(n≥2),由定义得{}是以1为首项,1为公差的等差数列,∴=n.故an=2n-1.‎ 培养能力 ‎7.(理)已知函数f(x)=-2x+2(≤x≤1)的反函数为y=g(x),a1=1,a2=g(a1),a3=g(a2),…,an=g(an-1),…,求数列{an}的通项公式.‎ 解:由已知得g(x)=-+1(0≤x≤1),则a1=1,an+1=-an+1.‎ 令an+1-P=-(an-P),则an+1=-an+P,比较系数得P=.‎ 由定义知,数列{an-}是公比q=-的等比数列,则an-=(a1-)·(-)n-1=‎ ‎[1-(-)n].于是an=-(-)n.‎ ‎(文)根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式:‎ ‎(1)3,5,9,17,33,…;‎ ‎(2),,,,,…;‎ ‎(3)2,-6,12,-20,30,-42,….‎ 解:(1)联想数列2,4,8,16,32,…,可知所求通项公式为an=2n+1.‎ ‎(2)分别观察各项分子与分母的规律,分子为偶数列{2n};分母为1×3,3×5,5×7,7×9,…,故所求通项公式为an=.‎ ‎(3)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,…,于是可得已知数列的通项公式为an=(-1)n+1·n(n+1).‎ ‎8.已知数列{an}的通项an=(n+1)()n(n∈N).试问该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.‎ 解:∵an+1-an ‎=(n+2)()n+1-(n+1)()n ‎=()n·,‎ ‎∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;‎ 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;‎ 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an;‎ 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>….‎ ‎∴数列{an}有最大项a9或a10,其值为10·()9,其项数为9或10.‎ 探究创新 ‎9.有一个细胞集合,在一小时里死亡两个,剩下的细胞每一个都分裂成两个,假设开始有10个细胞,问经过几个小时后,细胞的个数为1540个?‎ 解:设n小时后的细胞个数为an,依题意得an+1=2(an-2),所以an+1-4=2(an-4).‎ 又∵a1=10,∴an-4=(a1-4)·2n-1=3·2n.∴an=3·2n+4,使3·2n+4=1540.‎ ‎∴n=9.‎ ‎●思悟小结 ‎1.用归纳法依据前几项写出数列的一个通项公式,体现了由特殊到一般的思维方法,需要我们有一定的数学观察能力和分析能力,并熟知一些常见的数列的通项公式,如:数列{n2},{2n},{(-1)n},{2n},{2n-1},并了解an= 的合一形式an=a+ b.‎ ‎2.对于符号(数字、字母、运算符号、关系符号)、图形、文字所表示的数学问题,要有目的地从局部到整体多角度进行观察,从而得出结论.‎ ‎3.求数列的通项公式是本节的重点,主要掌握两种求法.‎ ‎(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式,关键是善于观察.(2)数列{an}的前n项和Sn与数列{an}的通项公式an的关系,要注意验证能否统一到一个式子中.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.要注意强调数列、数列的项、数列的通项三个概念的区别.‎ ‎2.给出数列的方法中,递推关系包含两种:一种是项和项之间的关系;另一种是项和前n项和Sn之间的关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略,Sn和an的转化,可给出数列,问题总是在一步步的转化过程中得到解决,在运用转化的方法时,一定要围绕转化目标转化.‎ ‎3.重视函数与数列的联系,重视方程思想在数列中的应用.‎ 拓展题例 ‎【例1】 已知f(x)=(+)2(x≥0),又数列{an}(an>0)中,a1=2,这个数列的前n项和的公式Sn(n∈N*)对所有大于1的自然数n都有Sn=f(Sn-1).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=(n∈N*),求证b1+b2+…+bn-n=1-.‎ 分析:由于已知条件给出的是Sn与Sn-1的函数关系,而要求的是an的通项公式,故关键是确定Sn.‎ 解:(1)∵f(x)=(+)2,∴Sn=(+)2.‎ ‎∴-=.又=,故有=+(n-1)=n,‎ 即Sn=2n2(n∈N*).‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2;‎ 当n=1时,a1=2,适合an=4n-2.‎ 因此,an=4n-2(n∈N*).‎ ‎(2)∵bn==1+-,∴b1+b2+b3+…+bn-n=1-.‎ ‎【例2】 已知数列{an}中,an∈(0,),an=+·an-12,其中n≥2,n∈N*,求证:对一切自然数n都有an<an+1成立.‎ 证明:an+1-an=+an2-an=(an-1)2-.‎ ‎∵0<an<,∴-1<an-1<-.∴<(an-1)2<.‎ ‎∴(an-1)2->0.∴an+1-an>0,即an<an+1对一切自然数n都成立.‎
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