2011-2018高考数学数列分类汇编理

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2011-2018高考数学数列分类汇编理

‎2011-2018新课标数列分类汇编 一、选择题 ‎【2012新课标】5. 已知为等比数列,,,则( D )‎ ‎ ‎ ‎【解析】,或 ‎【2013新课标1】7、设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= ( C )‎ A、3 B、4 C、5 D、6‎ ‎【解析】有题意知==0,∴=-=-(-)=-2,‎ ‎= -=3,∴公差=-=1,∴3==-,∴=5,故选C.‎ ‎【2013新课标2】3. 等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( C ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵q≠1时,S3==a1·q+10a1,∴=q+10,整理得q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=.‎ ‎【2015新课标2】4. 等比数列{an}满足a1=3, =21,则 ( B )‎ ‎(A)21 (B)42 (C)63 (D)84‎ ‎【2016新课标1】3. 已知等差数列前9项的和为27,,则( C )‎ ‎(A)100(B)99(C)98(D)97‎ ‎【解析】解法1:, ‎ ‎.‎ 解法2:,即,又,解得 ‎,‎ ‎【2017新课标1】4.记为等差数列的前项和.若,,则的公差为( C )‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎【2017新课标1】12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( A )‎ A.440 B.330 C.220 D.110‎ ‎【2017新课标2】3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( B )‎ A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 ‎【解析】设顶层灯数为,,,解得.‎ ‎【2017新课标3】9.等差数列的首项为1,公差不为0.若,,成等比数列,则前6项的和为( A )‎ A. B. C.3 D.8‎ ‎【解析】∵为等差数列,且成等比数列,设公差为.‎ 则,即 又∵,代入上式可得 又∵,则 ∴,故选A.‎ ‎【2018新课标1】4.记为等差数列的前项和.若,,则( )‎ A. B. C. D.12‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎【2012新课标】16. 数列满足,则的前项和为 1830 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎ 可证明:‎ ‎ ‎ ‎【2013新课标1】14、若数列{an}的前n项和为Sn=an+‎1‎‎3‎,则数列{an}的通项公式是an=______.‎ ‎【解析】当=1时,==,解得=1,‎ 当≥2时,==-()=,即=,‎ ‎∴{}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴=.‎ ‎【2013新课标2】16.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn 的最小值为_____-49_____.‎ ‎【解析】设数列{an}的首项为a1,公差为d,则S10==10a1+45d=0,①‎ S15==15a1+105d=25.②‎ 联立①②,得a1=-3,, 所以Sn=.‎ 令f(n)=nSn,则,.‎ 令f′(n)=0,得n=0或.‎ 当时,f′(n)>0,时,f′(n)<0,所以当时,f(n)取最小值,而n∈N+,则f(6)=-48,f(7)=-49,所以当n=7时,f(n)取最小值-49.‎ ‎【2015新课标2】16. 设是数列的前n项和,且,,则________.‎ ‎【解析】由已知得,两边同时除以,得,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以.‎ ‎【2016新课标1】15. 设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则的最大值为 64 ‎ ‎【解析】由a1+a3=10,a2+a4=5解得,,‎ ‎,所以当或4时,有最大值64‎ ‎【2017新课标2】15.等差数列的前项和为,,,则 .‎ ‎【解析】设首项为,公差为d,则,‎ 求得,,则,‎ ‎【2017新课标3】14.设等比数列满足,,则___-8_____.‎ ‎【解析】为等比数列,设公比为.‎ ‎,即,显然,,得,即,‎ 代入式可得, .‎ ‎【2018新课标1】14.记为数列的前项和.若,则________.‎ ‎【答案】-63‎ 三、解答题 ‎【2011新课标】等比数列的各项均为正数,且 ‎(1)求数列的通项公式.‎ ‎(2)设求数列的前项和.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设数列{an}的公比为q,由得所以。有条件可知a>0,故。由得,所以。故数列{an}的通项式为an=。‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ 故 ‎,‎ 数列的前n项和为 ‎【2014新课标1】17.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ为常数.( 1)证明:an+2﹣an=λ ( 2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.‎ ‎【解析】‎ ‎( 1)证明:∵anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,‎ ‎∴an+1(an+2﹣an)=λan+1∵an+1≠0, ∴an+2﹣an=λ.‎ ‎( 2)解:‎ ‎①当λ=0时,anan+1=﹣1,假设{an}为等差数列,设公差为d.则an+2﹣an=0,∴2d=0,解得d=0,∴an=an+1=1, ∴12=﹣1,矛盾,因此λ=0时{an}不为等差数列.‎ ‎②当λ≠0时,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.则λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d,∴.∴,,‎ ‎ ∴λSn=1+=,‎ 根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ=4. 此时可得,an=2n﹣1.‎ 因此存在λ=4,使得{an}为等差数列. ‎ ‎【2014新课标2】17. 已知数列满足=1,.‎ ‎(1)证明是等比数列,并求的通项公式; (2)证明:.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由得 又,所以,{ } 是首项为,公比为3的等比数列。‎ ‎=,因此{}的通项公式为=‎ ‎(2)由(1)知= 因为当n1时,所以,‎ 于是,=所以,‎ ‎【2015新课标1】17. Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0, ‎ ‎(1)求{an}的通项公式,(2)设,求数列的前n项和。‎ ‎【解析】‎ ‎【2016新课标2】17. 为等差数列的前n项和,且,.记,其中表示不超过x的最大整数,如,.‎ ‎(1)求,,; (2)求数列的前项和.‎ ‎【解析】⑴设的公差为,, ∴,∴,∴.‎ ‎∴,,.‎ ‎⑵记的前项和为,则.‎ 当时,; 当时,;‎ 当时,; 当时,.‎ ‎∴.‎ ‎【2016新课标3】17. 已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0,‎ ‎(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若S5=,求λ。‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0…………………………2分 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan,由a1≠0,λ≠0得an≠0 ‎ ‎∴= ‎ 因此{an}是首项为,公比为的等比数列,于是an=()n-1………6分 ‎(2)由(1)得Sn=1-()n,由S5=得1-()5=,即()5= ‎ 解得λ=-1………………………………………………12分 ‎【2018新课标2】17. 记为等差数列的前项和,已知,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求,并求的最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设的公差为d,由题意得.‎ 由得d=2.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)得.‎ 所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.‎ ‎【2018新课标3】17. 等比数列中,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)记为的前项和.若,求.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设的公比为,由题设得.‎ 由已知得,解得(舍去),或.‎ 故或.‎ ‎(2)若,则.由得,此方程没有正整数解.‎ 若,则.由得,解得.‎ 综上,.‎
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