浙江省高考数学试卷理科答案与解析

浙江省高考数学试卷理科答案与解析

‎2008年浙江省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）（2008•浙江）已知a是实数，是纯虚数，则a=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．﹣‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有 ‎【分析】化简复数分母为实数，复数化为a+bi（a、b是实数）明确分类即可．‎ ‎【解答】解：由是纯虚数，‎ 则且，故a=1‎ 故选A．‎ ‎【点评】本小题主要考查复数的概念．是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2008•浙江）已知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则（A∩∁UB）∪（B∩∁UA）=（　　）‎ A．∅ B．{x|x≤0} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x＞0或x≤﹣1}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 ‎【分析】由题意知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．‎ ‎【解答】解：∵U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，‎ ‎∴CuB={x|x＞﹣1}，CuA={x|x≤0}‎ ‎∴A∩CuB={x|x＞0}，B∩CuA={x|x≤﹣1}‎ ‎∴（A∩CuB）∪（B∩CuA）={x|x＞0或x≤﹣1}，‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2008•浙江）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】首先由于“a2＞b2”不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．‎ ‎【解答】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；‎ 反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．‎ ‎∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本小题主要考查充要条件相关知识．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2008•浙江）在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是（　　）‎ A．﹣15 B．85 C．﹣120 D．274‎ ‎【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题．本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）的思路来完成．‎ ‎【解答】解：含x4的项是由（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数 ‎∴展开式中含x4的项的系数是（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查利用分步计数原理和分类加法原理求出特定项的系数．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2008•浙江）在同一平面直角坐标系中，函数（x∈[0，2π]）的图象和直线的交点个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 ‎【分析】先根据诱导公式进行化简，再由x的范围求出的范围，再由正弦函数的图象可得到答案．‎ ‎【解答】解：原函数可化为：y=cos（）（x∈[0，2π]）=，x∈[0，2π]．‎ 当x∈[0，2π]时，∈[0，π]，其图象如图，‎ 与直线y=的交点个数是2个．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本小题主要考查三角函数图象的性质问题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2008•浙江）已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（　　）‎ A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C．（1﹣4﹣n） D．（1﹣2﹣n）‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．‎ ‎【解答】解：由，解得．‎ 数列{anan+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，‎ 所以，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2008•浙江）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是（　　）‎ A．3 B．5 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的定义．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先取双曲线的一条准线，然后根据题意列方程，整理即可．‎ ‎【解答】解：依题意，不妨取双曲线的右准线，‎ 则左焦点F1到右准线的距离为，‎ 右焦点F2到右准线的距离为，‎ 可得，即，‎ ‎∴双曲线的离心率．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的性质及离心率定义．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2008•浙江）若，则tanα=（　　）‎ A． B．2 C． D．﹣2‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有 ‎【分析】本小题主要考查三角函数的求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，根据切割的关系进行切割互化，得到关于正切的方程，解方程得结果．‎ ‎【解答】解：∵cosα+2sinα=﹣，‎ ‎∴cosα≠0，‎ 两边同时除以cosα得1+2tanα=﹣，‎ ‎∴（1+2tanα）2=5sec2α=5（1+tan2α），‎ ‎∴tan2α﹣4tanα+4=0，‎ ‎∴tanα=2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】同角三角函数之间的关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2008•浙江）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化．‎ ‎【解答】解：．∵，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵cosθ∈[﹣1，1]，‎ ‎∴的最大值是．‎ 故选C．‎ ‎【点评】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质，本题也可以利用数形结合，，对应的点A，B在圆x2+y2=1上，对应的点C在圆x2+y2=2上即可．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2008•浙江）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线 ‎【考点】椭圆的定义；平面与圆柱面的截线．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；转化思想．‎ ‎【分析】根据题意，因为三角形面积为定值，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，分析轴线与平面的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，‎ 因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，‎ 分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，‎ 由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查平面与圆柱面的截面性质的判断，注意截面与圆柱的轴线的不同位置时，得到的截面形状也不同．‎ ‎　‎ 二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）‎ ‎11．（4分）（2008•浙江）已知平面内三点A（2，﹣3），B（4，3），C（5，a）共线，则a=　6　‎ ‎【考点】平行向量与共线向量．菁优网版权所有 ‎【分析】利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标，将三点共线转化为两向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程求出a．‎ ‎【解答】解：‎ 由已知知 所以2（a+3）=6×3‎ 解得a=6‎ 故答案为：6‎ ‎【点评】本题考查向量坐标的求法、向量共线的坐标形式的充要条件．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2008•浙江）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=　8　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．‎ ‎【解答】解：椭圆=1的a=5，‎ 由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，‎ 则三角形ABF2的周长为4a=20，‎ 若|F2A|+|F2B|=12，‎ 则|AB|=20﹣12=8．‎ 故答案为：8‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2008•浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=　　．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．‎ ‎【解答】解：由正弦定理，知 由（b﹣c）cosA=acosC可得 ‎（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，‎ ‎∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA ‎=sin（A+C）=sinB，‎ ‎∴cosA=．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用．考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2008•浙江）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于　π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直径就是CD，求出CD，即可求出球的体积．‎ ‎【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=，‎ 由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，‎ ‎∴CD为球的直径，CD==3，∴球的半径R=，∴V球=πR3=π．‎ 故答案为：π．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球的直径，是本题的突破口，解题的重点所在，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=　1　．‎ ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】本题应先画出函数的大体图象，利用数形结合的方法寻找解题的思路．画出大体图象后不难发现函数的最大值只能在x=1或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题．‎ ‎【解答】解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，‎ 则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]‎ f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，‎ 其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得 ‎（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，‎ 解得t=1或5，‎ 当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，‎ 当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．‎ ‎（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，‎ 解得t=1或﹣3，‎ 当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，‎ 当t=1此时，f（3）=2，f（1）=2，符合条件．‎ 综上t=1时 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2008•浙江）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是　40　（用数字作答）．‎ ‎【考点】分步乘法计数原理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】欲求可组成符合条件的六位数的个数，只须利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中即可．‎ ‎【解答】解析：可分三步来做这件事：‎ 第一步：先将3、5排列，共有A22种排法；‎ 第二步：再将4、6插空排列，共有2A22种排法；‎ 第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C51种排法．‎ 由分步乘法计数原理得共有A22•2A22•C51=40（种）．‎ 答案：40‎ ‎【点评】本题考查的是分步计数原理，分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法…做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2008•浙江）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a、b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于　1　．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；图表型．‎ ‎【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有ax+by≤1”得出关于a，b的不等关系，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可．‎ ‎【解答】解：令z=ax+by，‎ ‎∵ax+by≤1恒成立，‎ 即函数z=ax+by在可行域要求的条件下，zmax≤1恒成立．‎ 当直线ax+by﹣z=0过点（1，0）或点（0，1）时，0≤a≤1，0≤b≤1．‎ 点P（a，b）形成的图形是边长为1的正方形．‎ ‎∴所求的面积S=12=1．‎ 故答案为：1‎ ‎【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分72分）‎ ‎18．（12分）（2008•浙江）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；‎ ‎（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；证明题；综合题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内的直线DG，即可证明AE∥平面DCF；‎ ‎（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角，通过二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，求出AB即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形．又ABCD为矩形，‎ 所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．‎ 因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF．‎ ‎（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．‎ 由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得 AB⊥平面BEFC，‎ 从而AH⊥EF，‎ 所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．‎ 在Rt△EFG中，因为EG=AD=．‎ 又因为CE⊥EF，所以CF=4，‎ 从而BE=CG=3．‎ 于是BH=BE•sin∠BEH=．‎ 因为AB=BH•tan∠AHB，‎ 所以当AB=时，二面角A﹣EF﹣G的大小为60°．‎ ‎【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何．‎ ‎【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用．‎ ‎【点评】本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2008•浙江）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．‎ ‎（Ⅰ）若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．‎ ‎（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；应用题；证明题；压轴题．‎ ‎【分析】（I）首先根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，列出关系式，得到白球的个数，从袋中任意摸出3个球，白球的个数为ξ，根据题意得到变量可能的取值，结合对应的事件，写出分布列和期望．‎ ‎（II）设出两种球的个数，根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，得到两个未知数之间的关系，得到白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于，得到袋中红球个数最少．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，‎ 设袋中白球的个数为x，‎ 则，‎ 得到x=5．‎ 故白球有5个．‎ 随机变量ξ的取值为0，1，2，3，‎ ‎∴分布列是 ‎∴ξ的数学期望．‎ ‎（Ⅱ）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得，‎ ‎∴2y＜n，2y≤n﹣1，‎ 故．‎ 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，‎ 则．‎ ‎∴白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．‎ 故袋中红球个数最少．‎ ‎【点评】本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）（2008•浙江）已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹，l是过点Q（﹣1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求出直线l的方程，使得为常数．‎ ‎【考点】轨迹方程；直线的一般式方程．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】（I）设N（x，y）为C上的点，进而可表示出|NP|，根据N到直线的距离和|NP|进而可得曲线C的方程．‎ ‎（II）先设，直线l：y=kx+k，进而可得B点坐标，再分别表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根据|QA|2=|QM|2﹣|AM|2求得k．‎ ‎【解答】解：（I）设N（x，y）为C上的点，则，‎ N到直线的距离为．‎ 由题设得，‎ 化简，得曲线C的方程为．‎ ‎（II）设，直线l：y=kx+k，则B（x，kx+k），从而．‎ 在Rt△QMA中，因为=，．‎ 所以，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 当k=2时，，‎ 从而所求直线l方程为2x﹣y+2=0．‎ ‎【点评】本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．‎ ‎　‎ ‎21．（15分）（2008•浙江）已知a是实数，函数 ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值．‎ ‎（i）写出g（a）的表达式；‎ ‎（ii）求a的取值范围，使得﹣6≤g（a）≤﹣2．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域[0，+∞），求出f′（x），因为a为实数，讨论a≤0，（x＞0）得到f′（x）＞0得到函数的单调递增区间；若a＞0，令f'（x）=0，得到函数驻点讨论x取值得到函数的单调区间即可．‎ ‎（Ⅱ）①讨论若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0；若0＜a＜6，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以 ‎；若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以．得到g（a）为分段函数，写出即可；②令﹣6≤g（a）≤﹣2，代到第一段上无解；若0＜a＜6，解得3≤a＜6；若a≥6，解得．则求出a的取值范围即可．‎ ‎【解答】解；（Ⅰ）解：函数的定义域为[0，+∞），（x＞0）．‎ 若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）有单调递增区间[0，+∞）．‎ 若a＞0，令f'（x）=0，得，当时，f'（x）＜0，‎ 当时，f'（x）＞0．f（x）有单调递减区间，单调递增区间．‎ ‎（Ⅱ）解：（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0．‎ 若0＜a＜6，f（x）在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以．若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，‎ 所以．‎ 综上所述，改天 ‎（ii）令﹣6≤g（a）≤﹣2．若a≤0，无解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．‎ 若a≥6，解得．故a的取值范围为．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的性质、求导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎22．（16分）（2008•浙江）已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1﹣1=an2（n∈N•）．记Sn=a1+a2+…+an．．‎ 求证：当n∈N•时，‎ ‎（Ⅰ）an＜an+1；‎ ‎（Ⅱ）Sn＞n﹣2．‎ ‎（Ⅲ）Tn＜3．‎ ‎【考点】不等式的证明；数列的求和；用数学归纳法证明不等式．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）对于n∈N•时的命题，考虑利用数学归纳法证明；‎ ‎（2）由ak+12+ak+1﹣1=ak2，对k取1，2，…，n﹣1时的式子相加得Sn，最后对Sn进行放缩即可证得．‎ ‎（3）利用放缩法由，得≤（k=2，3，…，n﹣1，n≥3），≤（a≥3），即可得出结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．‎ ‎①当n=1时，因为a2是方程x2+x﹣1=0的正根，所以a1＜a2．‎ ‎②假设当n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1，‎ 因为ak+12﹣ak2=（ak+22+ak+2﹣1）﹣（ak+12+ak+1﹣1）=（ak+2﹣ak+1）（ak+2+ak+1+1），‎ 所以ak+1＜ak+2．‎ 即当n=k+1时，an＜an+1也成立．‎ 根据①和②，可知an＜an+1对任何n∈N*都成立．‎ ‎（Ⅱ）证明：由ak+12+ak+1﹣1=ak2，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），‎ 得an2+（a2+a3+…+an）﹣（n﹣1）=a12．‎ 因为a1=0，所以Sn=n﹣1﹣an2．‎ 由an＜an+1及an+1=1+an2﹣2an+12＜1得an＜1，‎ 所以Sn＞n﹣2．‎ ‎（Ⅲ）证明：由，得：‎ ‎，‎ 所以，‎ 故当n≥3时，，‎ 又因为T1＜T2＜T3，‎ 所以Tn＜3．‎ ‎【点评】本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．‎ ‎　‎