高考文科数学试题分类汇编十数列

高考文科数学试题分类汇编十数列

十、数列 ‎（一）选择题 ‎（辽宁文）（5）若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为B ‎（A）2 （B）4 （C）8 （D）16‎ ‎（重庆文）1．在等差数列中，，＝D ‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ ‎（全国大纲文）6．设为等差数列的前n项和，若，公差为，则k=D ‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎（湖北文）9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为B ‎ A．1升 B．升 C．升 D．升 ‎（四川文）9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1 =3Sn（n ≥1），则a6=‎ ‎（A）3 ×  44 （B）3 ×  44+1 （C）44 （D）44+1‎ 答案：A 解析：由an+1 =3Sn，得an =3Sn－1（n ≥ 2），相减得an+1－an =3(Sn－Sn－1)= 3an，则an+1=4an（n ≥ 2），a1=1，a2=3，则a6= a2·44=3×44，选A．‎ ‎（安徽文）（7）若数列的通项公式是 A ‎ （A）15 （B）12 ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（7）A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题.‎ ‎【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；‎ 法二：，故.故选A.‎ ‎（陕西文）10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）‎ ‎（A）①和 （B）⑨和⑩ (C) ⑨和 (D) ⑩和 ‎【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．‎ ‎【解】选D （方法一）‎ 选项 具体分析 结论 A ‎①和：‎ 比较各个路程和可知D符合题意 B ‎⑨：‎ ‎⑩：=2000‎ C ‎：=2000‎ D ‎⑩和：路程和都是2000‎ ‎（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是 ‎，所以路程总和最小为2000米.‎ ‎（二）填空题 ‎（辽宁文）（15）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____—1________．‎ ‎（天津文）11．已知为等差数列，为其前项和，，若则的值为_______‎ ‎【答案】110‎ ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意得，，解之得，∴.‎ ‎（广东文）11．已知是递增的等比数列，若，，则此数列的公比 ．‎ ‎11．2． 或 ‎∵是递增的等比数列，∴‎ ‎（上海文）2． 。‎ ‎（北京文）（12）在等比数列中，若则公比 ；‎ ‎ .‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】：由是等比数列得，又 所以 ‎（浙江文）（17）若数列中的最大项是第项，则=_______________。‎ ‎【答案】4 ‎ ‎【解析】设最大项为第项，则有，‎ ‎∴.‎ ‎（三）解答题 ‎（安徽文）（21）（本小题满分13分）‎ 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设求数列的前项和.‎ ‎21．（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.‎ ‎ 解：（I）设构成等比数列，其中则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①×②并利用 ‎ ‎ ‎ （II）由题意和（I）中计算结果，知 ‎ 另一方面，利用 ‎ 得 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎（北京文）20．（本小题共13分）‎ ‎ 若数列满足，则称为数列，记.‎ ‎ （Ⅰ）写出一个E数列A5满足；‎ ‎ （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；‎ ‎ （Ⅲ）在的E数列中，求使得=0成立得n的最小值.‎ ‎（20）（共13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A5.‎ ‎ （答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1， —2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E的数列A5）‎ ‎ （Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以A5是首项为12，公差为1的等差数列．‎ ‎ 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011．‎ ‎ 充分性，由于a2000—a1000≤1，‎ ‎ a2000—a1000≤1‎ ‎ ……‎ ‎ a2—a1≤1‎ ‎ 所以a2000—at≤19999，即a2000≤a1+1999．‎ ‎ 又因为a1=12，a2000=2011,‎ ‎ 所以a2000=a1+1999．‎ ‎ 故是递增数列．‎ ‎ 综上，结论得证.‎ ‎ （Ⅲ）对首项为4的E数列Ak，由于 ‎ ‎ ‎……‎ ‎……‎ 所以 所以对任意的首项为4的E数列Am，若 则必有.‎ 又的E数列 所以n是最小值是9.‎ ‎（广东文）20．（本小题满分14分）‎ 设，数列满足，≥．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对于一切正整数，≤．‎ ‎20．（1）解：∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎① 当时，，则是以1为首项，1为公差的等差数列 ‎∴，即 ‎② 当且时，‎ 当时，‎ ‎∴是以为首项，为公比的等比数列 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 综上所述 ‎（2）证明：① 当时，；‎ ‎② 当且时，‎ 要证，只需证，‎ 即证 即证 即证 即证 ‎∵‎ ‎，∴原不等式成立 ‎∴对于一切正整数，≤．‎ ‎（湖南文）20．（本题满分13分）‎ 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．‎ ‎（I）求第n年初M的价值的表达式；‎ ‎（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．‎ 解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．‎ ‎ ‎ 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 ‎ ‎ 因此，第年初，M的价值的表达式为 ‎(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 当时，‎ 当时，‎ 因为是递减数列，所以是递减数列，又 所以须在第9年初对M更新．‎ ‎（天津文）20．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知数列满足 ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）设，证明是等比数列；‎ ‎ （Ⅲ）设为的前项和，证明 ‎（20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。‎ ‎ （Ⅰ）解：由，可得 ‎ 又，‎ ‎ 当 ‎ 当 ‎ （Ⅱ）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ②-①，得 ‎ 所以是等比数列。‎ ‎ （Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故对任意 ‎ 由①得 ‎ 因此，‎ ‎ 于是，‎ ‎ 故 ‎（浙江文）（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对，试比较与的大小．‎ ‎（19）本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分14分。‎ ‎ （Ⅰ）解：设等差数列的公差为，由题意可知 ‎ 即，从而 ‎ 因为 ‎ 故通项公式 ‎ （Ⅱ）解：记 ‎ 所以 ‎ 从而，当时，；当 ‎（四川文）20．（本小题共12分）‎ 已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和．‎ ‎（Ⅰ）当、、成等差数列时，求q的值；‎ ‎（Ⅱ）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、、也成等差数列．‎ 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．‎ 解：（Ⅰ）由已知，，因此，，．‎ 当、、成等差数列时，，可得．‎ 化简得．解得．‎ ‎（Ⅱ）若，则的每项，此时、、显然成等差数列．‎ 若，由、、成等差数列可得，即．‎ 整理得．因此，．‎ 所以，、、也成等差数列．‎ ‎（山东文）20.（本小题满分12分）‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）因为=, 所以 ‎=-=-=‎ ‎-,所以=-=-.‎ ‎（福建文）17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若数列{an}的前k项和=-35，求k的值．‎ ‎17．本小题主要考查等差数列的基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分12分。‎ ‎ 解：（I）设等差数列的公差为d，则 ‎ 由 ‎ 解得d=-2。‎ 从而，‎ ‎（II）由（I）可知，‎ 所以 进而由 即，解得 又为所求。‎ ‎（湖北文）17．（本小题满分12分）‎ ‎ 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、。‎ ‎（I） 求数列的通项公式；‎ ‎（II） 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。‎ ‎17．本小题主要考查等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力。（满分12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为 ‎ 依题意，得 ‎ 所以中的依次为 ‎ 依题意，有（舍去）‎ ‎ 故的第3项为5，公比为2。‎ ‎ 由 ‎ 所以是以为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为 ‎ （Ⅱ）数列的前项和，即 ‎ 所以 ‎ 因此为首项，公比为2的等比数列。‎ ‎（全国大纲文）17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设等比数列的前n项和为,已知求和 ‎17．解：设的公比为q，由题设得 ‎ …………3分 解得 …………6分 当 当 …………10分 ‎（全国新课标文）（17）（本小题满分12分）‎ 已知等比数列中，，公比．‎ ‎（I）为的前n项和，证明：‎ ‎（II）设，求数列的通项公式．‎ ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）因为 所以 ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的通项公式为 ‎（上海文）23．（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 ‎。‎ ‎（1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；‎ ‎（2）中有多少项不是数列中的项？说明理由；‎ ‎（3）求数列的前项和（）。‎ ‎23．解：⑴ 三项分别为。‎ ‎⑵ 分别为 ‎⑶ ，，，‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 。‎ ‎。‎ ‎（重庆文）16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）‎ 设是公比为正数的等比数列，，。‎ ‎ （Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。‎ ‎16．（本题13分）‎ 解：（I）设q为等比数列的公比，则由，‎ 即，解得（舍去），因此 所以的通项为 ‎ （II）‎ ‎ ‎