走向高考2013高三数学人教A版总复习同步练习73简单的线性规划问题
7-3简单的线性规划问题
基础巩固强化
1.(文)在平面直角坐标系中，若点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方，则t的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(0,2)
[答案] C
[解析] ∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方⇔3t－2－2t＋4>0，∴t>－2.
[点评] 可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0⇔点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0⇔点P在直线下方．
(理)若2x＋4y<4，则点(x，y)必在( )
A．直线x＋y－2＝0的左下方
B．直线x＋y－2＝0的右上方
C．直线x＋2y－2＝0的右上方
D．直线x＋2y－2＝0的左下方
[答案] D
[解析] ∵2x＋4y≥2，由条件2x＋4y<4知，
2<4，∴x＋2y<2，即x＋2y－2<0，故选D.
2．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )
A．95 B．91 C．88 D．75
[答案] B
[解析] 由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；
y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；
y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；
y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；
y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；
y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.
∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．
3．(2011·天津文，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( )
A．－4 B．0
C. D．4
[答案] D
[解析]
该线性约束条件所代表的平面区域如图，易解得A(1,3)，B(1，)，C(2,2)，由z＝3x－y得y＝3x－z，由图可知当x＝2，y＝2时，z取得最大值，即z最大＝3×2－2＝4.故选D.
4．(文)(2011·安徽示范高中皖北协作区联考)已知x，y满足不等式组目标函数z＝ax＋y只在点(1,1)处取最小值，则有( )
A．a>1 B．a>－1
C．a<1 D．a<－1
[答案] D
[解析] 作出可行域如图阴影部分所示．
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
只在点(1,1)处z取得最小值，则斜率－a>1，
故a<－1，故选D.
(理)(2011·宝鸡质检)已知约束条件若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为( )
A．0
D．0－3，∴a>.
5．(文)设不等式组所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.
C．3 D.
[答案] B
[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，
位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB|的最大值是，选B.
(理)(2012·内蒙古包头模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为( )
A．－1 B．0 C．3 D．4
[答案] C
[解析] 作出可行域如图，作直线l0：2x－y＝0，平移l0当平移到经过点A(2,1)时，zmax＝3.
6．(2011·兰州模拟)设O为坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)满足不等式组则使·取得最大值的点N的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．无数个
[答案] D
[分析] 点N(x，y)在不等式表示的平面区域之内，U＝·为x，y的一次表达式，则问题即是当点N在平面区域内变化时，求U取到最大值时，点N的个数．
[解析] 如图所示，可行域为图中阴影部分，而·＝2x＋y，所以目标函数为z＝2x＋y，作出直线l：2x＋y＝0，显然它与直线2x＋y－12＝0平行，平移直线l到直线2x＋y－12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x＋y－12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.
7．(文)(2012·内蒙包头模拟)已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，点P(x，y)∈S，则z＝2x＋y的最大值为________．
[答案] 6
[解析] 由题意知∴a＝2，
易得z＝2x＋y的最大值为6.
(理)若由不等式组(n>0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m＝________.
[答案] －
[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x轴上，
∴OA为外接圆的直径，
∴直线x＝my＋n与x－y＝0垂直，
∴×＝－1，即m＝－.
8．(2011·浏阳模拟)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋y的最大值为________．
[答案] 11
[解析]
如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z＝4x＋y在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.
9．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
[答案] 15
[解析] 设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为：
目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：zmin＝3×1＋6×2＝15.
10．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？
[解析] 设稳健型投资x份，进取型投资y份，利润总额为z(单位：10万元，则目标函数为z＝x＋1.5y(单位：10万元)，线性约束条件为：
即
作出可行域如图，解方程组
得交点M(4,2)，作直线l0：x＋1.5y＝0，平移l0，当平移后的直线过点M时，z取最大值：zmax＝(4＋3)×10万元＝70万元．
答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多.
能力拓展提升
11.(文)(2012·福建文，10)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1
C. D．2
[答案] B
[解析] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．
由约束条件作出其可行域，如图
由图可知当直线x＝m过点P时，m取得最大值，
由得，∴P(1,2)，此时x＝m＝1.
[点评] 对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路．
(理)(2011·重庆一诊)设实数x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D．4
[答案] A
[解析] 由可行域可得，当x＝4，y＝6时，目标函数z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即＋＝1，
∴＋＝(＋)·(＋)＝＋＋≥＋2＝，故选A.
12．(文)(2012·石家庄二检)已知动点P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k值为 ( )
A. B.
C. D．4
[答案] A
[解析] 由题可知，当x＝0时，z＝kx＋y＝y，因此要使目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y轴上的截距最大．由目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx＋y＝0的倾斜角为120°，于是有－k＝tan120°＝－，k＝，选A.
(理)(2012·辽宁文，9)设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为( )
A．20 B．35
C．45 D．55
[答案] D
[解析] 本题考查线性规划的知识．
作出可行域如图所示：
令z＝2x＋3y，则y＝－x＋z.
要使z取得最大值，
需直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，移动l0：y＝－x
当l0过点C(5,15)时，z取最大值zmax＝55.
解线性规划问题，准确作出可行域是关键，同时还要注意目标函数z＝2x＋3y与z＝2x－3y最优解是不同的．
13．(文)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3t，B原料2t；生产每吨乙产品要用A原料1t，B原料3t，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13t，B原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
[答案] D
[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为xt，yt，
由题意得
获利润ω＝5x＋3y，画出可行域如图，
由解得A(3,4)．
∵－3<－<－，
∴当直线5x＋3y＝ω经过A点时，ωmax＝27.
(理)(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，某天需送往A地至少72t的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )
A．4650元 B．4700元
C．4900元 D．5000元
[答案] C
[解析] 设该公司派甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得
利润z＝450x＋350y，可行域如图所示．
解得A(7,5)．
当直线350y＋450x＝z过A(7,5)时z取最大值，
∴zmax＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.
14．(2012·乌鲁木齐二诊)设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．[2,4] D．[2，＋∞)
[答案] D
[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a2≥4，
∴a≥2或a≤－2，又a>0且a≠1，∴a≥2.
15．(文)某单位投资生产A产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A、B两种产品，那么分别生产A、B两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
[解析] 设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，共获得利润S百万元，则目标函数为S＝3x＋2y.
作出可行域如图，
由解得直线2x＋y＝9和2x＋3y＝14的交点为A，平移直线y＝－x＋，当它经过点A时，直线y＝－x＋在y轴上截距最大，S也最大．此时，S＝3×＋2×＝14.75.
因此，生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元．
(理)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？
[解析] (1)依题意得，
解得
故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.
(2)依题意得x、y应满足的约束条件为
且z＝0.65x＋0.4y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．
作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．
解方程组得x＝2，y＝3.
故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.
16．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
[解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为：
整理得
目标函数为W＝2x＋3y＋300，
如图所示，作出可行域．
初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，W有最大值，由得
最优解为A(50,50)，所以Wmax＝550(元)．
答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．
1．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A. B.
C. D．2
[答案] B
[解析] 不等式组的图形如图．
解得：A(0,1) D(0，－1) B(－1，－2) C(，－)
S△ABC＝×|AD|×|xC－xB|＝×2×(＋1)
＝，故选B.
2．已知a，b∈R＋，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ∵a，b∈R＋，a＋b＝1，∴00，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．[1,3] B．[2，]
C．[2,9] D．[，9]
[答案] C
[解析] 作出不等式表示的平面区域如图，由得A(1,9)，由得B(3,8)，当函数y＝ax过点A时，a＝9，过点B时，a＝2，∴要使y＝ax的图象经过区域M，应有2≤a≤9.
5．(2012·河南洛阳市模拟)设变量x，y满足约束条件其中a>1，若目标函数z＝x＋y的最大值为4，则a的值为________．
[答案] 2
[解析]
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵y＝－x＋z，∴欲使z最大，只需使直线y＝－x＋z的纵截距最大，∵a>1，∴直线x＋ay＝7的斜率大于－1，故当直线y＝－x＋z经过直线y＝3x与直线x＋ay＝7的交点(，)时，目标函数z
取得最大值，最大值为.由题意得＝4，解得a＝2.
6．(2012·太原部分重点中学联考)设实数x，y满足不等式组且x2＋y2的最小值为m，当9≤m≤25时，实数k的取值范围是( )
A．(－2,5) B．[－2,5]
C．(－2,5] D．(0,5]
[答案] B
[解析]
不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x2＋y2的最小值m即为|OA|2，
联立，得A(，)．
由题知9≤()2＋()2≤25，解得－2≤k≤5.
7．(2012·山西大同调研)设变量x、y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．－2 B．4
C．6 D．8
[答案] C
[解析]
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(3,0)时，相应的直线在x轴上的截距最大，此时z＝2x＋y取得最大值，最大值是6，故选C.
8．某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
[解析] 设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，
则x，y满足且z＝200x＋150y.
约束条件可化简为：
可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l：200x＋150y＝0，即直线l：4x＋3y＝0把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过点B，且与原点的距离最大，此时z＝200x＋150y取得最大值．
解方程组得到B(，)．
由于点B的坐标不是整数，而最优解(x，y)中的x，y必须都是整数，所以，可行域内的点B(，)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z取最大值1800元．
于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．
[点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．
