高考数学静悟材料文科
2013年高考数学三轮复习静悟材料（文）
教师赠言：同学们，高考临近，我们应该认真的去做好哪些准备工作呢？首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要通过多次仿真高考模拟训练，掌握一些的应试技巧。因此我们在教学中注意积累所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和解题规律进行了总结，并按章节进行了系统的整理，现在印发给你们，希望同学们作为复习中的重要材料，认真阅读和使用。它能助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
第一部分 集合、函数与导数
一、重要知识、技能技巧
㈠.集合与简易逻辑：
集合：⑴概念、表示、方法元素、集合之间的关系
⑵集合的运算：交、并、补、数轴、Venn图、函数图象、不等式解集
⑶集合的性质、确定性、互异性、无序性
注：集合运算时，不要忽略空集
例题：已知A={x|}，B={x|}，若AB，求实数m的取值范围．
【错解】AB，解得：
【分析】忽略A=的情况.
【正解】（1）A≠时，AB，解得：；
（2）A= 时，，得.
综上所述，m的取值范围是（,
简易逻辑：
⑴逻辑联结词与四种命题
①且、或、否可理解为与交、并、补对应.
②非p即p是对p的否定，而p的否命题，则是否定条件，否定结论.
例：p：如果x=1，那么x2－1=0；则p：如果x=1，那么x2－1≠0.
而命题p的否命题是：如果x≠1，那么x2－1≠0.
③原命题和它的逆否命题、逆命题与否命题都互为逆否命题，互为逆否的两个命题真假性一致。
⑵充要条件：理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。学会利用集合间的包含关系，解决相应问题（若,则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件）
㈡.函数：
1.函数三要素：
⑴定义域：
注意：解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点.
⑵对应关系：用待定系数、换元法、构造方程组法等求函数解析式
⑶函数值域、最值的常用解法：
①观察法；②二次函数；③基本不等式法；⑹单调函数法；
⑺数形结合法；⑻换元法；⑼导数法.
2.函数的性质：
⑴函数奇偶性
判断方法：
①定义法：注：
②图象：奇函数关于原点对称；偶函数关于y轴对称
常用结论：①如果f(x)是奇函数且在x=0有定义，则f(0)=0；
②常数函数f(x)=0定义域(－l,l)既是奇函数也是偶函数；
③偶函数的和、差、积、商是偶函数；奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；奇函数和偶函数的积、商是奇函数。
⑵函数单调性
判断方法：①定义法；
②导数法；
③结论法（一般用于选择填空）：奇偶函数在对称区间上的单调性；复合函数的单调性（同增异减）；常见函数的单调性（如y=x+,a∈R）.
⑶函数周期性
判断方法：定义：f(x)=f(x+a)对定义域中任意x总成立,则为周期函数，T=a.
几个常见结论：①若f(x+a)=f(x－a)，则为周期函数，T=2a.
②若f(x+a)=－，则为周期函数，T=2a.
③若f(x)图象关于x=a及x=b对称，a≠b，则为周期函数，T=2(b－a).
④若f(x)图象关于x=a及点(b,c) (b≠a)对称，则为周期函数，T=4(b－a).
⑷函数图象的对称性
①若f(a+x)=f(a－x)或f(x)=f(2a－x)，则f(x)图象关于x=a对称，特别地f(x)=f(－x)则关于x=0对称.
②若f(a+x)=-f(a－x)或f(x)=-f(2a－x)，则f(x)图象关于对称，特别地f(x)=f(－x)则关于对称.
③y=f(x)与y=f(－x)关于y轴对称；y=f(x)与y=－f(x)关于x轴对称；y=f(x)与y=－f(－x)关于(0,0)对称.
④函数y=f(x)与函数y=f(2m－x)关于x=m对称；函数y=f(x)与函数y=-f(2m－x)关于(m,0)对称.
⑸函数图象变换
①平移变换：
函数y＝f（x）的图象向右平移a个单位得到函数y＝f（x - a）的图象；
向上平移b个单位得到函数y ＝f（x）+ b的图象；
左平移a个单位得到函数y＝f（x+ a）的图象；
向下平移b个单位得到函数y＝f（x）-b的图象（a ，b＞0）。
②伸缩变换：
函数y＝f（x）的图象上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍（0＜k＜1时，缩短；k＞1时，伸长）得到函数y＝kf（x）的图象；
函数y＝f（x）的图象上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍（0＜k＜1时，伸；k＞1时，缩）得到函数y＝f（kx）的图象 （k＞0，且 k ≠1）。
③对称变换：函数y＝f（x）的图象关于y轴对称的图象为y＝f（－x）；关于x轴对称的图象为y＝－f（x）；关于原点对称的图象为y＝－f（－x）。
④翻折变换：
①函数y＝f（x）在x轴及其上方的图象保持不变，把下方图象关于x轴对称的翻折到上方，再把下方的图象去掉得到函数y＝|f（x）|的图象；
②函数y＝f（x）y轴及其右侧的图象保持不变，把左侧图象去掉，再把右侧图象关于y轴对称的翻折到左侧得到函数y＝f（| x|）的图象；
3.初等函数和抽象函数
⑴一次、二次函数：要熟练掌握和一次、二次函数有关的方程不等式等问题，并能结合函数的图象进行分类讨论；结合图象探索综合题的解题切入点。
⑵指数对数函数：
指数与对数的运算
⑴对数恒等式 a=x (a>0且a≠1,x>0).
⑵对数运算性质（M>0，N>0，p∈Q）
①loga(MN)=logaM+logaN；②loga=logaM－logaN；③logaNp=plogaN.
函数图象与性质：理解函数的单调性、定点、定义域、值域等性质；了解与（a>0且a≠1）互为反函数。
⑶幂函数：结合函数的图象，了解它们的变化情况
⑷抽象函数：要用广义的定义、性质、定理去处理，不能用具体函数去论证.
二.易错点提示
⑴多变量问题注意主元与辅助元的转换
如 p∈(,4)时，不等式px+1>2x－p恒成立，可看成关于p的函数g(p)=(x+1)p+1－2x>0，在(,4)
上恒成立（等号不同时取）
⑵单调函数要与区间对应.
⑶关于范围的结论的书写注意端点的“开闭”：如y=单调区间(－∞,a),(a,+∞)
⑷图象信息题注意观察:对称性、特殊点、升降情况、图象位置、变化率、最高、最低点等.
⑸复合函数要注意定义域的作用
如求y=log2(x2－3x+2)的单调区间，已知f(x+)=x2+，求f(x)均须考虑定义域.
⑹函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，函数的零点定理是解决“变号零点”。
㈢导数
1、导数的定义：f′(x0)=.
2、导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0),切线方程为y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)
注：区分“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线”；
前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。
[举例]求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程
解析：易见O（0，0）在函数y=x3-3x2+x的图象上，y’=3x2－6x+1,但O点未必是切点。
设切点A（x0,y0）∵y’=3x2－6x+1, ∴切线斜率为3x02－6x0+1,又切线过原点，∴=3x02－6x0+1即：y0=3x03－6x02+x0 ①
又∵切点A（x0,y0）y=x3-3x2+x的图象上∴y0=x03－3x02+x0 ②
由①②得：x0 =0或x0 =，∴切线方程为：y=x或5x+4y=0
[巩固] 曲线上过点的切线方程是．
[巩固答案]，或
3、常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算公式：
（为常数）;
·法则1：
·法则2：
·法则3：
4、导数的应用及易错点提示
⑴利用导数判断函数的单调性
基本步骤如下：
①求定义域；
②求函数f(x)的导数f′(x)；
③由f′(x)>0，解函数f(x)的单调增区间；由f′(x)<0，解函数f(x)得单调减区间.
注：若已知函数单调性，求参数取值范围，则必须使用不等式
例题:已知函数在R上是减函数，求a的取值范围。
错解：求函数的导数，当时，是减函数，则故，解得
错因分析：是在上单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如在R上递减，但。
正解：求函数的导数
若是减函数，则故，解得
⑵利用导数求函数的极值
①极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0左右近旁的所有x值，都有f(x)
f(x0), 我们就说f(x0)是f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)。 极大值、极小值统称为f(x)的极值.
注：一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或等于极大值)；极值是函数的局部性质，它仅与左右近旁的函数值进行比较；极值点一定是区间的内点。可导函数导数为零的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件。
②求函数的极值的步骤：
求函数的定义域求导数f′(x)求导数f′(x)=0的根列表，下结论.
注：“极值点”不是“点”，而是方程的根。是函数极值点则；但是，未必是极值点（还要求函数在左右两侧的单调性相反）；若 （或）恒成立，则函数无极值。
⑶利用导数求函数的最大值与最小值
①求闭区间[a,b]上的连续函数f(x)的最大值和最小值的步骤：
求f(x)在(a,b)内的极值将f(x)的各极值与端点函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值.
②如果函数f(x)在开区间(a,b)或(－∞,+∞)内可导且有惟一的极值点x0，那么当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值.
四、典题训练:
一、选择题：
1.设集合，则
A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}
2.已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a1 B．10，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是
A.0 B.1 C.2 D.3
x
y
17.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
x
y
x
y
x
y
A B
C D
18.若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________.
19．知与是定义在R上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A、0是的极大值，也是的极大值
B、0是的极小值，也是的极小值
C、0是的极大值，但不是的极值
D、0是的极小值，但不是的极值
20.的单调增区间是
21.线，则曲线上到直线距离最近的点的坐标是
22已知在处取得极值，
（1）求的值
（2）若对时，恒成立，求了取值范围
第二部分 三角函数与平面向量
一、重要知识、技能技巧
三角函数：
1． ⑴角度制与弧度制的互化：
弧度，弧度，弧度
⑵弧长公式：；扇形面积公式：。
2．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P,设则：
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）
4．诱导公式：
, (为奇数)
记忆规律:“分变整不变，符号看象限”
如,.
5.同角三角函数的基本关系：
6.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①；
；
.
②=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ).
特别:
7二倍角公式：
①.
②（升幂公式）.
（降幂公式）.
③
8．三角函数：
函 数
图象
作图：五点法
作图：五点法
作图：三点二线
定义域
（－∞，＋∞）
（－∞，＋∞）
值域
［－1，1］
［－1，1］
（－∞，＋∞）
最值
当x＝2kπ＋,ymax=1
极大
；
当x＝2kπ＋ymin=-1
当x＝2kπ,ymax＝1；
当x＝2kπ＋π,
ymin＝－1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
T
2π
2π
π
单调性
递增
递减
递增
递减
递增
对称轴
没有对称轴
对称中心
9 常用角的三角函数
0
sin
0
1
0
cos
1
0
0
tg
0
1
不存在
0
不存在
10正弦型函数的性质及研究思路：
① 最小正周期，值域为.
② 五点法图：把“”看成一个整体，取时的五个自变量值，相应的函数值为，描出五个关键点，得到一个周期内的图象.
③ 三角函数图象变换路线：. 或：
.
④ 单调性：的增区间，把“”代入到增区间，即求解.
⑤求闭区间上的最值:由的取值范围求出的取值范围,然后看在的取值范围上的最值分别是什么,此最值即为在闭区间上的最值
⑥对称轴：令，得
对称中心：由得；
⑦求解析式
第一步:由最大(小)值求A
第二步:由最小正周期求
第三步:确定.方法:代入法或者五点法.
⑧整体思想：把“”看成一个整体，代入与的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.
11．正、余弦定理：
⑴正弦定理： （是外接圆直径 ）
⑵余弦定理：；。
平面向量：
1.平面向量线性运算：
加法：三角形法则：首尾相接
平行四边形法则：起点重合
减法：三角形法则：起点重合连终点，方向指向被减向量
数乘：共线基本定理
2.向量的平行与垂直： 设=,=，且，则：
①∥=λ；
② ()·=0.
3.·=||||cos<,>=xx2+y1y2；
4.cos<,>=；
5.平面向量的坐标运算:设=,=，
①+=.②-=.③=.
6.设A，B,则.
二.易错点提示
1．先将函数y=sin2x的图象向右平移
个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ D ）
A．y=sin(－2x+) B． y=sin(－2x－)
C．y=sin(－2x+ ) D． y=sin(－2x－)
错解：B 错因：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度时，写成了
2.零向量与任何向量的数量积等于0，故平行向量不具有传递性即.
3.平面向量数量积的消去律不成立，即若是非零向量，且并不能得到，只可得到、在上的投影相等.
例题：例如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是______
（答：（4）（5））
四.典题训练:
1.向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积= ___________。
2.知向量，，则=_____________________.
3.知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．4
4.面向量与的夹角为， ，则（ ）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ）4 （Ｄ）12
5.关于函数有下列命题，y=f(x)图象关于直线对称 y=f(x)的表达式可改写为 y=f(x)的图象关于点对称 由必是的整数倍。其中正确命题的序号是。
6．设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是_____
7.已知向量.
（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)的单调减区间；
（3）画出函数的图象，由图象研究并写出的对称轴和对称中心.
8．设函数（其中）．且的图象在
轴右侧的第一个最高点的横坐标是．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值．
9．已知定义在区间[-p，] 上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，当xÎ[-，]时，函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0, w>0,-0
8．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）
①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）
①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）
①相离；②外切；③相交；④内切；⑤内含。
圆锥曲线
1． ⑴椭圆：①定义：；
②椭圆标准方程：和。
③椭圆的焦点坐标是,离心率是，其中。
⑵双曲线：①定义：；
②双曲线标准方程：和。
③双曲线的焦点坐标是，离心率是渐近线方程是。其中。
⑶抛物线：①定义：|MF|=d
②抛物线标准方程：
③抛物线的焦点坐标是：，准线方程是：。
抛物线上点到抛物线的焦点的距离是：
1． 有用的结论 ：⑴若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 :
⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆；时表示双曲线）；
⑶共渐进线,的双曲线标准方程可设为为参数，≠0）；
典题训练:
直线：
1.若直线过点，,则此直线的倾斜角是（ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
2. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是
A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）
3. 直线的位置关系是
（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定
4.已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（ ）
（A）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0
5．下列说法的正确的是 （ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程
表示
6．若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7.已知点和则过点且与A,B的距离相等的直线方程为.
8．过点Ｐ（１，２）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是.
9．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是.
10．原点Ｏ在直线l上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线l的方程为.
11．直线的倾斜角的范围是_
12.如果实数满足，则的最大值________
圆
１ 、过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）
２、所表示的曲线是圆的充要条件是（ ）
3、已知一圆的圆心为(2,－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
4、当为任意实数时，直线恒过定点，若以为圆心，半径为的圆的方程为（）
5若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为
(A)-2或2 (B) (C)2或0 (D)-2或0
6、已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
7、若实数满足，则的最小值为。
8、已知两圆和，则它们的公共弦长为 .
9、直线被圆所截得的线段的中点坐标是
10、光线从点射到直线以后，再反射到一点．这条光线从到的长度
11、圆的圆心到直线的距离。
12、直线与圆相交于A、B两点，则.
13、直线与圆恒有公共点,则m的取值范围_______________
椭圆
1． 椭圆的离心率为，则=
2． 已知椭圆（>0,>0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若
BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为。
3．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为.
5．P为直线x-y+2=0上任一点，一椭圆的两焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），则椭圆过P点且长轴最短时的方程为。
6．已知焦点在轴上的椭圆F1,F2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则的取值范围是。
7．椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是________。
8．已知P是椭圆上一点，F1和F2是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B． C． D．4
9．若动点（）在曲线上变化，则的最大值为 （ ）
A． B．
C． D．2
双曲线
1．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
A． B． C． D．
2．设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若
，|PF1|=6，则该双曲线的方程为
3．过双曲线2x2-y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有条。
4．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．与双曲线有共同渐近线，且过的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是：（ ） A． B． C． D．
6．曲线C：与直线y=kx+1有两个不同的公共点，则k的取值范围是。
X
Y
F1
F2
Q
M
P
O
7． 设双曲线（a，b＞0）两焦点
为F1、、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过
焦点F2作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M
点轨迹是（ ）
A．椭圆的一部分； B．双曲线的一部分；
C．抛物线的一部分； D．圆的一部分
8．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
抛物线
1．抛物线的准线方程为，则的值为
（A） （B） （C） （D）
2．]若椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ：
3．AB是抛物线的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是（ ）
A．2 B． C． D．
4．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是：（ ）
A．[-，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
5．如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线
上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.则△APB的重心G的轨迹方程为.
6．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .
7．过抛物线上一定点P（）（）作两条直线分别交抛物线于A（），B（），若PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，则= 。
