2008-2016江苏高考数学试卷纵向分类汇总解析版电子稿
2008—2016 江苏高考数学试卷纵向分类汇总
目 录
集合与简易逻辑……………………………………………………………………..02
函 数……………………………………………………………………..05
三 角 函 数………………………………………………………………………33
平 面 向 量………………………………………………………………………42
数 列……………………………………………………………………..46
不 等 式……………………………………………………………………..59
立 体 几 何……………………………………………………………………..63
直 线 与 圆……………………………………………………………………..75
圆 锥 曲 线……………………………………………………………………..82
概 率 统 计……………………………………………………………………..94
算 法 初 步…………………………………………………………………….101
复 数…………………………………………………………………….105
排列组合二项式…………………………………………………………………….107
数 学 归 纳 法…………………………………………………………………….110
选 做 题…………………………………………………………………….114
一、集合与简易逻辑
（一）填空题
1、（2008 江苏卷 4）A= 2
1 3 7x x x ，则 A Z 的元素的个数 ．
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由 2
1 3 7x x 得 2 5 8 0x x ,
∵Δ＜0，∴集合 A 为 ，因此 A Z 的元素不存在．
2、（2009 江苏卷 11）已知集合 2log 2 , ( , )A x x B a ，若 A B 则实数 a 的取值
范围是 ( , )c ，其中 c = .
【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 a>4，c=4
3、（2010 江苏卷 1）设集合 A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数 a=___________.
【解析】考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.
4、（2011 苏卷 1）已知集合 { 1,1,2,4}, { 1,0,2},A B 则 _______, BA
【解析】 考查集合的交集运算，答案： 1－ ，2
5、（2011 苏卷 14）设集合 },,)2(2|),{( 222 RyxmyxmyxA ,
},,122|),{( RyxmyxmyxB , 若 , BA 则实数 m 的取值范围是
______________
【解析】当 0m 时，集合 A 是以（2，0）为圆心，以 m 为半径的圆，集合 B 是在两条平行
线之间，（2，0）在直线的上方 2 2 1 2(1 2) 022
m m m d r ，又因为
,A B 此时无解；
当 0m 时，集合 A 是以（2，0）为圆心，以
2
m 和 m 为半径的圆环，集合 B 是在两条平行
线之间，必有当 12 1 2, 2m m 时,只要, 2 2 1 2 11 2 22
m m m .
当 2 2, 1m m 时, 只要, 2 2 1 2 2
2
m m m
当 12 2,2 1 2 12m m m 时,一定符合 ,A B
又因为 A , 2m 1, 2 22 2m m .
本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线
的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式，及其综合能力.本题属难题.
6．（2012 江苏卷 1）已知集合 {1 2 4}A ， ， ， {2 4 6}B ， ， ，则 A B ．
【答案】 6,4,2,1
【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合 A 和集合 B 的元素组成的
集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ， 2 ， 4 ， 6 ，所以答案为 6,4,2,1 .
【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.
属于基本题，难度系数较小.
7．（2013 江苏卷 4）集合 }1,0,1{ 共有 个子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
8.（2014 江苏卷 1）已知集合 A={ 4,3,1,2 }， }3,2,1{B ，则 BA ▲ .
【答案】{ 1,3}
【解析】由题意得 { 1,3}A B ．
【考点】集合的运算
9.（2015 江苏卷 1）已知集合 3,2,1A ， 5,4,2B ，则集合 BA 中元素的
个数为_______.
【答案】5
【解析】
试题分析： {1 2 3} {2 4 5} {1 2 3 4 5}5A B ，， ，， ，，，，，个元素
考点：集合运算
10. （ 2016 江 苏 卷 1 ） 已 知 集 合 { 1,2,3,6}, { | 2 3},A B x x 则
=A B ________▲________.
【答案】 1,2
【解析】
开始
0n
1 nn
202 n
输出 n
结束
（第 3 题）
N
Y
试题分析： 1,2,3,6 2 3 1,2A B x x ．故答案应填： 1,2 ，
考点：集合运算
二、函数
（一）填空题
1、（2008 江苏卷 8）直线 1
2y x b 是曲线 ln 0y x x 的一条切线，则实数 b＝ ．
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ' 1y x
，令 1 1
2x
得 2x ，故切点（2，
ln2），代入直线方程，得，所以 b＝ln2－1．
2、（2008江苏卷14） 3 3 1f x ax x 对于 1,1x 总有 f x ≥0 成立，则 a = ．
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若 x＝0，则不论 a 取何值， f x ≥0 显然成立；
当 x＞0 即 1,1x 时， 3 3 1f x ax x ≥0 可化为， 2 3
3 1a x x
设 2 3
3 1g x x x
，则 '
4
3 1 2xg x x
， 所以 g x 在区间 10, 2
上单调递增，在区间
1 ,12
上单调递减，因此 max
1 42g x g
，从而 a ≥4；
当 x＜0 即 1,0 时， 3 3 1f x ax x ≥0 可化为 a 2 3
3 1
x x
， '
4
3 1 2xg x x
0
g x 在区间 1,0 上单调递增，因此 ma 1 4ng x g ，从而 a ≤4，综上 a ＝4
3、（2009 江苏卷 3）函数 3 2( ) 15 33 6f x x x x 的单调减区间为 .
【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
2( ) 3 30 33 3( 11)( 1)f x x x x x ，
由( 11)( 1) 0x x 得单调减区间为 ( 1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
4、（2009 江苏卷 9）在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 在曲线 3: 10 3C y x x 上，且在第
二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 .
【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。
23 10 2 2y x x ，又点 P 在第二象限内， 2x 点 P 的坐标为（-2，15）
5、（2009 江苏卷 10）已知 5 1
2a ，函数 ( ) xf x a ，若实数 m 、n 满足 ( ) ( )f m f n ，
则 m 、 n 的大小关系为 .
【解析】考查指数函数的单调性。
5 1 (0,1)2a ，函数 ( ) xf x a 在 R 上递减。由 ( ) ( )f m f n 得：m
0,得：
2 23 2 3 2( )( ) 03 3
a a a ax x
x a
讨论得：当 2 6( , )2 2a 时，解集为 ( , )a ;
当 6 2( , )2 2a 时，解集为
2 23 2 3 2( , ] [ , )3 3
a a a aa ;
当 2 2[ , ]2 2a 时，解集为
23 2[ , )3
a a .
4、（2010 江苏卷 20）（本小题满分 16 分）
设 )(xf 是定义在区间 ),1( 上的函数，其导函数为 )(' xf 。如果存在实数 a 和函数
)(xh ，其中 )(xh 对任意的 ),1( x 都有 )(xh >0，使得 )1)(()(' 2 axxxhxf ，则称函
数 )(xf 具有性质 )(aP 。
(1)设函数 )(xf 2ln ( 1)1
bx xx
，其中b 为实数。
(i)求证：函数 )(xf 具有性质 )(bP ； (ii)求函数 )(xf 的单调区间。
(2)已知函数 )(xg 具有性质 )2(P 。给定 1 2 1 2, (1, ), ,x x x x 设 m 为实数，
21 )1( xmmx ， 21)1( mxxm ，且 1,1 ，
若| )()( gg |<| )()( 21 xgxg |，求 m 的取值范围。
【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结
合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。
（1）(i) '( )f x 2
2 2
1 2 1 ( 1)( 1) ( 1)
b x bxx x x x
∵ 1x 时， 2
1( ) 0( 1)h x x x
恒成立，
∴函数 )(xf 具有性质 )(bP ；
(ii)（方法一）设
2
2 2( ) 1 ( ) 12 4
b bx x bx x ， ( )x 与 )(' xf 的符号相同。
当
2
1 0, 2 24
b b 时， ( )x 0 ， )(' xf 0 ，故此时 )(xf 在区间 ),1( 上递增；
当 2b 时，对于 1x ，有 )(' xf 0 ，所以此时 )(xf 在区间 ),1( 上递增；
当 2b 时， ( )x 图像开口向上，对称轴 12
bx ，而 (0) 1 ，
对于 1x ，总有 ( )x 0 ， )(' xf 0 ，故此时 )(xf 在区间 ),1( 上递增；
（方法二）当 2b 时，对于 1x ， 2 2 2( ) 1 2 1 ( 1) 0x x bx x x x
所以 )(' xf 0 ，故此时 )(xf 在区间 ),1( 上递增；
当 2b 时 ， ( )x 图 像 开 口 向 上 ， 对 称 轴 12
bx ， 方 程 ( ) 0x 的 两 根 为 ：
2 24 4,2 2
b b b b ，而
2 2
2
4 4 21, (0,1)2 2 4
b b b b
b b
当
2 4(1, )2
b bx 时， ( )x 0 ， )(' xf 0 ，故此时 )(xf 在区间
2 4(1, )2
b b
上递减；同理得： )(xf 在区间
2 4[ , )2
b b 上递增。
综上所述，当 2b 时， )(xf 在区间 ),1( 上递增；
当 2b 时， )(xf 在 2 4(1, )2
b b 上递减； )(xf 在 2 4[ , )2
b b 上递增。
(2)（方法一）由题意，得： 2 2'( ) ( )( 2 1) ( )( 1)g x h x x x h x x
又 )(xh 对任意的 ),1( x 都有 )(xh >0，
所以对任意的 ),1( x 都有 ( ) 0g x ， ( )g x 在 (1, ) 上递增。
又 1 2 1 2, (2 1)( )x x m x x 。
当 1 , 12m m 时， ，且 1 1 2 2 1 2( 1) (1 ) , (1 ) ( 1)x m x m x x m x m x ，
综合以上讨论，得：所求 m 的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知， ( )g x 的导函数 2'( ) ( )( 2 1)g x h x x x ，其中函数 ( ) 0h x 对于任意
的 ),1( x 都成立。所以，当 1x 时， 2'( ) ( )( 1) 0g x h x x ，从而 ( )g x 在区间 ),1(
上单调递增。
①当 (0,1)m 时，有 1 2 1 1 1(1 ) (1 )mx m x mx m x x ，
1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x x ，得 1 2( , )x x ，同理可得 1 2( , )x x ，所以由
( )g x 的单调性知 ( )g 、 ( )g 1 2( ( ), ( ))g x g x ，
从而有| )()( gg |<| )()( 21 xgxg |，符合题设。
②当 0m 时， 1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x x ，
1 2 1 1 1(1 ) (1 )m x mx m x mx x ， 于 是 由 1, 1 及 ( )g x 的 单 调 性 知
1 2( ) ( ) ( ) ( )g g x g x g ，所以| )()( gg |≥| )()( 21 xgxg |，与题设不符。
③当 1m 时，同理可得 1 2,x x ，进而得| )()( gg |≥| )()( 21 xgxg |，与题设
不符。
因此综合①、②、③得所求的 m 的取值范围是（0，1）。
5、（2011 江苏卷 17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬
纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四
个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去
的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB= x cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2 ）最大，试问 x 应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积 V（cm 3 ）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的
高与底面边长的比值。
P
【解析】本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、
数学阅读能力及解决实际问题的能力。满分 14 分.
解：设馐盒的高为 h（cm），底面边长为 a（cm），由已知得
.300),30(2
2
260,2 xxxhxa
（1） ,1800)15(8)30(84 2 xxxahS
所以当 15x 时，S 取得最大值.
（2） ).20(26),30(22 222 xxVxxhaV
由 00 xV 得 （舍）或 x=20.
当 )20,0(x 时， .0)30,20(;0 VxV 时当
所以当 x=20 时，V 取得极大值，也是最小值.
此时 1 1
2 2
h
a
即 装盒的高与底面边长的比值为 1 .2
6、（2011 江苏卷 19）已知 a，b 是实数，函数 ,)(,)( 23 bxxxgaxxxf )(xf 和 )(xg
是 )(),( xgxf 的导函数，若 0)()( xgxf 在区间 I 上恒成立，则称 )(xf 和 )(xg 在区
间 I 上单调性一致
（1）设 0a ，若 )(xf 和 )(xg 在区间 ),1[ 上单调性一致,求 b 的取值范围；
（2）设 ,0a 且 ba ，若 )(xf 和 )(xg 在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|
的最大值
【解析】本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分
类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分.
解： .2)(,3)( 2 bxxgaxxf
（1）由题意知 ),1[0)()( 在xgxf 上恒成立，因为 a>0，故 ,03 2 ax
进而 2 0, 2x b b x 即 在区间[-1,+ )上恒成立，所以 2.b
因此b 的取值范围是[2, ). [
（2）令 ( ) 0, .3
af x x 解得
若 0, 0 0 ( , ).b a a b 由 得 又因为 (0) (0) 0f g ab ，
所以函数 ( ) ( )f x g x和 在 ( , )a b 上不是单调性一致的，因此 0.b
现设 0. ( ,0) , ( ) 0b x g x 当 时 ；
当 ( , )3
ax 时， ( ) 0.f x
因此，当 ( , )3
ax 时， ( ) ( ) 0.f x g x
故由题设得 ,3 3
a aa 且b -
从而 1 10, 0.3 3a b 于是
因此 1 1| | , , 03 3a b a b 且当 时等号成立，
又当 21 1, 0 , ( ) ( ) 6 ( )3 9a b f x g x x x 时 ，从而当 1( ,0) ( ) ( ) 03x f x g x 时
故当函数 1( ) ( ) ( ,0)3f x g x 和 在 上单调性一致，因此| |a b 的最大值为 1.3
7（2012 江苏卷 17）（本小题满分 14 分）
如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某
炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 2 21 (1 ) ( 0)20y kx k x k 表示的曲线上，其中
k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过
多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【答案及解析】
x（千米）
y（千米）
O （第 17 题）
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的
最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后
建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中．
8 （2012 江苏卷 18）（本小题满分 16 分）
已知 a，b 是实数，1 和 1 是函数 3 2( )f x x ax bx 的两个极值点．
（1）求 a 和 b 的值；
（2）设函数 ( )g x 的导函数 ( ) ( ) 2g x f x ，求 ( )g x 的极值点；
（3）设 ( ) ( ( ))h x f f x c ，其中 [ 2 2]c ， ，求函数 ( )y h x 的零点个数．
【答案及解析】
【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系
统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合
思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分
析问题和解决问题的能力，运算量比较大．
9．（2012 江苏卷 23）（本小题满分 10 分）
设集合 {1 2 }nP n ， ， ，… ， n N ．记 ( )f n 为同时满足下列条件的集合 A 的个数：
① nA P ；②若 x A ，则 2x A ；③若
nPx Að ，则 2 nPx Að ．
（1）求 (4)f ；
（2）求 ( )f n 的解析式（用 n 表示）．
【答案与解析】
【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集
和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中.
10．（2013 江苏卷 18）（本小题满分 16 分）
如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行
到C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两
位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 min/50m ．在甲出发 min2 后，乙从
A 乘缆车到 B ，在 B 处停留 min1 后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的
速度为 min/130m ，山路 AC 长为 m1260 ，经测量，
13
12cos A ，
5
3cos C ．
（1）求索道 AB 的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，
乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：（1）如图作 BD⊥CA 于点 D，
设 BD＝20k，则 DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由 AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发 x 分钟后到达点 M，
此时甲到达 N 点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
其中 0≤x≤8，当 x＝35
37
(min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到 C 用时：1260
50
＝126
5
(min)．
若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时：126
5
＋3＝141
5
(min)，在 BC 上用时：86
5
(min) ．
此时乙的速度最小，且为：500÷86
5
＝1250
43
m/min．
C
B
A
D
M
N
若乙等甲 3 分钟，则乙到 C 用时：126
5
－3＝111
5
(min)，在 BC 上用时：56
5
(min) ．
此时乙的速度最大，且为：500÷56
5
＝625
14
m/min．
故乙步行的速度应控制在[1250
43
，625
14
]范围内．
11．（2013 江苏卷 20）（本小题满分 16 分）
设函数 axxxf ln)( ， axexg x )( ，其中 a 为实数．
（1）若 )(xf 在 ),1( 上是单调减函数，且 )(xg 在 ),1( 上有最小值，求 a 的取值范围；
（2）若 )(xg 在 ),1( 上是单调增函数，试求 )(xf 的零点个数，并证明你的结论．
解：（1） axxf 1)( ≤0 在 ),1( 上恒成立，则 a ≥
x
1 ， )1( ，x ．
故： a ≥1．
axg x e)( ，
若 1≤ a ≤e，则 axg x e)( ≥0 在 ),1( 上恒成立，
此时， axexg x )( 在 ),1( 上是单调增函数，无最小值，不合；
若 a ＞e，则 axexg x )( 在 )ln1( a， 上是单调减函数，在 )(ln ，a 上是单调增
函数， )ln()(min agxg ，满足．
故 a 的取值范围为： a ＞e．
（2） axg x e)( ≥0 在 ),1( 上恒成立，则 a ≤ex，
故： a ≤1
e
．
)0(11)( xx
axaxxf ．
(ⅰ)若 0＜ a ≤1
e
，令 )(xf ＞0 得增区间为(0，1
a
)；
令 )(xf ＜0 得减区间为(1
a
，﹢∞)．
当 x→0 时，f(x)→﹣∞；当 x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
当 x＝1
a
时，f(1
a
)＝﹣lna－1≥0，当且仅当 a ＝1
e
时取等号．
故：当 a ＝1
e
时，f(x)有 1 个零点；当 0＜ a ＜1
e
时，f(x)有 2 个零点．
(ⅱ)若 a＝0，则 f(x)＝﹣lnx，易得 f(x)有 1 个零点．
(ⅲ)若 a＜0，则 01)( axxf 在 )0( ， 上恒成立，
即： axxxf ln)( 在 )0( ， 上是单调增函数，
当 x→0 时，f(x)→﹣∞；当 x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．
此时，f(x)有 1 个零点．
综上所述：当 a ＝1
e
或 a＜0 时，f(x)有 1 个零点；当 0＜ a ＜1
e
时，f(x)有 2 个零点．
12.（2014 江苏卷 18）(本小题满分 16 分)
如图,为了保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥
BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆.且古桥两端 O
和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处, 点
C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), 3
4tan BCO .
(1)求新桥 BC 的长；
(2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大？
【答案】（1）150m ；（2）10m ．
【解析】
（1）如图，以 ,OC OA为 ,x y 轴建立直角坐标系，则 (170,0)C ， (0,60)A ，由题意 4
3BCk ，
直线 BC 方程为 4 ( 170)3y x ．又 1 3
4AB
BC
k k
，故直线 AB 方程为 3 604y x ，由
4 ( 170)3
3 604
y x
y x
，解得 80
120
x
y
，即 (80,120)B ，
所以 2 2(80 170) 120 150BC ( )m ；
170 m
60 m
东
北
O
A
B
M
C
（第 18 题）
（2）设OM t ，即 (0, )M t (0 60)t ，由（1）直线 BC 的一般方程为 4 3 680 0x y ，
圆 M 的 半 径 为 3 680
5
tr
， 由 题 意 要 求 80,
(60 ) 80,
r t
r t
， 由 于 0 60t ， 因 此
3 680
5
tr
680 3 31365 5
t t ，∴
3136 80,5
3136 (60 ) 80,5
t t
t t
∴10 35t ，
所以当 10t 时， r 取得最大值130m ，此时圆面积最大．
【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离．
13.（2014 江苏卷 19）(本小题满分 16 分)
已知函数 xxxf ee)( ,其中 e 是自然对数的底数.
(1)证明: )(xf 是 R 上的偶函数；
(2)若关于 x 的不等式 )(xmf ≤ 1e mx 在 ),0( 上恒成立，求实数 m 的取值范围；
(3)已知正数 a 满足：存在 ),1[0 x ，使得 )3()( 0
3
00 xxaxf 成立.试比较 1e a 与 1ea 的
大小，并证明你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2） 1
3m ；（3）当 1 1( )2 e a ee
时， 1 1a ee a ，当 a e
时， 1 1a ee a ，当 a e 时， 1 1a ee a ．
【解析】（1）证明：函数 ( )f x 定义域为 R ，∵ ( ) ( )x xf x e e f x ，∴ ( )f x 是偶函数．
（ 2 ） 由 ( ) 1xmf x e m 得 ( ( ) 1) 1xm f x e ， 由 于 当 0x 时 ， 1xe ， 因 此
( ) 2x xf x e e ，即 ( ) 1 1 0f x ，所以 1 1
( ) 1 1
x x
x x
e em f x e e
2
1
1
x
x x
e
e e
，
令 2
1
1
x
x x
ey e e
，设 1 xt e ，则 0t ，
21 (1 ) 1 1t t ty t t
，∵ 0t ，∴ 1 2t t
（ 1t 时等号成立），即 1 2 1 3y
， 1 03 y ，所以 1
3m ．
(3)已知正数 a 满足：存在 ),1[0 x ，使得 )3()( 0
3
00 xxaxf 成立.试比较 1e a 与 1ea 的
大小，并证明你的结论.
（3 ） 由题 意 ， 不等 式 3( ) ( 3 )f x a x x 在 [1, ) 上 有解 ， 由 3( ) ( 3 )f x a x x 得
3 3 0x xax ax e e ，记 3( ) 3 x xh x ax ax e e ， 2'( ) 3 ( 1) x xh x a x e e ，显
然 '(1) 0h ，当 1x 时， '( ) 0h x （因为 0a ），故函数 ( )h x 在 [1, ) 上增函数，
( ) (1)h x h最小 ， 于 是 ( ) 0h x 在 [1, ) 上 有 解 ， 等 价 于 1(1) 3 0h a a e e
， 即
1 1( ) 12a e e
．考察函数 ( ) ( 1)ln ( 1),( 1)g x e x x x ， 1'( ) 1eg x x
，当 1x e
时， '( ) 0g x ，当1 1x e 时， '( ) 0g x ，当 1x e 时 '( ) 0g x ，即 ( )g x 在[1, 1]e
上是增函数，在 ( 1, )e 上是减函数，又 (1) 0g ， ( ) 0g e ， 1 1( ) 12 e e
，所以当
1 1( )2 e x ee
时， ( ) 0g x ，即 ( 1)ln 1e x x ， 1 1e xx e ，当 x e 时， ( ) 0g x ，，
即 ( 1)ln 1e x x ， 1 1e xx e ，因此当 1 1( )2 e a ee
时， 1 1a ee a ，当 a e 时，
1 1a ee a ，当 a e 时， 1 1a ee a ．
【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调
性，比较大小．
14（2015 江苏卷 17）（本小题满分 14 分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条
连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 1 2l l， ，山区边界曲线为 C，
计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 1 2l l， 的距离分别为 5
千米和 40 千米，点 N 到 1 2l l， 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 1 2l l， 所在的直线分别为 x，
y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 2
ay x b
（其中 a，b 为常数）模型.
（1）求 a，b 的值；
（2）设公路 l 与曲线C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.
①请写出公路 l 长度的函数解析式 f t ，并写出其定义域；
②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度.
【答案】（1） 1000, 0;a b （2）①
6
2
4
9 10 9( ) ,4f t tt
定义域为[5,20] ，②
min10 2, ( ) 15 3t f t 千米
（2）①由（1）知， 2
1000y x
（5 20x ），则点 的坐标为 2
1000,t t
，
设在点 处的切线l 交 x ， y 轴分别于 ， 点， 3
2000y x
，
考点：利用导数求函数最值，导数几何意义
15.（2015 江苏卷 19）（本小题满分 16 分）
已知函数 ),()( 23 Rbabaxxxf .
（1）试讨论 )(xf 的单调性；
（2）若 acb （实数 c 是 a 与无关的常数），当函数 )(xf 有三个不同的零点时，a
的取值范围恰好是 ),2
3()2
3,1()3,( ，求 c 的值.
【答案】（1）当 0a 时， f x 在 , 上单调递增；
当 0a 时， f x 在 2, 3
a
， 0, 上单调递增，在 2 ,03
a
上单调递减；
当 0a 时， f x 在 ,0 ， 2 ,3
a
上单调递增，在 20, 3
a
上单调递减．
（2） 1.c
考点：利用导数求函数单调性、极值、函数零点
16.（2016 江苏卷 17）（本小题满分 14 分）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 1 1 1 1P A B C D ，
下部分的形状是正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D (如图所示)，并要求正四棱柱的高 1PO 的
四倍.
（1）若 16 ,PO 2 ,AB m m 则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 1PO 为多少时，仓库的容积最大？
【答案】（1）312（2） 1 2 3PO
(2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m)，则 00)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k
为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=_________
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为： 2 2 ( ),k k ky a a x a 当 0y 时，解得
2
kax ，
所以 1 1 3 5, 16 4 1 212
k
k
aa a a a 。
4、（2011 江苏卷 13）设 1 2 71 a a a ，其中 7531 ,,, aaaa 成公比为 q 的等比数列，
642 ,, aaa 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是________.
【解析】由题意： 2 3
1 2 2 21 1 2a a q a q a q ，
2
2 2 2 21, 1 2a q a a q a
3
2 2 3q a ，而 2 1 2 2 21, 1, , 1, 2a a a a a 的最小值分别为 1，2，3； 3
min 3q .
本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力,考查抽
象概括能力和推理能力，本题属难题.
5 ．（ 2013 江 苏 卷 14 ） 在 正 项 等 比 数 列 }{ na 中 ，
2
1
5 a ， 376 aa ， 则 满 足
nn aaaaaa 2121 的
最大正整数 n 的值为 ．
【答案】12
【解析】设正项等比数列 }{ na 首项为 a1，公比为 q，则：
3)1(
2
1
51
41
qqa
qa ，得：a1＝ 1
32
，
q＝2，an＝26－n．记 521 2
12
n
nn aaaT ， 2
)1(
21 2
nn
nn aaa
． nnT ，
则 2
)1(
5 22
12 nnn
， 化 简 得 ： 5
2
11
2
1 2
212
nnn ， 当 52
11
2
1 2 nnn 时 ，
122
12113 n ．当 n＝12 时， 1212 T ，当 n＝13 时， 1313 T ，故 nmax＝12．
6. （2014 江苏卷 7） 在各项均为正数的等比数列 }{ na 中, ,12 a 468 2aaa ,则 6a 的值是
▲ .
解析 由 8 6 42a a a ，两边都除以 4a ，得 4 2 2q q ，
即 4 2 2 22 0 2 1 0q q q q ，所以 2 2q .因为 2 1a ，所以 4 2
6 4 1 2 4a a q
7. （2015 江苏卷 11）数列 }{ na 满足 11 a ，且 11 naa nn （ *Nn ），则数列 }1{
na
的
前 10 项和为
【答案】 20
11
【解析】
试题分析：由题意得：
1 1 2 2 1 1
( 1)( ) ( ) ( ) 1 2 1 2n n n n n
n na a a a a a a a n n
所以 10
1 1 1 1 2 202( ), 2(1 ) ,1 1 1 11n
n
nS Sa n n n n
考点：数列通项，裂项求和
8. （2016 江苏卷 8） 已知{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和.若 a1+a2
2=3，S5=10，则 a9 的值
是 ▲ .
【答案】 20.
【解析】由 5 10S 得 3 2a ，因此 2
92 2 (2 d) 3 3, 2 3 6 20.d d a
考点：等差数列性质
（二）解答题
1、（2008 江苏卷 19）.（Ⅰ）设 1 2, , , na a a 是各项均不为零的等差数列（ 4n ），且公
差 0d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当 n =4 时，求 1a
d
的数值；②求 n 的所有可能值；
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数 n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
1 2, , , nb b b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。
（1）①当 n=4 时, 1 2 3 4, , ,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比
数列，则推出 d=0。
若删去 2a ，则 2
3 1 4a a a ，即 2
1 1 1( 2 ) ( 3 )a d a a d 化简得 1 4 0a d ，得 1 4a
d
若删去 3a ，则 2
2 1 4a a a ，即 2
1 1 1( ) ( 3 )a d a a d 化简得 1 0a d ，得 1 1a
d
综上，得 1 4a
d
或 1 1a
d
。
②当 n=5 时, 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 中同样不可能删去 1 2 4 5, , ,a a a a ，否则出现连续三项。
若删去 3a ，则 1 5 2 4a a a a ，即 1 1 1 1( 4 ) ( ) ( 3 )a a d a d a d 化简得 23 0d ，因
为 0d ，所以 3a 不能删去；
当 n≥6 时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 1 2 3 2 1, , , , , ,n n na a a a a a 中，由
于不能删去首项或末项，若删去 2a ，则必有 1 3 2n na a a a ，这与 0d 矛盾；同样若删去 1na
也 有 1 3 2n na a a a ， 这 与 0d 矛 盾 ； 若 删 去 3 2, , na a 中 任 意 一 个 ， 则 必 有
1 2 1n na a a a ，这与 0d 矛盾。(或者说：当 n≥6 时，无论删去哪一项，剩余的项中必有
连续的三项)
综上所述， 4n 。
（2）假设对于某个正整数 n，存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 nbbb ,......, 21 ，其中
1 1 1, ,x y zb b b （ 0 1x y z n ）为任意三项成等比数列，则 2
1 1 1y x zb b b ，即
2
1 1 1( ) ( ) ( )b yd b xd b zd ，化简得 2 2
1( ) ( 2 )y xz d x z y b d （*）
由 1 0b d 知， 2y xz 与 2x z y 同时为 0 或同时不为 0
当 2y xz 与 2x z y 同时为 0 时，有 x y z 与题设矛盾。
故 2y xz 与 2x z y 同时不为 0，所以由（*）得
2
1
2
b y xz
d x z y
因为 0 1x y z n ，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而 1b
d
为有理数。
于是，对于任意的正整数 )4( nn ，只要 1b
d
为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如 n 项数列 1，1 2 ，1 2 2 ，……，1 ( 1) 2n 满足要求。
2、（2009 江苏卷 17）（本小题满分 14 分）
设 na 是公差不为零的等差数列， nS 为其前 n 项和，满足 2 2 2 2
2 3 4 5 7, 7a a a a S 。
（1）求数列 na 的通项公式及前 n 项和 nS ；
（2）试求所有的正整数 m ，使得 1
2
m m
m
a a
a
为数列 na 中的项。
【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分
14 分。
（1）设公差为 d ，则 2 2 2 2
2 5 4 3a a a a ，由性质得 4 3 4 33 ( ) ( )d a a d a a ，因为
0d ，所以 4 3 0a a ，即 12 5 0a d ，又由 7 7S 得 1
7 67 72a d ，解得
1 5a ， 2d ,
(2)
（方法一）
1
2
m m
m
a a
a
= (2 7)(2 5)
2 3
m m
m
,设 2 3m t ，
则 1
2
m m
m
a a
a
= ( 4)( 2) 8 6t t tt t
, 所以t 为 8 的约数
（方法二）因为 1 2 2
2
2 2 2
( 4)( 2) 86m m m m
m
m m m
a a a a aa a a
为数列 na 中的项，
故
m+2
8
a
为整数，又由（1）知： 2ma 为奇数，所以 2 2 3 1, 1,2ma m m 即
经检验，符合题意的正整数只有 2m 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3、（2009 江苏卷 23）（本题满分 10 分）
对于正整数 n ≥2，用 nT 表示关于 x 的一元二次方程 2 2 0x ax b 有实数根的有序数组
( , )a b 的组数，其中 , 1,2, ,a b n （ a 和b 可以相等）；对于随机选取的 , 1,2, ,a b n
（ a 和b 可以相等），记 nP 为关于 x 的一元二次方程 2 2 0x ax b 有实数根的概率。
（1）求 2nT 和 2nP ；
（2）求证：对任意正整数 n ≥2，有 11nP
n
.
【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分 10 分。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4、（2010 江苏卷 19）（本小题满分 16 分）
设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 3122 aaa ，数列 nS 是公差为 d 的
等差数列。
（1）求数列 na 的通项公式（用 dn, 表示）；
（2）设 c 为实数，对满足 nmknm 且3 的任意正整数 knm ,, ，不等式 knm cSSS 都
成立。求证： c 的最大值为
2
9 。
【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分
析及论证的能力。满分 16 分。
（1）由题意知： 0d ， 1 1( 1) ( 1)nS S n d a n d
2 1 3 2 3 2 1 32 3 3( )a a a a S S S S ， 2 2 2
1 1 13[( ) ] ( 2 ) ,a d a a d
化简，得： 2 2
1 1 1 12 0, ,a a d d a d a d
2 2( 1) ,n nS d n d nd S n d ，
当 2n 时， 2 2 2 2 2
1 ( 1) (2 1)n n na S S n d n d n d ，适合 1n 情形。
故所求 2(2 1)na n d
（2）（方法一）
2 2 2 2 2 2 2 2 2
m n kS S cS m d n d c k d m n c k ，
2 2
2
m nc k
恒成立。
又 nmknm 且3 ，
2 2
2 2 2 2
2
92( ) ( ) 9 2
m nm n m n k k
，
故 9
2c ，即 c 的最大值为
2
9 。
（方法二）由 1a d 及 1 ( 1)nS a n d ，得 0d ， 2 2
nS n d 。
于是，对满足题设的 knm ,, ， m n ，有
2
2 2 2 2 2 2( ) 9 9( ) 2 2 2m n k
m nS S m n d d d k S 。
所以 c 的最大值 max
9
2c 。
另一方面，任取实数 9
2a 。设 k 为偶数，令 3 31, 12 2m k n k ，则 knm ,, 符合条件，
且 2 2 2 2 2 2 2 23 3 1( ) [( 1) ( 1) ] (9 4)2 2 2m nS S m n d d k k d k 。
于是，只要 2 29 4 2k ak ，即当 2
2 9
k
a
时， 2 21 22m n kS S d ak aS 。
所以满足条件的 9
2c ，从而 max
9
2c 。
因此 c 的最大值为 9
2
。
5、（2011 江苏卷 20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列 1}{ 1 aan 的首项 ，前 n 项和为
nS ，已知对任意整数 kM，当整数 )(2, knknkn SSSSkn 时 都成立
（1）设 52 ,2},1{ aaM 求 的值；
（2）设 }{},4,3{ naM 求数列 的通项公式
【解析】本小题考查数列的通项与前 n 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查
考生分析探究及逻辑推理的能力，满分 16 分。
解：（1）由题设知，当 1 1 12 , 2( )n n nn S S S S 时 ，
即 1 1 1( ) ( ) 2n n n nS S S S S ，
从而 1 1 2 22 2, 2, 2 , 2( 2) 2 2.n n na a a a n a a n n 又 故当 时
所以 5a 的值为 8。
（2）由题设知，当 {3,4}, 2 2n k n k n kk M n k S S S 且 时,S
1 1 12 2n k n k n kS S S S 且 ，
两式相减得 1 1 1 1 1 1 12 ,n k n k n n k n k n n ka a a a a a a 即
所以当 6 3 3 68 , , , , ,n n n n nn a a a a a 时 成等差数列，且 6 2 2 6, , ,n n n na a a a 也成等差数列
从而当 8n 时， 3 3 6 62 .n n n n na a a a a （*）
且 6 6 2 2 2 2, 8 ,2n n n n n n na a a a n a a a 所以当 时 ，
即 2 2 3 1 1 3. 9 , , , ,n n n n n n n na a a a n a a a a 于是当 时 成等差数列，
从而 3 3 1 1n n n na a a a ，
故由（*）式知 1 1 1 12 , .n n n n n n na a a a a a a 即
当 9n 时，设 1.n nd a a
当 2 8 , 6 8m m 时 ，从而由（*）式知 6 122 m m ma a a
故 7 1 132 .m m ma a a
从而 7 6 1 13 122( ) ( )m m m m m ma a a a a a ，于是 1 2 .m ma a d d d
因此， 1n na a d 对任意 2n 都成立，又由 2 2 ( {3,4})n k n k k kS S S S k 可知
3 4( ) ( ) 2 , 9 2 16 2n k n n n k kS S S S S d S d S 故 且 ，
解得 4 2 1
7 3, , .2 2 2
da d a d a 从而
因此，数列{ }na 为等差数列，由 1 1 2.a d 知
所以数列{ }na 的通项公式为 2 1.na n
6. （2012 江苏卷 20）（本小题满分 16 分）
已知各项均为正数的两个数列{ }na 和{ }nb 满足： 1 2 2
n n
n
n n
a ba n
a b
N， ．
（1）设 1 1 n
n
n
bb na
N， ，求证：数列
2
n
n
b
a
是等差数列；
（2）设 1 2 n
n
n
bb na
N， ，且{ }na 是等比数列，求 1a 和 1b 的值．
【答案与解析】
【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的
互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是
有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在
训练时，要引起足够的重视.
7．（2013 江苏卷 19）（本小题满分 16 分）
设 }{ na 是首项为 a ，公差为 d 的等差数列 )0( d ， nS 是其前 n 项和．记
cn
nSb n
n 2 ，
*Nn ，其中 c 为实数．
（1）若 0c ，且 421 bbb ，， 成等比数列，证明： knk SnS 2 （ *, Nnk ）；
（2）若 }{ nb 是等差数列，证明： 0c ．
证：（1）若 0c ，则 dnaan )1( ，
2
]2)1[( adnnSn
，
2
2)1( adnbn
．
当 421 bbb ，， 成等比数列， 41
2
2 bbb ，
即：
2
3
2
2 daada ，得： add 22 ，又 0d ，故 ad 2 ．
由此： anSn
2 ， aknankSnk
222)( ， aknSn k
222 ．
故： knk SnS 2 （ *, Nnk ）．
（2）
cn
adnn
cn
nSb n
n
2
2
2
2
2)1(
，
cn
adncadncadnn
2
2
2
2)1(
2
2)1(
2
2)1(
cn
adncadn
2
2
2)1(
2
2)1( ． (※)
若 }{ nb 是等差数列，则 BnAnbn 型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有： 02
2)1(
2
cn
adnc
，即 02
2)1( adnc ，而
2
2)1( adn ≠0，
故 0c ．
经检验，当 0c 时 }{ nb 是等差数列．
8.（2014 江苏卷 20）(本小题满分 16 分)
设数列 }{ na 的前 n 项和为 nS .若对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 mn aS ，则称 }{ na
是“H 数列”.
(1)若数列 }{ na 的前 n 项和 n
nS 2 ( n N ),证明: }{ na 是“H 数列”;
(2)设 }{ na 是等差数列,其首项 11 a ,公差 0d .若 }{ na 是“H 数列”,求 d 的值；
(3)证明：对任意的等差数列 }{ na ，总存在两个“H 数列” }{ nb 和 }{ nc ，使得 nnn cba
( n N )成立.
【答案】（1）证明见解析；（2） 1d ；（3）证明见解析．
【 解 析 】（ 1 ） 首 先 1 1 2a S ， 当 2n 时 ， 1 1
1 2 2 2n n n
n n na S S
， 所 以
1
2, 1,
2 , 2,n n
n
a
n
，所以对任意的 *n N ， 2n
nS 是数列{ }na 中的 1n 项，因此数列{ }na
是“ H 数列”．
（2）由题意 1 ( 1)na n d ， ( 1)
2n
n nS n d ，数列{ }na 是“ H 数列”，则存在 *k N ，
使 ( 1) 1 ( 1)2
n nn d k d ， 1 ( 1) 12
n n nk d
，由于 ( 1) *2
n n N ，又 *k N ，
则 1n Zd
对一切正整数 n 都成立，所以 1d ．
（3）首先，若 nd bn （ b 是常数），则数列{ }nd 前 n 项和为 ( 1)
2n
n nS b 是数列{ }nd 中
的第 ( 1)
2
n n 项，因此{ }nd 是“ H 数列”，对任意的等差数列{ }na ， 1 ( 1)na a n d （ d 是
公差），设 1nb na ， 1( )( 1)nc d a n ，则 n n na b c ，而数列{ }nb ，{ }nc 都是“ H 数列”，
证毕．
【考点】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法．
9（2015 江苏卷 20）（本小题满分 16 分）
设 1 2 3 4, , ,a a a a 是各项为正数且公差为 d ( 0)d 的等差数列
（1）证明： 31 2 42 ,2 ,2 ,2aa a a 依次成等比数列；
（2）是否存在 1,a d ，使得 2 3 4
1 2 3 4, , ,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；[来源:学科网 ZXXK]
（3）是否存在 1,a d 及正整数 ,n k ，使得 knknknn aaaa 3
4
2
321 ,,, 依次成等比数列，并说明理
由.
【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在
（2）令 1a d a ，则 1a ， 2a ， 3a ， 4a 分别为 a d ，a ，a d ， 2a d （ a d ， 2a d ，
0d ）．
假设存在 1a ， d ，使得 1a ， 2
2a ， 3
3a ， 4
4a 依次构成等比数列，
则 34a a d a d ，且 6 42 2a d a a d ．
令 dt a
，则 31 1 1t t ，且 6 41 1 2t t （ 1 12 t ， 0t ），
化简得 3 22 2 0t t （ ），且 2 1t t ．将 2 1t t 代入（ ）式，
21 2 1 2 3 1 3 4 1 0t t t t t t t t ，则 1
4t ．
显然 1
4t 不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在 1a ， d ，使得 1a ， 2
2a ， 3
3a ， 4
4a 依次构成等比数列．
（3）假设存在 1a ， d 及正整数 n ， k ，使得 1
na ， 2
n ka ， 2
3
n ka ， 3
4
n ka 依次构成等比数列，
则 2 2
1 1 12 n k n kna a d a d ，且 3 2 2
1 1 13 2n k n k n ka d a d a d ．
分别在两个等式的两边同除以 2
1
n ka 及 2 2
1
n ka ，并令
1
dt a
（ 1
3t ， 0t ），
则 2 21 2 1n k n kt t ，且 3 2 21 1 3 1 2n k n k n kt t t ．
将上述两个等式两边取对数，得 2 ln 1 2 2 ln 1n k t n k t ，
且 ln 1 3 ln 1 3 2 2 ln 1 2n k t n k t n k t ．
化简得 2 ln 1 2 ln 1 2ln 1 ln 1 2k t t n t t ，
且 3 ln 1 3 ln 1 3ln 1 ln 1 3k t t n t t ．
再将这两式相除，化简得 ln 1 3 ln 1 2 3ln 1 2 ln 1 4ln 1 3 ln 1t t t t t t
（ ）．
令 4ln 1 3 ln 1 ln 1 3 ln 1 2 3ln 1 2 ln 1g t t t t t t t ，
则
2 2 22 1 3 ln 1 3 3 1 2 ln 1 2 3 1 ln 1
1 1 2 1 3
t t t t t t
g t t t t
．
令 2 2 21 3 ln 1 3 3 1 2 ln 1 2 3 1 ln 1t t t t t t t ，
则 6 1 3 ln 1 3 2 1 2 ln 1 2 1 ln 1t t t t t t t ．
令 1 t t ，则 1 6 3ln 1 3 4ln 1 2 ln 1t t t t ．
令 2 1t t ，则 2
12 01 1 2 1 3t t t t
．
由 1 20 0 0 0 0g ， 2 0t ，
知 2 t ， 1 t ， t ， g t 在 1 ,03
和 0, 上均单调．
故 g t 只有唯一零点 0t ，即方程（ ）只有唯一解 0t ，故假设不成立．
所以不存在 1a ， d 及正整数 n ， k ，使得 1
na ， 2
n ka ， 2
3
n ka ， 3
4
n ka 依次构成等比数列．
考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程
10.（2016 江苏卷 20）
（本小题满分 16 分）
记 1,2, 100U …， .对数列 *
na n N 和U 的子集 T，若T ,定义 0TS ;若
1 2, , kT t t t …， ， 定 义 1 2
+ kT t t tS a a a … . 例 如 ： = 1,3,66T 时 ，
1 3 66+TS a a a .现设 *
na n N 是公比为 3 的等比数列，且当 = 2,4T 时，
=30TS .
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）对任意正整数 1 100k k ，若 1,2, kT …， ，求证： 1T kS a ；
（3）设 , , C DC U D U S S ,求证： 2C C D DS S S .
【答案】（1） 13n
na （2）详见解析（3）详见解析
（3）下面分三种情况证明.
①若 D 是C 的子集，则 2C C D C D D D DS S S S S S S .
②若C 是 D 的子集，则 2 2C C D C C C DS S S S S S .
③若 D 不是C 的子集，且 C 不是 D 的子集.
考点：等比数列的通项公式、求和
六、不等式
（一）填空题
1、（2008 江苏卷 11）已知 , ,x y z R ， 2 3 0x y z ，则
2y
xz
的最小值 ．
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由 2 3 0x y z 得 3
2
x zy ，代入
2y
xz
得
2 29 6 6 6 34 4
x z xz xz xz
xz xz
，当且仅当 x ＝3 z 时取“＝”．
2、（2010 江苏卷 12）设实数 x,y 满足 3≤ 2xy ≤8，4≤
y
x 2
≤9，则 4
3
y
x 的最大值是 。。
【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。
2
2( ) [16,81]x
y
， 2
1 1 1[ , ]8 3xy
，
3 2
2
4 2
1( ) [2,27]x x
y y xy
， 4
3
y
x 的最大值是 27。
3. （2012 江苏卷 14）已知正数 a b c， ， 满足： 4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b ≤ ≤ ≥， ，则 b
a
的取
值范围是 ．
【答案】 7,e
【解析】根据条件 4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b ≤ ≤ ≥， ，
c
bccbca lnlnln ，得到
ln , 1
a
cb a b ec c c
，得到 c b .又因为 bac 35 ，所以 3
5
a bc ，由已知 acb 4 ，
得到
4
a bc .从而 bba
4
，解得
3
1
a
b .
【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，
做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大.
4．（2013 江苏卷 9）抛物线 2xy 在 1x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含
三角形内部和边界) ．若点 ),( yxP 是区域 D 内的任意一点，则 yx 2 的取值范围
是 ．
【答案】[—2，1
2
]
【解析】抛物线 2xy 在 1x 处的切线易得为 y＝2x—1，令 z＝ yx 2 ，y＝—1
2
x＋z
2
．
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(1
2
，0)时，zmax＝1
2
．
5.（2015 江苏卷 7）不等式 2
2 4x x 的解集为________.
【答案】 ( 1,2).
【解析】
试题分析：由题意得： 2 2 1 2x x x ，解集为 ( 1,2).
考点：解指数不等式与一元二次不等式
6.（2016 江苏卷 12）已知实数 x，y 满足
2 4 0
2 2 0
3 3 0
x y
x y
x y
，则 x2+y2 的取值范围是 ▲ .
【答案】 4[ ,13]5
考点：线性规划
（二）解答题
1、（2009 江苏卷 19）(本小题满分 16 分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如果他卖出该产品的单价
为 m 元，则他的满意度为 m
m a
；如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为 n
n a
.
如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1h 和 2h ，则他对这两种交易的综合满意
度为 1 2h h . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单
件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 Am 元和 Bm 元，甲买进 A 与卖出 B
的综合满意度为 h甲 ，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙
y
xO
y＝2x—1
y＝—1
2 x
(1)求 h甲 和 h乙关于 Am 、 Bm 的表达式；当 3
5A Bm m 时，求证： h甲 = h乙；
(2)设 3
5A Bm m ，当 Am 、 Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综
合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为 0h ，试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值，使得 0h h甲 和
0h h乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概
括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。
(1)
当 3
5A Bm m 时，
2
3
5
3 5 ( 20)( 5)125
B
B B
B B B
B
m m mh m m mm
甲 ,
2
3
5
3 20 ( 5)( 20)35
B
B B
B B B
B
m m mh m m mm
乙 , h甲 = h乙 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）当 3
5A Bm m 时，
2
2
1 1= ,20 5 1 1( 20)( 5) (1 )(1 ) 100( ) 25 1
B
B B
B B B B
mh m m
m m m m
甲
由 1 1 1[5,20] [ , ]20 5B
B
m m
得 ，
故当 1 1
20Bm
即 20, 12B Am m 时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10
5
。
（3）（方法一）由（2）知： 0h = 10
5
由 0
10= 12 5 5
A B
A B
m mh hm m
甲 得： 12 5 5
2
A B
A B
m m
m m
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
令 3 5, ,
A B
x ym m
则 1[ ,1]4x y 、 ，即： 5(1 4 )(1 ) 2x y 。
同理，由 0
10
5h h 乙 得： 5(1 )(1 4 ) 2x y
另一方面， 1[ ,1]4x y 、 1 4 1x x 5、1+4y [2,5], 、1+y [ ,2],2
5 5(1 4 )(1 ) ,(1 )(1 4 ) ,2 2x y x y 当且仅当 1
4x y ，即 Am = Bm 时，取等号。
所以不能否适当选取 Am 、 Bm 的值，使得 0h h甲 和 0h h乙 同时成立，但等号不同时成立。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
七、立体几何
（一）填空题
1、（2009 江苏卷 12）设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；
（2）若 外一条直线l 与 内的一条直线平行，则l 和 平行；
（3）设 和 相交于直线l ，若 内有一条直线垂直于l ，则 和 垂直；
（4）直线l 与 垂直的充分必要条件是l 与 内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）.
【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。
真命题．．．的序号是(1)(2)
2．（20012 江苏卷 7）如图，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 3cmAB AD ， 1 2cmAA ，则
四棱锥 DDBBA 11 的体积为 cm3.
【答案】 36cm
【解析】如图所示，连结 AC 交 BD 于点 O ，因为 平面 DDBBABCD 11 ，又因为
BDAC ，所以， DDBBAC 11平面 ，所以四棱锥 DDBBA 11 的高为 AO ，根据题意
3cmAB AD ，所以
2
23AO ，又因为 3 2cmBD ， 1 2cmAA ，故矩形 DDBB 11
的面积为 26 2cm ，从而四棱锥 DDBBA 11 的体积 31 3 26 2 6cm3 2V .
【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的
位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥 DDBBA 11 的高为 AO ，这是
解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵
活运用.本题属于中档题，难度适中.
3．（20013 江苏卷 8）如图，在三棱柱 ABCCBA 111 中， FED ，， 分别是 1AAACAB ，，
的中点，设三棱锥 ADEF 的体积为 1V ，三棱柱 ABCCBA 111 的体积为 2V ，则
21 :VV ．
D
A B
C
1C1D
1A
1B
【答案】1：24
【解析】三棱锥 ADEF 与三棱锥 ABCA 1 的相似比为 1：2，故体积之比为 1：
8．
又因三棱锥 ABCA 1 与三棱柱 ABCCBA 111 的体积之比为 1：3．所以，三棱
锥 ADEF 与三棱柱 ABCCBA 111 的体积之比为 1：24．
4.(2014 江苏卷 8)设甲、乙两个圆柱的底面分别为 1S ， 2S ，体积分别为 1V ， 2V ，
若它们的侧面积相等，且
4
9
2
1
S
S ，则
2
1
V
V 的值是 ▲ .
【答案】 3
2
【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为 1 1r h、 ， 2 2r h、 ，则 1 1 2 22 2rh r h ， 1 2
2 1
h r
h r
，
又
2
1 1
2
2 2
9
4
S r
S r
，所以 1
2
3
2
r
r
，则
2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 1 2
3
2
V r h r h r r r
V r h r h r r r
．
【考点】圆柱的侧面积与体积．
5 (2015 江苏卷 9)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8
的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与
圆柱各一个，则新的底面半径为
【答案】 7
【解析】
试题分析：由体积相等得： 2 2 2 21 14 5 + 2 8= 4 8 73 3 r r r
考点：圆柱及圆锥体积
（二）解答题
1、(2008 江苏卷 16)在四面体 ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且 E ,F 分别是 AB,BD 的中点，
求证：（Ⅰ）直线 EF ∥面 ACD ；
（Ⅱ）面 EFC⊥面 BCD ．
【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．
（Ⅰ）∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点，
∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，
A
B
C
1A
D
E
F
1B
1C
∵EF 面 ACD ，AD 面 ACD ，∴直线 EF∥面 ACD ．
（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F 是 BD 的中点，∴CF⊥BD.
又 EF CF=F，∴BD⊥面 EFC．∵BD 面 BCD，∴面 EFC⊥面 BCD ．
江西卷．解 ：（1）证明：依题设， EF 是 ABC 的中位线，所以 EF ∥ BC ，
则 EF ∥平面OBC ，所以 EF ∥ 1 1B C 。
又 H 是 EF 的中点，所以 AH ⊥ EF ，则 AH ⊥ 1 1B C 。
因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，
所以OA ⊥面OBC ，则OA ⊥ 1 1B C ，
因此 1 1B C ⊥面OAH 。
（2）作ON ⊥ 1 1A B 于 N ，连 1C N 。因为 1OC ⊥平面 1 1OA B ，
根据三垂线定理知， 1C N ⊥ 1 1A B ，
1ONC 就是二面角 1 1 1O A B C 的平面角。
作 EM ⊥ 1OB 于 M ，则 EM ∥OA ，则 M 是OB 的中点，则 1EM OM 。
设 1OB x ，由 1 1
1
OB OA
MB EM
得， 3
1 2
x
x
，解得 3x ，
在 1 1Rt OA B 中， 2 2
1 1 1 1
3 52A B OA OB ，则， 1 1
1 1
3
5
OA OBON A B
。
所以 1
1tan 5OCONC ON
，故二面角 1 1 1O A B C 为 arctan 5 。
解法二：（1）以直线OA OC OB、 、 分别为 x y、 、z 轴，建立空间直角坐标系，O xyz 则
1 1(2,0,0), (0,0,2), (0,2,0), (1,0,1), (1,1,0), (1, , )2 2A B C E F H
所以 1 1 1 1( 1, , ), (1, , ), (0,2, 2)2 2 2 2AH OH BC
所以 0, 0AH BC OH BC
所以 BC 平面OAH
由 EF ∥ BC 得 1 1B C ∥ BC ，故： 1 1B C 平面OAH
(2)由已知 1
3( ,0,0),2A 设 1(0,0, )B z
x y
z
N
M
B
1
C
1
A
1
H
F
E
C
B
A
O
则 1 1
1( ,0,1), ( 1,0, 1)2A E EB z
由 1A E
与 1EB
共线得:存在 R 有 1 1A E EB 得
1
1
3 (0,0,3)2
1 ( 1)
z B
z
同理: 1(0,3,0)C
1 1 1 1
3 3( ,0,3), ( ,3,0)2 2A B AC
设 1 1 1 1( , , )n x y z 是平面 1 1 1A B C 的一个法向量,
则
3 3 02
3 3 02
x z
x y
令 2x 得 1y x 1 (2,1,1).n
又 2 (0,1,0)n 是平面 1 1OA B 的一个法量
1 2
1 6cos , 64 1 1
n n
所以二面角的大小为 6arccos 6
（3）由（2）知， 1
3( ,0,0)2A ， (0,0,2)B ，平面 1 1 1A B C 的一个法向量为 1 (2,1,1)n 。
则 1
3( ,0,2)2A B 。
则点 B 到平面 1 1 1A B C 的距离为 1 1
1
3 2 6
66
A B n
d n
2.（2009 江苏卷 16）（本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， E 、 F 分别是 1A B 、 1AC 的中点，点 D
在 1 1B C 上， 1 1A D B C 。
求证：（1）EF∥平面 ABC；
（2）平面 1A FD 平面 1 1BB C C .
【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象
能力、推理论证能力。满分 14 分。
3、（2010 江苏卷 16）（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点 A 到平面 PBC 的距离。
【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何
体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。
（1）证明：因为 PD⊥平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PD⊥BC。
由∠BCD=900，得 CD⊥BC，
又 PD DC=D，PD、DC 平面 PCD，
所以 BC⊥平面 PCD。
因为 PC 平面 PCD，故 PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则：
易证 DE∥CB，DE∥平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。
又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。
由（1）知：BC⊥平面 PCD，所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC，
因为 PD=DC，PF=FC，所以 DF⊥PC，所以 DF⊥平面 PBC 于 F。
易知 DF= 2
2
，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。
（方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。
因为 AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而 AB=2，BC=1，得 ABC 的面积 1ABCS 。
由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积 1 1
3 3ABCV S PD 。
因为 PD⊥平面 ABCD，DC 平面 ABCD，所以 PD⊥DC。
又 PD=DC=1，所以 2 2 2PC PD DC 。
由 PC⊥BC，BC=1，得 PBC 的面积 2
2PBCS 。
由 A PBC P ABCV V ， 1 1
3 3PBCS h V ，得 2h ，
故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。
4、（2011 江苏卷 16）如图，在四棱锥 ABCDP 中，平面 PAD⊥平
面 ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是 AP、AD 的中点
求证：（1）直线 EF∥平面 PCD；
（2）平面 BEF⊥平面 PAD
【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间
想象能力和推理论证能力。满分 14 分。
证明：（1）在△PAD 中，因为 E、F 分别为
AP，AD 的中点，所以 EF//PD.
又因为 EF 平面 PCD，PD 平面 PCD，
所以直线 EF//平面 PCD.
（2）连结 DB，因为 AB=AD，∠BAD=60°，
所以△ABD 为正三角形，因为 F 是 AD 的
中点，所以 BF⊥AD.因为平面 PAD⊥平面
ABCD，BF 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD=AD，所以 BF⊥平面 PAD。又因为
BF 平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.
5、（2011 江苏卷 22）如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABCD 中， 1 2, 1AA AB ，点 N 是 BC
的中点，点 M 在 1CC 上，设二面角 1A DN M 的大小为 。
（1）当 090 时，求 AM 的长；
（2）当 6cos 6
时，求CM 的长。
解：建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ，
设 (0 2)CM t t ，
则各点的坐标为 1
1(1,0,0), (1,0,2), ( ,1,0), (0,1, )2A A N M t ，
所以 1
1( ,1,0), (0,1, ), (1,0,2).2DN DM t DA
设平面 DMN 的法向量为
1 1 1 1 1 1( , , ), 0, 0.n x y z n DN n DM 则
即 1 1 1 1 12 0, 0. 1x y y tz z 令 ，
则 1 1 1, 2 , (2 , ,1)y t x t n t t 所以 是 平 面 DMN 的 一 个 法 向 量 。 从 而
1 2 5 1.n n t
（1）因为 90 ，所以 1 2 5 1 0n n t ，
解得 1 1. (0,1, ).5 5t M 从而
所以 2 2 21 511 1 ( ) .5 5AM
（2）因为 2
1 2| | 5 1,| | 6n t n
所以 1 2
1 2 2
1 2
5 1cos , .| || | 6 5 1
n n tn n n n t
因为 1 2 2
5 1 6, | | 66 5 1
tn n
t
或 所以 ，
解得 10 .2t t 或
根据图形和（1）的结论可知 1
2t ，从而 CM 的长为 1 .2
6. （2012 江苏卷 16）（本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 1 1 1A B AC ， D E， 分别是棱
1BC CC， 上的点（点D 不同于点 C），且 AD DE F ， 为 1 1B C 的中点．
求证：（1）平面 ADE 平面 1 1BCC B ；
（2）直线 1 //A F 平面 ADE．
【答案及解析】
【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判
定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，
相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．
7．（2013 江苏卷 16）（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 ABCS 中，平面 SAB 平面 SBC ， BCAB ， ABAS ，过 A 作
SBAF ，垂足为 F ，点 GE， 分别是棱 SCSA， 的中点．求证：
（1）平面 //EFG 平面 ABC ；
（2） SABC ．
证：（1）因为 SA＝AB 且 AF⊥SB，
所以 F 为 SB 的中点．
又 E，G 分别为 SA，SC 的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC．
又 AB∩AC＝A，AB 面 SBC，AC 面 ABC，
所以，平面 //EFG 平面 ABC ．
（2）因为平面 SAB⊥平面 SBC，平面 SAB∩平面 SBC＝BC，
AF 平面 ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面 SBC．
又 BC 平面 SBC，
所以，AF⊥BC．
又 AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面 SAB．
又 SA 平面 SAB，
所以， SABC ．
8．(2013 江苏，22)(本小题满分 10 分)如图，在直三棱柱 A1B1C1－ABC 中，
AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点 D 是 BC 的中点．
(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；
(2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值．
解：(1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz，
A
B
C
S
G
F
E
则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，
所以 1A B
＝(2,0，－4)， 1C D
＝(1，－1，－4)．
因为 cos〈 1A B
， 1C D
〉＝ 1 1
1 1
A B C D
A B C D
＝ 18 3 10
1020 18
，
所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 3 10
10
.
(2)设平面 ADC1 的法向量为 n1＝(x，y，z)，因为 AD
＝(1,1,0)， 1AC
＝(0,2,4)，所以 n1· AD
＝0，n1· 1AC
＝0，即 x＋y＝0 且 y＋2z＝0，取 z＝1，得 x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－
2,1)是平面 ADC1 的一个法向量．取平面 AA1B 的一个法向量为 n2＝(0,1,0)，设平面 ADC1 与平
面 ABA1 所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝ 1 2
1 2
2 2
| || | 39 1
n n
n n
，得 sin θ＝ 5
3
.
因此，平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 5
3
.
9.（2014 江苏卷 16）(本小题满分 14 分)
如图，在三棱锥 ABCP 中，D ，E，F 分别为棱 ABACPC ,, 的中点.已知 ACPA , ,6PA
.5,8 DFBC
求证: (1)直线 //PA 平面 DEF ；
(2)平面 BDE 平面 ABC .
【解析】（1）由于 ,D E 分别是 ,PC AC 的中点，则
有 //PA DE ， 又 PA DEF 平面 ，
DE DEF 平面 ，所以 //PA DEF平面 ．
（2）由 （ 1 ） //PA DE ， 又 PA AC ， 所 以
PE AC ，又 F 是 AB 中点，所以 1 32DE PA ， 1 42EF BC ， 又 5DF ，
所以 2 2 2DE EF DF ，所以 DE EF ， ,EF AC 是平面 ABC 内两条相交直线，所以
DE ABC 平面 ，又 DE 平面 BDE ，所以平面 BDE 平面 ABC ．
【考点】线面平行与面面垂直．
10（2015 江苏卷 16）（本题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中，已知 BCAC ， 1CCBC ，设 1AB 的中点为 D ，
EBCCB 11 .求证：（1） CCAADE 11// 平面 ；[来源:学科网]
（2） 11 ABBC .
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）由三棱锥性质知侧面 1 1BB C C 为平行四边形,因此点 E 为 1B C 的中点，从而由三
角形中位线性质得 / /DE AC ，再由线面平行判定定理得 CCAADE 11// 平面 （2）因为直三棱
柱 111 CBAABC 中 1CCBC ，所以侧面 1 1BB C C 为正方形，因此 1 1BC B C ，又 BCAC ，
1AC CC （可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得 1 1AC BB C C 平面 ,从而
1AC BC ，再由线面垂直判定定理得 1 1BC AB C 平面 ,进而可得 11 ABBC
考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理
11（2015 江苏卷 22）（本小题满分 10 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA 平面 ABCD ，且四边形 ABCD 为直角梯
形，
2ABC BAD , 2, 1PA AD AB BC
（1）求平面 PAB 与平面 PCD所成二面角的余弦值；
（2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长
P
A
B C
D
Q
【答案】（1） 3
3
（2） 2 5
5
考点：空间向量、二面角、异面直线所成角
12. （2016 江苏卷 16） (本小题满分 14 分)
如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且
1 1B D A F ， 1 1 1 1AC A B .
求证：（1）直线 DE∥平面 A1C1F；
（2）平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
（2）在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 1 1 1AA 平面A B C
因为 1 1AC 平面 1 1 1A B C ，所以 1 1 1AA A C
又因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, ,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ， 平面 平面
所以 1 1AC 平面 1 1ABB A
因为 1B D 平面 1 1ABB A ，所以 1 1 1AC B D
又因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1C F, C F,B D A AC A A F A AC A F A F， 平面 平面
所以 1 1 1C FB D A 平面
因为直线 1 1B D B DE 平面 ，所以 1B DE平面 1 1 .AC F 平面
考点：直线与直线、平面与平面位置关系
八、直线与圆
（一）填空题
1、（2008 江苏卷 9）在平面直角坐标系中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C
(c,0) ，点 P（0，p）在线段 AO 上（异于端点），设 a,b,c, p 均为非零实数，直线 BP,CP 分
别交 AC , AB 于点 E ,F ，一同学已正确算的 OE 的方程： 1 1 1 1 0x yb c p a
，请你
求 OF 的方程： 1 1 0x yp a
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填 1 1
c b
．事实上，由截距式
可得直线 AB： 1x y
b a
，直线 CP： 1x y
c p
，两式相减得 1 1 1 1 0x yc b p a
，
显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程．
2、（2010 江苏卷 9）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 422 yx 上有且仅有四个点到直
线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是___________
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2，
圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1， | | 113
c ， c 的取值范围是（-13，13）。
3. （2012 江苏卷 12）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 2 2 8 15 0x y x ，若直线
2y kx 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值
是 ．
【答案】
3
4
【解析】根据题意 2 2 8 15 0x y x 将此化成标准形式为： 14 22 yx ，得到，该圆的圆
心为M 0,4 半径为1 ，若直线 2y kx 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆
与圆 C 有公共点，只需要圆心 M 0,4 到直线 2y kx 的距离 11d ，即可，所以有
2
1
24
2
k
kd ，化简得 0)43( kk 解得
3
40 k ，所以k 的最大值是
3
4 .
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准
方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是
对若直线 2y kx 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，这句
话的理解，只需要圆心 M 0,4 到直线 2y kx 的距离 11d 即可，从而将问题得以转化.本题
属于中档题，难度适中.
4.（2014 江苏卷 9）在平面直角坐标系 xOy 中,直线 032 yx 被圆 4)1()2( 22 yx 截
得的弦长为 ▲ .
【答案】 2 55
5
【 解 析 】 圆 2 2( 2) ( 1) 4x y 的 圆 心 为 (2, 1)C ， 半 径 为 2r ， 点 C 到 直 线
2 3 0x y 的距离为
2 2
2 2 ( 1) 3 3
51 2
d
，
所求弦长为 2 2 9 2 552 2 4 5 5l r d ．
【考点】直线与圆相交的弦长问题．
5（2015 江苏卷 10）在平面直角坐标系 xOy 中，以点 )0,1( 为圆心且与直线
)(012 Rmmymx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
【答案】 2 2( 1) 2.x y
考点：直线与圆位置关系
（二）解答题
1.（2008 江苏卷 18）设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 2 2f x x x b x R 的
图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C．求：
（Ⅰ）求实数 b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆 C 的方程；
（Ⅲ）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论．
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令 x ＝0，得抛物线与 y 轴交点是（0，b）；
令 2 2 0f x x x b ，由题意 b≠0 且Δ＞0，解得 b＜1 且 b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为 2x 2 0y Dx Ey F
令 y ＝0 得 2 0x Dx F 这与 2 2x x b ＝0 是同一个方程，故 D＝2，F＝b ．
令 x ＝0 得 2y Ey ＝0，此方程有一个根为 b，代入得出 E＝―b―1．
所以圆 C 的方程为 2 2 2 ( 1) 0x y x b y b .
（Ⅲ）圆 C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆 C 的方程，得左边＝0 2 ＋1 2 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝
0，
所以圆 C 必过定点（0，1）．
同理可证圆 C 必过定点（－2，1）．
2、（2009 江苏卷 18）（本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 2 2
1 :( 3) ( 1) 4C x y 和圆
2 2
2 :( 4) ( 5) 4C x y .
（1）若直线 l 过点 (4,0)A ，且被圆 1C 截得的弦长为 2 3 ，求直
线l 的方程；
（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 1l 和 2l ，它们分别与
圆 1C 和圆 2C 相交，且直线 1l 被圆 1C 截得的弦长与直线 2l 被圆 2C 截得的弦长相等，试求所
有满足条件的点 P 的坐标。
【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、
综合分析问题的能力。满分 16 分。
(1)设直线l 的方程为： ( 4)y k x ，即 4 0kx y k
由垂径定理，得：圆心 1C 到直线l 的距离 2 22 34 ( ) 12d ，
结合点到直线距离公式，得：
2
| 3 1 4 | 1,
1
k k
k
化简得： 2 724 7 0, 0, , 24k k k or k
求直线l 的方程为： 0y 或 7 ( 4)24y x ，即 0y 或 7 24 28 0x y
(2) 设点 P 坐标为 ( , )m n ，直线 1l 、 2l 的方程分别为：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1( ), ( )y n k x m y n x mk
，即： 1 10, 0kx y n km x y n mk k
因为直线 1l 被圆 1C 截得的弦长与直线 2l 被圆 2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定
理，得：：圆心 1C 到直线 1l 与 2C 直线 2l 的距离相等。
故有：
2
2
4 1| 5 || 3 1 |
11 1
n mk n km k k
k
k
，
化简得： (2 ) 3, ( 8) 5m n k m n m n k m n 或
关于 k 的方程有无穷多解，有： 2 0,3 0
m n
m n
m-n+8=0或 m+n-5=0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解之得：点 P 坐标为 3 13( , )2 2
或 5 1( , )2 2
。
3．（2013 江苏卷 17）（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 )3,0(A ，直线 42: xyl ．
设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
（1）若圆心 C 也在直线 1 xy 上，过点 A 作圆C 的切线，
求切线的方程；
（2）若圆C 上存在点 M ，使 MOMA 2 ，求圆心C 的横坐
标 a 的取值范围．
解：（1）联立：
42
1
xy
xy ，得圆心为：C(3，2)．
设切线为： 3 kxy ，
d＝ 1
1
|233|
2
r
k
k ，得：
4
30 kork ．
故所求切线为： 34
30 xyory ．
（2）设点 M(x，y)，由 MOMA 2 ，知： 2222 2)3( yxyx ，
化简得： 4)1( 22 yx ，
即：点 M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D．
又因为点 M 在圆C 上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中 22 )32( aaCD ．
解之得：0≤a≤12
5
．
4.（2016 江苏卷 18）
（本小题满分 16 分）
x
y
A l
O
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M: 2 2 12 14 60 0x y x y
及其上一点
A(2，4)
（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；
（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA,求直线 l 的方程；
（3）设点 T（t,o）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得 ,TA TP TQ ,求实数 t 的取
值范围。
【答案】（1） 2 2( 6) ( 7) 1x y （2） : 2 5 2 15l y x y x 或 （3）2 2 21 2 2 21t
【解析】
故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0.
(3)设 1 1 2 2, ,Q , .P x y x y
因为 2,4 , ,0 ,A T t TA TP TQ
,所以 2 1
2 1
2
4
x x t
y y
……①
因为点 Q 在圆 M 上，所以 2 2
2 26 7 25.x y …….②
将①代入②，得 2 2
1 14 3 25x t y .
于是点 1 1,P x y 既在圆 M 上，又在圆 2 24 3 25x t y 上，
从而圆 2 26 7 25x y 与圆 2 24 3 25x t y 没有公共点，
所以 2 25 5 4 6 3 7 5 5,t 解得 2 2 21 2 2 21t .
因此，实数 t 的取值范围是 2 2 21,2 2 21 .
考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算
九、圆锥曲线
（一）填空题
1、（2008 江苏卷 12）在平面直角坐标系中，椭圆
2 2
2 2
x y
a b
1( a b 0)的焦距为 2，以 O
为圆心， a 为半径的圆，过点
2
,0a
c
作圆的两切线互相垂直，则离心率 e = ．
【解析】设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故
2
2a ac
，解得 2
2
ce a
．
2 、（ 2009 江 苏 卷 13 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 1 2 1 2, , ,A A B B 为 椭 圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的四个顶点，F 为其右焦点，直线 1 2A B 与直线 1B F 相交于点 T，线段
OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .
【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。
直线 1 2A B 的方程为： 1x y
a b
；
直线 1B F 的方程为： 1x y
c b
。二者联立解得： 2 ( )( , )ac b a cT a c a c
，
则 ( )( , )2( )
ac b a cM a c a c
在椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上，
2 2
2 2 2
2 2
( ) 1, 10 3 0, 10 3 0( ) 4( )
c a c c ac a e ea c a c
，
解得： 2 7 5e
3.（2010 江苏卷 6）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1124
22
yx 上一点 M，点 M 的横坐
标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是__________
[解析]考查双曲线的定义。 4 22
MF ed
， d 为点 M 到右准线 1x 的距离， d =2，MF=4。
4. （2012 江苏卷 8）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
2 2
2 14
x y
m m
的离心率为 5 ，
则 m 的值为 ．
【答案】 2
【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在 x 轴上（否则不成立），因此 m ＞ 0 ，由离心率公
y
x
l
B
FO
c
b a
式得到 542
m
mm ，解得 2m .
【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对
本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，
几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.
5．（2013 江苏卷 3）双曲线 1916
22
yx 的两条渐近线的方程为 ．
【答案】 xy 4
3
【解析】令： 0916
22
yx ，得 xxy 4
3
16
9 2
．
6 ．（ 2013 江 苏 卷 12 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为
)0,0(12
2
2
2
bab
y
a
x ，右焦点为
F ，右准线为 l ，短轴的一个端点为 B ，设原点到直线 BF 的距离为 1d ， F 到 l 的距离
为 2d ，若 12 6dd ，则椭圆C 的离心率为 ．
【答案】
3
3
【解析】如图，l：x＝
c
a 2
， 2d ＝
c
a 2
－c＝
c
b 2
，
由等面积得： 1d ＝
a
bc 。若 12 6dd ，则
c
b 2
＝ 6 a
bc ，整理得： 066 22 baba ，两边同除以： 2a ，得： 066
2
a
b
a
b ，
解之得：
a
b ＝
3
6 ，所以，离心率为：
3
31e
2
a
b ．
7（2015 江苏卷 12）在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 122 yx 右支上的一个动点。
若点 P 到直线 01 yx 的距离大于 c 恒成立，则是实数 c 的最大值为 [来源:学#科#网 Z#X#X#K]
【答案】 2
2
【解析】
试题分析：设 ( , ),( 1)P x y x ，因为直线 1 0x y 平行于渐近线 0x y ，所以 c 的最大值
为直线 1 0x y 与渐近线 0x y 之间距离，为 1 2 .22
考点：双曲线渐近线，恒成立转化
8. （ 2016 江 苏 卷 3 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 双 曲 线
2 2
17 3
x y 的 焦 距 是
________▲________.
【答案】 2 10
考点：双曲线性质
9. （2016 江苏卷 10） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆
2 2
2 2 1( )x y a ba b
＞ ＞0 的
右焦点，直线
2
by 与椭圆交于
B，C 两点，且 90BFC ,则该椭圆的离心率是 ▲ .
(第 10 题)
【答案】 6
3
【 解 析 】 由 题 意 得 3 3( a, ),C( a, ),2 2 2 2
b bB ， 因 此
2 2 2 2 23 6( a) ( ) 0 3 2 .2 2 3
bc c a e
考点：椭圆离心率
（二）解答题
1、（2009 江苏卷 22）（本题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 A（2，2），其焦点 F 在 x 轴上。
（1）求抛物线 C 的标准方程；
（2）求过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程；
（3）设过点 ( ,0)( 0)M m m 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点，ME=2DM，记 D 和 E
两点间的距离为 ( )f m ，求 ( )f m 关于 m 的表达式。
【解析】 [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考
查运算求解能力。满分 10 分。
2、（2010 江苏卷 18）（本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆 159
22
yx 的左、右顶点为 A、B，右焦点为 F。
设过点 T（ mt, ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M ),( 11 yx 、
),( 22 yxN ，其中 m>0, 0,0 21 yy 。
（1）设动点 P 满足 422 PBPF ,求点 P 的轨迹；
（2）设
3
1,2 21 xx ，求点 T 的坐标；
（3）设 9t ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）。
【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运
算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。
（1）设点 P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由 422 PBPF ，得 2 2 2 2( 2) [( 3) ] 4,x y x y 化简得 9
2x 。
故所求点 P 的轨迹为直线 9
2x 。
（2）将
3
1,2 21 xx 分别代入椭圆方程，以及 0,0 21 yy 得：M（2，5
3
）、N（ 1
3
， 20
9
）
直线 MTA 方程为： 0 3
5 2 303
y x
，即 1 13y x ，
直线 NTB 方程为： 0 3
20 10 39 3
y x
，即 5 5
6 2y x 。
联立方程组，解得：
7
10
3
x
y
，
所以点 T 的坐标为 10(7, )3
。
（3）点 T 的坐标为 (9, )m
直线 MTA 方程为： 0 3
0 9 3
y x
m
，即 ( 3)12
my x ，
直线 NTB 方程为： 0 3
0 9 3
y x
m
，即 ( 3)6
my x 。
分别与椭圆 159
22
yx 联立方程组，同时考虑到 1 23, 3x x ，
解得：
2
2 2
3(80 ) 40( , )80 80
m mM m m
、
2
2 2
3( 20) 20( , )20 20
m mN m m
。
（方法一）当 1 2x x 时，直线 MN 方程为：
2
2 2
2 2
2 2 2 2
20 3( 20)
20 20
40 20 3(80 ) 3( 20)
80 20 80 20
m my xm m
m m m m
m m m m
令 0y ，解得： 1x 。此时必过点 D（1，0）；
当 1 2x x 时，直线 MN 方程为： 1x ，与 x 轴交点为 D（1，0）。
所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0）。
（方法二）若 1 2x x ，则由
2 2
2 2
240 3 3 60
80 20
m m
m m
及 0m ，得 2 10m ，
此时直线 MN 的方程为 1x ，过点 D（1，0）。
若 1 2x x ，则 2 10m ，直线 MD 的斜率
2
2 2
2
40
1080
240 3 40180
MD
m
mmk m m
m
，
直线 ND 的斜率
2
2 2
2
20
1020
3 60 40120
ND
m
mmk m m
m
，得 MD NDk k ，所以直线 MN 过 D 点。
因此，直线 MN 必过 x 轴上的点（1，0）。
3、（2011 江苏卷 18）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，M、N 分别是椭圆 124
22
yx 的
顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，
垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k
（1）当直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；
（2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；
（3）对任意 k>0，求证：PA⊥PB
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直
线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 16 分.
解：（1）由题设知， ),2,0(),0,2(,2,2 NMba 故 所以线段 MN 中点的坐
标为 )2
2,1( ，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直
线 PA 过坐标原点，所以 .2
2
1
2
2
k
（2）直线 PA 的方程
2 2
2 1,4 2
x yy x 代入椭圆方程得
解得 ).3
4,3
2(),3
4,3
2(,3
2 APx 因此
于是 ),0,3
2(C 直线 AC 的斜率为 .03
2,1
3
2
3
2
3
40
yxAB的方程为故直线
.3
22
11
|3
2
3
4
3
2|
, 21
d因此
（3）解法一：
将直线 PA 的方程 kxy 代入
2 2
2 2
2 21, , ,4 2 1 2 1 2
x y x
k k
解得 记
则 )0,(),,(),,( CkAkP 于是
故直线 AB 的斜率为 ,2
0 kk
其方程为 ,0)23(2)2(),(2
22222 kxkxkxky 代入椭圆方程得
解得
2 2 3
2 2 2
(3 2) (3 2)( , )
2 2 2
k k kx x B
k k k
或 因此 .
于是直线 PB 的斜率 .1
)2(23
)2(
2
)23(
2
22
23
2
2
2
3
1 kkk
kkk
k
k
k
k
k
k
因此 .,11 PBPAkk 所以
解法二：
设 )0,(),,(,,0,0),,(),,( 11121212211 xCyxAxxxxyxByxP 则 .
设 直 线 PB ， AB 的 斜 率 分 别 为 21,kk 因 为 C 在 直 线 AB 上 ， 所 以
.22)(
)(0
1
1
11
1
2
k
x
y
xx
yk
从而
1)(
)(2121
12
12
12
12
211
xx
yy
xx
yykkkk
.044)2(122
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
xxxx
yx
xx
yy
因此 .,11 PBPAkk 所以
4. （2012 江苏卷 19）（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1( 0)F c ， ，
2 ( 0)F c， ．已知 (1 )e， 和 3
2e
， 都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 1AF
与直线 2BF 平行， 2AF 与 1BF 交于点 P．
（i）若 1 2
6
2AF BF ，求直线 1AF 的斜率；
（ii）求证： 1 2PF PF 是定值．
【答案及解析】
A
BP
O1F 2F x
y
（第 19 题）
【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待
定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件
2
6
21 BFAF 时，
需要注意直线 1AF 和直线 2BF 平行这个条件.本题属于中档题．
5（2014 江苏卷 17）(本小题满分 14 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 21, FF 分别是椭圆 )0(12
3
2
2
ba
b
y
a
x 的左、右焦点，顶
点 B 的坐标为 ),0( b ，连结 2BF 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一
点 C，连结 CF1 .
(1)若点 C 的坐标为 )3
1,3
4( ,且 22 BF ,求椭圆的方程；
(2)若 ,1 ABCF 求椭圆离心率 e 的值.
【答案】（1）
2
2 12
x y ；（2） 1
2
．
【 解 析 】（ 1 ） 由 题 意 ， 2 ( ,0)F c ， (0, )B b ，
2 2
2 2BF b c a ， 又 4 1( , )3 3C ， ∴
2 2
2
4 1( ) ( )3 3 12 b
，解得 1b ．∴椭圆方程为
2
2 12
x y ．
（2）直线 2BF 方程为 1x y
c b
，与椭圆方程
2 2
2 2 1x y
a b
联立方程组，解得 A 点坐标为
2 3
2 2 2 2
2( , )a c b
a c a c
，则 C 点坐标为
2 3
2 2 2 2
2( , )a c b
a c a c
，
1
3
32 2
2 2 3
2 2
2 2F C
b
ba ck a c a c cca c
，
又 AB
bk c
，由 1FC AB 得
3
2 3 ( ) 12
b b
a c c c
，即 4 2 2 42b a c c ，
∴ 2 2 2 2 2 4( ) 2a c a c c ，化简得 1
2
ce a
．
【考点】（1）椭圆标准方程；（2）椭圆离心率．
F1 F2O x
y
B
C
A
(第 17 题)
6（2015 江苏卷 18）（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标 系 xOy 中，已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的离心率为 2
2
，且
右焦点 F 到左
准线 l 的距离为 3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，
C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程.
【答案】（1）
2
2 12
x y （2） 1y x 或 1y x ．
（2）当 x 轴时， 2 ，又 C 3 ，不合题意．
当 与 x 轴不垂直时，设直线 的方程为 1y k x ， 1 1,x y ， 2 2,x y ，
将 的方程代入椭圆方程，得 2 2 2 21 2 4 2 1 0k x k x k ，
则 2 2
1,2 2
2 2 1
1 2
k k
x k
， C 的坐标为
2
2 2
2 ,1 2 1 2
k k
k k
，且
2
2 2 22
2 1 2 1 2 1 2
2 2 1
1 1 2
k
x x y y k x x k
．
若 0k ，则线段 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意．
从而 0k ，故直线 C 的方程为
2
2 2
1 2
1 2 1 2
k ky xk k k
，
则 点的坐标为
2
2
5 22,
1 2
k
k k
，从而
2 2
2
2 3 1 1
C
1 2
k k
k k
．
因为 C 2 ，所以
2 2 2
22
2 3 1 1 4 2 1
1 21 2
k k k
kk k
，解得 1k ．
此时直线 方程为 1y x 或 1y x ．
考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系
7. （2016 江苏卷 22）（本小题满分 10 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x-y-2=0，抛物线 C：y2=2px(p＞0).
（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；
（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.
①求证：线段 PQ 的中点坐标为 (2 , ).p p ；
②求 p 的取值范围.
【答案】（1） xy 82 （2）①详见解析，② )3
4,0(
（2）设 1 1 2 2(x ,y ), (x ,y )P Q ，线段 PQ 的中点 0 0(x ,y )M
因为点 P 和 Q 关于直线l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ,
于是直线 PQ 的斜率为 1 ，则可设其方程为 .y x b
考点：直线与抛物线位置关系
十、概率与统计
（一）填空题
1、（2008 江苏卷 2）一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 ．
【解析】本小题考查古典概型．基本事件共 6×6 个，点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)
共 3 个，故 3 1
6 6 12P
2、（2008 江苏卷 6）在平面直角坐标系 xoy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的
点构成的区域， E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入 E
中的概率 ．
【解析】本小题考查古典概型．如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界），区
域 E 表示单位圆及其内部，因此．
21
4 4 16P
3、（2009 江苏卷 5）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，
若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .
【解析】 考查等可能事件的概率知识。
从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的
事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为 0.2。
4、（2009 江苏卷 6）某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练
习，每人投 10 次，投中的次数如下表：
学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s = .
【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。
甲班的方差较小，数据的平均值为 7，
故方差
2 2 2 2 2
2 (6 7) 0 0 (8 7) 0 2
5 5s
5、（2010 江苏卷 3）盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，
两只球颜色不同的概率是_ __.
[解析]考查古典概型知识。 3 1
6 2p
6、（2010 江苏卷 4）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从
中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都
在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有____根在棉花纤维的
长度小于 20mm。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
7、（2011 江苏卷 5）从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个
的两倍的概率是______
【解析】从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共 6 种.
其中符合条件的有 2 种,所以概率为 1
3 .也可以由 4 11 6 3
得到.
本题主要考查随机事件与概率,古典概型的概率计算，互斥事件及其发生的概率.容易题.
8、（2011 江苏卷 6）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组
数据的方差 ___2 s .
【解析】五个数的平均数是 7,方差为
2 2 2 2 2
2 (10 7) (6 7) (8 7) (5 7) (6 7) 16
5 5s
还可以先把这组数都减去 6 再求方差，16
5 .
本题主要考查总体分布的估计,总体特征数的估计,平均数方差的计算，考查数据处理能力,容易
题.
9. （2012 江苏卷 2） 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3 3 4: : ，现用分层抽样的
方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 名学生．
【答案】15
【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，
样本容量为 50 ，那么根据题意得：从高三一共可以抽
取人数为： 1510
350 人，答案 15 .
【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，
分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽
样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，
组距
频率
10080 90 110 120 130
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
底部周长/cm
（第 6 题）
这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映
总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视．
10. （2012 江苏卷 6）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， 3 为公比的等比数列，
若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是 ．
【答案】
5
3
【解析】组成满足条件的数列为： .19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1 从中随机
取出一个数共有取法10种，其中小于8 的取法共有 6 种，因此取出的这个数小于8 的概率为
5
3 .
【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事
件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别
注意.
11．（2013 江苏卷 6）抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环），结果如
下：
运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．
【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为： 905
9288919089 x ．
方差为： 25
)9092()9088()9091()9090()9089( 22222
2 S ．
12．（2013 江苏卷 7）现在某类病毒记作 nmYX ，其中正整数 m ，n（ 7m ， 9n ）可以
任意选取，则 nm，
都取到奇数的概率为 ．
【答案】
63
20
【解析】m 取到奇数的有 1，3，5，7 共 4 种情况；n 取到奇数的有 1，3，5，7，9 共 5 种情
况，则 nm， 都取到奇数的概率为
63
20
97
54
．
13（2014 江苏卷 4）从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的
概率是 ▲
.【答案】 1
3
【解析】从1,2,3,6 这 4 个数中任取 2 个数共有 2
4 6C 种取法，其中乘积为 6 的有1,6 和 2,3
两种取法，因此所求概率为 2 1
6 3P ．
【考点】古典概型．
14（2014 江苏卷 6）设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所
示,则在抽测的 60 株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm.
【答案】24
【 解 析 】 由 题 意 在 抽 测 的 60 株 树 木 中 ， 底 部 周 长 小 于 100cm 的 株 数 为
(0.015 0.025) 10 60 24 ．
【考点】频率分布直方图．
15（2015 江苏卷 5）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄
球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为________.
【答案】 5.6
考点：古典概型概率
16（2015 江苏卷 2）已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.
【答案】6
考点：平均数
17. （ 2016 江 苏 卷 4 ） 已 知 一 组 数 据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5 ， 则 该 组 数 据 的 方 差 是
________▲________.
【答案】0.1
【解析】
试题分析：这组数据的平均数为 1 (4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15
，
2 2 2 2 2 21 (4.7 5.1) (4.8 5.1) (5.1 5.1) (5.4 5.1) (5.5 5.1) 0.15S ．故答案
应填：0.1，
考点：方差
18. （2016 江苏卷 7）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6
个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 ▲ .
【答案】 5.6
【解析】点数小于 10 的基本事件共有 30 种，所以所求概率为 30 5.36 6
考点：古典概型概率
（二）解答题
1、（2010 江苏卷 22）本小题满分 10 分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品
率为 90%，二等品率为 10%。生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品
则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元。
设生产各种产品相互独立。
（1）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列；
（2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。
【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分 10 分。
解：（1）由题设知，X 的可能取值为 10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，
P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。
由此得 X 的分布列为：
X 10 5 2 -3
P 0.72 0.18 0.08 0.02
（2）设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件，则二等品有 4 n 件。
由题设知 4 (4 ) 10n n ，解得 14
5n ，
又 n N ，得 3n ，或 4n 。
所求概率为 3 3 4
4 0.8 0.2 0.8 0.8192P C
答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。
2．（2012 江苏卷 22）（本小题满分 10 分）
设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时， 0 ；当两条
棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 1 ．
（1）求概率 ( 0)P ；
（2）求 的分布列，并求其数学期望 ( )E ．
【答案与解析】
【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事
件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求
解，在列分布列时，要注意 的取值情况，不要遗漏 的取值情况．
3．（2014 江苏卷 22）(本小题满分 10 分)
盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1 学科王）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P；
（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 1 2 3x x x， ， ，随机变
量 X 学科王表示学科王 1 2 3x x x， ， 中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 ( )E X ．
【解析】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能
力.满分 10 分.
（1）一次取 2 个球共有 2
9C 36 种可能情况，2 个球颜色相同共有 2 2 2
4 3 2C C C 10 种可能情况
∴取出的 2 个球颜色相同的概学科王率 10 5
36 18P
（2）X 的所有可能取值为 4 3 2，， ，则
4
4
4
9
C 1( 4) C 126P X
3 1 3 1
4 5 3 6
3
9
C C C C 13( 3) C 63P X
11( 2) 1 ( 3) ( 4) 14P X P X P X
∴X 的概率分布列为
X 2 3 4
P 11
14
13
63
1
126
故 X 的数学期望
十一、算法初步
（一）填空题
1、（2008 江苏卷 7）某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选
择 50 位老人做调查，下表是 50 位老人日睡眠时间频率分布表：
Read a，b
If a>b Then
m a
Else
m b
End If
Print m
序号
（i）
分 组 睡 眠
时间
组中值（Gi） 频数（人
数）
频率
（Fi）
1 [4，5） 4.5 6 0.12
2 [5，6） 5.5 10 0.20
3 [6，7） 6.5 20 0.40
4 [7，8） 7.5 10 0.20
5 [8，9] 8.5 4 0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值为 ．
【解析】算法与统计的题目，答案：6.42
2、（2009 江苏卷 7）右图是一个算法的流程图，最后输出的W .
【解析】 考查读懂算法的流程图的能力。22
3、（2010 江苏卷 7）下图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是________
【解析】考查流程图理解。 2 41 2 2 2 31 33, 输出
2 51 2 2 2 63S 。
4、（2011 江苏卷 4）根据如图所示的伪代码，当输入 ba, 分别为 2，3 时，
最后输出的 m 的值是________
【解析】 2, 3a b ， ,a b 3m b .
本题主要考查考查算法的含义,基本算法语句,选择结构和伪代码，容易题.
5. （2012 江苏卷 4）右图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 ．
【答案】5
【解析】根据循环结构的流程图，当 1k 时，此时 0452 kk ；不
满足条件，继续执行循环体，当 2k 时， 6452 kk ；不满足条
件，继续执行循环，当 3k 时， 2452 kk 不满足条件，然后依
次出现同样的结果，当 5k 时，此时 4452 kk ，此时满足条件跳
出循环，输出 k 的值为5．
【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环结构的流
程图.注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的 k 的值．这是新
课标的新增内容，也是近几年的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程．
6．（2013 江苏卷 5）右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 ．
【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
7（2014 江苏卷 3）右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 ▲ .
【答案】5
【解析】本题实质上就是求不等式 2 20n 的最小整数解．2 20n 整数解为 5n ，因
此输出的 5n
【考点】程序框图
开始
0n
1 nn
202 n
输出 n
结束
（第 3 题）
N
Y
8（2015 江苏卷 4）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为________.
S←1
I←1
While I 10
S←S＋2
I←I＋3
End While
Print S
（第 4 题图）
【答案】7
【解析】
试题分析：第一次循环： 3, 4S I ;第二次循环： 5, 7S I ;第三次循环： 7, 10S I ;结
束循环，输出 7.S
考点：循环结构流程图
9. （2016 江苏卷 6）如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 ▲ .
【答案】9
考点：循环结构流程图
十二、复数
（一）填空题
1、（2008 江苏卷 3） ),(1
1 Rbabiai
i
表示为 的形式，则 ba =
【解析】
本小题考查复数的除法运算．∵ 211
1 2
ii ii
，∴ a ＝0，b ＝1，因此 1a b
2、（2009 江苏卷 1）若复数 1 24 29 , 6 9 ,z i z i 其中 i 是虚数单位，则复数 1 2( )z z i 的
实部为 。
【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。 -20
3、（2010 江苏卷 2）设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i（其中 i 为虚数单位），则 z 的模为______ _____.
【解析】考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等，z 的模为 2。
4、（2011 江苏卷 3）设复数 i 满足 izi 23)1( （i 是虚数单位），则 z 的实部是_________
【解析】由 ( 1) 3 2i z i 得到 3 2 1 2 3 1 1 3iz i ii
，答案：1
本题主要考查考查复数的概念，四则运算，容易题.
5. （2012 江苏卷 3）设 a bR， ， 11 7ii 1 2ia b
（i 为虚数单位），则 a b 的值为 ．
【答案】8
【解析】据题 ii
ii
ii
i
ibia 355
1525
)21)(21(
)21)(711(
21
711
，所以 ,3,5 ba 从
而 8 ba .
【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审
题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化
的实质.
6．（2013 江苏卷 2）设 2)2( iz （i 为虚数单位），则复数 z 的模为 ．
【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝ ＝5．
7.（2014 江苏卷 2）已知复数 2)i25( z (i 为虚数单位),则 z 的实部为 ▲ .
【答案】21
【解析】由题意 2 2(5 2 ) 25 2 5 2 (2 ) 21 20z i i i i ，其实部为 21．
【考点】复数的概念．
8.（2015 江苏卷 3）设复数 z 满足 2 3 4z i （i 是虚数单位），则 z 的模为_______.
【答案】 5
【解析】
试题分析： 2 2| | | 3 4 | 5 | | 5 | | 5z i z z
考点：复数的模
9. （ 2008 江 苏 卷 2 ） 复 数 (1 2i)(3 i),z 其 中 i 为 虚 数 单 位 ， 则 z 的 实 部 是
________▲________.
【答案】5
【解析】
试题分析： (1 2 )(3 ) 5 5z i i i ．故答案应填：5
考点：复数概念
十三、排列、组合、二项式定理
（一）解答题
1、（2008 江苏卷 23）请先阅读：在等式 2cos2 2cos 1x x （ xR ）的两边求导，得：
2(cos2 ) (2cos 1) x x ，
由求导法则，得 ( sin 2 ) 2 4cos ( sin )x x x ，化简得等式：sin 2 2cos sinx x x ．
（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）n＝ 0 1 2 2C C C C n n
n n n nx x x
（ xR ，正整数 2n≥ ），证明： 1[(1 ) 1]nn x ＝ 1
1
C
n
k k
n
k
k x
．
（2）对于正整数 3n≥ ，求证：
（i）
1
( 1) C
n
k k
n
k
k
＝0；（ii） 2
1
( 1) C
n
k k
n
k
k
＝0；（iii）
1
1
1 2 1C1 1
nn
k
n
k k n
．
答案：
2、（2011 江苏卷 23）．（本小题满分 10 分）
设整数 4n ， ( , )P a b 是平面直角坐标系 xOy 中的点，其中 , {1,2,3, , },a b n a b
（1）记 nA 为满足 3a b 的点 P 的个数，求 nA ；
（2）记 nB 为满足 1 ( )3 a b 是整数的点 P 的个数，求 nB
解：（1）点 P 的坐标满足条件：1 3 3, 3.nb a n A n 所以
（2）设 k 为正整数，记 ( )nf k 为满足题设条件以及 3a b k 的点 P 的个数，只要讨论
( ) 1nf k 的情形，由1 3 3b a k n k 知 1( ) 3 . .3n
nf k n k k 且
设 *1 3 , , | 0,1,2 |, .n m r m N r k m 其中 则
所以
1 1
3 ( 1) (2 3 3)( ) ( 3 ) .2 2
m m
n n
k k
m m m n mB f k n k mn
将 1
3
n rm 代入上式，化简得 ( 1)( 2) ( 1)
6 6n
n n r rB
所以
( 3) , ,6 3
( 1)( 2) , .6 3
n
n n n
B n n n
是整数
不是整数
3. （2016 江苏卷 23）（本小题满分 10 分）
（1）求 3 4
6 7–47C C 的值；
（2）设 m，nN*，n≥m，求证：
（m+1） Cm
m +（m+2） +1Cm
m +（m+3） +2Cm
m +…+n –1Cm
n +（n+1） Cm
n =（m+1） +2
+2Cm
n .
【答案】（1）0（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）根据组合数公式化简求值（2）设置（1）目的指向应用组合数性质解决问题，
而组合数性质不仅有课本上的 1 1
1
m m m
k k kC C C
，而且可由（1）归纳出的
1
1( 1) (m 1) ,( , 1, , )m m
k kk C C k m m n
；单纯从命题角度看，可视为关于 n 的等式，可结
合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看做展开式
1 1( 1)(1 ) ( 2)(1 ) (1 ) ( 1)(1 )m m n nm x m x n x n x 中含 mx 项的系数，再利用错
位相减求和得含 mx 项的系数 ，从而达到化简求证的目的
试题解析：解：（1） 3 4
6 7
6 5 4 7 6 5 47 4 7 4 0.3 2 1 4 3 2 1C C
考点：组合数及其性质
十四、推理、证明、数学归纳法
（一）填空题
1、（2009 江苏卷 8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：
4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 .
【解析】 考查类比的方法。体积比为 1：8
（二）解答题
1、（2010 江苏卷 23）（本小题满分 10 分）
已知△ABC 的三边长都是有理数。
（1）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。
【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、
解决问题的能力。满分 10 分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为 , ,a b c ，
2 2 2
cos 2
b c aA bc
，∵ , ,a b c 是有理数，
2 2 2b c a 是有理数，分母 2bc 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴
2 2 2
2
b c a
bc
必为有理数，∴cosA 是有理数。
（2）①当 1n 时，显然 cosA 是有理数；
当 2n 时，∵ 2cos2 2cos 1A A ，因为 cosA 是有理数， ∴ cos2A 也是有理数；
②假设当 ( 2)n k k 时，结论成立，即 coskA、 cos( 1)k A 均是有理数。
当 1n k 时， cos( 1) cos cos sin sink A kA A kA A ，
1cos( 1) cos cos [cos( ) cos( )]2k A kA A kA A kA A ，
1 1cos( 1) cos cos cos( 1) cos( 1)2 2k A kA A k A k A ，
解得： cos( 1) 2cos cos cos( 1)k A kA A k A
∵cosA， coskA ， cos( 1)k A 均是有理数，∴ 2cos cos cos( 1)kA A k A 是有理数，
∴ cos( 1)k A 是有理数。
即当 1n k 时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数 n，cosnA 是有理数。
（方法二）证明：（1）由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知
2 2 2
cos 2
AB AC BCA AB AC
是有理数。
（2）用数学归纳法证明 cosnA 和sin sinA nA 都是有理数。
①当 1n 时，由（1）知 cos A是有理数，从而有 2sin sin 1 cosA A A 也是有理数。
②假设当 ( 1)n k k 时， coskA 和sin sinA kA 都是有理数。
当 1n k 时，由 cos( 1) cos cos sin sink A A kA A kA ，
sin sin( 1) sin (sin cos cos sin ) (sin sin ) cos (sin sin ) cosA k A A A kA A kA A A kA A kA A ，
及①和归纳假设，知 cos( 1)k A 和sin sin( 1)A k A 都是有理数。
即当 1n k 时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数 n，cosnA 是有理数。
2．(2013 江苏，23)(本小题满分 10 分)设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，
－4，…， 1 1( 1) , ,( 1)
k
k kk k
个
，…，即当 1 1
2 2
k k k kn (k∈N*)时，an＝(－1)k－1k.
记 Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．对于 l∈N*，定义集合 Pl＝{n|Sn 是 an 的整数倍，n∈N*，且
1≤n≤l}．
(1)求集合 P11 中元素的个数；
(2)求集合 P2 000 中元素的个数．
解：(1)由数列{an}的定义得 a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝
－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以 S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，
S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而 S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，
所以集合 P11 中元素的个数为 5.
(2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．
事实上，①当 i＝1 时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；
②假设 i＝m 时成立，即 Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则 i＝m＋1 时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m
＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．
综合①②可得 Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是 S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2
＝(2i＋1)(i＋1)．
由上可知 Si(2i＋1)是 2i＋1 的倍数，而 ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以 Si(2i＋1)＋j＝Si(2i
＋1)＋j(2i＋1)是 ai(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．又 S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是 2i
＋2 的倍数，而 a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以 S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－
j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是 a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数，故当 l＝
i(2i＋1)时，集合 Pl 中元素的个数为 1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当 l＝i(2i＋1)＋
j(1≤j≤2i＋1)时，集合 Pl 中元素的个数为 i2＋j.
又 2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合 P2 000 中元素的个数为 312＋47＝1 008.
3.（2014 江苏卷 23）(本小题满分 10 分)
已知函数 0
sin( ) ( 0)xf x xx ，记 ( )nf x 为 1 ( )nf x
学科王
的导数， n N ．
（1）求 1 22 2 2 2f f 的值；
（2）证明：对任意的 n N ，等式 1
2
4 4 4 2n nnf f
成立．
【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证
能力.满分 10 分.
(1)解：由已知，得 1 0 2
sin cos sin( ) ( ) ,x x xf x f x x x x
于是 2 1 2 2 3
cos sin sin 2cos 2sin( ) ( ) ,x x x x xf x f x x x x x x
所以 1 22 3
4 2 16( ) , ( ) ,2 2f f
故 1 22 ( ) ( ) 1.2 2 2f f
(2)证明学科王：由已知，得 0 ( ) sin ,xf x x 等式两边分别对 x 求导，得 0 0( ) ( ) cosf x xf x x ，
即 0 1( ) ( ) cos sin( )2f x xf x x x ，类似可得
1 22 ( ) ( ) sin sin( )f x xf x x x ，
2 3
33 ( ) ( ) cos sin( )2f x xf x x x ，
3 44 ( ) ( ) sin sin( 2 )f x xf x x x .
下面学科王用数学归纳法证明等式 1 ( ) ( ) sin( )2n n
nnf x xf x x
对所有的 n *N 都成立.
(i)当 n=1 时，由上可知等式成立.
(ii 学科王)假设当 n=k 时等式成立, 即 1 ( ) ( ) sin( )2k k
kkf x xf x x
.
因为 1 1 1[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ),k k k k k k kkf x xf x kf x f x xf x k f x f x
( 1)[sin( )] cos( ) ( ) sin[ ]2 2 2 2
kk k kx x x x ，
所学科王以 1( 1) ( ) ( )k kk f x f x ( 1)sin[ ]2
kx .
所以当 n 学学科王科王=k+1 时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式 1 ( ) ( ) sin( )2n n
nnf x xf x x
对所有的 n *N 都成立.
令
4x ，可得 1 ( ) ( ) sin( )4 4 4 4 2n n
nnf f
( n *N ).
所以 1
2( ) ( )4 4 4 2n nnf f
( n *N ).
学科王学科王学科王学科王学学科王科王
4（2015 江苏卷 23）（本小题满分 10 分）
已知集合 3,2,1X ， )(,,3,2,1 *NnnYn ， ,),( abbabaSn 整除或整除
nYbXa , ，令 ( )f n 表示集合 nS 所含元素的个数.
（1）写出 (6)f 的值；
（2）当 6n 时，写出 ( )f n 的表达式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）13（2）
2 , 62 3
1 12 , 6 12 3
22 , 6 22 3
12 , 6 32 3
12 , 6 42 3
1 22 , 6 52 3
n nn n t
n nn n t
n nn n t
f n
n nn n t
n nn n t
n nn n t
下面用数学归纳法证明：
①当 6n 时， 6 66 6 2 132 3f ，结论成立；
②假设 n k （ 6k ）时结论成立，那么 1n k 时， 1kS 在 kS 的基础上新增加的元素在
1, 1k ，
考点：计数原理、数学归纳法
十五、选做题
1、（2008 江苏卷 21）（选做题）从 A，B，C，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分．
A．选修 4—1 几何证明选讲
如图，设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E，∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D．求
证： 2ED EB EC ．
B．选修 4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 2 24 1x y 在矩阵 A= 2 0
0 1 对应的变换作用下得到曲线
F，求 F 的方程．
C．选修 4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( )P x y， 是椭圆
2
2 13
x y 上的一个动点，求 S x y 的最
大值．
D．选修 4—5 不等式证明选讲
设 a，b，c 为正实数，求证： 3 3 3
1 1 1 2 3abca b c
+ ≥ ．
答案：
B C ED
A
2、（2009 江苏卷 21）[选做题]在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题 10 分，共计
20 分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.选修 4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形 ABCD 中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
【解析】 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。
满分 10 分。
证明：由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA，故 A、B、C、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再
由△ABC≌△BAD 得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以 AB∥CD。
B. 选修 4 - 2：矩阵与变换
求矩阵 3 2
2 1A
的逆矩阵.
【解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分 10 分。
解：设矩阵 A 的逆矩阵为 ,x y
z w
则 3 2 1 0 ,2 1 0 1
x y
z w
即 3 2 3 2 1 0 ,2 2 0 1
x z y w
x z y w
故 3 2 1, 3 2 0,
2 0, 2 1,
x z y w
x z y w
解得： 1, 2, 2, 3x z y w ，
从而 A 的逆矩阵为 1 1 2
2 3A
.
C. 选修 4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线 C 的参数方程为
1
,
13( )
x t
t
y t t
（t 为参数， 0t ）.
求曲线 C 的普通方程。
【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分 10 分。
解：因为 2 1 2,x t t
所以 2 12 ,3
yx t t
故曲线 C 的普通方程为： 23 6 0x y .
D. 选修 4 - 5：不等式选讲
设 a ≥b ＞0,求证： 3 33 2a b ≥ 2 23 2a b ab .
【解析】 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分 10
分。
证明： 3 3 2 2 2 2 2 23 2 (3 2 ) 3 ( ) 2 ( ) (3 2 )( ).a b a b ab a a b b b a a b a b
因为 a ≥b ＞0,所以 a b ≥0， 2 23 2a b ＞0，从而 2 2(3 2 )( )a b a b ≥0，
即 3 33 2a b ≥ 2 23 2a b ab
3、（2010 江苏卷 21）[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的．．．．．
答题区域内作答．．．．．．．。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤。
A．选修 4-1：几何证明选讲
（本小题满分 10 分）
AB 是圆 O 的直径，D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 AB 延
长线于点 C，若 DA=DC，求证：AB=2BC。
【解析】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。
（方法一）证明：连结 OD，则：OD⊥DC，
又 OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以 OC=2OD，即 OB=BC=OD=OA，所以 AB=2BC。
B
O
C
A
D
（方法二）证明：连结 OD、BD。
因为 AB 是圆 O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。
因为 DC 是圆 O 的切线，所以∠CDO=900。
又因为 DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而 AB=CO。
即 2OB=OB+BC，得 OB=BC。
故 AB=2BC。
B． 选修 4-2：矩阵与变换
（本小题满分 10 分）
在 平面 直角 坐标 系 xOy 中 ，已 知点 A(0,0) ，B(-2,0)， C(-2,1)。 设 k 为 非零 实数 ，矩 阵
M=
10
0k ,N=
01
10 ，点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1，△
A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍，求 k 的值。
【解析】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分 10 分。
解：由题设得 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0
k kMN
由 0 0 2 2 0 0
1 0 0 0 1 0 2 2
k k
，可知 A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（ k ，-2）。
计算得△ABC 面积的面积是 1，△A1B1C1 的面积是| |k ，则由题设知：| | 2 1 2k 。
所以 k 的值为 2 或-2。
C． 选修 4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分 10 分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切，求实数 a 的值。
【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分 10 分。
解： 2 2 cos ，圆ρ=2cosθ的普通方程为： 2 2 2 22 ,( 1) 1x y x x y ，
直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 的普通方程为：3 4 0x y a ，
又圆与直线相切，所以
2 2
| 3 1 4 0 | 1,
3 4
a
解得： 2a ，或 8a 。
D．选修 4-5：不等式选讲
（本小题满分 10 分）
设 a、b 是非负实数，求证： 3 3 2 2( )a b ab a b 。
【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分 10 分。
（方法一）证明： 3 3 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b ab a b a a a b b b b a
5 5( )[( ) ( ) ]a b a b
2 4 3 2 2 3 4( ) [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ]a b a a b a b a b b
因为实数 a、b≥0， 2 4 3 2 2 3 4( ) 0,[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ] 0a b a a b a b a b b
所以上式≥0。即有 3 3 2 2( )a b ab a b 。
（方法二）证明：由 a、b 是非负实数，作差得
3 3 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b ab a b a a a b b b b a 5 5( )[( ) ( ) ]a b a b
当 a b 时， a b ，从而 5 5( ) ( )a b ，得 5 5( )[( ) ( ) ] 0a b a b ；
当 a b 时， a b ，从而 5 5( ) ( )a b ，得 5 5( )[( ) ( ) ] 0a b a b ；
所以 3 3 2 2( )a b ab a b 。
4、（2011 江苏卷 21）【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在答题．．．．．．．．．．．．
卡指定区域内作答．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
A．选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）
如图，圆 1O 与圆 2O 内切于点 A ，其半径分别为 1r 与 2 1 2( )r r r ，
圆 1O 的弦 AB 交圆 2O 于点C （ 1O 不在 AB 上），
求证： :AB AC 为定值。
证明：连结 AO1，并延长分别交两圆于点Ｅ和点Ｄ连结 BD、CE，因为圆 O1 与圆 O2 内切于
点 A，所以点 O2 在 AD 上，故 AD，AE 分别为圆 O1，圆 O2 的直径。
从而
2ABD ACE ，所以 BD//CE，
于是 1 1
2 2
2 .2
r rAB AD
AC AE r r
所以 AB：AC 为定值。
B．选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）
21-A第 图
已知矩阵 1 1
2 1A
，向量 1
2
，求向量 ，使得 2A ．
解： 2 1 1 1 1 3 2
2 1 2 1 4 3A
设 2 3 2 1. , 4 3 2
x xAy y
由 得 ，从而 3 2 1,
4 3 2.
x y
x y
解得 11, 2, .2x y
所以
C．选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 5cos
3sin
x
y
（ 为参数）的右焦点且与直线
4 2
3
x t
y t
（t 为参数）平行的直线的普通方程。
解：由题设知，椭圆的长半轴长 5a ，短半轴长 3b ，从而 2 2 4c a b ，所以右焦
点为（4，0），将已知直线的参数方程化为普通方程： 2 2 0.x y
故所求直线的斜率为 1
2
，因此其方程为 1 ( 4), 2 4 02y x x y 即
D．选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）
解不等式： | 2 1| 3x x 解：原不等式可化为 2 1 0, 2 1 0,
(2 1) 3, (2 1) 3.
x x
x x x x
或 解
得 1 4 12 .2 3 2x x 或 所以原不等式的解集是 4| 2 .3x x
5．（2012 江苏卷 21）[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，．并在相应的答．．．．．．
题区域内作答．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
A．[选修 4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分 10 分）
如图，AB 是圆 O 的直径，D，E 为圆上位于 AB 异侧的两点，连结 BD 并延长至点 C，使
BD = DC，连结 AC，AE，DE．
求证： E C ．
A
E
B
D
C
O
【答案与解析】
【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质
考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属
于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，
在练习时，要有所侧重．
B．[选修 4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
已知矩阵 A 的逆矩阵 1
1 3
4 4
1 1
2 2
A ，求矩阵 A 的特征值．
【答案与解析】
【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式
与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；
在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．
C．[选修 4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
（第 21-A 题）
在极坐标中，已知圆 C 经过点 2 4P ， ，圆心为直线 3sin 3 2
与极轴的交点，求
圆 C 的极坐标方程．
【答案与解析】
【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角
和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线
2
3)3sin( 与极轴的交点，考
查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低
档题为主．
D．[选修 4 - 5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知实数 x，y 满足： 1 1| | | 2 |3 6x y x y ， ，求证： 5| | 18y ．
【答案与解析】
【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切
实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.
6．(2013 江苏，21)A．[选修 4－1：几何证明选讲](本小题满分 10 分)
如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，AC 经过圆心 O，且 BC＝2OC.
证明：连结 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，
所以∠ADO＝∠ACB＝90°.
又因为∠A＝∠A，所以 Rt△ADO∽Rt△ACB.
所以 BC AC
OD AD
.
又 BC＝2OC＝2OD，故 AC＝2AD.
B．[选修 4－2：矩阵与变换](本小题满分 10 分)已知矩阵 A＝ 1 0
0 2
，B＝ 1 2
0 6
，求矩阵
A－1B.
解：设矩阵 A 的逆矩阵为
a b
c d
，则 1 0
0 2
a b
c d
＝ 1 0
0 1
，即
2 2
a b
c d
＝ 1 0
0 1
，
故 a＝－1，b＝0，c＝0， 1
2d ，从而 A 的逆矩阵为 A－1＝
1 0
10 2
，
所以 A－1B＝
1 0
10 2
1 2
0 6
＝ 1 2
0 3
.
C．[选修 4－4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的
参数方程为 1,
2
x t
y t
(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为
22tan
2tan
x
y
(θ为参数)．试求直线
l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线 l 的参数方程为
x＝t＋1，
y＝2t
(t 为参数)，由 x＝t＋1 得 t＝x－1，代入 y＝2t，
得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2＝0.
同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x.
联立方程组 2
2 1 ,
2 ,
y x
y x
解得公共点的坐标为(2,2)， 1 , 12
.
D．[选修 4－5：不等式选讲](本小题满分 10 分)已知 a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋
b)．
因为 a≥b＞0，所以 a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即 2a3－b3≥2ab2－a2b.
7 （2014 江苏卷 21）【选做题】本题包括 A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的
答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
A.【选修 4-1:几何证明选讲】(本小题满分 10 分)
如图，AB 是圆 O 的直径，C、 D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点
证明:∠OCB=∠D.
本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分 10 分.
证明：因为 B, C 是圆 O 上的两点，所以 OB=OC.
故∠OCB=∠B.
学科王又因为 C, D 是圆 O 上位于学科王 AB 异侧的两点，
故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角，
所以∠B=∠D.
学科王 因此∠OCB=∠D.
B.【选修 4-2:矩阵与变换】(本小题满分 10 分)
已知矩阵 1 2
1 x
A ， 1 1
2 1
B ，向量 2
y
， x y， 为实数，若 Aα = Bα ，求 x y， 的
值．
【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分.
2 2
2
y
xy
A ， 2
4
y
y
Bα ，由 Aα = Bα 得 2 2 2
2 4
y y
xy y
，
，解得 1 42x y ，
C.【选修 4-4:学科王坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
21 2
22 2
x t
y t
，
(t 为参数)，直线 l 与抛物
线 2 4y x 交于 A B， 两点，求线段 AB 的长．
【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能
力.满分 10 分.
直线 l： 3x y 代入抛物线方程 2 4y x 并整理得 2 10 9 0x x
∴交点 (1 2)A ， ， (9 6)B ， ，故| | 8 2AB
D.【选修 4-5:不等式选讲】(本小题满分 10 分)
已知 x>0, y>0,证明：(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.
本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分 10 分.
证明：因为 x>0, y>0, 所以 1+x+y2≥ 233 0xy ，1+x2+y≥ 233 0x y ，
所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥ 2 23 33 3xy x y =9xy.
8.（2015 江苏卷 21）A（选修 4—1：几何证明选讲）
如图，在 ABC 中， ACAB ， ABC 的外接圆圆 O 的弦 AE 交 BC 于点 D
求证： ABD ∽ AEB
A
B C
E
D
O
（第 21——A 题）
【答案】详见解析
考点：三角形相似
21.B（选修 4—2：矩阵与变换）
已知 Ryx , ，向量
1
1 是矩阵
0
1
y
xA 的属性特征值 2 的一个特征向量，矩阵 A
以及它的另一个特征值.
【答案】 1 1
2 0
,另一个特征值为1．
【解析】
试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于 x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵
另一个特征值
试题解析：由已知，得 2 ，即 1 1 1 2
0 1 2
x x
y y
，
则 1 2
2
x
y
，即 1
2
x
y
，所以矩阵 1 1
2 0
．
从而矩阵 的特征多项式 2 1f ，所以矩阵 的另一个特征值为1．
考点：矩阵运算，特征值与特征向量
21.C（选修 4—4：坐标系与参数方程）
已知圆 C 的极坐标方程为 2 2 2 sin( ) 4 04
，求圆 C 的半径.
【答案】 6
考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化
21.D（选修 4—5：不等式选讲）
解不等式 2 3 2x x
【答案】 15 3x x x
或
【解析】
试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可
试题解析：原不等式可化为
3
2
3 2
x
x
或
3
2
3 3 2
x
x
．
解得 5x 或 1
3x ．
综上，原不等式的解集是 15 3x x x
或 ．
考点：含绝对值不等式的解法
9.（2016 江苏卷 21）【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相．．．
应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
A．【选修 4—1 几何证明选讲】（本小题满分 10 分）
如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D 为垂足，E 是 BC 的中点，求证：∠EDC=
∠ABD.
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质 ECBCDE
2
1 ， 再由 ECDEDC ，
ECD 与 DBC 互余， ABD 与 DBC 互余，等角关系： ECDABD ，从而得证
试题解析：
证明：在 ADB 和 ABC 中，
因为 90 , ,ABC BD AC A 为公共角，
所以 ADB ∽ ABC ，于是 ABD C .
在 Rt BDC 中，因为 E 是 BC 的中点，
所以 ED EC ，从而 EDC C .
所以 EDC ABD .
考点：相似三角形
B.【选修 4—2：矩阵与变换】（本小题满分 10 分）
已知矩阵 1 2 ,0 2A
矩阵 B 的逆矩阵 1
11= 2
0 2
B
，求矩阵 AB.
【答案】
51 4
0 1
[:]
因此，
1 511 2 14 40 2 1 0 10 2
AB
.
考点：逆矩阵，矩阵乘法
C.【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
11 2
3
2
x t
y t
（t 为参数），椭圆
C 的参数方程为 cos ,
2sin
x
y
（ 为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线
段 AB 的长. 【答案】 16
7
考点：直线与椭圆参数方程
D. 【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
设 a＞0，|x-1|＜
3
a ，|y-2|＜
3
a ，求证：|2x+y-4|＜a.
【答案】详见解析
试题分析：利用含绝对值的不等式进行放缩证明
试题解析：证明：因为| 1| ,| 2|3 3
a ax y
所以| 2 4| | 2( 1) ( 2) | 2| 1| | 2| 2 .3 3
a ax y x y x y a
考点：含绝对值的不等式证明
