全国卷高考理科数学试题及答案

全国卷高考理科数学试题及答案

‎2002年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷（理科）及答案 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．‎ 第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．‎ ‎（1）圆的圆心到直线的距离是 ‎（A）　　　（B）　　　（C）1　　　　（D）‎ ‎（2）复数的值是 ‎（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　　（D）1‎ ‎（3）不等式的解集是 ‎（A）　　　（B）且 ‎（C）　　　（D）且 ‎（4）在内，使成立的的取值范围是 ‎（A）　　（B）　　（C）　（D）‎ ‎（5）设集合，，则 ‎（A）　（B）　　　（C）　　　（D）‎ ‎（6）点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为 ‎（A）0　　　（B）1　　　　（C）　　　　（D）2‎ ‎（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 ‎（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）‎ ‎（8）正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是 ‎（A）　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）‎ ‎（9）函数（）是单调函数的充要条件是 ‎（A）　　　（B）　　　　（C）　　　（D）‎ ‎（10）函数的图象是 ‎（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 ‎（A）8种　　　（B）12种　　　　（C）16种　　　（D）20种 ‎（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为 ‎（A）115000亿元　（B）120000亿元　（C）127000亿元　　（D）135000亿元 第II卷(非选择题共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．‎ ‎（13）函数在上的最大值与最小值这和为3，则＝　　　‎ ‎（14）椭圆的一个焦点是，那么　　　　　‎ ‎（15）展开式中的系数是　　　　　　‎ ‎（16）已知，那么＝　　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）已知，，求、的值 ‎（18）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直点在上移动，点在上移动，若（）‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）为何值时，的长最小；‎ ‎（3）当的长最小时，求面与面所成二面角的大小 ‎（19）设点到点、距离之差为，到、轴的距离之比为2，求的取值范围 ‎（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？‎ ‎（21）设为实数，函数，‎ ‎（1）讨论的奇偶性；‎ ‎（2）求的最小值 ‎（22）设数列满足：，‎ ‎（I）当时，求并由此猜测的一个通项公式；‎ ‎（II）当时，证明对所的，有 ‎（i）‎ ‎（ii）‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C D C B B C B A B B C 二、填空题 ‎（13）2　　　（14）1　　　（15）1008　　　（16）‎ 三、解答题 ‎（17）解：由，得 ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（18）解（I）作∥交于点，∥交于点，连结，依题意可得∥，且，即是平行四边形 ‎∴‎ 由已知，‎ ‎∴，‎ ‎（II）由（I）‎ 所以，当时，‎ 即当、分别为、的中点时，的长最小，最小值为 ‎（III）取的中点，连结、，‎ ‎∵，为的中点 ‎∴，即即为二面角的平面角 又，所以，由余弦定理有 故所求二面角为 ‎（19）解：设点的坐标为，依题设得，即，‎ 因此，点、、三点不共线，得 ‎∵‎ ‎∴‎ 因此，点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故 将代入，并解得 ‎，因 所以 解得 即的取值范围为 ‎（20）解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，…，每年新增汽车万辆，则 ‎，‎ 对于，有 所以 ‎　　　　‎ 当，即时 当，即时 数列逐项增加，可以任意靠近 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即 ‎（）‎ 则，即万辆 综上，每年新增汽车不应超过万辆 ‎（21）解：（I）当时，函数 此时，为偶函数 当时，，，‎ ‎，‎ 此时既不是奇函数，也不是偶函数 ‎（II）（i）当时，‎ 当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为．‎ 若，则函数在上的最小值为，且．‎ ‎（ii）当时，函数 若，则函数在上的最小值为，且 若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为．‎ 综上，当时，函数的最小值为 当时，函数的最小值为 当时，函数的最小值为．‎ ‎（22）解（I）由，得 由，得 由，得 由此猜想的一个通项公式：（）‎ ‎（II）（i）用数学归纳法证明：‎ ①当时，，不等式成立．‎ ②假设当时不等式成立，即，那么 ‎．‎ 也就是说，当时，‎ 据①和②，对于所有，有．‎ ‎（ii）由及（i），对，有 ‎……‎ 于是，‎