与球有关的高考试题

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与球有关的高考试题

‎2016年高考数学微专题:与球体有关的问题 一、高考趋势分析:‎ ‎ 立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右,以两小一大的形式出现较多。与球相关的问题也时有考题出现,现针对近年高考考题形式总结如下 ,也是每年高考热点,每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。‎ ‎ 二、基础知识点拨: ‎ ‎ 1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径. ‎ ‎2.正方体的内切球其棱长为球的直径. ‎ ‎3.正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线. ‎ ‎4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. ‎ 方法主要是“补体”和“找球心”‎ ‎ 考试核心:性质的应用,构造直角三角形建立三者之间的关系。‎ 三、高考试题精练 ‎1.(2015高考新课标2,理9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )‎ A.36π B.64π C.144π D.256π ‎【答案】C ‎【考点定位】外接球表面积和椎体的体积.‎ ‎2.(2015·辽宁高考)已知直三棱柱ABC -A1B1C1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为(  )‎ A.         B.2 C. D.3 解析:选C 如图,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.又AM=BC=,OM=AA1=6,所以球O的半径R=OA= =.‎ ‎3.(2016·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则=________.‎ 解析:设正四面体棱长为a,则正四面体表面积为S1=4··a2=a2,其内切球半径为正四面体高的,即r=·a=a,因此内切球表面积为S2=4πr2=,则==.‎ 答案: ‎4.四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上,该四棱锥的三视图如图所示,E,F分别是棱AB,CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2,则该球的表面积为(  )‎ A.9π B.3π C.2π D.12π 解析:选D 该几何体的直观图如图所示,‎ 该几何体可看作由正方体截得,则正方体外接球的直径即为PC ‎.由直线EF被球面所截得的线段长为2,可知正方形ABCD对角线AC的长为2,可得a=2,在△PAC中PC= =2,球的半径R= ,∴S表=4πR2=4π×()2=12π.‎ 四、典型例题精析 类型一:有公共底边的等腰三角形,借助余弦定理求球心角。(两题互换条件形成不同的题)‎ ‎1.15.如图球O的半径为2,圆是一小圆,,A、B是圆上两点,若A,B两点间的球面距离为,则= . (2015年理科)‎ ‎2.15.如图球O的半径为2,圆是一小圆,,A、B是圆上两点,若=,则A,B两点间的球面距离为 (2014年文科)‎ 类型二:球内接多面体,利用圆内接多边形的性质求出小圆半径,通常用到余弦定理求余弦值,通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径,从而解决问题。‎ ‎3.15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若, ,则此球的表面积等于 。(2014年理科)‎ 析:欲求球的表面积,归根结底求球半径,与相关的是重要性质。‎ ‎∵AA1=2, ∴。‎ 现将问题转化到⊙O2的半径之上。‎ 因为△ABC是⊙O2的内接三角形,又知AB=AC=2,∠BAC=120°,三角形可解。‎ 由余弦定理有,‎ 由正弦定理有 ‎∴ ∴。‎ ‎4.14.正三棱柱内接于半径为的球,若两点的球面距离为,则正三棱柱的体积为 8  .(2013年理科)‎ ‎5.12.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,,则棱锥S—ABC的体积为 C (2014年理科)‎ ‎ A. B. C. D.1‎ ‎6.(11)已知是球表面上的点,,,,,则球表面积等于 A (2015年文科)‎ ‎(A)4 (B)3 (C)2 (D)‎ 类型三:通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化,构造勾股定理处理问题。‎ ‎7.15.设是球的半径,是的中点,过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于,则球的表面积等于 .(2015年文科)‎ 析:问题的解决根本——求球半径。‎ ‎ 与相关的重要性质中,可求(∵ ∴)‎ ‎ 问题转化到求上 充分运用题目中未用的条件,,∠OMC=45°,∴‎ 于是求得,∴‎ ‎8.(11)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4,则圆N的面积为 D (2014年理科)‎ ‎ (A)7 (B)9 (C)11 (D)13‎ ‎9.(5)如果把地球看成一个球体,则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为C(2015文科)‎ ‎(A)0.8 (B)0.75 (C)0.5 (D)0.25‎ 类型四:球内接多面体的相关元素之间的联系。‎ ‎10.13.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 4 cm.(2010年理科)‎ ‎11.16.长方体的顶点均在同一个球面上,,,则,两点间的球面距离为 .(2015年文科)‎ ‎12.14.体积为的一个正方体,其全面积与球的表面积相等,则球的体积等于 .(2009年文科)‎ ‎13.16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为___1/3____.(2015年文科)‎ ‎14.15.如图,半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是,求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . ‎ 类型五:平面几何性质在球中的综合应用。‎ ‎15.(16)已知球的半径为4,圆与圆为该球的两个小圆,为圆与圆的公共弦,.若,则两圆圆心的距离 .(2015年理科)‎ 析:由OM=ON知,⊙M与⊙No为等圆,根据球中的重要性质∴‎ 又MH⊥AB得H为AB中点,∴BH=AH=2 ∴‎ ‎∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π-∠MHN 由余弦定理有MN2=OM2+ON2-2OM·ON·cos∠MON ‎ MN2=MH2+NH2-2MH·NH·cos(π-∠MON)‎ 解得cos∠MON=,即∠MON=‎ ‎∴三角形OMN为等边三角形, ∴MN=3.‎ 类型六:性质的简单应用。‎ ‎16.(15)已知为球的半径,过的中点且垂直于的平面截球面得到圆,若圆的面积为,则球的表面积等于______16π_______.(2009年文科)‎ ‎17.(15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上,且,则棱锥的体积为 24 。(2011年理科)‎ ‎18.(9)高为 的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 C(2011年理科)‎ ‎(A) (B) (C)1 (D) ‎ 五、模拟试题精练 ‎1.(2015高考新课标2,理9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )‎ A.36π B.64π C.144π D.256π ‎【答案】C ‎2.(2015·辽宁高考)已知直三棱柱ABC -A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为(  )‎ A.         B.2 C. D.3 答案:选C ‎ ‎3.(2016·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则=________.‎ 答案: ‎4.四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上,该四棱锥的三视图如图所示,E,F分别是棱AB,CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2,则该球的表面积为(  )‎ A.9π B.3π C.2π D.12π 答案:选D .‎ ‎5.如图所示,已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A,CC1的中点,则四棱锥C1-B1EDF的体积为________.‎ 答案 (1)a3‎ ‎6.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A ‎7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为(  )‎ A. B. C.6 D.7‎ 答案 A ‎ ‎8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的体积为(  )‎ A. B. C. D. 答案:B
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