2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第六章6-2等差数列及其前n项和

2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第六章6-2等差数列及其前n项和

‎1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.‎ ‎2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎3.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.‎ ‎4.等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.‎ ‎(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列.‎ ‎5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.‎ ‎6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).‎ ‎7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.‎ ‎【知识拓展】‎ 等差数列的四种判断方法 ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　×　)‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　√　)‎ ‎(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　×　)‎ ‎(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　√　)‎ ‎1.(教材改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S9－S6＝27，则该数列的首项a1＝________.‎ 答案　 解析　由 得　解得a1＝.‎ ‎2.(教材改编)已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，则这五个数的积为________.‎ 答案　－ 解析　设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，‎ 由已知条件得 解得 所求5个数分别为－，，1，，或，，1，，－.‎ 故它们的积为－.‎ ‎3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝________.‎ 答案　98‎ 解析　由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，‎ ‎∴a100＝a10＋90d＝98.‎ ‎4.设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7＝________.‎ 答案　28‎ 解析　∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.‎ ‎5.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.‎ 答案　8‎ 解析　因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大.‎ 题型一　等差数列基本量的运算 例1　(1)(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.‎ ‎(2)(2016·徐州、宿迁模拟)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则的值为________.‎ 答案　(1)6　(2) 解析　(1)∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.‎ 又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.‎ ‎∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.‎ ‎(2)设等差数列{an}的首项为a1，则由＝3得＝3，所以d＝4a1，所以＝＝＝.‎ 思维升华　等差数列运算问题的通性通法 ‎(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.‎ ‎(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.‎ ‎　(2016·江苏)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是______.‎ 答案　20‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，‎ 则由题设可得 解得　从而a9＝a1＋8d＝20.‎ 题型二　等差数列的判定与证明 例2　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*).‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.‎ ‎(1)证明　因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，‎ bn＝(n∈N*)，‎ 所以bn＋1－bn＝－ ‎＝－＝－＝1.‎ 又b1＝＝－.‎ 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列.‎ ‎(2)解　由(1)知bn＝n－，‎ 则an＝1＋＝1＋.‎ 设f(x)＝1＋，‎ 则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数.‎ 所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.‎ 引申探究 例2中，若条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.‎ 解　由已知可得＝＋1，‎ 即－＝1，又a1＝，‎ ‎∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎∴＝＋(n－1)·1＝n－，‎ ‎∴an＝n2－n.‎ 思维升华　等差数列的四个判定方法 ‎(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.‎ ‎(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列.‎ ‎(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列.‎ ‎(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.‎ ‎　(1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为________.‎ ‎(2)已知等差数列{an}中，a4＋a6＝10，若前5项的和S5＝5，则其公差为________.‎ 答案　(1)an＝　(2)2‎ 解析　(1)由已知式＝＋可得 －＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.‎ ‎(2)因为a4＋a6＝10，所以2a5＝10，‎ 则a5＝5，又S5＝＝5a3＝5，‎ 故a3＝1，从而2d＝a5－a3＝4，故d＝2.‎ ‎(3)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.‎ ‎①设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；‎ ‎②求{an}的通项公式.‎ ‎①证明　由an＋2＝2an＋1－an＋2，‎ 得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，‎ 即bn＋1＝bn＋2.‎ 又b1＝a2－a1＝1，‎ 所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列.‎ ‎②解　由①得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，‎ 即an＋1－an＝2n－1.‎ 于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，‎ 所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.‎ 又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.‎ 题型三　等差数列性质的应用 命题点1　等差数列项的性质 例3　(1)(2015·广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.‎ ‎(2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.‎ 答案　(1)10　(2)21‎ 解析　(1)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5，故a2＋a8＝2a5＝10.‎ ‎(2)因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.‎ 命题点2　等差数列前n项和的性质 例4　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.‎ ‎(2)在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值为_____.‎ 答案　(1)114　(2)－2 018‎ 解析　(1)因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.‎ 又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，‎ 即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.‎ ‎(2)由题意知，数列{}为等差数列，其公差为1，‎ ‎∴＝＋(2 018－1)×1‎ ‎＝－2 018＋2 017＝－1.‎ ‎∴S2 018＝－2 018.‎ 思维升华　等差数列的性质 ‎(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.‎ ‎(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ‎①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；‎ ‎②S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎　(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝________.‎ ‎(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________.‎ 答案　(1)88　(2) 解析　(1)S11＝＝ ‎＝＝88.‎ ‎(2)＝＝＝＝ ‎＝＝.‎ ‎6.等差数列的前n项和及其最值 考点分析　公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大.‎ 典例1　(1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10＝________。‎ ‎(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.‎ 解析　(1)由题意得a3＋a8＝9，‎ 所以S10＝＝＝＝45.‎ ‎(2)方法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 则解得 所以S110＝110a1＋d＝－110.‎ 方法二　因为S100－S10＝＝－90，‎ 所以a11＋a100＝－2，‎ 所以S110＝ ‎＝＝－110.‎ 答案　(1)45　(2)－110‎ 典例2　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.‎ 规范解答 解　∵a1＝20，S10＝S15，‎ ‎∴10×20＋d＝15×20＋d，‎ ‎∴d＝－.‎ 方法一　由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，‎ 得a13＝0.‎ 即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0.‎ ‎∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，‎ 且最大值为S12＝S13＝12×20＋× ‎＝130.‎ 方法二　Sn＝20n＋· ‎＝－n2＋n ‎＝－2＋.‎ ‎∵n∈N*，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.‎ 方法三　由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.‎ ‎∴5a13＝0，即a13＝0.‎ ‎∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.‎ ‎1.(教材改编)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________. ‎ 答案　13‎ 解析　∵{an}是等差数列，设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6.则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.‎ ‎2.(教材改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝________.‎ 答案　49‎ 解析　由等差数列的性质得S7＝＝＝49.‎ ‎3.数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝________.‎ 答案　3‎ 解析　设{bn}的公差为d，‎ ‎∵b10－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2.‎ ‎∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.‎ ‎∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d ‎＝7×(－6)＋21×2＝0.‎ 又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0，‎ ‎∴a8＝3.‎ ‎4.在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝________.‎ 答案　132‎ 解析　方法一　由a1＋8d＝(a1＋11d)＋6，‎ 得a1＋5d＝12，∴a1＝12－5d.‎ 又S11＝11a1＋d＝11a1＋55d ‎＝11(12－5d)＋55d＝132.‎ 方法二　由a9＝a12＋6，得2a9－a12＝12.‎ 由等差数列的性质得，a6＋a12－a12＝12，a6＝12，S11＝＝＝132.‎ ‎5.已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为________.‎ 答案　7或8‎ 解析　由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝5－(n－1)＝，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n＝7或n＝8.‎ ‎6.(2016·南通模拟)已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为________.‎ 答案　10‎ 解析　由Sn－Sn－3＝51，得an－2＋an－1＋an＝51，‎ 所以an－1＝17，又a2＝3，‎ Sn＝＝100，解得n＝10.‎ ‎7.(2015·安徽)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________.‎ 答案　27‎ 解析　由题意知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.‎ ‎8.已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝________.‎ 答案　 解析　由已知得＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，‎ 故a10＝.‎ ‎9.设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.‎ 答案　130‎ 解析　由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.‎ ‎10.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________.‎ 答案　 解析　∵{an}，{bn}为等差数列，‎ ‎∴＋＝＋＝＝.‎ ‎∵＝＝＝＝，‎ ‎∴＋＝.‎ ‎11.(2016·苏州暑假测试) 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，且an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)，则a2 016＝________.‎ 答案　 解析　由an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)得＋＝(n≥2)，又a1＝1，a2＝，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列.所以＝n，即an＝，所以a2 016＝.‎ ‎12.若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，‎ 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，‎ 又＝＝2，‎ 故是首项为2，公差为2的等差数列.‎ ‎(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－＝ ‎＝－.‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式.‎ 故an＝ ‎*13.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*).‎ ‎(1)求证：数列{an}为等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明　当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，‎ 即a－2a1－3＝0，‎ 解得a1＝3(a1＝－1舍去).‎ 当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，‎ 又2Sn＝a＋n－4，‎ 两式相减得2an＝a－a＋1，‎ 即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，‎ 因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.‎ 若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.‎ 而a1＝3，‎ 所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，‎ 所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，‎ 因此数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列.‎ ‎(2)解　由(1)知a1＝3，d＝1，‎ 所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，‎ 即an＝n＋2.‎ ‎14.(2016·苏北四市摸底)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2＋k(n∈N*，k∈R)，且a1＝2，a3＋‎ a5＝－4.‎ ‎(1)若k＝0，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎(2)若a4＝－1，求数列{an}的通项公式.‎ 解　(1) 当k＝0时，2an＋1＝an＋an＋2，即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}是等差数列.‎ 设数列{an}的公差为d，‎ 则　解得 所以Sn＝na1＋d ‎＝2n＋×(－)＝－n2＋n.‎ ‎(2)由题意得2a4＝a3＋a5＋k，即－2＝－4＋k，所以k＝2.‎ 当n＝1时，2a2＝a1＋a3＋2，‎ 当n＝2时，2a3＝a2＋a4＋2，‎ 所以a4＝2a3－a2－2＝3a2－2a1－6＝－1，所以a2＝3, ‎ 由2an＋1＝an＋an＋2＋2，得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝－2，所以数列{an＋1－an}是以a2－a1＝1为首项，－2为公差的等差数列，所以an＋1－an＝－2n＋3.‎ 当n≥2时，有an－an－1＝－2(n－1)＋3，‎ 于是an－1－an－2＝－2(n－2)＋3，‎ an－2－an－3＝－2(n－3)＋3，‎ ‎…‎ a3－a2＝－2×2＋3，‎ a2－a1＝－2×1＋3，‎ 叠加得，an－a1＝－2[1＋2＋…＋(n－1)]＋3(n－1)(n≥2)，‎ 所以an＝－2×＋3(n－1)＋2＝－n2＋4n－1(n≥2).‎ 又当n＝1时，a1＝2也适合上式.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝－n2＋4n－1，n∈N*.‎