高中数学三角函数专题复习内附类型题以及历年高考真题

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高中数学三角函数专题复习内附类型题以及历年高考真题

三角函数知识点与常见习题类型解法 1. 任意角的三角函数:‎ (1) 弧长公式: R为圆弧的半径,为圆心角弧度数,为弧长。‎ (2) 扇形的面积公式: R为圆弧的半径,为弧长。‎ (3) 同角三角函数关系式:‎ ‎ ①倒数关系: ②商数关系:, ‎ ‎③平方关系:‎ (4) 诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)k·/2+所谓奇偶指的是整数k的奇偶性 函 数 ‎2.两角和与差的三角函数:‎ ‎(1)两角和与差公式:‎ ‎ ‎ ‎ 注:公式的逆用或者变形 ‎(2)二倍角公式:‎ ‎ ‎ ‎ 从二倍角的余弦公式里面可得出 降幂公式: , ‎ ‎(3)半角公式(可由降幂公式推导出):‎ ‎, ,‎ ‎3.三角函数的图像和性质:(其中)‎ 三角函数 定义域 ‎(-∞,+∞)‎ ‎(-∞,+∞)‎ 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ ‎(-∞,+∞)‎ 最小正周期 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 对称性 零值点 最值点 ‎,‎ ‎;‎ ‎,‎ ‎ 无 ‎4.函数的图像与性质:‎ ‎(本节知识考察一般能化成形如图像及性质)‎ (1) 函数和的周期都是 (2) 函数和的周期都是 (3) 五点法作的简图,设,取0、、、、来求相应的值以及对应的y值再描点作图。‎ (4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。(附上函数平移伸缩变换):‎ 函数的平移变换:‎ ‎ ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位 ‎(左加右减)‎ ‎ ② 将图像沿轴向上(下)平移个单位 ‎(上加下减)‎ 函数的伸缩变换: ‎ ‎ ① 将图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的倍(缩短, 伸长)‎ ‎ ② 将图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍(‎ 伸长,缩短)‎ 函数的对称变换:‎ ①) 将图像绕轴翻折180°(整体翻折)‎ ‎(对三角函数来说:图像关于轴对称)‎ ②将图像绕轴翻折180°(整体翻折)‎ ‎(对三角函数来说:图像关于轴对称)‎ ‎③ 将图像在轴右侧保留,并把右侧图像绕轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)‎ ④保留在轴上方图像,轴下方图像绕轴翻折上去(局部翻动)‎ ‎5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。‎ ‎(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。‎ ‎(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β=-等。‎ ‎(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。‎ ‎(4)引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。‎ 类题:‎ ‎1.已知tanx=2,求sinx,cosx的值.‎ 解:因为,又sin2x+cos2x=1,‎ 联立得 解这个方程组得 ‎2.求的值.‎ 解:原式 ‎3.若,求sinxcosx的值.‎ 解:法一:因为 所以sinx-cosx=2(sinx+cosx),‎ 得到sinx=-3cosx,又sin2x+cos2x=1,联立方程组,解得 所以 法二:因为 所以sinx-cosx=2(sinx+cosx),‎ 所以(sinx-cosx)2=4(sinx+cosx)2,‎ 所以1-2sinxcosx=4+8sinxcosx,‎ 所以有 ‎4.求证:tan2x·sin2x=tan2x-sin2x.‎ 证明:法一:右边=tan2x-sin2x=tan2x-(tan2x·cos2x)=tan2x(1-cos2x)=tan2x·sin2x,问题得证.‎ 法二:左边=tan2x·sin2x=tan2x(1-cos2x)=tan2x-tan2x·cos2x=tan2x-sin2x,问题得证.‎ ‎5.求函数在区间[0,2p ]上的值域.‎ 解:因为0≤x≤2π,所以由正弦函数的图象,‎ 得到 所以y∈[-1,2].‎ ‎6.求下列函数的值域.‎ ‎(1)y=sin2x-cosx+2; (2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx).‎ 解:(1)y=sin2x-cosx+2=1-cos2x-cosx+2=-(cos2x+cosx)+3,‎ 令t=cosx,则 利用二次函数的图象得到 ‎(2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx)=(sinx+cosx)2-1-(sinx+cosx),令t=sinx+cosx,,则则,利用二次函数的图象得到 ‎7.若函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为,它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式.‎ 解:由最高点为,得到,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x轴交点的间隔是 个周期,这样求得,T=16,所以 又由,得到可以取 ‎8.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若求f(x)的最大值、最小值.‎ 数的值域.‎ 解:(Ⅰ)因为f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x 所以最小正周期为π.‎ ‎(Ⅱ)若,则,所以当x=0时,f(x)取最大值为当时,f(x)取最小值为 1. 已知,求(1);(2)的值.‎ 解:(1);‎ ‎ (2) ‎ ‎ .‎ 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。‎ 2. 求函数的值域。‎ 解:设,则原函数可化为 ‎,因为,所以 当时,,当时,,‎ 所以,函数的值域为。‎ ‎3.已知函数。‎ ‎(1)求的最小正周期、的最大值及此时x的集合;‎ ‎(2)证明:函数的图像关于直线对称。‎ 解: ‎ ‎ ‎ ‎(1)所以的最小正周期,因为,‎ 所以,当,即时,最大值为;‎ ‎(2)证明:欲证明函数的图像关于直线对称,只要证明对任意,有成立,‎ 因为,‎ ‎,‎ 所以成立,从而函数的图像关于直线对称。‎ ‎4. 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 (x∈R),‎ ‎(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;‎ ‎(2)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?‎ 解:(1)y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x-1)+ +(2sinx·cosx)+1‎ ‎=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+‎ ‎=sin(2x+)+‎ 所以y取最大值时,只需2x+=+2kπ,(k∈Z),即 x=+kπ,(k∈Z)。‎ 所以当函数y取最大值时,自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}‎ ‎(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:‎ ‎(i)把函数y=sinx的图像向左平移,得到函数y=sin(x+)的图像;‎ ‎(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;‎ ‎(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像; ‎ ‎(iv)把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图像。‎ 综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。‎ 历年高考综合题 一,选择题 ‎1.(08全国一6)是 ( )‎ A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数 ‎2.(08全国一9)为得到函数的图象,只需将函数的图像( )‎ A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 ‎3.(08全国二1)若且是,则是 ( )‎ A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 ‎4.(08全国二10).函数的最大值为 ( )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎5.(08安徽卷8)函数图像的对称轴方程可能是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(08福建卷7)函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为 ( )‎ A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx ‎7.(08广东卷5)已知函数,则是 ( )‎ A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数 C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数 ‎8.(08海南卷11)函数的最小值和最大值分别为 ( )‎ A. -3,1 B. -2,‎2 ‎ C. -3, D. -2,‎ ‎9.(08湖北卷7)将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.(08江西卷6)函数是 ( )‎ A.以为周期的偶函数 B.以为周期的奇函数 C.以为周期的偶函数 D.以为周期的奇函数 ‎11.若动直线与函数和的图像分别交于两点,则的最大值为 ( )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎12.(08山东卷10)已知,则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎13.(08陕西卷1)等于 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎14.(08四川卷4) ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎15.(08天津卷6)把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 ( ) ‎ ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎16.(08天津卷9)设,,,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎17.(08浙江卷2)函数的最小正周期是 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎18.(08浙江卷7)在同一平面直角坐标系中,函数的图象和直线的交点个数是 ( )‎ A.0 B‎.1 ‎‎ C.2 D.4‎ 二,填空题 ‎19.(08北京卷9)若角的终边经过点,则的值为 . ‎ ‎20.(08江苏卷1)的最小正周期为,其中,则= .‎ ‎21.(08辽宁卷16)设,则函数的最小值为 . ‎ ‎22.(08浙江卷12)若,则_________。‎ ‎23.(08上海卷6)函数f(x)=sin x +sin(+x)的最大值是 ‎ 三,解答题 ‎24. (08四川卷17)求函数的最大值与最小值。‎ ‎25. (08北京卷15)已知函数()的最小正周期为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.‎ ‎26. (08天津卷17)已知函数()的最小值正周期是. (Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的最大值,并且求使取得最大值的的集合.‎ ‎27. (08安徽卷17)已知函数 ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 ‎(Ⅱ)求函数在区间上的值域 ‎28. (08陕西卷17)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期及最值;‎ ‎(Ⅱ)令,判断函数的奇偶性,并说明理由.‎ ‎1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A ‎11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C ‎19. 20. 10 21. 22. 23.2‎ ‎24. 解:‎ 由于函数在中的最大值为 ‎ ‎ 最小值为 ‎ ‎ 故当时取得最大值,当时取得最小值 ‎【点评】:此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值;‎ ‎【突破】:利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键;‎ ‎25. 解:(Ⅰ)‎ ‎.‎ 因为函数的最小正周期为,且,‎ 所以,解得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得.‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 因此,即的取值范围为.‎ ‎26. 解: ‎ 由题设,函数的最小正周期是,可得,所以.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.‎ 当,即时,取得最大值1,所以函数的最大值是,此时的集合为 ‎27. 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)‎ 因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,‎ 所以 当时,取最大值 1‎ 又 ,当时,取最小值 所以 函数 在区间上的值域为 ‎28. 解:(Ⅰ).‎ 的最小正周期.‎ 当时,取得最小值;当时,取得最大值2.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.又.‎ ‎.‎ ‎.‎ 函数是偶函数.‎
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