中山一中高考数学热身试题目理新人民教育出版

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广东省中山一中2014届高考数学热身试题 理 新人教A版 中点到准线距离为 （ ）‎ A． B．‎2 C．3 D．4‎ ‎6、已知是直线，、是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 （ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则. ‎ C．若，，则 D. 若，，则 ‎ ‎7.设，函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎8. 非空集合关于运算满足：（1）对任意的都有(2)存在都有 (3) 对任意的 都有，则称关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：‎ ① ‎＝｛非负整数｝，为整数的加法。 ‎ ② ‎ ②＝｛奇数｝，为整数的乘法。‎ ③ ‎＝｛平面向量｝为平面向量的数量积。‎ ④ ‎④＝｛二次三项式｝，为多项式加法。‎ ⑤ ‎＝｛虚数｝，为复数的乘法。‎ 其中关于运算为“融洽集”的是 （ ）‎ A．①④⑤ B．①② C．①②③⑤ D．②③⑤‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．‎ ‎9、已知变量x,y满足条件，则的最小值是_______________.‎ ‎10、在的展开式中，含项系数是__________.(用数字作答)‎ ‎11、设等差数列的前项和为，若，则_______________.‎ ‎12、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为 _____________.‎ ‎ ‎ ‎13、在上任取一个数，代入三个函数，，的计算程序，得到三个值，接着自动将它们输入下一个程序（对应程序框图如上右图），则输出的结果为的概率是_________‎ ‎14、15题二选一 ‎14．（坐标系与参数方程选做题） 若为曲线（）的 弦的中点，则该弦所在直线的倾斜角为_____________． ‎ ‎15．（几何证明选讲选做题） ‎ 如右图，在梯形中，//，与相交于，‎ 过的直线分别交、于、，且//，‎ 若=12，=20，则= . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分12分） ‎ ‎ 在△中，已知． ‎ ‎（1）求角； （2）若，△的面积是，求．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 为了调查我市在校中学生参加体育运动的情况， 从中随机抽取了16名男同学和14名女同学，调查发现，男、女同学中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱。 （1）根据以上数据完成以下2×2列联表：‎ ‎ ‎ 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 ‎ ‎ ‎16‎ 女 ‎ ‎ ‎14‎ 总计 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎30‎ ‎ （2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与喜爱运动有关？‎ ‎ （3）将以上统计结果中的频率视作概率， 从我市中学生中随机抽取3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列和均值。‎ ‎ 参考数据：‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎18. （本小题满分14分）‎ 已知数列为等差数列，且公差不为0， 为等比数列， ， ， . ‎ ‎（I）求的通项公式 .‎ ‎（II）设，其前n项和为， 求证：‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧。很多古代建筑和家具不用铁钉，保存到现代却依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用；如图，是一个楔子形状的直观图。其底面为一个矩形，其中，。顶部线段平面，棱， ， 二面角的余弦值为，‎ 设是的中点， ‎ ‎（1） 证明：平面；‎ ‎（2）求平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 已知的垂直平分线与交于Q点，‎ （1） 求Q点的轨迹方程；‎ ‎（2） 已知点 A（-2,0）， 过点且斜率为（）的直线与Q点的轨迹相交于两点，直线，分别交直线于点,，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.‎ ‎21. （本小题满分14分） ‎ ‎ 已知函数. ‎ ‎（1）若曲线在处的切线为，求的值；‎ ‎（2）设，，证明：当时，的图象始终在的图象的下方；‎ ‎（3）当时，设，（为自然对数的底数），表示导函数，求证：对于曲线上的不同两点，，，存在唯一的，使直线的斜率等于．‎ ‎2014年中山一中理数调研联考卷参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ A B ‎ A A C D C B 二、填空题 ‎（9）3 (10) 15 (11)、 7 (12)、 (13) （14）; (15) 15.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16、解题探究：本题主要考查三角恒等变换、三角形的内角和公式、余弦定理等知识，对于第（1）问，由诱导公式得到，进而可求出角的值；对于第（2）问，由余弦定理和三角形的面积可以得到关于和的方程组，解方程组即可得到.‎ 解析：（1）由，得． ……….3分 所以原式化为． ……………4分 ‎ 因为，所以 ， 所以 ． ‎ 因为， 所以 ． ………………6分 ‎（2）由余弦定理，得 ‎．…………….9分 因为 ，， ‎ 所以 ． ‎ 因为 ， 所以 . …………12分 链接高考 ‎：从近几年的高考看，高考对这三角函数的考查一般以三角恒等变换、三角函数的性质、解三角形为主，解题要掌握以下解题方法与技巧：①在三角函数的求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解；②在研究三角函数的性质的问题时，一般运用恒等变换将表达式转化为一个角的同名三角函数的形式求解；③对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意结合题设条件和几何图形通过正、余弦定理实现边角的转化.‎ ‎17、解：（1）‎ ‎ ‎ 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 ‎12‎ ‎4‎ ‎16‎ 女 ‎6‎ ‎8‎ ‎14‎ 总计 ‎18‎ ‎12‎ ‎30‎ ‎………2分 ‎ （2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：‎ ‎ …………………..5分 ‎ 因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关….6分 ‎ （3）统计结果中喜爱运动的中学生所占的频率为. ………………………..7分 喜爱运动的人数为的取值分别为：0，1，2， 3， 则有：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎……….10分 ‎ 喜爱运动的人数为的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎…11分 ‎ 因为~， 所以喜爱运动的人数的值为 ….12分 ‎18、解题探究：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式，考查考生分析问题、解决问题的能力.对于第（1）问，由已知条件递推关系可求出公差，进而可求出，的通项公式；对于第（2）问考察裂项. ‎ 解： （1）设等差数列的公差为， 则有， ……….2分 因为为等比数列， 则， 即 ……4分 从而， 又， 所以. …5分 所以， …………6分 ‎（2）依题意， 则 …………..7分 ‎ ……………….8分 ‎ ………….10分 ‎<4 …………………….12分 由于， 所以 ‎ 综上所述 ……..14分 ‎19、解题探究：本题主要考查了空间点，线面的位置关系，空间的角和体积的计算.考查学生的空间想象能力和运算能力.新课标对立体几何的教学要求中，特别提到了“感知”空间几何体，本题也是基于这种理念，让大家感知一个生活中实实在在的几何体；‎ 解析：（1）平面，且平面，‎ 又平面平面,‎ ‎(线面平行的性质定理). ‎ 又是平行四形两边的中点，,,‎ 四点共面. ……………………… 2分 ‎,,又，且,‎ 平面. ……. 4分 ‎(2)在平面内做的垂线，垂足为,则由第 (1)问可知：平面, 则平面ABCD平面,所以平面,‎ 又因为， 则二面角的的平面角为…………..6分 在和中， ‎ ‎， ‎ ‎ ………………………………………………7分 过做边的垂线，垂足为,连接,,‎ 解法一 由作图可知， ,‎ 由第（1）问，，,‎ 是要求二面角的平面角. …….10分 在中，,‎ ‎，‎ ‎，即二面角的余弦值是. ………….14分 解法二 以为坐标原点，以方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则由解法一知：，,,‎ 则,,‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由 ‎， ………………….10分 同理可求得设平面的一个法向量为:(也可根据对称性求得)， ‎ ‎……………… 11分 于是有：，‎ 根据法向量的方向，设二面角的平面角为，‎ 则……………….14分 预测：立体几何作为传统稳定的版块，要在证明位置关系和角，距离，体积的计算方面练好扎实的基本功外，我们也要注意一些高考新动向，命题给人一种命题者希望稳定推进的过程中对这部分进行的新尝试，因为，毕竟立体几何是几大传统版块中，新教材变动最多的地方之一.‎ ‎20、解题探究：本题主要考查了椭圆标准方程的求解，椭圆的基本性质，直线和椭圆的位置关系，考查考生的计算能力和数形结合的数学思想..对于第（1）问，根据垂直平分线和椭圆的性质进而可求出Q点的方程：对于第（2）问，先将直线的方程和椭圆的方程联立，再求出点的坐标，最后表示出直线的斜率化简代入即可得证.‎ 解：（1）已知的垂直平分线与交于Q点，‎ 由于所以，即Q点是以为焦点的椭圆 ………………2分 故所求Q点方程为. ……………4分 （1） 设过点（1,0），且斜率为（）的直线方程为，设点，点, ……5分 将直线方程代入椭圆： ，‎ 整理得：， ……….6分 因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，‎ 且. ……………7分 直线的方程为，直线的方程为，‎ 令，得点，点，‎ 所以点的坐 ……9分 直线的斜率为 ‎. ………11分 将代入上式得，‎ ‎. ‎ 所以为定值. …………14分 ‎21、解题探究：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的性质和分类讨论的思想方法.第(1)问根据导数的几何意义，求出切线的斜率，确定切线方程，进而求出的值；第(2)问关键是构造函数和求导;第(3)问的高等数学背景是拉格朗日中值定理，以此定理为背景的题目目前很流行，近两年也有很多省的高考题目涉及到.这里面构造函数和更变主元的思想也值得体会.‎ 解析：(1)，此时，又，所以曲线在点处的切线方程为，由题意得，，. ……… 3分 ‎（2）则 在单调递减，且 ‎ 当时，即，‎ 当时，的图像始终在的图象的下方. …………… 7分 ‎ ‎（3） 由题，.‎ ‎∵，∴，∴，‎ 即， ………………………9分 设,则是关于的一次函数，‎ 故要在区间证明存在唯一性，‎ 只需证明在上满足.下面证明之：‎ ‎，，‎ 为了判断的符号，可以分别将看作自变量得到两个新函数，‎ 讨论他们的最值：‎ ‎，将看作自变量求导得，‎ 是的增函数，‎ ‎∵，∴；‎ 同理：，将看作自变量求导得，‎ 是的增函数，‎ ‎∵，∴；‎ ‎∴， ‎ ‎∴函数在内有零点，……..13分 ‎ 又，函数在是增函数，‎ ‎∴函数在内有唯一零点，从而命题成立.…14分 指引: 在最后的复习中，这类问题可从几个角度去总结：一、从函数类型，比如对数函数和一，二次函数组合，指数函数和一，二次函数，幂函数组合等等，这样可以在纷繁复杂的题中找到一些共同规律，熟练每类组合的特性，做到临场不慌，当然也要对一些冷门组合特别关照.二、从讨论参数角度：求导后，一般要讨论：1、导数有没有零点（原函数有没有极值点），2、导数的正负和零点的大小，3、导数的零点和区间端点大小的比较，将这几类讨论集中分类练.三、从题目说法和考查背景的角度去总结，比如，题目一般都爱考最值问题，根的问题等，那么，最值的设问方式有哪些？根的情况的设问方式有哪些？平时这样去总结，可做到考场上胸有成竹，快速转换题意，少受题目干扰.四、在总结了通法这个主体工程后，还可在平时练习中顺便可以对遇到的一些特殊技巧进行积累.‎