上海嘉定区高考一模试卷数学文

上海嘉定区高考一模试卷数学文

‎2016年上海市嘉定区高考一模试卷数学文 一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分.‎ ‎1.= .‎ 解析：分式的分子分母同时除以n2，利用极限的性质能求出结果.‎ ‎==.‎ 答案：.‎ ‎2.设集合A={x|x2-2x＞0，x∈R}，B={x|≤0，x∈R}，则A∩B= .‎ 解析：集合A={x|x2-2x＞0，x∈R}={x|x＜0或x＞2，x∈R}，‎ B={x|≤0 ， x∈R}={x|-1≤x＜1，x∈R}，‎ ‎∴A∩B={x|-1≤x＜0，x∈R}(或[-1，0)).‎ 答案：{x|-1≤x＜0，x∈R}(或[-1，0))‎ ‎3.若函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)的反函数的图象过点(3，-1)，则a= .‎ 解析：∵函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)的反函数的图象过点(3，-1)，‎ ‎∴3=a-1，解得a=.‎ 答案：‎ ‎4.已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是 .‎ 解析：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，‎ ‎∴(6+7+8+9+m)=8，解得m=10，‎ ‎∴这组数据的方差S2=[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2.‎ 答案：2‎ ‎5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示).‎ 解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，‎ 则A(2，0，0)，M(2，1，2)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，‎ ‎=(0，1，2)，=(-2，0，2)，‎ 设异面直线AM与B1C所成的角为θ，.‎ ‎∴θ=arccos.∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos.‎ 答案：arccos.‎ ‎6.若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为 .‎ 解析：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r=1，设圆锥母线为l，则πrl=2π，∴l=2，‎ ‎∴圆锥的高h==.∴圆锥的体积V=πr2h=.‎ 答案：.‎ ‎7.已知=0，则sin2α= .‎ 解析：∵=0，∴sinα-2cosα=0，‎ ‎∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，解得cosα=±，‎ 当cosα=-时，sinα=2cosα=-，∴sin2α=2sinαcosα=2×(-)×(-)=，‎ 当cosα=时，sinα=2cosα=，∴sin2α=2sinαcosα=2××=，‎ 故sin2α=.‎ 答案：.‎ ‎8.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是 .‎ 解析：模拟执行程序，可得k=1，S=0‎ 满足条件k≤2015，S=，k=2.‎ 满足条件k≤2015，S=+，k=3.‎ ‎…‎ 满足条件k≤2015，S=++…+，k=2015.‎ 满足条件k≤2015，S=++…++，k=2016.‎ 不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值.‎ 由于S=++…++=1-+-+-…+-=1-=.‎ 答案：.‎ ‎9.过点P(1，2)的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则实数a的值为 ‎ ‎.‎ 解析：当a=0时，直线ax-y+1=0，即直线y=1，根据所求直线与该直线垂直，且过点P(1，2)，‎ 故有所求的直线为x=1，此时，不满足所求直线与圆x2+y2=4相切，故a≠0.‎ 故要求的直线的斜率为，要求的直线的方程为 y-2=(x-1)，即 x-ay+2a-1=0.‎ 再根据圆心O到x-ay+2a-1=0的距离等于半径2，可得=2，求得a=-.‎ 答案：-.‎ ‎10.从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是 .‎ 解析：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，‎ 基本事件总数n==10，‎ 选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，‎ ‎∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率：p=.‎ 答案：.‎ ‎11.设=(k，12)，=(4 ，5)，=(10，k)，则k= 时，点A，B，C共线.‎ 解析：∵=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，‎ ‎∴=(4-k，-7)，=(6，k-5)；‎ 又与共线，∴(4-k)(k-5)-(-7)×6=0，‎ 即k2-9k-22=0，解得k=-2或k=11；∴当k=-2或11时，点A，B，C共线.‎ 答案：-2或11.‎ ‎12.已知n=80，则n= .‎ 解析：因为=(1+2)n=80+1=81，所以3n=81，∴n=4.‎ 答案：4‎ ‎13.设数列{an}满足a1=2，an+1=1-，记数列前n项的积为Pn，则P2016的值为 .‎ 解析：∵1=2，an+1=1-，∴a2=，a3=-1，a4=2，…，‎ ‎∴an+3=an.a1a2a3=-1.∴数列前2016项的积P2016=(-1)672=1.‎ 答案：1.‎ ‎14.对于函数y=f(x)，若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f(x)在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称函数y=f(x)在定义域D上封闭，如果函数f(x)=在R上封闭，则b-a= .‎ 解析：∵f(x)==设0≤x1＜x2，‎ 则f(x1)-f(x2)=＞0，故f(x)在[0，+∞)上是 单调递减函数，又∵f(x)=，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数.‎ 所以f(x)在R上是单调递减函数，‎ 而x∈[0，+∞)时，f(x)值域为(-4，0]，x∈(-∞.0)时，f(x)值域为(0，4)‎ 要使得y=f(x)在[a，b]上的值域也为[a，b]，则a＜0＜b，‎ 由得得∴b-a=6.‎ 答案：6‎ 二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15.“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若φ=时，y=sin(x+φ)=cosx 为偶函数；‎ 若y=sin(x+φ)为偶函数，则φ=+kπ，k∈Z；‎ ‎∴“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=”的必要不充分条件.‎ 答案：B.‎ ‎16.下列四个命题：‎ ‎①任意两条直线都可以确定一个平面；‎ ‎②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；‎ ‎③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；‎ ‎④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外.‎ 其中错误命题的个数是(　　)‎ A.1‎ B.2‎ C.3‎ D.4‎ 解析：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；‎ 在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，‎ 若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；‎ 在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，‎ 如四面体S-ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；‎ 在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确.‎ 答案：C ‎17.若椭圆x2+my2=1的焦距为2，则m的值是(　　)‎ A.‎ B.1‎ C.2‎ D.4‎ 解析：∵椭圆x2+my2=1的焦距为2，∴=2，解得m=.‎ 故选：A ‎18.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则等于(　　)‎ A.6‎ B.7‎ C.8‎ D.9‎ 解析：∵3a1，a3，2a2成等差数列，∴a3=3a1+2a2，‎ ‎∴q2-2q-3=0，∴q=3，q=-1(舍去).∴ =q2=32=9.‎ 故选：D 三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液.现将此容器倾斜一定角度α(图②)，且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面).‎ ‎(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；‎ ‎(2)现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由.‎ 解析：(1)根据题意画出图形，结合图形，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，且点F在线段AD上，用tanα表示出DF、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值；‎ ‎(2)当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，则点F在线段AB上，溶液纵截面为Rt△CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论.‎ 答案：(1)根据题意，画出图形，如图所示，‎ 过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，‎ 在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，‎ 且点F在线段AD上，AF=30-20tanα，‎ 此时容器内能容纳的溶液量为：‎ S梯形ABCF·20=·20=(30-20tanα+30)·20·10=2000(6-2tanα)(cm3)；‎ 而容器中原有溶液量为20×20×20=8000(cm3)，‎ 令2000(6-2tanα)≥8000，解得tanα≤1，所以α≤45°，‎ 即α的最大角为45°时，溶液不会溢出；‎ ‎(2)如图所示，当α=60°时，‎ 过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，‎ 在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10cm，‎ ‎∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF，‎ ‎∵S△ABF=BC·BF=150cm2，‎ 容器内溶液量为150×20=300cm3，‎ 倒出的溶液量为(8000-3000)cm3＜3000cm3.∴不能实现要求.‎ ‎20.已知x∈R，设=(2cosx ， sinx+cosx)，=(sinx ，sinx-cosx)，记函数f(x)=·.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)=2，c=，a+b=3，求△ABC的面积S.‎ 解析：(1)利用数量积运算性质、倍角公式与和差公式可得f(x)，再利用三角函数的图象与性质即可得出；‎ ‎(2)利用三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出.‎ 答案：(1)∵f(x)=·=2sinxcosx+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x=2sin(2x-). ‎ ‎∴f(x)的最小正周期是T=π.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，‎ 得函数f(x)的单调递增区间是[kπ- ， kπ+](k∈Z).‎ ‎(2)由f(C)=2，得sin(2C-)=1，‎ ‎∵0＜C＜π，所以-＜2C-＜，∴2C-=，C=. ‎ 在△ABC中，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，‎ 得3=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab，即ab=2，‎ ‎∴△ABC的面积S=absinC=×2×=.‎ ‎21.设函数f(x)=k·ax-a-x(a＞0且a≠1)是奇函数.‎ ‎(1)求常数k的值；‎ ‎(2)设a＞1，试判断函数y=f(x)在R上的单调性，并解关于x的不等式f(x2)+f(2x-1)＜0.‎ 解析：(1)可看出f(x)的定义域为R，而f(x)又是奇函数，从而有f(0)=0，这样可求出k=1；‎ ‎(2)f(x)=ax-a-x，根据单调性的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，提取公因式，便可说明f(x1)＜f(x2)，这便得出f(x)在R上单调递增，从而根据f(x)为奇函数和增函数便可由原不等式得到x2＜1-2x，解该不等式便可得出原不等式的解集.‎ 答案：(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)是奇函数；∴f(0)=k-1=0；∴k=1；‎ ‎(2)由(1)，f(x)=ax-a-x，设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：‎ f(x1)-f(x2)=；‎ ‎∵a＞1，x1＜x2；ax1-ax2＜0，又1+1ax1+x2＞0；∴f(x1)-f(x2)＜0；‎ 即f(x1)＜f(x2)；∴函数f(x)在R上是单调递增函数；‎ 由f(x2)+f(2x-1)＜0，得f(x2)＜-f(2x-1)；‎ 即f(x2)＜f(1-2x)；f(x)在R上单调递增；‎ ‎∴x2＜1-2x，即x2+2x-1＜0；解得-1-＜x＜-1+；∴原不等式的解为(-1-，-1+).‎ ‎22.已知抛物线x2=2py，准线方程为y+1=0，直线l过定点T(0，t)(t＞0)且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)·是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；‎ ‎(3)当t=1时，设=λ·，记|AB|=f(λ)，求f(λ)的解析式.‎ 解析：(1)根据准线方程便可得到-=-1，从而可以求出p，这便得到抛物线方程为x2=4y；‎ ‎(2)可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得到直线l方程y=kx+t，联立抛物线方程并消去y得到x2-4kx-4t=0，从而得到这样即可得到·=t2-4t，根据题意知t为定值，即得出·为定值，定值为t2-4t；‎ ‎(3)可得到T(0，1)，可设B(x0，)，根据条件=λ便可得到A(-λx0，1+λ-λ·)，而根据点A在抛物线x2=4y上便可得到x02=，而T又是抛物线的焦点，从而有f(λ)=|AB|=yA+yB+2，带入A，B的纵坐标及x02=便可得出f(λ)的解析式.‎ 答案：(1)由题意，-=-1，p=2；‎ ‎∴抛物线方程为x2=4y；‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y=kx+t，则：‎ 由得，x2-4kx-4t=0；∴‎ ‎∴y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=-4k2t+4k2t+t2=t2；‎ ‎∴·=x1x2+y1y2=t2-4t；‎ 因为点T(0，t)是定点，所以t是定值，所以·是定值，此定值为t2-4t；‎ ‎(3)T(0，1)，设B(x0，x024)，则：‎ ‎=(x0，)，=λ=(λx0 ，λ·-λ)，故A(-λx0 ，1+λ-λ·)；‎ 因为点A在抛物线x2=4y上，所以λ2x02=4(1+λ-λ·)，得x02=；‎ 又T为抛物线的焦点，故f(λ)=|AB|=yA+yB+2=(1+λ-λ·)++2=λ++2；‎ 即f(λ)=λ++2(λ＞0).‎ ‎23.设复数zn=xn+i·yn，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位，zn+1=(1+i)·zn，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn.‎ ‎(1)求复数z2，z3，z4的值；‎ ‎(2)证明：当n=4k+1(k∈N*)时，∥；‎ ‎(3)求数列{xn·yn}的前100项之和.‎ 解析：(1)利用zn+1=(1+i)·zn，z1=3+4i，即可得出；‎ ‎(2)由已知zn+1=(1+i)·zn，得zn=(1+i)n-1·z1，当n=4k+1时，(1+i)n-1=(-4)k，即可证明.‎ ‎(3)由zn+4=(1+i)4zn=-4zn，可得xn+4=-4xn，yn+4=-4yn，xn+4yn+4=16xnyn，即可得出.‎ 答案：(1)∵zn+1=(1+i)·zn，z1=3+4i，‎ ‎∴z2=(1+i)(3+4i)=-1+7i，z3=-8+6i，z4=-14-2i.‎ ‎(2)由已知zn+1=(1+i)·zn，得zn=(1+i)n-1·z1，‎ 当n=4k+1时，(1+i)n-1=(1+i)4k=(-4)k，‎ 令λ=(-4)k，则zn=λ·z1，‎ 即则存在非零实数λ=(-4)k(k∈N*)，使得=λ.‎ ‎∴当n=4k+1(k∈N*)时，∥. ‎ ‎(3)∵zn+4=(1+i)4zn=-4zn，‎ 故xn+4=-4xn，yn+4=-4yn，‎ ‎∴xn+4yn+4=16xnyn，‎ 又x1y1=12，x2y2=-7，x3y3=-48，x4y4=28，‎ ‎∴x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+…+(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)=(12-7-48+28)·=1-2100，‎ ‎∴数列{xnyn}的前100项之和为1-2100.‎