2015年北京高考数学理科试题及答案

2015年北京高考数学理科试题及答案

绝密★启封并使用完毕前 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．复数 A． B． C． D．‎ ‎2．若，满足则的最大值为 A．0 B．1 C． D．2‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A． B． C． D．‎ ‎4．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 A． B． C． D．5‎ ‎6．设是等差数列. 下列结论中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎7．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是 A． B．‎ C． D．‎ ‎8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确 的是 A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分（非选择题　共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎10．已知双曲线的一条渐近线为，则 ．‎ ‎11．在极坐标系中，点到直线的距离为 ．‎ ‎12．在中，，，，则 ．‎ ‎13．在中，点，满足，．若，则 ； ．‎ ‎14．设函数 ‎①若，则的最小值为 ；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎15．（本小题13分）已知函数．‎ ‎(Ⅰ) 求的最小正周期；‎ ‎(Ⅱ) 求在区间上的最小值．‎ ‎16．（本小题13分），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：‎ 组：10，11，12，13，14，15，16‎ 组：12，13，15，16，17，14，‎ 假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．‎ ‎(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；‎ ‎(Ⅱ) 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；‎ ‎(Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）‎ ‎17．（本小题14分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求证：；‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值；‎ ‎(Ⅲ) 若平面，求的值．‎ ‎18．（本小题13分）已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．‎ ‎19．（本小题14分）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本小题13分）已知数列满足：，，且．‎ 记集合．‎ ‎（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；‎ ‎（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）A （2）D （3）B （4）B （5）C （6）C （7）C （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9）40 （10） （11）1 （12）1 （13） ‎ ‎ （14） ‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎15. 解：(Ⅰ) ‎ ‎ 所以的最小正周期 ‎(Ⅱ) ， ‎ ‎ 当，即时，取得极小值。‎ ‎ ， ‎ ‎ 所以在的最小值 ‎16. 解：(Ⅰ) 设甲的康复时间不少于14天记为事件A ‎ ‎ 所以甲的康复时间不少于14天的概率为 ‎(Ⅱ) 因为，假设乙康复的时间为12天，则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天，共4人。‎ 若乙的康复时间为13天，则符合题意的甲有14天、15天、16天，共3人。‎ 若乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天、16天，共2人。‎ 若乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天，共1人。‎ 当乙的康复时间为其它值时，由于甲的康复时间为16天，均不符合题意。‎ 所以符合题意的甲、乙选择法师共计4+3+2+1=10种 ‎ 而所有甲、乙组合情况共种 因为所有情况都是等可能的，所以甲的康复时间比乙的康复时间长的概率 ‎ (Ⅲ) 或 ‎17. (Ⅰ) 证明：是等边三角形，为的中点。‎ ‎ 又平面平面,‎ ‎ 平面平面 平面 ‎ 平面 又平面 ‎ ‎ ‎ (Ⅱ) 取得中点，连接 ‎ 如图分别以为轴建立空间直角坐标系 ‎ ‎ ‎ 易见平面的法向量为 ‎ 设平面的法向量为 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 因为二面角为钝角，所以它的余弦值为.‎ ‎(Ⅲ) 由(Ⅰ)知 平面 ‎ ‎ 若平面 ， 仅需 ‎ 由(Ⅱ)得 ， ‎ ‎ ，‎ ‎ ， 解得（舍）或.‎ ‎18．解：‎ ‎ （Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ 所以切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）原命题 ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ 当时，， ‎ ‎ 函数在上单调递增。‎ ‎ ， 因此 ‎ ‎（Ⅲ） ‎ ‎ ‎ ‎ 所以当 函数在上单调递增，‎ ‎ ‎ ‎ 当时，令 解得 x ‎0‎ 减 极小值 增 ‎ 显然不成立。‎ ‎ 综上可知：的最大值为2.‎ ‎19．解：（Ⅰ）由题知： 解得 ‎ 所求的椭圆的方程为.‎ ‎ ‎ ‎ 直线的方程为 ‎ 直线与轴交于 ‎ 令 ，则 ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ 直线的方程为， 直线与轴交于 ‎ 令 ， 则， ‎ ‎ 设 ‎ ， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ， ‎ ‎ 又在椭圆上， ‎ ‎ ‎ ‎ 在轴存在点 使。‎ ‎20. 解：（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数。‎ ‎ 由 ‎ 当时，都是3的倍数。‎ ‎ 如果，则集合的所有元素都是3的倍数。‎ ‎ 如果，因为或， 所以是3的倍数， 于是是3的倍数。‎ ‎ 类似可得，都是3的倍数。‎ 综上，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数。‎ ‎（Ⅲ）若，由，‎ 可归纳证明， ‎ ‎ 因为是正整数，由， 所以是2的倍数。‎ ‎ 从而当时，时4的倍数。‎ ‎ 如果是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数，是3的倍数。‎ ‎ 因此当时，.这时的元素个数不超过5.‎ ‎ 如果不是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数，不是3的倍数。‎ 因此当时，这时的元素个数不超过8.‎ ‎ 当时，由8个元素。‎ ‎ 综上可知：集合的元素个数的最大值为8.‎ 法二：‎