高考数学不等式专题复习

高考数学不等式专题复习

不等式专题 ‎1.不等式的基本概念 ‎ 1.不等（等）号的定义：‎ ‎ 2.不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.‎ ‎ 3.同向不等式与异向不等式. 4.同解不等式与不等式的同解变形.‎ ‎2.不等式的基本性质 ‎（1）（对称性） （2）（传递性）‎ ‎（3）（加法单调性） （4）（同向不等式相加）‎ ‎（5）（异向不等式相减） （6）‎ ‎（7）（乘法单调性） （8）（同向不等式相乘）‎ ‎（异向不等式相除） （倒数关系）‎ （11） ‎（平方法则） （12）（开方法则）‎ 练习：（1）对于实数中，给出下列命题：‎ ‎ ①； ②； ③； ‎ ‎ ④； ⑤； ⑥；‎ ‎ ⑦； ⑧，则。‎ 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）；‎ ‎（2）已知，，则的取值范围是______ （答：）；‎ ‎（3）已知，且则的取值范围是______ （答：）‎ ‎3.不等式的解法 ‎（1）整式不等式的解法（根轴法）.‎ ‎ 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.‎ ‎① 一元一次不等式ax>b解的讨论；‎ 一元一次不等式的解法与解集形式 当时，, 即解集为 当 时 ，即解集为 ‎ 7‎ ‎②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二次函数（）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ‎ R ‎ ‎ ‎（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化（切忌去分母）‎ ‎＞0 <0 ‎ ‎（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ‎ ‎ ‎（4）.指数不等式：转化为代数不等式 7‎ ‎（5）对数不等式：转化为代数不等式 ‎（6）含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；应用化归思想等价转化 练习：求下列不等式的解集 ‎（1）， （2） （3） （4） ‎ ‎（5） （6） （7） ‎ ‎（8） （9） （10）‎ ‎5．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如 ‎（1）若，则的取值范围是__________ （答：或）；‎ ‎（2）解不等式 ‎（时，；时，或；时，或）‎ 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于的不等式 的解集为，则不等式的解集为__________（答：（－1,2））‎ ‎6.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）‎ ‎1)一元二次不等式恒成立问题： ‎ 7‎ 练习：若一元二次不等式的解集是R则的取值范围是 ‎ ‎2).恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 练习：（1）设实数满足，当时，的取值范围是______（答：）；‎ ‎（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____（答：）；‎ ‎（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____（答：（,））；‎ ‎（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____（答：）；‎ ‎（5）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.（答：）‎ ‎3). 能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；‎ 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.‎ 练习：已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围____ （答：）‎ ‎7.基本不等式及其应用 ‎1.几个重要不等式 ‎（1）‎ ‎（2）（当仅当a=b时取等号）‎ ‎（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）‎ 极值定理：若则：如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ‎ 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. （利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.）‎ ‎（当仅当a=b=c时取等号） （当仅当a=b时取等号）‎ 7‎ ‎（7）‎ ‎2.几个著名不等式 ‎ （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）‎ 即：平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数（a、b为正数）：‎ 特别地，（当a = b时，）‎ 幂平均不等式：‎ 注：例如：.‎ 常用不等式的放缩法：①‎ ‎②‎ ‎3.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.‎ 练习：应用一：求最值 ‎1.求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋ 技巧一：凑项 已知，求函数的最大值。‎ 技巧二：凑系数 当时，求的最大值。‎ 技巧三： 分离 求的值域。‎ 条件求最值 1.若实数满足，则的最小值是 .‎ ‎2.若，求的最小值.并求x,y的值 技巧四：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。‎ ‎1.已知，且，求的最小值。‎ 7‎ ‎2. 若且，求的最小值 技巧五、取平方 已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.‎ ‎4.简单的线性规划 ‎1、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点）‎ 例、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为　　　‎ ‎2、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 ‎15高考题 ‎1.（15北京理科）若，满足则的最大值为（ ）A．0 B．1 C． D．2‎ ‎3.（15广东理科）若变量，满足约束条件则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 4‎ ‎4.（15年广东文科）若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D.‎ ‎6.（15年安徽文科）已知x，y满足约束条件，则z=-2x+y的最大值是( )A.-1 B.-2 C.-5 D.1‎ ‎7.（15年福建理）若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )A. B. C. D.2‎ ‎10.（15年福建文）变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）A.-2 B.-1 C.1 ‎ 7‎ ‎11.（15年新课标1理科）若x,y满足约束条件则的最大值为 .3‎ ‎12.（15年新课标2理科）若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．‎ ‎13.（15年新课标2文科）若x,y满足约束条件 ,则z=2x+y的最大值为 ．8‎ ‎7（2013山东卷）在平面直角坐标系中,为不等式组所表示的区域上一动点,则直线的最小值为_____‎ 7‎