2013高考数学理热点专题专练专题六 算法统计概率复数测试题
专题六 算法、统计、概率、复数测试题
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z的共轭复数为，若||＝4，则z·＝( )
A．4 B．2
C．16 D．±2
解析 设z＝a＋bi，则z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.又||＝4，得＝4，所以z·＝16.故选C.
答案 C
2．(2011·湖北)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
解析 K正常工作，概率P(A)＝0.9
A1A2正常工作，概率P(B)＝1－P(1)P(2)＝1－0.2×0.2＝0.96
∴系统正常工作概率P＝0.9×0.96＝0.864.
答案 B
3．(2011·课标)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 古典概型，总的情况共3×3＝9种，满足题意的有3种，故所求概率为P＝＝.
答案 A
4．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
解析 夹在带状区域内的点，总体呈上升趋势的属于正相关；反之，总体呈下降趋势的属于负相关．显然选C.
答案 C
5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间[4,5)上的数据的频数为( )
A．15 B．20
C．25 D．30
解析 在区间[4,5)的频率/组距的数值为0.3，而样本容量为100，所以频数为30.故选D.
答案 D
6．(2011·辽宁丹东模拟)甲、乙两名同学在五次测试中的成绩用茎叶图表示如图，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙，则下列结论正确的是( )
A．x甲>x乙；乙比甲成绩稳定
B．x甲>x乙；甲比乙成绩稳定
C．x甲
x乙．又s＝×(22＋12＋02＋12＋22)＝×10＝2，s＝×(52＋02＋12＋12＋32)＝×36＝7.2，所以甲比乙成绩稳定．故选B.
答案 B
7．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 由图示可得，图中阴影部分的面积S＝(－x)dx＝＝－＝，由此可得点P恰好取自阴影部分的概率P＝＝.
答案 C
8．如图所示的流程图，最后输出的n的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 当n＝2时，22>22不成立；当n＝3时，23>32不成立；当n＝4时，24>42不成立；当n＝5时，25>52成立．所以n＝5.故选C.
答案 C
9．正四面体的四个表面上分别写有数字1,2,3,4，将3个这样的四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 将正四面体投掷于桌面上时，与桌面接触的面上的数字是1,2,3,4的概率是相等的，都等于.若与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除，则三个数字中至少应有一个为3，其对立事件为“与桌面接触的三个面上的数字都不是3”，其概率是3＝，故所求概率为1－＝.
答案 C
10．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15＋x＝126，∴x＝6.故选B.
答案 B
11．(2011·杭州市第一次教学质量检测)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 发球次数X的分布列如下表，
X
1
2
3
P
p
(1－p)p
(1－p)2
所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，
解得p>(舍去)或p<，又p>0，故选C.
答案 C
12．(2012·济宁一中高三模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝，其中A的各位数中，a1＝1，ak(k可取2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E(ξ)＝( )
A. B.
C. D.
解析 ξ＝1，P1＝C40＝，
ξ＝2时，P2＝C3·＝，
ξ＝3时，P3＝C·2·2＝，
ξ＝4时，P4＝C·3＝，
ξ＝5时，P5＝C4＝，
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
答案 C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．
13．(2012·广东湛江十中模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率为________．
解析 如图所示，给出的可行域即为正方形及其内部．而所求事件所在区域为一个圆，两面积相比即得概率为.
答案
14．(2012·山东潍坊模拟)给出下列命题：
(1)若z∈C，则z2≥0；(2)若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；(3)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；(4)若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是________．
解析 由复数的概念及性质知，(1)错误；(2)错误；(3)错误，若a＝－1，(a＋1)i＝0；(4)正确，z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1.
答案 (4)
15．(2011·上海)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为________．(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)
解析 P＝1－≈0.985.
答案 0.985
16．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y等于________．
解析 由图中程序框图可知，所求的y是一个“累加的运算”，即第一步是3；第二步是7；第三步是15；第四步是31；第五步是63.
答案 63
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
积极参加
班级工作
不太主动参加
班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．(参考下表)
P(K2≥k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解 (1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为＝；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为.
(2)K2＝＝≈11.5，
∵K2>10.828，
∴有99.9%的把握说学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
18．(本小题满分12分)
在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港风帆选手李丽珊以惊人的耐力和斗志，勇夺金牌，为香港体育史揭开了“突破零”的新一页．在风帆比赛中，成绩以低分为优胜．比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．前7场比赛结束后，排名前5位的选手积分如表一所示：
表一
排名
运动员
比赛场次
总分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
李丽珊
(中国香港)
3
2
2
2
4
2
7
22
2
简度(新西兰)
2
3
6
1
10
5
5
32
3
贺根(挪威)
7
8
4
4
3
1
8
35
4
威尔逊(英国)
5
5
14
5
5
6
4
44
5
李科(中国)
4
13
5
9
2
7
6
46
根据上面的比赛结果，我们如何比较各选手之间的成绩及稳定情况呢？如果此时让你预测谁将获得最后的胜利，你会怎么看？
解 由表一，我们可以分别计算5位选手前7场比赛积分的平均数和标准差，分别作为衡量各选手比赛的成绩及稳定情况，如表二所示．
表二
排名
运动员
平均积分()
积分标准差(s)
1
李丽珊(中国香港)
3.14
1.73
2
简度(新西兰)
4.57
2.77
3
贺根(挪威)
5.00
2.51
4
威尔逊(英国)
6.29
3.19
5
李科(中国)
6.57
3.33
从表二中可以看出：李丽珊的平均积分及积分标准差都比其他选手的小，也就是说，在前7场比赛过程中，她的成绩最为优异，而且表现也最为稳定．
尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假定每位运动员在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同(实际情况也确实如此)，因此可以把前7场比赛的成绩看做是总体的一个样本，并由此估计每位运动员最后的比赛的成绩．从已经结束的7场比赛的积分来看，李丽珊的成绩最为优异，而且表现最为稳定，因此在后面的4场比赛中，我们有足够的理由相信她会继续保持优异而稳定的成绩，获得最后的冠军．
19．(本小题满分12分)
(2012·苏州五中模拟)设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B，在区域A中任意取一点P(x，y)．
(1)求点P落在区域B中的概率；
(2)若x、y分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数，求点P落在区域B中的概率．
解 (1)设区域A中任意一点P(x，y)∈B为事件M.因为区域A的面积为S1＝36，区域B在区域A中的面积为S2＝18.故P(M)＝＝.
(2)设点P(x，y)落在区域B中为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P(x，y)的个数为36，其中在区域B中的点P(x，y)有21个．故P(N)＝＝.
20．(本小题满分12分)
某中学部分学生参加全国高中数学竞赛，取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频率分布直方图”(如图)，请回答：
(1)该中学参加本次数学竞赛的有多少人？
(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖率是多少？
(3)这次竞赛成绩的中位数落在哪段内？
(4)上图还提供了其他信息，请再写出两条．
解 (1)由直方图(如图)可知：4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)；
(2)90分以上的人数为7＋5＋2＝14(人)，
∴×100%＝43.75%.
(3)参赛同学共有32人，按成绩排序后，第16个、第17个是最中间两个，而第16个和第17个都落在80～90之间．
∴这次竞赛成绩的中位数落在80～90之间．
(4)①落在80～90段内的人数最多，有8人；
②参赛同学的成绩均不低于60分．
21．(本小题满分12分)
(2012·天津)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci4－i.
(1)设4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)
P(A2)＝C22＝.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，由于A3和A4互斥，故
P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝.
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥，A0和A4互斥，故
P(ξ＝0)＝P(A2)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，
P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×＋2×＋4×＝.
22．(本小题满分14分)
(2012·福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故
障时间x(年)
02
02
轿车数
量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利
润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保障期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
(3)由(2)得，
E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
